第二章 导数与微分
第2章导数与微分总结
1、极限的实质是：动而不达导数的实质是：一个有规律商的极限。
规律就是:2、导数的多种变式定义：lim 丄一x)f°)是描述趋近任意 x 时的斜率。
而x 03、I若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率， 如果趋近到了 x0,得到的就是这点的斜率一一导数。
4、可导与连续的关系:1基础总结lim -= limx 0 x x 0 f(x X)f(x)xlim x x o f(x )f (x o )X o叫 号严可以刻画趋近具体x0时的斜率。
lim o要注意细心观察发现,导数的实质是定义在某点的左右极限。
既然定义在了某点上，该点自然存在，而 且还得等于左右极限。
因此，可导一定是连续的。
反之，如果连续，不一定可导。
不多说。
同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定 极限有可能存在，但是导数绝不会存在。
同理要注意左右导数的问题。
如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存 在的。
如：f(x) x,x 0这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。
为什么嫩？看定义:万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该 点必须存在! 由此引发了一些容易误判的血案: 例如:A 旦主^謎IC m F 左电鼓 pg 总生戟乞f ( x) f (x)-中的f(x))至u 底是神马。
比如求上图limf(x x) f(x)x 0xlimf(X X)f(0)。
x 0定义里面需要用到f(0)啊！因此，千中 iimf (x)论) x 1x x 0,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1 ！定义解决时候一定要注意问。
X X o由此也可以知道，f (x)2x 3, x 1这个函数是不存在导数的，也不存在左导数,3只存在右导数。
5、反函数的导数与原函数的关系:注意，求反函数时候不要换元。
因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变, 与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算 果显然是错误的。
高等数学 第二章 导数与微分
（2）算比值： y f (x x) f (x) ．
x
x
（3）求极限： f (x) lim y lim f (x x) f (x) ．
x x0
x0
x
四、函数可导性与连续性的关系
定理 如果函数 y f (x) 在点 x0 处可导，则函数 y f (x) 在点 x0 处一定连续． 如果函数 f (x) 在点 x0 处连续，则函数 f (x) 在点 x0 处不一定可导．
第二章
导数与微分
导学
我们在解决实际问题时，除了需要确定变量之间的函数关系外，有时 还需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度，即函数的变化率，以及当 自变量发生微小变化时函数的近似改变量，这两个问题就是我们本章所要 讨论的主要内容——导数与微分．
第一节
导数的概念
一、导数的定义
设某物体在数轴上做变速直线运动，运动方程为 s s(t) ，现在求该物体在 t0 时刻的瞬时速度 v(t0 ) ．
当
u
C （C
为常数）时，有
C v
Cv v2
．
二、反函数的求导法则
定理 2 如果函数 x f ( y) 在区间 I y 内单调、可导且 f ( y) 0 ，那么它的反函数 y f 1(x) 在
区间 Ix {x | x f ( y) ，y I y} 内也可导，且有
[ f 1(x)] 1 或 dy 1 ．
当时间 t 由 t0 变到 t0 t 时，物体的路程 s(t) 由 s(t0 ) 变到 s(t0 t) ，
路程的增量 s 为 s s(t0 +t) s(t0 ) ，
物体在
t0
到 t0
t
这段时间内的平均速度为
v
s t
高中物理课件-高数第二章-导数与微分--课件
例2．已知 f x0 存在，求
lim f x0 ah f x0 bh
h0
h
3、导数的意义
函数 y f x在点x0 处的导数f x0
是因变量 y在点x0处的变化率,它反
映了 在点x0 处因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。
（二）导函数
1、定义：如果函数 y f x 在开区间
四、基本求导法则与导数公式
(一)常数和基本初等函数的导数公式
1. C 0
2. x x1
3. sin x cos x
4. cos x sin x
5. ta n x sec2 x 6. cot x csc2 x
7. sec x sec x tan x 8. csc x csc x cot x
则
k0
lim xx0
f
x f x0 就是曲线C
x x0
在 M0 x0, y0 点处切线的斜率。
二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数
1、定义：设函数 y f x在点x0的某个
邻域内有定义,当自变量 x在x0 处取得
增量 x（点 x0
时 , 相应地函数
x 仍在该邻域内）
y 取得增量
chx shx
thx
1 ch2
x
arshx 1 archx 1
1 x2
x2 1
arthx
1
1 x2
例18．求
y cos x2 sin 1 arctan thx x
的导数。
例19．
y sin nxsinn xn为常数，求y
§2-3 高阶导数
（一）二阶导数
1、定义：把 y f x 的导数叫做函数
x xx0 x0
《高数数学(上)》-导数与微分
解 （1）根据导数定义并运用极限的运算法则
u(x)v(x) lim u(x x)v(x x) u(x)v(x)
x0
x
u(x x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x x) u(x)v(x)
定理2.1
函数f (x)在x0 处可导的充要条件是左、右导数都存在
且相等.
7
一、 导数的定义
例 1 若函数f (x)在x=0 处连续，且 lim f (x) 存在， x0 x
证明f (x)在x=0 处可导.
证法一
设 lim f (x) A(A为常数)，则 x0 x
lim f (x) lim x f (x) 0 A 0，
证 若函数y f (x)在x0 处可导，由导数的定义可得
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
f (x0 )，所以利用函数极限与无穷小之间的
关系可得
f (x) f (x0 ) x x0
f
( x0
)
，lim x x0
0，即
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 ) (x x0 )
x
所以k 1 时，f (x) 在 x 0 处可导. 2
12
本讲内容
01 导数的定义 02 导数的几何意义 03 可导与连续的关系
二、 导数的几何意义
几何意义
若函数 f (x)在x x0 处可导，f (x0 ) 是曲线 y f (x) 在点 (x0 , f (x0 )) 处切线的斜率.
x0
第二章 导数与微分
由此可见,当|Δx|很小时,(Δx)^2的作用非常小,可以忽略不计 因此,函数y=x^2在x0有微小改变量Δx时,函数的改变量Δy约为 2x0·Δx, Δy≈2x0·Δx.
从图2-3中不难看出,Δy表示的是以x0为边长的正方形外围 的阴影部分面积,它为图示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分面积之和 2(x0·Δx)+(Δx)2，显然当|Δx|相对于x0很小时，(Δx)^2是微乎其 微的. 当f(x)=x2时，f′(x0)=2x0，因此Δy≈2x0·Δx可以写成 Δy≈f′(x0)·Δx. 由于f′(x0)·Δx是Δx的线性函数，所以通常把 f′(x0)·Δx叫做Δy的线性主部.
一般地，对于给定的可导函数y=f(x)，当自变量在x0处有 微小的改变量Δx时，函数值y的改变量Δy可用下式近似计算， 即
已知曲线方程y=f(x)，可以求过曲线上点M(x0，y0)处的 切线斜率.在M点的附近取点N(x0+Δx，y0+Δy)，其中Δx可正 可负，作割线MN，其斜率为(φ为倾斜角) tanφ=Δy/Δx=[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.当Δx→0时，割线MN将绕着 点M转动到极限位置MT,如图2-2所示.根据上面切线的定义， 直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然，割线MN的斜 率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα(α是切线MT的倾斜角).
以上两个问题，虽然它们所代表的具体内容不同，但从 数量上看，它们有共同的本质：都是计算当自变量的增量趋 于零时，函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学 、工程技术问题和经济管理中，还有许多非均匀变化的问题 ，也都可归结为这种形式的极限.因此，抽去这些问题的不同 的实际意义，只考虑它们的共同性质，就可得出函数的导数 定义.
高等数学-第2章 导数与微分§2.1 导数的概念
第2章 导数与微分本章简介：（2′）微积分可以分为两部分：微分学和积分学。
微分学研究导数、微分及其应用，积分学研究不定积分、定积分及其应用，微分学是积分学的基础。
本章及第3章介绍微分学部分的内容，第4章及第5章介绍积分学部分的内容。
§2.1 导数的概念新课引入：（3′）中学里学过的速度、加速度表述的是在单位时间物体运动所走过的路程及速度变化的快慢程度，其实都是研究函数（运动函数、速度函数）相对于自变量（时间）变化的快慢程度，即研究函数的变化率问题，本节将用上一章学过的极限为工具来研究变化率问题，从实际例子出发介绍导数的概念及其计算方法。
一、变化率问题举例（15′） 1．平面曲线的切线斜率设曲线C 的方程为()y f x =，求曲线C 在点M 处切线的斜率. 为此，需先明确曲线的切线的含义。
如图 2.1，设N 是曲线C 上与点M 邻近的一点，连结点M 和N 的直线M N 称为曲线C 的割线，如果当点N 沿着曲线C 趋近于点M 时，割线M N 绕着点M 转动而趋近于极限位置M T ，则称直线M T 为曲线C 在点M 处的切线。
这里极限位置的含义是：只要弦长||M N 趋近于零，N M T ∠也趋近于零。
斜率表示直线上点的纵坐标相对于横坐标变化的快慢程度，切线M T 的斜率不易直接图2.2图2.1求得，先求割线M N 的斜率。
如图 2.2，设点M 、N 的坐标分别为00(,)x y 、00(,)x x y y +∆+∆，割线M N 的倾角为ϕ，切线M T 的倾角为α，则割线M N 的斜率为00()()tan f x x f x y xxϕ+∆-∆==∆∆。
显然，x ∆越小，即点N 沿曲线C 越趋近于点M ，割线M N 的斜率越趋近于切线M T 的斜率。
当点N 沿曲线C 无限趋近于点M ，即0x ∆→时，若割线M N 的斜率的极限存在，则此极限值就是曲线C 在点M 处切线的斜率，即()()000tan lim tan limlimx x x f x x f x y xxαϕ∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆。
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。
对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。
通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。
与物理学中定义米/秒是一个性质的。
把函数f(x)的导数看做是关于x的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。
（以上的“x0”中的“0”都是x 的下标，下同。
）导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。
2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。
只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。
举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。
如图所示。
绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。
3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。
比如说求y=x²在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。
求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。
下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x²的导数的过程。
4.函数的可导性与连续性的关系。
我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处必连续。
但反过来就不一定了。
归纳为一句话：连续不一定可导，可导一定连续。
y=|x|就是一个例子。
该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导（因为左右极限不一样）。
第二章__导数与微分
t
t
瞬时速度
v(t0
)
lim
t0
s t
lim
t0
s(t0
t) t
s(t0
)
2
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
3
y
割线M0M的斜率为
tanφ y f (x0 x) f (x0 )
x
x
切线M0T的斜率为
o
k tanα lim y x0 x
lim f (x0 x) f (x0 )
(0
h)] h
ln(1
0)
1,
f (0) 1.
f
(x)
1
1, 1
x
,
x0 x0.
27
二、反函数的导数
定理 如果函数x φ(y)在某区间Iy内单调、可导 且φ(y) 0 , 那末它的反函数 y f (x)在对应区间Ix 内也可导 , 且有
f (x) 1 φ (x)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
(
x )
1
x
1 2
1
2
1 2x
.
(x1 )
(1)x11
1 x2
.
17
例8 求函数 f (x) ax(a 0,a 1)的导数. 解 (ax ) lim axh ax
h0 h ax lim ah 1
h0 h ax lna.
即 (ax ) ax lna. (ex ) ex .
18
例9 求函数 y loga x(a 0,a 1)的导数.
即 (sinx) cos x.
16
例7 求函数 y xn(n为正整数)的导数.
解 (xn ) lim (x h)n xn
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显然,从时刻t0到时刻t0 t所经过的路程s 1 g (t2 t )2 2 1 gt 2 gt t 1 g t 2则在时间间隔[t ,t +t ] 内的平均速度为为 0 0 0 0 2 2 v s gt0 + 1 g t t 2
t越小,这个平均速度就越接近于时刻t0的瞬时速度v0自然 . 令t 0取极限,于量得到v0 lim s gt0 t 0 t
例4 求函数f ( x) loga x的导数.
解 f '( x) lim f ( x x) f ( x) lim loga ( x x) loga x x0 x0 x x log a 1 x x lim 1 log (1 x) xx 1 log e 1 lim a a x0 x0 x x x x x ln a
即 就是说常数的导数为零.这一结果实际意义是显然的,常函 数的变化率为零;几何意义也是显然的,因为f ( x)c为一个水平 直线,它上面每一点切线都是这条直线本身,斜率是零.
例2 求函数f (x) xn(n为正整数)在x a处的导数.
解 n n '(a) lim f (x) f (a) lim xx a lim( xn1 axn2 an1) nan1. f x a a xa xa xa n项
' 即 (a x )=a x ln a 这就是指数函数的导数公式特别地,若a e时,有 . ' (ex )=ex
四、导数的几何意义
由前面切线问题的讨论及导数的定义可知,函数y f ( x)在 点x0处的导数f '( x0 )在几何上表示为曲线y f ( x)在点M 0 ( x0, y0 ) 处切线的斜率即f '( x0 ) tan
函数y f ( x)在开区间I内每一点处都可导,就称函数f ( x)在开 区间I内可导这时对于任一xI ,都对应着f ( x)的一个确定的导数 值,当x遍取I内一切值时,这样就构成一个新函数,这个函数叫 作原来函数y f ( x)的导函数,简称导数.记作
y', f '(x), dy 或 df (x) dx dx 按照导数的定义,有 f '(x) lim f (x x) f (x ) x0 x
例7 问曲线y x 上哪一点处的切线,(1)与直线y 3x 1平行? (2)与x轴平行?
3 2
解 ' 3 x1 2 因为y 2 (1)令y' 3,得x 4, y 8所以过点(4,8)处的切线与直线y 3x 1平行;
(2)令y' 0,得x 0, y 0.所以过(0,0)点的切线与x轴平行,这里 的切线就是x轴.
上面两个例子分别属于不同领域,一为运动问题， 一为几何问题,但都要求计算函数值的改变量与自变 量的改变量之比, 在当后者无限趋于零时的极限.此外, 很多理论或实际问题,也要求计算这种类型的极限,这 些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性,便 得出函数导数的概念.
二、导数的定义
定义 设函数y f ( x)在点x0的某一邻域内有定义,当自变量 x在点x0处取得增量x(x 0)时,相应的函数y取得增量y f ( x0 x) f ( x0),若极限lim y lim f ( x0 x) f ( x0) 存在,则称函数 x0 x x0 x y f ( x)在点x0处可导,并称这个极限值为函数y f ( x)在点x0处的 导数记作
显然,函数f ( x)在点x0处的导数f '( x0)就是导函数f '( x)在点x x0处 的函数值,即f '( x0 ) f '( x)|xx0 .
三、求导举例
例1 求函数f(x) c(c为常数)的导数.
解 f ' (x) lim f (x x) f (x ) lim cc lim0 0 x0 x0 x x0 x
把以上结果中的a换成x,得f '( x) nxn1. 即( xn )' nxn1,更一般地,对于幂函数y x ,(为常数),有 (x )' x 1
' 3 1 x 2 ; 1 1 等 如( x2 )' 2 x;( x )' x x2 2 特别地,若 1 则( x)' 1 即自变量x的 , , 导数为 是一非常重要的结论. 1
五、函数的可导性与连续性的关系
设函数y f ( x)在点x处可导,即lim y f '( x)存在由具有极限的 , x0 x 函数与无穷小量的关系可知 x f '( x) 式中,lim 0.所以y f '( x)x x. x0 y
当x 0时,有y 0.这就是说,函数y f ( x)在点x处是连续的. 所以,如果函数y f (x)在点x处可导,则函数在该点必连续.
kM T lim kM M ' lim y lim f ( x0 x) f (x0) x0 x x0 0 M ' M x 0 0 式中,kM T tan ;是切线M 0T的倾斜角(见图2-1)
0
y
M '
M0
T
y
x
O
x0
x0 x
x
图2-1 切线问题
在M 0点附近任取一点M '( x0 x, y0 y),作割线M 0M ',其 斜率kM M ' tan y ,当M '沿曲线C接近M 0点时,割线就接近 x 0 切线,从而割线的斜率就接近切线的斜率.换句话说,x越小, 其接近程度就愈高,于是自然定义M 0点的切线为割线M 0M ' 的极限位置,所以有
y' |x x0 , f '( x0 ), dy dx ,或 df ( x) dx x x x x0
即f '( x0 ) lim f ( x0 x) f ( x0 ) x0 x
0
若极限 lim f ( x0 x) f ( x0 ) 存在,则称该极限值叫作函数y f ( x) x0 x ' 在点x0处的左导数,记作f '( x0 0)或f ( x0 ),若极限 lim f ( x0 x) f ( x0 ) x0 x ' 存在,该极限值叫作函数在点x0处的右导数,记作f '( x0 0)或f ( x0 ),两 者统称单侧导数于时,可导的充要条件是左右导数存在且相等.
x, x,
故在x处,左右导数不相等,所 以函数在x 0处不可导该函 . 数的图形在原点处无切线.
O
x
图2 4 例8示意图
思考题
1.连续是可导的什么条件 ?
2.请思考f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义 ?
答案
答案 答案
3.等式 f x0 f x0 成立吗?
1 2
例3 求函数f (x) sin x的导数.
解
h sin h cos x 2 2 cos x. f (x h) f (x ) lim sin(x h) sin x lim f '( x ) lim h0 h0 h0 h h h 2 ' 即 (sinx) cos x 用类同的方法可求得 ' (cosx) sin x
即 ' (loga x) 1 x ln a
特别地,若a e有
' ( ln x) 1 x
例5 求函数f ( x) a x的导数.
解
x x x x '( x) lim f ( x x) f ( x) lim a a lim a x a 1. f x0 x0 x0 x x x 令ax 1 t, x loga (1 t ),当x 0时,t 0. t 1 所以f '( x) lim a x lim a x a x 1 a x ln a 1 t 0 loga (1 t) t0 loga (1 t)t loga e
x0 在(,)和处处连续(见图2-4),但 x0 这个函数在x 0处不可导,事实上,因为 y lim f ( x) f (0) lim x lim x lim1 1 x0 x0 x x0 x x0 x 0 x lim f ( x) f (0) lim x lim x lim11 x0 x x0 x0 x0 x 0 y | x | 例8 函数y x
y
y f ( x)
M0
T
O
x
x
0
图2-2 导数几何意义
1 在点 1 ,2 处的切线方程和法线方程. 例6 求双曲线y x 2
解 因为y' 12 ,所以y' x
4,即为过点 1 ,2 处切线的斜率. x1 2 2
所求切线方程为y 2 4 x 1 ,即4x y 4 0 2 1 x 1 ,即2x 8 y 15 0 所求法线方程为y 2 4 2
导数的定义也可以取不同的形式,常见的有
) f f '( x0 ) lim f ( x0 h) f ( x0 ) 和f '( x0 ) lim f ( xx x ( x0 ) h0 0 xx0 h
比值 y f ( x0 x) f ( x0)反映的是自变量x从x0改变到x0 x时, x x 函数y f ( x)的平均变化速度,称为函数的平均变化率;而导数 f '( x0 ) lim f ( x0 x) f ( x0)反映的是函数在点x0处的变化速度, x0 x 即函数在点x0处的变化率.
第二章 导数与微分