平面向量基本定理教案
平面向量基本定理教案
《平面向量基本定理》教学设计一、背景分析1．教材分析向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。
此前的教学内容主要研究了向量的的概念和线性运算，集中反映了向量的几何特征。
本节课要讲解“平面向量基本定理”的概念和应用，是研究向量的正交分解和向量的坐标运算基础，向量的坐标运算正是向量的代数形态。
通过平面向量基本定理，平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，即“数”的运算处理“形”的问题完美结合，在整个向量知识体系中处于承上启下的核心地位。
本节课教学重点是“平面向量基本定理探究过程和利用平面向量基本定理进行向量的分解”。
2．学情分析从学生知识层面看：本节课之前已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算；另外学生对向量的物理背景有了初步的认识。
在教学中引入生活实例类比出向量的分解，让学生通过课件的直观感受和动手探索总结归纳出平面向量基本定理，尤其是将图形语言转化为文字语言，对学生的能力要求比较高．因此，我认为平面向量的分解及对这种分解唯一性的理解是本节课的教学难点二.学习目标1）知识与技能1、了解平面向量基本定理及其意义，会选择基底 来表示平面中的任一向量。
2、能用平面向量基本定理进行简单的应用。
2）过程与方法1、通过平面向量基本定理的探究，让学生体验数学定理的产生、形成过程，培 养学生观察发现问题、由特殊到一般的归纳总结问题能力。
2、通过对平面向量基本定理的运用，增强学生向量的应用意识，让学生 进一步体会向量是处理几何问题强有力的工具之一。
3）情感、态度与价值观目标用现实的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神， 发展学生的数学应用意识三、教学重点及难点教学重点：对平面向量基本定理的探究教学难点：对平面向量基本定理的理解及应用四、课堂结构设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学结构设计为以下阶段：五、教学过程设计1、复习旧知，做好铺垫复习旧知做好铺垫 问题驱动 探究新知 思考交流 构建概念 例题练习 巩固新知 归纳小结 深化认识 布置作业 巩固提高（1）向量的加法（2）向量的减法（向量的减法：向量的终点连接，箭头指向被减向量）（3）共线定理若b a a 与)0(≠共线)0(≠=a a b λ2.问题驱动、探究新知问题（1 ）已知21,e e （如图），做出2123e e +.解：做212,3e OB e OA ==,然后以为边做、OB OA OACB ,则2123e e OB OA AC OA OC +=+=+=，如下图所示：[设计意图]： 复习向量的加减法及数乘，为向量的线性表示打下基础．同时强调OC 可以沿着21,e e 分解，为学习平面向量基本定理起好铺垫作用。
平面向量基本定理教学设计(核心素养)
《平面向量基本定理》教学设计一、教学内容本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学4·必修（人教A版）》第二章2.3.1平面向量基本定理。
学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。
本节内容用1课时完成。
二、教学方法与教学手段本节课为新授课。
根据班级的实际情况，在教学中积极践行新课程理念，倡导合作学习；注重学生动手操作能力与自主探究能力；在教学活动中始终以教师为主线、学生为主体，让学生经历动手操作、合作交流、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动。
教学方法是综合法，教学手段采用学案式。
三、核心素养的培养（1）了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某一向量；掌握两个向量夹角的定义及二向量垂直的概念，会初步求解简单的二向量夹角问题，会根据图形判断两个向量是否垂直。
培养直观想象的能力。
（2）培养学生作图、数学建摸的意识。
（3）经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的逻辑推理能力。
通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、观察判断能力，体会数形结合思想。
思、教学重点、难点1、教学重点：平面向量基本定理及其意义；两个向量夹角的简单计算；2、教学难点：平面向量基本定理的探究；向量夹角的判断。
五、教具使用三角板、六、教学过程1、复习引入：1）、向量的加法和减法有哪些几何运算法则？2）、怎样理解向量的数乘运算？（1）|λa|=|λ||a |；（2）λ>0时，λa与a方向相同；λ<0时，λa 与a方向相反；λ=0时，λa=0.3）、平面向量共线定理是什么？若向量b 和非零向量a 共线，则存在唯一一个实数λ，使=b a λ2、思维引领问题1、阅读课本P93的思考，请用图形表示。
问题2、已知 1e ，2e在图中用1e ，2e ，表示下列向量：学生活动：小组相互讨论、交流，画图并展示。
必修四2.3平面向量的基本定理及坐标表示(教案)
2.３平面向量的基本定理及坐标表示教案Ａ第1课时教学目标一、知识与技能1．通过探究活动，理解平面向量基本定理．2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念，并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量的正交分解用于坐标表示，会用坐标表示向量．二、过程与方法1．首先通过“思考”，让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ１e1+λ2e２的向量表示.2. 通过教师提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，引导学生理解“化归”思想对解题的帮助，也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题．3．如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主，教师给予引导和提示．充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生经历的这种实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.三、情感、态度与价值观1.在探究过程中，让学生自己动手作图来发现规律，通过解题来总结方法，培养学生对“化归”、“数形结合”等数学思想的应用.２．在让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程中,培养学生坚忍不拔的意志,实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.教学重点、难点教学重点：平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的理解与应用．教学关键：平面向量基本定理的理解.教学突破方法：通过问题设置，让学生充分练习,发现规律方法,体现学生的主体地位.教法与学法导航--教学方法：启发诱导.学习方法：在老师问题的引导下,学生要充分作图，与小组成员合作探究，发现规律. 教学准备.教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规.教学过程一、创设情境，导入新课在物理学中我们知道，力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？二、主题探究，合作交流提出问题①给定平面内任意两个不共线的非零向量e1、ｅ2，请你作出向量3e1+2ｅ2、e１-２e2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e１+λ2e2的向量表示呢?②如上左图,设e１、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究ａ与ｅ1、e2之间的关系.师生互动:如上右图,在平面内任取一点O,作=e１，=e2，＝a．过点C作平行于直线OB的直线,与直线OA交于点Ｍ;过点C作平行于直线ＯA的直线，与直线ＯB交于点N．由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2，使得OM=λ１ｅ1，ON＝λ2e2.=,所以a=λ1ｅ1+λ2e2．也就是说，任一向量ａ都可以表示成λ1ｅ1+λ2e 由于OM+２的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e1、e2表示出来．当e1、e2确定后，任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便．由此可得:平面向量基本定理:如果e１、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量ａ，有且只有一对实数λ1、λ２,使ａ=λ1ｅ1+λ2e２.定理说明：(１)我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；（2)基底不唯一,关键是不共线；（3）由定理可将任一向量ａ在给出基底e1、e2的条件下进行分解；----（4）基底给定时，分解形式唯一.提出问题:①平面内的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗?②对平面内的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示?师生互动：引导学生结合向量的定义和性质,思考平面内的任意两个向量之间的关系是什么样的，结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况，对回答正确的学生进行表扬，对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角，我们规定:已知两个非零向量a 和b (如图）,作OA＝a ，OB ＝b ，则∠ＡOB =θ（０°≤θ≤18０°)叫做向量a 与b 的夹角．显然，当θ＝０°时,a 与b 同向；当θ＝1８0°时，a 与b 反向．因此，两非零向量的夹角在区间［0°，180°]内.如果a 与ｂ的夹角是9０°,我们说a 与b 垂直，记作a ⊥ｂ.由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a ,均可以分解为不共线的两个向量λ１a 1和λ２a 2,使a ＝λ1a １+λ2ａ2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如上,重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形．在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便．提出问题①我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标)表示．对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中，一个向量和坐标是否是一一对应的?师生互动：如图,在平面直角坐标系中，分别取与ｘ轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x 、y ,使得a=ｘi+yｊ①这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对（ｘ，y）叫做向量a 的坐标,记作a=（x,y）②其中x叫做a在ｘ轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式叫做向量的坐标表示.显然,i=（1，０),j＝（0，1)，０=(0，0).教师应引导学生特别注意以下几点: (1）向量a与有序实数对(x，y）一一对应．(2)向量a的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系，只与其相对位置有关系．如图所示，11BA 是表示a 的有向线段，A1、B1的坐标分别为（x1，y１）、(ｘ2，y2），则向量a的坐标为ｘ＝ｘ２－x1,ｙ=y2－y1，即a的坐标为(ｘ2－x1,y2-y1）．（3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量ａ的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a的有向线段的终点唯一确定了,即点A的坐标就是向量a的坐标，流程表示如下：三、拓展创新,应用提高例1 已知向量e1、e2(如右图）,求作向量－2.5e1＋3e２.作法：(1）如图，任取一点O,作OA＝-2.5ｅ1，OB＝３e2．(2）作OAＣB．故OC就是求作的向量.例2 如下图，分别用基底i、ｊ表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标．活动：本例要求用基底i、j表示ａ、b、c、ｄ,其关键是把ａ、ｂ、ｃ、d表示为基底ｉ、j的线性组合.一种方法是把a正交分解,看a在x轴、y轴上的分向量的大小.把向量a用i、ｊ表示出来,进而得到向量ａ的坐标．另一种方法是把向量a移到坐标原点，则向量ａ终点的坐标就是向量a的坐标.同样的方法，可以得到向量b、c、d的坐标．另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系：ａ与ｂ关于y轴对称,a与c关于坐标原点中心对称，a与d关于x轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解：由图可知，a=1AA+2AA=2i+3j，----∴a =(2，3）.同理，b =-2i +３j =(-２,3）;ｃ=-2i -3j ＝(-2,-3）;d ＝2i －3ｊ＝(2，-3).点评：本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.四、小结１．先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2．教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法、定义法、归纳与类比、数形结合.五、课堂作业1．如图所示,已知AP =34AB ，AQ =31AB ，用OA 、OB 表示OP ，则OP 等于( ) A ．31OA +34OB ﻩB ．31-OA +34OB C.31-OA -34OB ﻩD.31OA -34OB 2.已知e 1，e 2是两非零向量，且｜e １|=m ,|e ２｜＝ｎ,若c =λ1e 1+λ2ｅ2(λ１，λ2∈R )，则|c |的最大值为（ )A ．λ1m ＋λ2n B.λ1n ＋λ2m C.|λ1｜ｍ+|λ2|n D.|λ1|ｎ+|λ2|m3.已知G 1、Ｇ2分别为△A 1B 1C 1与△A 2B 2C ２的重心,且12A A ＝e 1，12B B =ｅ2，12C C =e ３，则12G G 等于（ ）A ．21（ｅ１+ｅ２+e 3） B.31（e 1+e ２+ｅ3) Ｃ.32(ｅ１＋e 2＋e ３) D ．31-(e １+e 2+e 3) 4．O 是平面上一定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP =OA +λ)||||(AC AC AB AB +,λ∈［0，+∞),则Ｐ的轨迹一定通过△A ＢＣ的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心 D.垂心5．已知向量a 、b 且AB =ａ＋2b ，BC =-5a ＋6ｂ，CD ＝7a -2ｂ，则一定共线的三点是（ ）Ａ.A 、Ｂ、D B ．A 、B 、Ｃ Ｃ.C 、B 、D D ．A 、Ｃ、D6．如右图,平面内有三个向量OA、OB、OC，其中与OA与OB 的夹角为1２0°, OA与OC的夹角为３0°，且｜OA｜=|OB｜＝1,｜OC|=23,若OC=λOA+μOB(λ，μ∈R)，则λ+μ的值为__＿__＿__．参考答案:１.B 2．C 3.B 4.B５．A ６.6第2课时教学目标一、知识与技能1．理解平面向量的坐标的概念；2．掌握平面向量的坐标运算；3．会根据向量的坐标，判断向量是否共线.二、过程与方法教师在引导学生探究时,始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点．让学生在了解向量知识网络结构基础上,进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律,能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用,并加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力．三、情感、态度与价值观在解决问题过程中使学生形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识.教学重点、难点教学重点：平面向量的坐标运算．教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解．教学关键：平面向量坐标运算的探究.教学突破方法:结合向量坐标表示的定义及运算律,引导学生探究发现,最终得到结论.教法与学法导航教学方法:问题式教学，启发诱导学习方法:在熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律的基础上,在老师的引导下，通过与同学合作探究，得到结论．教学准备教师准备：多媒体、尺规.学生准备：练习本、尺规．----教学过程一、创设情境，导入新课前一节课我们学习了向量的坐标表示，引入向量的坐标表示后,可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？二、主题探究,合作交流提出问题：①我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知ａ=（x １,ｙ1)，b =（x 2,y 2),你能得出a +b ,ａ-b ，λａ的坐标表示吗？②如图，已知A (ｘ１，y 1)，B （x 2，y ２),怎样表示AB 的坐标？你能在图中标出坐标为（x 2－x １，y 2-y 1）的Ｐ点吗?标出点P 后,你能总结出什么结论？师生互动:教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得：ａ+b =（x 1i +ｙ1j )+（x 2i +y 2j )=（x 1+x ２）i ＋（y 1+ｙ2）j ,即a +ｂ=(x 1+x ２,y １+y 2）.同理a -b =(x 1-x 2，y 1－y ２）．又 λa =λ（x 1i +y １j )＝λｘ1i ＋λy 1ｊ.∴ λa =(λx １，λy １)．教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为： 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量AB 平移，使得点A 与坐标原点O 重合，则平移后的B 点位置就是P 点.向量AB 的坐标与以原点为始点，点Ｐ为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系．学生通过平移也可以发现:向量的模与向量的模是相等的．由此，我们可以得出平面内两点间的距离公式:｜AB |＝|OP |=221221)()(y y x x -+-．--教师对总结完全的同学进行表扬，并鼓励学生,只要善于开动脑筋，勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:①能． ②AB =-=(x ２,ｙ2）-(ｘ1，y 1）=（x 2－ｘ1,y 2-y 1）．结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 提出问题①如何用坐标表示两个共线向量?②若a =(x 1,ｙ1），b =(x ２,y 2),那么2211x y x y =是向量a 、b 共线的什么条件？ 师生互动：教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a =(ｘ1，ｙ１)，ｂ=(x ２，y 2），其中b ≠0．我们知道，a 、b 共线，当且仅当存在实数λ,使a =λb .如果用坐标表示，可写为（x 1，y 1）=λ(ｘ2，y 2）,即⎪⎩⎪⎨⎧==.,2121y y x x λλ消去λ后得x １y 2－ｘ2y 1=0． 这就是说,当且仅当x 1y 2-x 2y 1=0时向量a 、ｂ(b ≠0)共线.我们知道x 1y 2-x 2y 1＝0与x 1y ２=x ２ｙ1是等价的,但这与2211x y x y =是不等价的.因为当x 1=x ２=０时,x 1ｙ2-ｘ２y 1=０成立，但2211x y x y =均无意义.因此2211x y x y =是向量a 、b 共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性，更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果：①x 1y 2-x 2y 1=0时，向量ａ、b (b ≠0）共线.②充分不必要条件．提出问题:a 与非零向量b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得a =λb ，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢?师生互动：教师引导推证：设a =(x １，ｙ1），b =（x 2，y ２）,其中ｂ≠a ,由ａ=λb ，（x 1,y 1)=λ（ｘ2,y 2)⎪⎩⎪⎨⎧==⇒.,2121y y x x λλ消去λ，得x １y 2-x 2y 1=0． 讨论结果：ａ∥b （b ≠0)的充要条件是x 1y ２－x ２y １=0．教师应向学生特别提醒感悟：１. 消去λ时不能两式相除,∵y 1、y 2有可能为0,而ｂ≠0,∴x ２、y 2中至少有一个不为--0．2. 充要条件不能写成2211x y x y =(∵x １、x 2有可能为０).3. 从而向量共线的充要条件有两种形式：a ∥ｂ(b ≠0）{1221.a λb x y x y =⇔= 三、拓展创新，应用提高例1 已知a =(2,１)，b =(-3，4)，求a ＋b ，a -b ,3ａ+4ｂ的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用，让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标，从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成．解:a ＋b =（2,1）+(-3,4）＝（-1，５);a -b =（2,1)-(-３，4）=(5,-3）；3a +4b =3(2,1)+4（-3,４）=(６,3)＋（-12,16）＝（－6，１９)．点评:本例是平面向量坐标运算的常规题，目的是熟悉平面向量的坐标运算公式． 例2 如图.已知ABC D 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－2，１)、（-1，3)、(３,4)，试求顶点D 的坐标．活动：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法：解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”，解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标，进而得到点D 的坐标.解题过程中，关键是充分利用图形中各线段的位置关系（主要是平行关系）,数形结合地思考，将顶点D 的坐标表示为已知点的坐标.解:方法一：如上图，设顶点D 的坐标为（x ，y ）.∵=（-1－（－2），3-1)＝(1，2)，=(3-x ，4-y )．由＝,得（1，2）=(3-x ，4-ｙ).∴⎩⎨⎧-=-=.42,31x x ,⎩⎨⎧==.2,2y x ∴顶点Ｄ的坐标为（2,2）.-- 方法二:如上图,由向量加法的平行四边形法则,可知 BC BA AD BA BD +=+= =（-2-（-１),1－３)+(3-（-1），4-3）＝（3，-1），而OD ＝OB +BD =(－１，３）+（３，-１）＝(２，2),∴顶点D 的坐标为（2,2)．点评：本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.例3 已知ａ=（4,2)，b =（6，y ），且ａ∥ｂ,求y .解:∵a ∥b ，∴4y －2×6＝0.∴y =3.例４ 已知A （-1，-1),B （1，３),C （2,5），试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系. 活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量，然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线．教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图象领悟先猜后证的思维方式．解:在平面直角坐标系中作出A 、B 、C 三点，观察图形,我们猜想A 、B 、Ｃ三点共线.下面给出证明.∵AB ＝（1-（－1）,３-（-1）)=（2,4),AC =(２-（－1)，5-(-1））＝(3，6),又2×６－3×４=0,∴AB ∥AC ,且直线AB 、直线A Ｃ有公共点Ａ,∴A 、Ｂ、Ｃ三点共线．点评：本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法，其实质是从同一点出发的两个向量共线，则这两个向量的三个顶点共线．这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的．例5 设点P 是线段Ｐ1Ｐ2上的一点,P １、P 2的坐标分别是（ｘ1，y 1)、(x 2，y ２).(1）当点P 是线段Ｐ1Ｐ2的中点时,求点P 的坐标；(2）当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,求点Ｐ的坐标.活动:教师充分让学生思考，并提出这一结论可以推广吗？即当21PP P P =λ时,点P 的坐标是什么?师生共同讨论，一起探究,可按照求中点坐标的解题思路类比推广，有学生可能提出如下推理方法:由P P 1=λ2PP ，知(x －x 1，y -ｙ１)=λ（ｘ２-ｘ，ｙ２-ｙ),-- 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=--=-.1,1)()(21212121λλλλλλy y y x x x y y y y x x x x 这就是线段的定比分点公式,教师要给予充分肯定，鼓励学生的这种积极探索,这是学习数学的重要品质.时间允许的话,可以探索λ的取值符号对P 点位置的影响，也可鼓励学生课后探索.解:（1）如图，由向量的线性运算可知OP =21 （OP １+OP 2）=（.2,22121y y x x ++). 所以点P 的坐标是(.2,22121y y x x ++) (2）如图（1)、(2),当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时,有两种情况，即21PP P P =21或21PP P P ＝2． 如果21PP P P ＝21 ,如图(1)，那么 OP ﻩ=1OP +P P 1=1OP +3121P P =1OP +31(2OP -1OP ）＝321OP +312OP =(32,322121y y x x ++). 即点P 的坐标是（32,322121y y x x ++).--同理,如果21PP P P =２图(２),那么点Ｐ的坐标是121222(,).33x x y y ++ 点评:本例实际上给出了线段的中点坐标公式和线段的三等分点坐标公式.四、小结１.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识：平面向量的和、差、数乘的坐标运算，两个向量共线的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神，为将来的发展打下良好基础.五、课堂作业1.已知a ＝（3，-1），b =（-1，２),则-3a －2b 等于( ）Ａ.（7，1) Ｂ.(-7,-1) C.(-7，１) Ｄ．（7，-1)2.已知Ａ(1，1），Ｂ（－1,0)，C (０，1），Ｄ(ｘ,y ），若AB 和是相反向量，则D 点的坐标是( )A ．(-2，0）B ．(2,2）C ．(２,0） D.(-２，-2）３．若点A (-1，-1)，B (1，3)，C (x ，5)共线，则使=λ的实数λ的值为( )A.1B.－2C.0 D ．２4．设a =(23,ｓin α），ｂ=（ｃｏs α,31)，且ａ∥b ，则α的值是（ ) A ．α＝２k π+π4（ｋ∈Z ) B.α=2k π-π4（ｋ∈Z ） C.α＝k π＋π4(k ∈Z ） D ．α=k π-π4（k ∈Z ） 5．向量=（k ，12）,=(4，5），=（1０,ｋ),当k 为何值时,A 、Ｂ、C 三点共线？参考答案:1．B ２.B 3．Ｄ ４．C5.∵=（k ,12）， ＝(4,5),＝（1０,k ）, ∴AB ＝-=(4－k ，-7）, =-=(6，k -5). ∵AB ∥BC ,∴(４－k )（ｋ-5）＋7×６＝0.∴k 2-9ｋ-22=0.解得k =1１或k =－2．教案 B第１课时教学目标一、知识与技能1.理解平面向量基本定理，明确任何一个平面向量都可以用两个不共线的向量来表示，在具体问题中能够适当选取基底．2.了解向量的夹角与垂直的概念,以及向量正交分解的含义，理解用坐标表示向量的理论依据，知道向量的坐标的几何意义．二、过程与方法领会数形结合的数学思想,感受探索与创造的学习过程，培养逻辑推理能力，优化理性思维.三、情感、态度与价值观通过类比物理学中的相关问题，培养学生善于思考、勇于探索的科研精神，以及坚忍不拔的意志.教学重点平面向量基本定理和向量的坐标表示.教学难点平面向量的合成与分解.教学设想一、情境设置1．向量加法与减法有哪几种几何运算法则？2．怎样理解向量的数乘运算λａ？（1）|λa|＝|λ｜|a|；(2）λ>0时，λａ与a方向相同；λ<0时，λa与a方向相反;λ＝0时,λa=0.３.平面向量共线定理是什么？非零向量a与向量b 共线存在唯一实数λ，使ｂ＝λａ.4．如图,光滑斜面上一个木块受到的重力为G,下滑力为Ｆ1,木块对斜面的压力为Ｆ,这三个力的方向分别如何?三者有何相互关系？2 Array5.在物理中,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算．力也可以分解,任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和．将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论.二、新知探究----探究（一)平面向量基本定理思考１．给定平面内任意两个向量e １,ｅ2，如何求作向量3e 1＋２e 2和e 1－2e 2?2．如图，设O Ａ、OB 、OC 为三条共点射线，P 为OC 上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点Ｍ、N,使四边形OMP N 为平行四边形？3.在下列两图中，向量OA 、OB 、OC 不共线，能否在直线ＯＡ、ＯＢ上分别找一点M 、N ，使OM +ON =?４．在上图中,设OA ＝e 1,OB ＝ e ２，OC = a ,则向量OM 、ON 分别与e 1、e 2的关系如何？从而向量ａ与e 1、e 2的关系如何？OM =λ１ｅ1，ON =λ2ｅ2,ａ=λ1e 1+λ2e ２．5. 若上述向量e 1、ｅ2、a 都为定向量,且e 1、e 2不共线,则实数λ1、λ2是否存在?是否唯一?6．若向量a 与ｅ1或ｅ２共线,a 还能用λ1e 1+λ2ｅ2表示吗?7.根据上述分析，平面内任一向量ａ都可以由这个平面内两个不共线的向量ｅ1、e 2表示出来,从而可形成一个定理.你能完整地描述这个定理的内容吗?如果e １、ｅ2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使ａ=λ1e １＋λ2e 2．8.上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量ｅ1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量ａ的e 1 e 2OB CC--表示式是否相同?9. 两个向量和与差的坐标等于两个向量坐标的和与差;数乘向量的坐标等于该数与向量相应坐标的乘积．即:如果 a =（ｘ１,y 1),ｂ=（x 2,y 2），那么ａ±b =（x 1±ｘ2，y 1±y 2),λa ＝（λｘ1,λy 1） ａ∥b 的充要条件是x 1ｙ２=x ２y 1（需要证明）10. 任意给定平面中两个不平行的向量e 1、ｅ2,那么平面中所有向量a 都可以用这两个向量表示．即a =ｘe 1＋y ｅ2.这里x 、y 是唯一确定的一对有序实数.{e 1,ｅ2}叫做这一平面内所有向量的一组基底;x e 1＋ｙｅ２叫做a 关于基底｛ｅ1，e 2}的分解式.探究（二）平面向量的正交分解及坐标表示思考1.不共线的向量有不同的方向,对于两个非零向量ａ和b ,作=a ,= ｂ,如图.为了反映这两个向量的位置关系,称∠A ＯB 为向量ａ与b 的夹角．你认为向量的夹角的取值范围应如何约定为宜？[０°,１8０°］２．如果向量ａ与b 的夹角是90°,则称向量a 与b 垂直,记作a ⊥b ． 互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？ 3. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．如图，向量ｉ、j 是两个互相垂直的单位向量，向量ａ与ｉ的夹角是30°,且|a ｜=４，以向量i 、j 为基底，向量ａ如何表示？a＝+2j ４.在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、ｊ作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数ｘ、y ，使得a ＝x i ＋y j .我们把有序数对（x ，y ）叫做向量a 的坐标,记作a ＝（ｘ,ｙ）.其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标,上式叫做向量的坐标表示.那么ｘ、y 的几何意义如何? 5．相等向量的坐标必然相等,作向量＝ａ，则＝ （x ，y )，此时点A 的坐标baAP--是什么？三、例题解析例1 已知直角坐标平面内的两个向量a =（1,3),b ＝（ｍ,2m -３），使平面内的任意一个向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa +μb ,则m 的取值范围是_＿＿_＿＿＿＿．解：∵ｃ可唯一表示成c =λa +μb ，∴a 与ｂ不共线，即２ｍ－3≠３ｍ，∴m ≠-3.例２ 如图,Ｍ是△ABC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN . 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+=∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0.∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A 、Ｎ、Ｂ三点共线,C 、M 、Ｎ三点共线，由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ==∴=+++NM BN NM BN μλ3230.∴（λ+2）BN +(3+３μ)NM = 0.由于BN 和NM 不共线，∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴{2,1.λμ=-=- ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==２a .例３ 设e 1与e ２是两个不共线向量,ａ=3e 1+４e 2,b ＝－2ｅ1＋５ｅ2,若实数λ、μ满足λa +μb =5ｅ1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb ＝（3λｅ１＋4λe 2）+(－2μe 1+5μe 2）=（３λ-2μ)ｅ1+（４λ＋5μ)ｅ2. 又λa ＋μb =5ｅ1-e 2．由平面向量基本定理，知 325,45 1.u u λλ-=⎧⎨+=-⎩解之，得λ=1,μ=-1.四、小结1．平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理,同时又是向量坐标表示的理论依据,是一个承前起后的重要知识点.2．向量的夹角是反映两个向量相对位置关系的一个几何量，平行向量的夹角是０°或180°，垂直向量的夹角是９0°．３.向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系，它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点,则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标．第2课时教学目标一、知识与技能1.掌握平面向量的和、差和数乘向量的坐标运算，以及向量共线的坐标表示，会根据这些原理求向量的坐标.2.深化对向量概念的理解,提高对向量运算的认识，优化数形结合的思想意识，培养逻辑思维能力和思维素养．二、过程与方法1．通过体验直角坐标系中平面向量的坐标表示的实现过程,激发学生的探索精神，增强学生知识的应用意识；2.通过具体问题的分析解决,渗透数形结合的数学思想,提高学生的化归能力．三、情感与价值在数学中体会知识的形成过程,感受数与形的和谐统一.教学重点平面向量的坐标运算和向量共线的坐标表示．教学难点向量的坐标运算原理的构建．教学设想：一、情境设置1．平面向量的基本定理是什么?如果ｅ1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ１、λ２，使a＝λ1ｅ１+λ2e2．２.用坐标表示向量的基本原理是什么？设i、j是与ｘ轴、y轴同向的两个单位向量，若a=ｘi+y j,则a＝（x,y）.3．用坐标表示向量,使得向量具有代数特征,并且可以将向量的几何运算转化为坐标运算,为向量的运算拓展一条新的途径.我们需要研究的问题是,向量的和、差、数乘运算，如何转化为坐标运算,对于共线向量如何通过坐标来反映等.二、新知探究--。
【人教A版】高中数学必修第二册：6.3.1平面向量基本定理(教案)
【人教A 版】高中数学必修第二册 第六章 平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理 教学设计一、教学目标1．理解平面向量基本定理及其意义；2．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达；3．通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。
二、教学重难点1．平面向量基本定理及其意义；2．平面向量基本定理的理解。
三、教学过程：1、情景引入在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？可以如图，以a 为平行四边形一条对角线作平行四边形，四边形确定吗？不一定能确定小组合作探究：问题1：如图所示，设21e e ，是同一平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内与21e e ，都不共线的向量，在平面内任取一点O ，作,,,21a OC e OB e OA ===将a 按21e e ，的方向分解，你有什么发现？【答案】如图，2211e e ON OM OC a λλ+=+==问题2：当a 是零向量时，a 还能用2211e e a λλ+=表示吗？ 【答案】可以，取01=λ，02=λ，则2100e e a += 问题3：若向量a 与21e e 或共线，那么a 还能用2211e e a λλ+=这种形式表示吗？ 【答案】若向量a 与1e 共线，取02=λ，则2110e e a +=λ。
若向量a 与2e 共线时，取01=λ，则2210e e a λ+=。
问题4.设21e e ，是同一平面内两个不共线的向量，则进行表示是否唯一和用21e e a ？【答案】假设2211221122112211e e e e e e a e e a μμλλλλμμ+=+∴+=+=，， ， 0,00)()(2211222111=-=-∴=-+-∴μλμλμλμλ且，e e ，2211μλμλ==∴，且，进行表示和用21e e a 唯一。
2.3.1平面向量基本定理(教学设计)
SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》） 1 / 6 2．3．1平面向量基本定理（教学设计）
[教学目标] 一、知识与能力： 1．掌握平面向量基本定理； 2．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 二、过程与方法： 体会数形结合的数学思想方法；培养学生转化问题的能力. 三、情感、态度与价值观： 培养对现实世界中的数学现象的好奇心，学习从数学角度发现和提出问题． 教学重点：平面向量基本定理，向量的坐标表示；平面向量坐标运算 教学难点：平面向量基本定理．
一、复习回顾： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa|=|λ||a|；（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0 2．运算定律 结合律：λ(μa)=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a=λa+μa， λ(a+b)=λa+λb 3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λa. 二、师生互动，新课讲解： 思考：给定平面内任意两个向量e1,e2，请作出向量3e1+2e2、e1-2e2，平面内的任一向量是否都可以用形如1e1+2e2
的向量表示呢？.
在平面内任取一点O，作OAe1，OBe2，OCa，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N. 由向量的线性运算性质可知，存在实数1、2，使得OM1e1，ON2e2. 由于OCOMON，所以a=1e1+2e2，也就是说任一向量a都可以表示成1e1+2e2的形式.
1． 平面向量基本定理
（1）定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使得 SCH高中数学（南极数学）同步教学设计（人教A版必修4第二章《平面向量》） 2 / 6 a=1e1+2e2.
平面向量基本定理(教学设计)
《平面向量基本定理（第一课时）》教学设计一、教材分析：本节内容是人教A版普通高中课程标准实验教科书必修4第二章第3节“平面向量基本定理及坐标表示”的第一课时内容，本节共2个课时。
平面向量基本定理是本节的重点也是本节的难点。
平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合，由于高中数学设计的向量是自由向量，这样，如果将平面内向量的始点放在一起，那么由平面向量基本定理可知，平面内的任何一点都可以通过两个不共线的向量得到表示，也就是平面内的点可以由平面内的一个点和两个不共线的向量得到表示，这是引进平面向量基本定理一个原因（学生可以不讲）。
实际上，本节课在本章中起到一个“承上启下”的作用，一方面要在平面向量线性运算的基础上归纳定理，另一方面，作为平面向量基本定理的特殊情况，研究平面向量的正交分解及坐标表示，是建立向量坐标的一个逻辑基础，它揭示了平面向量的基本关系和基本结构，是学生后续学习向量坐标表示的基础。
二、学情分析：知识方面：学生学习了第一节“平面向量的实际背景及基本概念”和第二节“平面向量的线性运算”，已经有了一定的平面向量基础知识，学力和能力方面：授课对象为省级示范学校高一学生，有比较扎实的数学基本知识，其数学基本素养和学习能力应该在普通高中学生中处于中上水平。
三、教师教学的出发点：根据课程标准的要求备课，备学生，把课程标准的要求溶解在课堂中，让学生在潜移默化中提高数学素养。
本节课的教学设计主要是针对学习情况为中等的学生（占大多数），第一、注重知识的生成，通过创设问题情境，引导学生自主学习，主动探究发现新知（平面向量基本定理）；第二、注重数学思维的培养，通过问题的两个方面，即平面向量合成和分解，培养学生的观察能力，启发学生的逆向思考能力，抽象概括能力，引导学生进行适当的合情推理（定理的证明）；第三、注重对知识的理解、消化、应用，主要通过典型的问题，掌握对新知的应用，可进行适当的拓展，发散思维；第四：激发学生的学习兴趣，在3个方向：新知识的维度拓展的兴趣激发，解决几何问题的兴趣激发，后续学习的兴趣激发。
平面向量基本定理的教案设计
平面向量基本定理的教案设计教学目标知识与技能目标 理解平面向量基本定理及意义过程与方法目标 培养学生观察、猜想等发现规律的一般方法，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力情感、态度、价值观目标 培养学生逐步养成独立思考和互助学习的习惯，激发学生学习的兴趣和钻研精神 教学重点平面向量基本定理教学难点平面向量基本定理的理解与应用教具准备 直尺、投影仪 教学过程 一、复习回顾 向量共线定理向量a )(≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b =λa .强调：系数λ的存在性与唯一性。
二、情景引入问题1 给定平面内两个不共线向量1e 、2e ，你能否作出31e +22e ， 1e －22e ？ 1e 2e我们可以利用平行四边形法则做出形如1λ1e +2λ2e 的向量。
反过来，任意一个向量是否都可以写成1λ1e +2λ2e 的形式呢？问题2 一枚导弹以1000h km /的初速度，与地面成 30角发射时，水平方向和竖直方向的速度分别是多少？问题3 给定平面内两个不共线向量1e 、2e，你能否将平面内任意向量a分解到1e 、2e 的方向上？1e 2e a如图所示，在平面内任取点O ，作=OA 1e ,=OB 2e ,=OC a . 作平行四边形ONCM. 则ON OM OC +=.由向量共线定理可得，存在唯一的实数1λ，使=OM 1λ1e ;存在唯一的实数2λ，使=ON 2λ2e .即存在唯一的实数对1λ，2λ，使得=1λ1e +2λ2e . M C强调：向量a 的任意性、1e 、2e 不共线、系数1λ，2λ的存在性与唯一性。
三、新课探究讨论探究：同学们能否总结出平面向量基本定理的内容？如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数1λ，2λ，使=1λ1e +2λ2e 。
我们把不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
小组合作思考下列问题：（1）什么样的两个向量可以作为平面内所有向量的一组基底？ （2）一个平面的基底是唯一的吗？（3）当平面的基底给定时，任意向量的分解形式惟一的吗？（4）1e 、2e 是平面的一组基底，且a =λ11e +λ22e =k 11e +k 22e ，你能得出什么结论？由λ11e +λ22e =0，你又能得出什么结论？[设计意图]通过以上四个问题层层递进地将平面向量表示定理展现出来，对其中的关键点予以分析讨论，便于学生的理解。
平面向量基本定理(教学设计)
平面向量基本定理
教学设计
教材分析：
分析基本定理在教材中的作用，让学生有目标性地学习．
教学目标：
1．通过作图法理解并掌握平面向量基本定理的内容及含义．
2．深刻理解向量的基底表示的意义及作用，会将平面内的任意一个向量用一组基底表示．
2．理解平面上两个向量的夹角的概念及范围，掌握平面内两个向量的位置关系．
3．会用平面向量基本定理解决向量相互表示的问题．
教学重难点：
重点：平面向量基本定理的内容，向量基底的意义及应用；
难点：平面向量基本定理的应用．
教学方法：CAI 课件、图形模拟法、形成性归纳与总结．
课时安排：1课时．
教学过程：
Ⅰ 新课导入
【回顾】：向量数乘运算．（重点回顾几何意义及作图方法）
【图片】：
幻灯片1 （展示生活中许多结构与矢量的联系）
【引入】：物理中力的合成与分解．
幻灯片2 （展示物理学中力的合成与分解）
【问题】：力是物理学中的矢量，矢量也就是数学中的向量，那么平面内的任一向量a 能否都可
以表示成1122e e λλ+ 的形式呢？
Ⅱ 新课讲授
一、知识点精讲
1．作图分析
幻灯片3
（动态展示向量的合成与分解） 幻灯片4
（学生训练） 2．形成结论
幻灯片5
（归纳整理向量夹角的定义） 幻灯片6
（归纳整理平面向量基本定理的内容）
3．练习
幻灯片7
（两个例题，巩固练习） Ⅲ 课时小结
本节课学习了平面向量的基本定理，注意基本定理的应用与向量的互相表示，这是重点，也是难点，同时还是以后学习向量坐标运算以及空间向量的基础．
Ⅳ 课后作业 课本102P -
3T ． Ⅴ 教学反思。
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2.2.1平面向量基本定理
教学目的：
1．了解平面向量基本定理的证明．掌握平面向量基本定理及其应用；
2．能够在解题中适当地选择基底，使其它向量能够用选取的基底表示． 教学重点：平面向量基本定理．
教学难点：理解平面向量基本定理．
教学过程：
一、设置情境，引入新课：
上节课我们学习了共线向量的基本定理，通过它们判定两个向量是否平行，而且共线向量可由该集合中的任一非零向量表示出来．这个非零向量叫基向量．那么平面上的任一向量是否也具有类似属性呢？如果是这样的话，对平面上任一向量的研究就可以化归为对基向量的研究了．
二、新课：
1．回顾：
(1) 实数与向量的积： 实数λ与向量a r 的积是一个向量，记作λa r ，它的长度和方向规定如下： (1) |λa r | = |λ||a r |． (2) λ > 0时，λa r 的方向与a r 的方向相同；当λ < 0时，λa r 的方向与a r 的方向相反；特别地，当λ = 0或a r =0r 时，λa r =0r ．
(2) 共线向量的一个充要条件： 定理：向量b r 与非零向量a r 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b r = λa r ． 例1 已知向量1e u r 、2e u r ，求作向量- 2.51e u r + 32e u r ．
推广：已知1e u r 、2e u r 是同一平面内的两个不共线的向量，
则对于给定的两个实数λ1、λ2，都可以在这个平面内作出唯一的一个向量a r 满足 1212.a e e λλ=+
2．平面向量基本定理： 如果1e u r 、2e u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量
a r ，有且只有一对实数λ1、λ2，使 a r = λ11e u r + λ22e u r ． 例2 ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB uu u r =a r ，AD uuu r =
b r ，用a r 、b r 表示MA uuu r 、MB uuu r 、MC uuu r 和MD uuu r ？ 解：（略 ）
例3 如图，ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，且AE uu u r =m u r ，AF uu u r =n r ，求AB uu u r ，AD uuu r ．
解：（略）
例4 如图，OA uu r 、OB uu u r 不共线，AP uu u r = t AB uu u r (t ∈ R)，用OA uu r 、OB uu u r 表示OP uu u r ．
解： （略）
三、小结： 1．当平面内取定一组基底1e u r 、2e u r 后，任一向量a r 都被1e u r 、2e u r 唯一确定，其含义是存在唯一数对(λ1，λ2)，使a r = λ11e u r + λ22e u r ． 2．三点A 、B 、C 共线⇔AB uu u r = k AC uuu r ⇔PB uu r = λ1PA uu r + λ2PC uu u r (其中λ1，λ2 ∈ R 且λ1 + λ2 = 1)．
四、课后作业： 1．命题p ：向量b r 与a r 共线；命题q ：有且只有一个实数λ，使b r = λa r ；则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．不充分不必要条件
2．如图，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN = 2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ：PM 的值．。