2019-2020学年四川省泸县第一中学高一下学期第二次月考数学试题(解析版)

2019-2020学年四川省泸县第一中学高一下学期第二次月考数学试题一、单选题1．计算4cos15cos75sin15sin75︒︒-︒︒= A ．0 B ．12C ．34D ．32【答案】C【解析】利用二倍角公式和和差公式化简即可． 【详解】4cos15°cos75°﹣sin15°sin75°=3cos15°cos75°+cos15°cos75°﹣sin15°sin75°=3cos15°cos75°+cos90°=3cos15°cos75°=3sin15°cos15°=32sin30°=34故选C ． 【点睛】本题主要考察了二倍角公式和和差公式的应用，属于基本知识的考查． 2．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）A ．AB CD =u u u v u u u vB ．AB AD BD -=u u u v u u u v u u u vC ．AB AD DB -=u u u v u u u v u u u vD ．0AD BC +=ru u u v u u u v【答案】C【解析】根据向量的定义，结合向量的长度和方向即可判断. 【详解】AB u u u r 与CD uuur 方向相反，所以A 不对；AB AD DB -=u u u r u u u r u u u r，所以B 不对，C 正确；AD BC =u u u r u u u r，所以D 不对.故选C. 【点睛】本题主要考查了向量的概念，属于基础题.3．已知角α的终边经过点P (3,﹣4),则角α的正弦值为（ ） A ．34B ．4-C ．45-D ．35【答案】C【解析】由题意可得 由题意可得x ＝3，y ＝﹣4，故 r 22x y =+=5，利用任意角的三角函数的定义，求出结果． 【详解】由题意可得x=3，y=﹣4，则r=22x y +=5， 则sinα=yr=﹣45，故选：C ． 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键．4．设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-u u u v u u u v ，则OC =u u u v（） A ．1233AB AC -+u u u v u u u v B ．2133AB AC -u u u v u u u v C ．1233AB AC-u u uv u u u v D ．2133AB AC -+u u uv u u u v【答案】A【解析】根据已知关系式及向量的加减法运算计算即可． 【详解】Q ABC ∆中BC 边上的中线为AD ，点O 满足2AO DO =-u u u r u u u r，如图所示：由22AO DO OD =-=u u u r u u u r u u u r，且D 为BC 的中点，所以O 为AD 的三等分点靠近点D ，且2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，∴()2133AO AD AB AC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，又2133BO BD BA =+u u u r u u u r u u u r ，从而2OD OB OC =+u u u r u u u r u u u r ，即AO OB OC =+u u u r u u u r u u u r ，所以OC AO OB AO BO =-=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()13AB AC +u u ur u u u r +2133BD BA +u u u r u u u r=()()111123333333BC AC AB AC AB AB AC BA AB AC AB --+++=++-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A 【点睛】本题考查向量的加减法运算，三角形中线的性质应用，平面向量基本定理的应用，属于中档题．5．已知1tan()2πα-=-，则sin cos αα=（ ） A ．25-B ．25C ．45D ．25±【答案】B【解析】利用诱导公式将()tan πα-化简，再把分母看做22sin cos αα+，分子分母同时除以2cos α，即可求得. 【详解】1tan()tan 2παα-=-=-Q ，得1tan 2α=，2221sin cos tan 22sin cos 1sin cos tan 1514αααααααα====+++. 故选：B . 【点睛】本题主要考查的是诱导公式的应用，以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握和应用这些公式是解决本题的关键，是基础题.6．已知平面向量,a b 满足()=3a a b ⋅+，且2,1a b ==，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π【答案】C【解析】试题分析：本题考查向量的夹角的求法，难度较小．由条件得1a b ⋅=-rr ，所以1cos ,2||a b a b a b ⋅==-⋅r r r r u u r u u r ，故2,3a b π=r r ，故选C ．【考点】向量的夹角． 7．已知3sin 65πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，则4cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．45B ．35C ．45-D ．35-【答案】B 【解析】由（6πα+）＋（43πα-）＝32π，用诱导公式求解．【详解】4cos 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭33cos(()]sin()2665πππαα-+=-+=．故选：B ． 【点睛】本题考查诱导公式，解题时需分析“已知角”和“未知角”的关系，确定选用什么公式．8．已知向量a r ，b r满足1a =r ，2b =r ，则a b a b +--r r r r 的取值范围是（ ）．A ．()2,2-B ．[]2,4-C ．()4,2-D ．[]22-,【答案】D【解析】根据向量三角不等式()|||2|=2a b a b a b a b a +--+±-≤≤r r r r r r r r r，可得22a b a b -≤+--≤r rr r ，从而得取值范围．【详解】根据向量三角不等式()|||2|=2a b a b a b a b a +--+±-≤≤r r r r r r r r r ， ∴22a b a b -≤+--≤r rr r ，故选：D . 【点睛】本题考查向量的性质与向量三角不等式，属于基础题.9．已知直线512x π=和点(,0)6π恰好是函数())f x x ωϕ=+的图象的相邻的对称轴和对称中心，则()f x 的表达式可以是A ．())6f x x π=-B ．())3f x x π=-C ．())3f x x π=+D ．())6f x x π=+【答案】B 【解析】由题意541264T πππ=-=，T π=，又2T πω=，∴2ω=．sin(2)06πϕ⨯+=，,3k k Z πϕπ=-∈，故选B ．【考点】三角函数的图象与五点法．10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2sin sin a b c B A+=，则A 的大小是（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C【解析】由正弦定理可得，2sinA sinBsinC sinB sinA+=， 由sin C ⩽1,即有sinA sinBsinB sinA+⩽2， 又sinA sinBsinB sinA+⩾2， 当且仅当sin A =sin B ，取得等号。

故1,2sinC C π==，sinA sinB =，即有4A B π==.故选：C.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.解本题的关键是利用代数式的有界性卡出了不等式恰好为等于进而得解. 11．函数()sin 2sin 4f x x x =-在区间[0,]π的零点之和为（ ） A ．32π B ．2πC ．52πD ．3π【答案】C【解析】由()0f x =得sin 2sin 4sin 2(12cos 2)0x x x x -=-=，即sin 20x =或12cos20x -=．再分别计算出零点即可得解.【详解】解：由()0f x =得sin 2sin 4sin 2(12cos 2)0x x x x -=-=， 即sin 20x =或12cos20x -=．又[0,]x π∈，则2[0,2]x π∈，当sin 20x =时，20x =或2x π=或22x π=，即0x =，2π，π满足； 当12cos20x -=时，即1cos 22x =，23x π=或523x π=，解得6x π=，56π满足，则()f x 在区间[0,]π的零点共有5个．它们之和为5506262πππππ++++=．故选：C ． 【点睛】本题考查三角函数的性质，函数的零点问题，属于中档题. 12．点(,1)6P π-是函数()sin()(0,)2f x x m πωϕωϕ=++><的图象的一个对称中心，且点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为4π. ①()f x 的最小正周期是π； ②()f x 的值域为[0,2]； ③()f x 的初相ϕ为3π； ④()f x 在5[,2]3ππ上单调递增. 以上说法正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】由条件利用正弦函数的周期性、单调性、最值，以及图象的对称性，即可得出结论． 【详解】 ∵点P （﹣6π，1）是函数f （x ）＝sin （ωx +φ）+m （ω＞0，|φ|＜2π）的图象的一个对称中心，∴m ＝1，ω•（﹣6π）+φ＝k π，k ∈Z ． ∵点P 到该图象的对称轴的距离的最小值为12444T ππω=⋅=，∴ω＝2， ∴φ＝k π+3π, k ∈Z ，又|φ|＜2π∴φ＝3π，f （x ）＝sin （2x +3π）+1． 故①f （x ）的最小正周期是π，正确；②f （x ）的值域为[0，2]，正确；③f （x ）的初相φ为3π，正确； ④在[53π，2π]上，2x +3π∈[113π，133π]，根据函数的周期性，函数单调性与 [﹣3π，3π]时的单调性相同，故函数f （x ）单调递增，故④正确， 故选：D ． 【点睛】本题考查正弦函数的周期性、单调性、最值，以及它的图象的对称性，属于基础题．二、填空题13．在ABC ∆中，若0030,105,2A B BC ∠=∠== ，则AB =__________．【答案】2【解析】由030,105A B ∠=∠=可得0105C ∠=,由正弦定理sin sin BC AB A C = ，可得22sin 221sin 2BC CAB A⨯⋅===14．向量__________．【答案】【解析】∵∴,同理.∴.15．函数()sin(2)cos23f x x x π=-的最小正周期是________【答案】2π 【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性得出结论． 【详解】解：函数()223f x sin x cos x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（12sin2x 3x ）cos2x 14=sin4x 32-•14122cos x +=（12sin4x 32-x ）34-12=sin （4x 3π-）34- 的最小正周期是242ππ=，故答案为：2π． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题．16．在锐角三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B -的取值范围为___________.【答案】13⎛ ⎝⎭，【解析】∵22b a ac -=，∴22222cos b a ac a c ac B =+=+-， ∴2cos c a B a =+，由正弦定理得sin 2sin cos sin C A B A =+， 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， ∴sin cos sin sin cos sin()A A B A B B A =-=-， ∵ABC ∆是锐角三角形， ∴A B A =-，∴2,3B A C A π==-，∴02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得64A ππ<<，∴232A ππ<<，即32B ππ<<．∵11cos cos sin cos cos sin sin()tan tan sin sin sin sin sin sin A B B A B A B A A B A B A B A B ---=-== sin 1sin sin sin A A B B==．又sin 12B <<，∴1sin 3B <<．故11tan tan A B -的取值范围为(1,3．答案：(1,3点睛：解答本题时注意两点（1）注意“锐角三角形”这一条件的运用，由此可得三角形三个角的具体范围． （2）根据三角变换将11tan tan A B-化为某一角的某个三角函数的形式，然后再根据角的范围求出三角函数值的取值范围．三、解答题17．设两个向量,a b v v 满足()12,0,2a b ⎛== ⎝⎭v v，（1）求a b +v v的单位向量；（2）若向量27ta b +vv与向量a tb +vv的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.【答案】（1）1414⎛ ⎝⎭；（2）17,222⎛⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】（1）求出向量a b +r r 的坐标及a b +r r ，将a b +r r 表示为a b +r r m u r 的形式，这个mu r就是a b +r r的单位向量；（2）向量夹角为钝角，则数量积小于零，列不等式求出t 的范围，再加上不能反向平行，求出其反向平行的t 值，除去即可. 【详解】 解：（1）由已知()152,022a b ⎛⎛+=+= ⎝⎭⎝⎭r ra b ∴+===r ra b ∴+=⎭r r ， 即a b +r r的单位向量为1414⎛ ⎝⎭；（2）由已知1a b ⋅=r r ，2,1a b ==r r ，所以2()(277)872a t tb t t a t b +=++++rr r r 22157t t =++，由于两向量的夹角为钝角，故(27)()0ta b a tb ++<r r rr 且向量27ta b +r r 不与向量a tb +r r 反向共线，设27()(0)ta b k a tb k +=+<rrrr，则27t k kt =⎧⎨=⎩，解得t =，从而2215702t t t ⎧++<⎪⎨≠-⎪⎩，解得：17,2t ⎛⎛⎫∈-⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，其中需要注意，两向量夹角为钝角，不仅需要数量积小于零，还需要不能反向平行，本题是中档题.18．已知函数3sin()cos()sin()22()tan()cos(3)x x x f x x x πππππ-++=+-+. （1）化简()f x ； （2）若1()3f α=，求sin cos αα的值. 【答案】（1）sin cos x x -（2）4sin cos 9αα=【解析】（1）根据诱导公式及同角三角函数关系“切换弦”直接求解即可； （2）由()13f α=，得1sin cos 3αα-=，平方即可得解. 【详解】解：（1）()()()()3sin cos sin 22tan cos 3x x x f x x x πππππ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=+-+ ()cos sin sin tan cos x x x x x --=+-， cos sin sin sin xx x x=-⋅+ sin cos x x =-.（2）因为()13f α=，即1sin cos 3αα-=，所以()221sin cos 3αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 整理得221sin 2sin cos cos 9αααα-+=，即82sin cos 9αα=，即4sin cos 9αα=. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，涉及诱导公式及同角三角函数的基本关系，属于基础题.19．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在6千元的基础上，按月呈()sin()f x A x B ωϕ=++的模型波动（x 为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，该商品每件的售价为()g x （x 为月份），且满足()()2g =+2f x x -.（1）分别写出该商品每件的出厂价函数()f x 和售价函数g(x)的解析式； （2）问几月份的销售盈利最大？ 【答案】（1）()()2sin 6112,44f x x x x Z ππ+⎛⎫=-+≤≤∈⎪⎝⎭，()3()2sin 8112,44g x x x x Z ππ+⎛⎫=-+≤≤∈ ⎪⎝⎭；（2）6月份盈利达到最大.【解析】(1)由题意分别确定A ,B ,ω和ϕ的值即可确定函数()f x 的解析式，然后确定函数()g x 的解析式即可；(2)结合(1)中的结果得到利润函数，然后结合三角函数的性质即可确定利润最大的月份. 【详解】（1）依题：A =2，B =6，T =8，24T ππω==， 把点（3，8）代入()f x 可得2sin 3684πϕ⎛⎫⨯++=⎪⎝⎭， 则3sin 14πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3242x k ππϕπ+=+，()24k k Z πϕπ=-∈， 令0k =可得4πϕ=-，所以()()2sin 6112,44f x x x x Z ππ+⎛⎫=-+≤≤∈⎪⎝⎭()3()(2)22sin 8112,44g x f x x x x Z ππ+⎛⎫=-+=-+≤≤∈ ⎪⎝⎭.（2）设每件商品盈利为m ，则：()()m f g x x =-32sin 844x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2sin 644x ππ⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦32sin 2sin 24444x x ππππ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎭⎝⎭=⎝222sin cos 2424x x ππ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭222sin cos 2424x x ππ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭2+22s 4=2inx π-，当sin 14x π=-时，m 达到最大值，此时242x k πππ=-,可得：()82x k k Z =-∈，令1k =可得6x =. 即6月份盈利达到最大. 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.20．在ABC V 中，内角所对的边分别为a,b,c ，已知sin 23sin a B b A =.（Ⅰ）求B ； （Ⅱ）若1cos 3A =，求sinC 的值. 【答案】（Ⅰ）6B π=；（Ⅱ）2616. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：2sin sin cos 3sin sin A B B B A =,再根据三角形内角范围化简得，6B π=；（Ⅱ）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为π，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解. 试题解析：（Ⅰ）解：在ABC V 中，由，可得，又由，得，所以，得6B π=；（Ⅱ）解：由，可得，则sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin()6A π=+.【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证.21．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，向量(sin ,sin )m A B =v，(cos ,cos )n B A =v 且sin 2m n C ⋅=v v .（1）求角C 的大小；（2）若sin sin 2sin A B C +=，且ABC ∆面积为3，求边c 的长. 【答案】(1)60C =︒；(2)6c =.【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积得角的关系式，再根据诱导公式得1cos 2C =，解得角C ，（2）先根据正弦定理得2a b c +=，再根据三角形面积公式得36ab =，最后利用余弦定理求边c 的长.试题解析：（1）因为sin cos m n A B ⋅=+v v()sin cos sin sin2B A A B C =+= 在三角形ABC 中有：()sin sin A B C += 从而有sin 2sin cos C C C =，即1cos 2C =，则60C =︒；（2）由sin sin 2sin A B C +=，结合正弦定理知：2a b c += 又113sin 9322S ab C ab ==⨯=知：36ab = 根据余弦定理可知：2222cos c a b ab C =+- ()2234108a b ab c =+-=- 解得：6c =22．如图，OA ，OB 是两条互相垂直的笔直公路，半径OA ＝2km 的扇形AOB 是某地的一名胜古迹区域．当地政府为了缓解该古迹周围的交通压力，欲在圆弧AB 上新增一个入口P （点P 不与A ，B 重合），并新建两条都与圆弧AB 相切的笔直公路MB ，MN ，切点分别是B ，P ．当新建的两条公路总长最小时，投资费用最低．设∠POA ＝θ，公路MB ，MN 的总长为()f θ．（1）求()f θ关于θ的函数关系式，并写出函数的定义域； （2）当θ为何值时，投资费用最低？并求出()f θ的最小值． 【答案】(1) ()4tan()2tan (0)422f πθπθθθ=-+<<;(2) 当6πθ=时，投资费用最低，此时()f θ的最小值为3【解析】（1）由题意，设POA θ∠=，利用平面几何的知识和三角函数的关系式及三角恒等变换的公式，即可得函数的关系式；（2）利用三角函数的基本关系式和恒等变换的公式，求得()f θ的解析式，再利用基本不等式，即可求得投资的最低费用，得到答案. 【详解】（1）连接OM ，在Rt OPA ∆中，2,OP POA θ=∠=，故2tan AP θ=， 据平面几何知识可知1,242MB MP BOM BOP πθ=∠=∠=-, 在Rt BOM ∆中，2,42OB BOM πθ=∠=-，故2tan()42BM πθ=-，所以()22tan 4tan()42f x AP BM πθθ=+=+-， 显然(0,)2πθ∈，所以函数的()f θ定义域为(0,)2π， 即函数关系式为()2tan 4tan()42f x πθθ=+-，且(0,)2πθ∈．（2）化简（1）中()fθ的函数关系式可得：()24tan 824tan12f θθθ-=-- 令2tan(12)2t t θ-=<<，则tan22t θ=-，代入上式得：2444443434t y t t t t-=-=--≥=-++-当且仅当2tan2t θ-==时取“＝”，此时tan22θ=求得tan θ=，又02πθ<<，所以6πθ=∴当6πθ=时，投资费用最低，此时()fθ的最小值为【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，以及基本不等式求最值问题，其中根据平面几何的知识和三角函数的关系式和恒等变换的公式，得到函数的解析式是解答的关键，着重靠考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.。