5.2分式的乘除法
北师大版八年级下册5.2分式的乘除法则教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式乘除法则的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对分式乘除法则的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
(3)通过实际例题，展示分式乘除法则在解决生活中的问题，如：计算两个长度的比例、比例分配等。
2.教学难点
-异分母分式乘除时的通分方法，特别是找到最小公倍数的过程。
-在实际问题中，如何正确识别分式乘除的情景，并运用法则解决问题。
-分式乘除运算中的符号处理，特别是约分和乘除中的正负找到两个或多个分母的最小公倍数，可以借助树状图、分解质因数等方法进行讲解。
另外，实践活动中的分组讨论非常有效，学生们在讨论中积极思考，相互交流，这对于巩固知识点非常有帮助。但我也注意到，有些学生在小组讨论中不够主动，可能是因为他们对主题不够自信或者害怕犯错。在未来的教学中，我应该鼓励更多的学生参与到讨论中来，创造一个更加包容和鼓励尝试的学习环境。
我还发现，通过实际操作，如测量和计算几何图形的面积，学生们对分式乘除法则的应用有了更直观的理解。这种将抽象数学概念与实际情境结合的方法，明显提高了学生们的学习兴趣。
(2)强调异分母分式相乘时通分的必要性，如：$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5}$，先找到两分母的最小公倍数15，然后分别将分子通分得到$\frac{10}{15} \times \frac{12}{15}$，最后将分子相乘得到$\frac{120}{225}$，简化后得到$\frac{8}{15}$。
浙教版七年级数学下册专题5.2分式的乘除法运算(知识解读)(原卷版+解析)
专题5.2 分式的乘除法运算（知识解读）【学习目标】1. 类比分数的乘除法运算法则，探究分式的乘除法运算法则，能进行简单的分式乘、除运 算．2. 结合分式的运算，将指数的范围从正整数扩大到全体整数，了解整数指数幂的运算性质．3. 能用科学记数法表示小于 1 的正数．【知识点梳理】考点1：分式的乘除 分式的乘除法运算分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即考点2：分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）. ⑴、m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数） ⑵、()nm mn a a =（m n 、是正整数）⑶、()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷、m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸、nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数）⑹、1n na a -=（0a ≠，n 是正整数）nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭n考点3：科学记数法科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成a⨯10-n 的形式，其中n是正整数，1≤ a <10 ，这叫科学记数法．注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非0 数字前有m 个0，则10d 的指数n=m+1．【典例分析】【考点1 分式的乘除】【典例1】计算：（1）；（2）．【变式1-1】（2023春•常宁市期末）计算•的结果是（）A．B．C．D．0【变式1-2】（2023春•石狮市期末）化简的结果是（）A．B．C．D．【变式1-3】（2023•历城区校级模拟）计算的结果是（）A．B．C．D．【典例2】（2023秋•临清市期中）计算：（1）（2）．【变式2-1】（2023秋•南丹县期末）化简：＝．【变式2-2】（2023•江西模拟）化简：．【典例3】（2023春•槐荫区校级月考）计算：（1）（2x3y）2•xy；（2）；（2）；（4）；（5）（xy﹣x2）÷；（6）．【变式3-1】（2023秋•东昌府区期中）化简：（1）．（2）．（3）．（4）．【变式3-2】（2023春•沙坪坝区校级月考）计算下列各式：（1）•；（2）÷（x﹣2）•．【变式3-3】（2023秋•喀什地区期末）计算：（1﹣）÷．【变式3-4】（秋•汉阳区校级月考）计算：（1）•；（2）÷．【考点2 负指数整数幂】【典例4】（2023春•元宝区校级期末）计算（）﹣2的结果是（）A．﹣9B．9C．D．﹣【变式4】（2023•蒲城县一模）计算：（﹣3）﹣2＝（）A．9B．C．D．﹣9【典例5】（2023•南陵县自主招生）计算．【变式5-1】（2023春•兰州期末）计算：（）﹣1﹣（﹣3﹣3.14）0+（﹣）﹣2．【变式5-2】（2023秋•开远市期末）计算：﹣（）2×9﹣2×（﹣）÷+4×（﹣0.5）2【变式5-3】（顺义区期末）计算：（﹣1）﹣2018+（）2﹣（π﹣4）0﹣3﹣2；【变式5-4】（2023•高淳区二模）计算：．【考点3 科学计数法】【典例6】（2023•汉阳区校级自主招生）雾霾天气影响着我国北方中东部地区，给人们的健康带来严重的危害．为了让人们对雾霾有所了解．摄影师张超通过显微镜，将空气中细小的霾颗粒放大1000倍，发现这些霾颗粒平均直径为10微米〜20微米，其中20微米（1米＝1000000微米）用科学记数法可表示为（）A．2×105米B．0.2×10﹣4米C．2×10﹣5米D．2×10﹣4米【变式6-1】（2023•海曙区校级模拟）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为（）A．22×10﹣10B．2.2×10﹣10C．2.2×10﹣9D．2.2×10﹣8【变式6-2】（2023•烟台一模）碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米＝0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（）A．0.5×10﹣9米B．5×10﹣8米C．5×10﹣9米D．5×10﹣10米【变式6-3】（2023•龙岗区模拟）新冠病毒（2023﹣nCoV）是一种新的Sarbecovirus亚属的β冠状病毒，它是一类具有囊膜的正链单股RNA病毒，其遗传物质是所有RNA病毒中最大的，也是自然界广泛存在的一大类病毒．其粒子形状并不规则，直径约60﹣220nm，平均直径为100nm（纳米）．1米＝109纳米，100nm可以表示为（）米．A．0.1×10﹣6B．10×10﹣8C．1×10﹣7D．1×1011专题5.2 分式的乘除法运算（知识解读）【学习目标】1. 类比分数的乘除法运算法则，探究分式的乘除法运算法则，能进行简单的分式乘、除运 算．2. 结合分式的运算，将指数的范围从正整数扩大到全体整数，了解整数指数幂的运算性质．3. 能用科学记数法表示小于 1 的正数．【知识点梳理】考点1：分式的乘除 分式的乘除法运算分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即：分式的乘方分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（为正整数）. ⑴、m n m n a a a +⨯=（m n 、是正整数） ⑵、()nm mn a a =（m n 、是正整数）⑶、()nn n ab a b =（n 是正整数）⑷、m n m n a a a -÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸、nn n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数）⑹、1n n a a-=（0a ≠，n 是正整数）考点3：科学记数法nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭n科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成a⨯10-n 的形式，其中n是正整数，1≤ a <10 ，这叫科学记数法．注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非0 数字前有m 个0，则10d 的指数n=m+1．【典例分析】【考点1 分式的乘除】【典例1】计算：（1）；（2）．答案:（1）﹣（2）【解答】解：（1）原式＝﹣；（2）原式＝•＝．【变式1-1】（2023春•常宁市期末）计算•的结果是（）A．B．C．D．0答案:C【解答】解：•＝．故选：C．【变式1-2】（2023春•石狮市期末）化简的结果是（）A．B．C．D．答案:B【解答】解：原式＝．故选：B．【变式1-3】（2023•历城区校级模拟）计算的结果是（）A．B．C．D．答案:B【解答】解：原式＝＝．故选：B．【典例2】（2023秋•临清市期中）计算：（1）（2）．答案:（1）（2）﹣1【解答】（1）原式＝＝＝＝＝．（2）原式＝＝＝﹣1；【变式2-1】（2023秋•南丹县期末）化简：＝．答案:【解答】解：＝•＝，故答案为：．【变式2-2】（2023•江西模拟）化简：．【解答】解：原式＝•＝﹣•＝﹣1．【典例3】（2023春•槐荫区校级月考）计算：（1）（2x3y）2•xy；（2）；（3）；（4）；（5）（xy﹣x2）÷；（6）．【解答】解：（1）（2x3y）2•xy＝4x6y2•xy＝2x7y3；（2）＝＝2x；（3）＝＝＝；（4）＝＝；（5）（xy﹣x2）÷＝﹣x（x﹣y）＝﹣x•xy＝﹣x2y；（6）＝＝．【变式3-1】（2023秋•东昌府区期中）化简：（1）．（2）．（3）．（4）．【解答】解：（1）＝•＝2x；（2）＝•＝；（3）＝•＝；（4）＝••＝．【变式3-2】（2023春•沙坪坝区校级月考）计算下列各式：（1）•；（2）÷（x﹣2）•．【解答】解：（1）原式＝；（2）原式＝••＝．【变式3-3】（2023秋•喀什地区期末）计算：（1﹣）÷．【解答】解：原式＝（﹣）×＝×＝．【变式3-4】（秋•汉阳区校级月考）计算：（1）•；（2）÷．【解答】解：（1）原式＝•＝﹣；（2）原式＝•＝＝．【考点2 负指数整数幂】【典例4】（2023春•元宝区校级期末）计算（）﹣2的结果是（）A．﹣9B．9C．D．﹣答案:B【解答】解：．故选：B．【变式4】（2023•蒲城县一模）计算：（﹣3）﹣2＝（）A．9B．C．D．﹣9答案:B【解答】解：，故选：B．【典例5】（2023•南陵县自主招生）计算．【解答】解：＝（﹣3）2+4×1﹣8+1＝9+4﹣8+1＝6．【变式5-1】（2023春•兰州期末）计算：（）﹣1﹣（﹣3﹣3.14）0+（﹣）﹣2．【解答】解：原式＝2022﹣1+4＝2025．【变式5-2】（2023秋•开远市期末）计算：﹣（）2×9﹣2×（﹣）÷+4×（﹣0.5）2【解答】解：＝×××+4×＝+1＝1【变式5-3】（顺义区期末）计算：（﹣1）﹣2018+（）2﹣（π﹣4）0﹣3﹣2；【解答】解：原式＝1+﹣1﹣＝．【变式5-4】（2023•高淳区二模）计算：．【解答】解：原式＝﹣8÷4+4﹣2+1＝﹣2+4﹣2+1＝1．【考点3 科学计数法】【典例6】（2023•汉阳区校级自主招生）雾霾天气影响着我国北方中东部地区，给人们的健康带来严重的危害．为了让人们对雾霾有所了解．摄影师张超通过显微镜，将空气中细小的霾颗粒放大1000倍，发现这些霾颗粒平均直径为10微米〜20微米，其中20微米（1米＝1000000微米）用科学记数法可表示为（）A．2×105米B．0.2×10﹣4米C．2×10﹣5米D．2×10﹣4米答案:C【解答】解：20微米＝20÷1 000 000米＝0.00002米＝2×10﹣5米，故选：C．【变式6-1】（2023•海曙区校级模拟）我国北斗公司在2020年发布了一款代表国内卫星导航系统最高水平的芯片，该芯片的制造工艺达到了0.000000022米．用科学记数法表示0.000000022为（）A．22×10﹣10B．2.2×10﹣10C．2.2×10﹣9D．2.2×10﹣8答案:D【解答】解：0.000000022＝2.2×10﹣8．故选：D．【变式6-2】（2023•烟台一模）碳纳米管的硬度与金刚石相当，却拥有良好的柔韧性，可以拉伸，我国某物理所研究组已研制出直径为0.5纳米的碳纳米管，1纳米＝0.000000001米，则0.5纳米用科学记数法表示为（）A．0.5×10﹣9米B．5×10﹣8米C．5×10﹣9米D．5×10﹣10米答案:D【解答】解：0.5纳米＝0.5×0.000 000 001米＝0.000 000 000 5米＝5×10﹣10米．故选：D．【变式6-3】（2023•龙岗区模拟）新冠病毒（2023﹣nCoV）是一种新的Sarbecovirus亚属的β冠状病毒，它是一类具有囊膜的正链单股RNA病毒，其遗传物质是所有RNA病毒中最大的，也是自然界广泛存在的一大类病毒．其粒子形状并不规则，直径约60﹣220nm，平均直径为100nm（纳米）．1米＝109纳米，100nm可以表示为（）米．A．0.1×10﹣6B．10×10﹣8C．1×10﹣7D．1×1011答案:C【解答】解：100nm＝100×10﹣9m＝1×10﹣7m．故选：C．。
北师大版八年级数学下册5.2分式的乘除法课件(共20张)
2 分式的乘除法
锦囊妙计 分式化简求值题的方法归纳
( 1 ) 条件求值 , 先化简 , 再直接将字母的值代入求值； ( 2 ) 换元求值 , 将原条件通过转换 , 用其中一个字母表示另外一个 字母 , 然后代入式子中 , 从而消去其中一个字母 , 最后进行化 简求值； ( 3 ) 整体代换求值 .
2 分式的乘除法
倍数关系为
2 分式的乘除法
解 根据题意 , 得一个人的工作效率是
一台插秧
机的工作效率是
则
所以一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的
倍.
2 分式的乘除法
锦囊妙计
分式乘除运算的实际应用 根据题意表示出各个量是解题的关键 . 工程问题常用到的
关系式是工作效率 =
工作总量 工作时间.
谢 谢 观 看！
2 分式的乘除法
题型二 分式的化简求值问题
例题2 ( 1 ) 先化简 , 再求值：
其中 x = ；
( 2 ) 先化简 , 然后选择一个你喜欢的数给 a 赋值 , 求分式的值：Fra bibliotek 2 分式的乘除法
2 分式的乘除法
2 分式的乘除法
取 a = 1 , 把 a = 1 代入化简后的式子 , 得原式 = = - 5 ( 代入 求值不唯一 , a ≠ 0 , - 1 , ± 2 即可 ) .
( 3 ) 如果除式是整式 , 那么可以把它看作分母是 1 的式子 .
2 分式的乘除法
题型四 分式乘除运算的实际应用
例题4 在一块面积为 a 公顷的稻田上插秧 ,如果 10 个人插秧 , 要用 m 天完成；如果一台插秧机工作 , 要比 10 个人插秧提前 3 天完成 . 那么一台插秧机的工作效率是一个人工作效率的多 少倍？
5.2分式的乘除法(基础教学)
❖ 两个分式相除,把除 式的分子分母颠倒位 置后,再与被除式相 乘.
a d ad 苍松优选
a d a c ac 6
b c bc b c b d bd
例1、计算：
⑴
4x 3y
y 2x3
⑵ ab2 3a2b2 2c2 4cd
注意：按照法则 进行分式乘除运算，如果运算
结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果 化成最简分式。
2a2b2 a2 b2
。
苍松优选
13
计算：
（1）
a a
2 2
a2
1
2a
;
（2）
2a a2
a2
1
2a
;
（3）x 3 x2 3x； x3 4
（4）
x x2 1
x2 x2
x
;
（5）x2 4 y2 xy ; 3xy2 x 2 y
（6）
x x
2 3
x2 x2
9 4
；
（7）a
2 ab a2b
苍松优选
7
①
3a 4b
16b 9a 2
② 12xy 8x2 y 5a
③ 3xy 2y2 3x
苍松优选
8
例题2 计算
1
a2 4 8a2b
12ab 3a 6
;
(2)
a2
a 1 4a
4
a2 a2
1 4
Hale Waihona Puke 将除法转化为 乘法,再按乘法
去做.
当分子或分母是多项式时,怎么办？
能分解因式的要进苍行松优选分解因式.
（4） 5 2＝ 5 9 ＝ 5 9
7a 9 d 7 2 7 2
八下 5.2 分式乘除法
x3 x2 2x
x2
x3
(x 3)(x 3) x( x 2)
先分解因式
（x 2) ( x 3) ( x 3)( x 3) x( x 2)
再利用分式乘法
1
x( x 3)
约分化为最简分式
规律小结
分式乘以分式，分子分母是多项式时，先把 多项式 分解因式 ，再利用乘法法则计算，结果 为 最简分式或整式 .
解： a2
a 1 4a
4
a2 a2
1 4
a 1
a2 4
a2 4a 4 a2 1
除法变乘法
(a 1) (a 2)(a 2) (a 2)2 (a 1)(a 1)
再利用分式乘法计算
a2
.
(a 2)(a 1)
结果为最简分式
新知运用
２、计算
(1)3xy2 6 y2 x
解
原式
3xy
2
x 6y
2
3xy2 6y2
x
1 x2 2
a 1
a2 1
(2) a2 4a 4 a2 4
解 原式
a 1 a2 4
a2 4a 4 a2 1
(a 1)(a2 4) (a2 4a 4)(a2 1)
(a 1)(a 2)(a 2) (a 2)2 (a 1)(a 1)
a2 (a 2)(a 1)
【分数的乘除法法则 】
两个分数相乘, 把分 子相乘的积作为积的分子, 把分母相乘的积作为积的 分母;
两个分数相除, 把除 式的分子分母颠倒位置后, 再与被除式相乘.
北师大版八年级数学下册5.2《分式的乘除法》知识点精讲
知识点总结1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2，(x-y)3=-(y-x)3.5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然，简单的分式之分子分母可直接乘方.6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.分式乘除的解题步骤分式乘法：（1）先确定积的符号：数出整个参与运算的式子中负号的个数，如果有偶数个负号，积为正；如果有奇数个负号，积为负；（2）计算分子与分子的积；（3）计算分母与分母的积；（4）把积中的分子，分母进行约分，化成最简分式或整式。
在解题时，这些步骤是连贯的。
分式除法要注意两个变化：一是运算符号的变化，由原来的除法运算变成乘法运算；二是除式的分子、分母位置的变化，由原来的分子变成乘法中的分母，原来的分母变成乘法中的分子。
同学们也可以这样来理解这条法则：两个分式相除，用被除式的分子乘以除式的分母，作为商的分子，用被除式的分母乘以除式的分子，作为商的分母。
这样，就和分式的乘法法则在表述形式上相近了，就好记忆些。
基本步骤：（1）先确定积的符号：数出整个参与运算的式子中负号的个数，如果有偶数个负号，积为正；如果有奇数个负号，积为负；（2）计算被除式的分子与除式的分母的积，作为商的分子；（3）计算被除式的分母与除式的分子的积，，作为商的分母；（4）把商中的分子，分母进行约分，化成最简分式或整式。
此法，有点十字相乘的思想。
就像比例的计算，内项之积为分子，外项之积为分母。
§5.2(1) 分式的乘除法
(4) 5 2 5 9 5 9 45 . 7 9 7 2 7 2 14
下午4时14分
2
分数的乘除法法则:
两个分数相乘,把分子相乘的积作为积 的分子,把分母相乘的积作为积的分母;
两个分数相除,把除数的分子分母颠倒 位置后,再与被除数相乘.
下午4时14分
3
bd ac
1 x2 2
下午4时14分
10
2
a2
a1 4a
4
a2 a2
1 4
.
将除法转化 为乘法,再
解 : 原式
a 1 a2 4 a2 4a 4 a2 1
按乘法去做.
（a（2 -a4a1） 4（）a（2 -a42）1）
(a 1)(a 2)(a 2) (a 2)2 (a 1)(a 1)
a2
(a 2)(a 1)
a2 a2 a 2
下午4时14分
11
1、计算
(1)
a b b a2
解：(1)原式=
ab b a2
1. a
下午4时14分
12
2 .
a2 a
a
a
1
;3
.
x2 y
1
x1 y2
.
解:(2)原式=
解(3)原式
5
0.4x 3 y
(4)
10 1 x 0.4 y
3
下午4时14分
20
2a)
是运用分 式的运算 法则和分
式的基本
a 21 a 2aa 2
性质,进 行约分化
简,
1 a2 2a
5.2 分式的乘除法1(共12张PPT)
ab ab
,
(3)
a 2b c
c2 a2
bc , a
两个分式相除，把除式的分子和 分母颠倒位置后再与被除式相乘.简 称‘除’变‘乘’。
然后，按分式乘法进行计算。
结果通常要化成最简分式或整式.
随堂练习
3.计算:
自我发展的平台
1
.
a b
b a2
;
2
.
a2 a
a
a
;
1
3
.
x2 y
1
x1 y2
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积 的分子，把分母相乘的积作为积的分母；
两个分式相除，把除式的分子和分母颠 倒位置后再与被除式相乘.
两个分式相乘，分子分母 能因式分解的要先进行因式分 解，再约去公因式，之后分子 相乘作分子，分母相乘作分母。
结果通常要化成最简分式 或整式.
自我检测 一
(1)
a b
2、分式乘除的结果要化为最简分式 或整式.
堂清题
计算
9a 8b2 (1) 4b 6a2
x 3 x2 3x (2)
x3 4 (3)4mn2 8n2
m
x2 6x 9 x 3 (4) x 2 x2 4
北师大版 八年级 下册
学习目标
1、记住分式乘除法的计算 法则。 2、能熟练运用分式乘除法 的法则进行有关计算。
自学指导一
看课本114—115页例2以 上内容，思考。 1、分式乘除法法则与分数乘 除法法则只有哪个字不同？ 2、计算时每步进行的是什么 运算？
3分钟 （2分钟自主学习，1分钟讨论）
与分数乘除法的法则类似， 分式乘除法的法则是：
.
解
:
1