非寿险精算教学中损失模型的拟合方法阐述
非寿险损失分布建模的一般性方法一
非寿险损失分布建模的一般性方法（一）赵智红李兴绪2012-9-27 10:55:52 来源：《统计与决策》(武汉)2009年3期第4～7页内容提要：在非寿险精算中，损失分布的建模是保费厘定等其它一系列工作的基础。
文章利用平均超出函数、极大似然估计等方法系统地分析了损失分布的模型识别、参数估计和模型拟和检验的技术方法，并给出了一个实例。
这对于在有大量损失数据情况下，利用计算机技术解决非寿险损失分布模型拟和问题是在非常有益的。
关键词：经验分布函数平均超出函数极大似然估计法卡方检验作者简介：赵智红，李兴绪，云南财经大学数学与统计学院（昆明650224）在非寿险业务中，对损失数据所服从的分布的精确估计是一个十分重要的问题。
由于非寿险损失的复杂性，必须根据近期损失数据，研究不断发展变化的损失分布，进而达到研究保费计价的问题。
近年来，由于非寿险在社会经济中的作用越来越重要，有关的非寿险模型的教科书也很多，但是，在教科书中所列举的例子一般都是设计出来的特殊情况，并且数据量很小，并不涉及利用计算机系统进行计算的问题，所以很难看到有结合实际损失数据系统分析研究并加以解决的可行性完整方法过程。
为弥补方法的系统性和可行性不足，本文拟通过实例系统的介绍有大量数据下的损失分布建模问题。
一、工具函数设X是所考虑的损失分布的随机变量，密度函数为f(x)，分布函数为F(x)。
定义1如果有来自某总体的数据：。
n充分地大，则该总体的分布函数F(x)可以由下面的函数近似。
在一定条件下，还可以给出这种收敛的收敛速度。
这种经验分布的优点就是简单，易于理解。
但也有明显的缺点：第一，它所给出的分布函数缺乏光滑性；第二，若有截断或者删失造成数据不完全，这种方法只能给出某种条件分布函数，而不是原来要寻找的分布函数。
定义2对于任意的实地损失额X，可以定义它的平均超出函数(mean excess loss)如下：e(x)=E(X-d|X＞d)它表示免赔额d所导致的平均超出赔付额。
保险业中的保险精算模型与方法
保险业中的保险精算模型与方法保险精算是保险业中至关重要的一环，它通过运用各种数学和统计模型来评估和管理保险风险。
本文将探讨保险业中常用的保险精算模型与方法，以及其在保险业务中的应用。
一、费率制定模型费率制定是保险精算中的核心工作之一，它涉及到确定保险产品的价格。
常见的费率制定模型包括经验模型、频率-严重度模型和基于风险的定价模型。
1.1 经验模型经验模型是基于历史数据和经验法则来进行费率制定的一种方法。
它通过分析过去的赔付数据和理赔率来预测未来的赔付风险，并根据预测结果来确定产品的价格。
经验模型的优点是简单易用，但它没有考虑到风险的个体差异和潜在的未来变化。
1.2 频率-严重度模型频率-严重度模型是一种常用的费率制定模型，它将损失事件的频率和严重度分别建模，然后通过将两者相乘来计算总体损失。
这种模型可以更好地考虑到风险的个体差异和未来的变化，但需要更多的数据和更复杂的计算方法。
1.3 基于风险的定价模型基于风险的定价模型是一种较新的费率制定方法，它通过考虑被保险人的个体特征和风险因素来确定保险费率。
这种模型利用大量的统计数据和机器学习算法，可以更准确地评估风险和定价。
二、准备金估计模型准备金是保险公司为承担未决赔款而做出的经济准备。
在保险精算中，准备金的估计是一项关键任务，它涉及到对未来赔付的预测和风险的评估。
常见的准备金估计模型包括链线法、损失开发法和贝叶斯法。
2.1 链线法链线法是一种常用的准备金估计方法，它基于历史数据和统计模型来预测未来的赔付，并根据预测结果来确定准备金水平。
链线法的优点是简单易懂，但它没有考虑到未来的变化和不确定性。
2.2 损失开发法损失开发法是一种较为复杂的准备金估计方法，它通过分析历史损失的发展模式来预测未来损失的发展趋势。
这种方法能够更好地考虑到未来的变化和不确定性，但需要更多的数据和更复杂的计算。
2.3 贝叶斯法贝叶斯法是一种基于贝叶斯统计理论的准备金估计方法，它通过将先验信息和后验信息相结合来进行准备金估计。
精算师非寿险精算数学
非寿险精算数学(05)考试大纲考试时间：3小时
考试形式：书面、闭卷
试题类型：客观判断题
考试内容和要求：
一．损失分布（15%）
1．基础风险资本（RBC）
2．损失分布的数字特征
3．损失额分布
4．损失次数分布
二．总损失的数学模型（10%）1．独立随机变量和的分布
2．总损失额的分布（个别风险模型）3．总损失额的分布（聚合风险模型）三．损失分布的统计推断（15%）1．损失分布的拟合和拟合优度检验2．贝叶斯方法
3．信度理论基础
四．损失分布的随机模拟（15%）1．损失额的随机模拟
2．损失次数的随机模拟
3．总损失额的随机模拟
4．随机模拟的次数和精度
五．相关分析和回归分析（10%）1．相关分析
2．线性回归分析
3．非线性回归分析
六．时间序列分析（15%）
1．时间序列及其指标分析
2．时间序列的外推模型
3．随机型时间序列分析
七．效用理论（10%）
1．效用期望决策
2．非寿险定价
八．随机过程（10%）1．泊松过程
2．马尔可夫链
3．破产概率
4．无赔款优待折扣（NCD）。
非寿险损失分布的精算模型研究
α－ １
α－ ２
（ αβ ）２，α＞ ２ α－ １
用矩估计法估计未知参数：
令ｘ"＝ αβ ， Ｓ２＝ αβ２ － （ αβ ）２，
α－ １
α－ ２ α－ １
$ )
++α # ＝ １＋
ｘ"
+ +
ｓ
+
Ｓ２ ＋ １ ｘ"２
+
$ +
可计算出： *
ｘ"２
+
++β # ＝
Ｓ２ ＋ １ ｘ"２
+ + + +
,
$ ｓ＋ｘ" Ｓ２ ＋１ ｘ"２
险管理干部学院学报 ２００１（ ４） ５６－ ５７
【 ６】陈 雪 东 风 险 非 同 质 性 保 单 组 合 赔 付 额 的 计 算 ［Ｊ］ 数 学
的实践与认识 ２００５（ ４） １６０－ １６４
（作者 单 位： 武 汉 科 技学 院）
２ ０ ０ ６ ．１ １ ．下半 月 ３６
% & ｆ（ｘ）＝
１
$２πσｘ
ｅｘｐ －
（Ｉｎｘ－ μ）２ ２σ２
，ｘ＞ ０
其均值和方差分别为：
Ｅ（ｘ）＝ ｅｘｐ（μ＋ １ σ２）， Ｖａｒ（ｘ）＝ ｅｐｓ（２μ＋ σ２）［ｅｘｐ（σ２）－ １］。 ２
用矩估计法估计未知参数：
令ｘ"＝ ｅｘｐ（μ＋ １ σ２）， ｓ２＝ ｅｐｓ（２μ＋ σ２）［ｅｘｐ（σ２）－ １］， ２
（ 五） 结 论
本文给出了损失分布的几个精算模型， 并且得出了相应的参数
估计表达式， 对损失分布的估计有一定的作用。但是由于非寿险的
非寿险精算CH1 非寿险与非寿险精算
可保风险：寿险和非寿险两大类。
(1) 寿险是以人的生命为标的，以生和死作为保险事件。
(2) 非寿险包括了除寿险以外的所有可保风险。 如：财产险、责任险、信用险和人身险中健康险和 意外伤害险。
二 保险精算学
保险精算学是一门运用数学、统计学和保险学的理论和方法，对 保险经营中的计算问题作定量分析，以保证保险经营的稳定性和安全 性的学科。它解决的问题，诸如人口死亡率（生存率）的测定、生命 表的编制、保险条款的设计、费率的厘定、准备金的计提、盈余的分 配、险种创新、投资等。 保险精算学包括寿险精算学和非寿险精算学。 保险精算学最早起源于寿险业务的保费计算，即寿险精算学。 在寿险精算历史上特别值得一提的人物是哈雷和道德森。进入20世 纪以后，非寿险领域的精算问题日益增多。到了20世纪70年代非寿 险精算学已发展成为一个独立的分支学科。
y>0
Y的分布 在X>d的条件下X－d 的条件分布。记Y的分布函数记为FY(y)，
当y＝0时，
当y>0时，
FY (0) 0
FY ( y) P(Y y) P( X d y | X d )
P( X d y, X d ) F ( y d ) F (d ) P( X d ) 1 F (d )
数的理论分布：泊松分布、二项分布和负二项分布。
3. 在一般条件下赔款总量的数学模型（个体和集体）、数字特征和矩 母函数；赔款总量的计算（卷积，正态近似和平移伽马近似，递推计算,
随机模拟）
条件分布、条件期望和条件方差
(1) EX = E [ E（X|Y）] ；
(2) VarX = E [ Var（X|Y）] + Var [ E（X|Y）] .
保险精算模型的构建及应用分析
保险精算模型的构建及应用分析保险精算是一项非常重要的业务，其目的主要是通过数学、统计和经济学等方法，根据历史数据和现有信息，对保险的风险进行准确的评估和预测，以实现保险公司的风险管理和优化保险产品的设计。
而为了更好地进行保险精算，保险精算模型的构建和应用分析也是至关重要的。
一、保险精算模型的构建1. 赔款模型赔款模型是保险精算模型中最基本的模型之一。
它主要用来研究保险产品的赔付情况，从而为保险公司的理财决策提供基础支持。
赔款模型可以分为基于频率的模型和基于强度的模型两种。
基于频率的模型是指针对保险产品中赔案的次数，进行统计和预测。
比如，可以通过历史数据和客户信息，来预测未来的赔付情况，并对赔付金额进行预测和优化；基于强度的模型则是指针对保险产品中赔款的比例和金额，进行统计和预测。
比如，可以通过历史赔案数据和保险产品的各项参数，来预测未来赔款的强度，并对其进行风险评估和控制。
2. 资本充足率模型资本充足率模型主要研究保险公司在面对各种风险情况下的财务状况。
通过历史赔案数据和经济环境数据等信息，预测不同时段内可能出现的风险，进而计算出保险公司需要的资本金额，以确保其在未来应对不同风险的能力和稳健性。
3. 风险预测模型风险预测模型是一种基于大数据和机器学习等技术的模型，用来研究保险公司面临的各种风险情况，并预测未来可能出现的风险，以辅助保险公司开发更具竞争力的保险产品。
除历史赔案数据和经济环境数据外，风险预测模型还可以利用保险公司与客户之间的沟通信息，以及保险产品销售渠道的各类交易数据等。
4. 健康保险模型健康保险模型是针对健康险领域的保险精算模型。
它主要研究保险公司在健康险领域中面临的风险情况，并通过历史赔案数据和各种医疗信息，预测未来可能出现的风险。
从而为保险公司制定更合理的医疗保险产品和服务，提供支持。
二、保险精算模型的应用分析1. 保险产品设计保险精算模型的建立使得保险公司在开发各类保险产品时能够更加准确地掌握客户需求和市场风向，并对风险进行较为准确的估计。
非寿险精算学教学课件(共11章)02损失分布
Full Screen Close Quit
2.1.1
.
Xi,i ≤ n
,
2
Xi ∼ N (µi, σi2), i ≤ n
M
n i=1
Xi
(t)
=
பைடு நூலகம்
n
MXi(t) =
n
etµi+
t2σi2 2
=
et
P n
. i=1
µi+
t2
n i=1
σi2
2
i=1
i=1
,
n
Gamma
,
MX (t)
∞ etxβαe−βxxα−1
=
dx
0
Γ(α)
∞ βαe−x(β−t)xα−1
=
dx
0
Γ(α)
βα
∞ (β − t)αe−x(β−t)xα−1
= (β − t)α 0
dx Γ(α)
=
(β
βα − t)α
=
(1
−
1 t)−α, β β
>
t.
2
Home Page Title Page
2.1.1
X ∼ N (µ, σ2).
MX (t)
=
eµt+
σ2 2
t2
.
2
Home Page Title Page
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Full Screen Close Quit
2.1.1
X ∼ N (µ, σ2).
MX (t)
=
eµt+
σ2 2
t2
精算师如何进行风险建模和模拟分析
精算师如何进行风险建模和模拟分析风险建模和模拟分析在精算领域中扮演着重要的角色，它们帮助精算师评估和管理保险公司、金融机构和其他相关领域中的各种风险。
本文将介绍精算师如何进行风险建模和模拟分析的方法和技巧。
一、风险建模风险建模是通过收集和分析各种信息，将潜在的风险转化为可量化的风险指标。
以下是精算师进行风险建模的步骤：1. 确定风险因素：精算师首先需要确定并列举可能对项目或组织产生负面影响的风险因素。
例如，在保险行业中，可能存在的风险因素包括天灾、人为破坏、投资市场波动等。
2. 收集数据：精算师需要收集和整理相关的数据，包括历史损失数据、风险因素的相关数据等。
这些数据将作为风险建模的基础。
3. 建立数学模型：精算师使用统计和数学工具，建立与风险因素之间的概率关系。
通常，常用的模型包括概率分布模型、回归模型等。
4. 进行敏感度分析：精算师可以对模型进行敏感度分析，以评估不同风险因素对最终结果的影响程度。
这有助于了解哪些风险因素对项目或组织来说是最重要的。
二、模拟分析模拟分析是通过使用统计模型，模拟大量可能的情景，评估风险的概率和影响程度。
以下是精算师进行模拟分析的步骤：1. 选择适当的模拟方法：精算师需要根据实际情况选择适合的模拟方法，如蒙特卡洛模拟、风险事件场景模拟等。
2. 设定参数和变量：精算师需要设定模拟所需的参数和变量，并为它们分配合适的概率分布。
3. 进行模拟运算：根据设定的参数和变量，精算师进行模拟运算，产生大量的随机样本。
这些样本代表了各种不同情景下的风险结果。
4. 分析结果：精算师对模拟结果进行分析，包括计算概率分布、风险价值等。
根据结果，精算师可以判断风险的可能性和程度，并制定相应的风险管理策略。
在实际应用中，风险建模和模拟分析通常是结合使用的。
精算师可以通过风险建模确定影响风险的关键因素，并使用模拟分析评估这些因素的潜在影响。
这有助于精算师制定准确的风险管理策略和保险产品定价策略。
非寿险费率厘定中的损失函数研究
非寿险费率厘定中的损失函数研究作者：张俊岭来源：《金融教学与研究》2012年第01期摘要：在全球保险费率市场化大背景下，随着保险费率监管的不断放松，各国实力雄厚的大保险公司迫于市场竞争的压力，纷纷开始制定适合本公司特点的费率系统。
保险公司理想的费率厘定模型是在不同类别保单持有人之间能够公平地分配保险风险损失，实现对投保人收取与之风险状况相一致的风险保费的最终目标。
由于不同的损失函数能够对保费厘定系统中的奖惩机制进行不同的调节，从而可以较好地实现投保人之间保费的公平分担问题。
因此，在费率厘定系统的构建过程中，损失函数的选择处于至关重要的一环。
关键词：保险；费率厘定；损失函数；最优解中图分类号：F840.4 文献标识码：Ａ文章编号：１００６－３５４４（２０12）０1－００79－04一般来说，二次损失函数在保费厘定过程中是作为标准的损失函数，但是这种损失函数由于自身的对称性，在保费奖惩机制中具有较大的弊端，表现为：对于风险状况良好的投保人给予较大的折扣力度，而对于风险状况较差的投保人却给予了很大的惩罚力度，这样可能会造成风险状况差的投保人所缴纳的保费用于补贴风险状况好的投保人，这是与保险公司向投保人收取与之风险相适应的基本保费原则相违背的。
而指数损失函数却能很好地解决这一奖惩不公平问题，主要表现为：能够降低给予风险状况良好的投保人的折扣力度，同时减少对于风险状况不佳的投保人的惩罚力度。
从而，较好地实现了投保人之间保费的公平分担问题。
下面来分别介绍二次损失函数与指数损失函数。
一、费率厘定中的损失函数（一）符号定义及假设1．随机变量序列X={X1，X2，…，Xn}，且假定Xi仅仅依赖于?专i，Xi存在有限的二阶矩；Xi|?专i是相互独立的。
二、不同损失函数假设下的最优解（一）二次损失函数假设下的后验保费最优解在二次损失函数下，假定结构参数?撰i服从两参数分布Gamma（?琢，?子），索赔次数模型的最优解为：精算解释为：在投保人的索赔历史记录既定时，指数损失函数的后验校正的力度弱于二次损失函数。
非寿险损失分布拟合方法研究
非寿险损失分布拟合方法研究
胡航宇
【期刊名称】《科技信息》
【年(卷),期】2011(000)036
【摘要】以某保险公司某一年110起汽车碰撞的损失额为依据,进行分析,并做相应的分布拟合.本文的研究有助于进一步丰富非寿险损失分布拟合的有关理论和方法,并对当今非寿险公司发展有积极的作用,为保险人迅速、有效地进行保费的厘定提供了方法上的准备.
【总页数】2页(P53-54)
【作者】胡航宇
【作者单位】厦门理工学院数理系
【正文语种】中文
【相关文献】
1.非寿险精算教学中损失模型的拟合方法阐述 [J], 刘薇
2.非寿险损失分布估计和经营稳定性分析(IV) [J], 吴岚;杨静平
3.非寿险损失分布估计和经验稳定性分析(I) [J], 吴岚;杨静平
4.非寿险损失分布估计和经营稳定性分析(Ⅶ) [J], 吴岚;杨静平
5.非寿险损失分布建模的一般性方法 [J], 赵智红;李兴绪
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１ 问题 的提 出
经验损失数据对 于非寿险 的费率厘定 与准备金评估 等 是十分必要的 。当经验数据足够充足时 ， 多数的非寿险精算 问题可 以通过经 验分布 以及依靠 经验数据 的一些模型来解 决 。例如费率厘定 中的单项分析 法 、 古典信度模 型等 。在 实 践 中， 充足的经验数据是难 以获得的 ， 尤其是 高额损失数据 以及新险种 的数据更 是非常有 限的。这就要求 能通过有 限 的数据拟合损失 模型从而解决非 寿险 中的一些 问题 。而在 非寿险精算教学 中 ，一般 比较强调 在经验数 据 比较充足 的 情况下如何分析 费率计算准备金 ，对损失模 型的拟合则很 少提及 。因此 ， 学生对经验数据不 足情 况下 的问题解 决不甚 了解。针对这种情况 ， 文将 在下 面具 体给出如何拟 合损 失 本
ｌ ４ ｌ ６ １ ２ ６ ｌ １ ５ ７
ＯＯ ４ ｌ ．６ ５ ６ ＯＯ ３ ３ ．７ ７ ３ ００ ５ ．５ ３ ００ ７ ５ ．２ ６ ００ Ｏ ９ ．５ ６ １ ００ ３ ４ ．２ Ｏ ｌ ００ ２ ５ ．３ ２ ８
６４ １ Ｅ Ｏ ．５ ６ｌ — ６ ４９ ５ Ｅ ０ ．１ ５１ 一 ６ ２７ ４ ８ ０ ．６ ９ Ｅ一 ６ １ ２９ ｏ ３８ ４ Ｅ— ６ １３ １ ７ Ｏ ．５ ７ Ｅ— ６ ２３ ４５ ０ ｌＯ ｌ Ｅ— ７ ４３ １ ８ — ７ ．０ Ｏ Ｅ Ｏ
模型 。
分 布与帕累托分布等 。相对于损 失次数模 型的理论分布来 说 ，损 失金额模型 的理 论分布在 均值与方差方 面不具有 明 显 的特征 。因此 ， 本文重点介 绍损失金额模 型拟合 的方法 。 理论 上要通过有限 的经 验数据 ，拟合 出适合 实际情况 的模 型 ， 要对经 验数据 进行整理 ， 择模 型 、 需 选 估计 模型参 数并 进一步检验拟合情况 。 ２１ 整 理 经 验 数 据 构 造 模 型 ． 对有 限的经验数据 进行整理 ，计 算经验数 据的样本均 值、 样本方差 、 分位点 、 经验分 布等 。通过这 些样本数据 ， 选 择 一种概率分布作 为损 失的分布类 型 。当拟合 损失次数模 型时 ，根据计算得 出的样本均值 与样本方差 的大小关系可 以选 择损失次数 的理论 分布 中的一 种 。例 如样 本均值大于 样本 方差 ， 可以选择二项分 布作为损失模 型。 同样 ， 就 当拟 合损失 金额模型时 ，由于损 失金额 的理论分布 对于样本均 值 与样 本方差的 比较不 明显 ， 以做样本数 据的经验分布 ， 可 比较经 验分布与损失金额 的理论分 布的近似程 度 ，找 出比 较 近似 的一 种 或 多种 。 ２２ 估 计 模 型 参 数 ． 选择 了损失模型之后 ， 需要 对模型 中的参数进行估计 。 可 以选 用矩估计法或极 大似然估计法 等 。矩估 计法采用样 本矩作 为相 应的总体 矩的估计量 ， 令 。 。＝ ，， ｋ 其 中 ＝ ｉｌ …，， Ａ ２ ｋ为未知参数的个数 。解方 程组 可以得到参数的估计量 。而 极大似然估计法是通过构造似然函数 Ｌ８ … ）Ｌｘ …， （。 ＝ （。 ； ０， ）然后求 使似 然函数达 到最大 值的参数 值作为 ， …， ， ２ 模 型参数 的估计量 。 ２３ 拟 合 检 验 ． 得 到参 数的估计后 ， 还需要 对分布类 型进行拟合检验 。 常 用的方法是 Ｘ拟 合检验 。原 假设 Ｈ ： （： ｏ ； ， 。Ｆｘ Ｆ（０ 备择假 ） Ｘ）
非 寿 险精 算 教 学 中损 失模 型 的拟 合 方 法 阐述
刘 薇
长春 （ 东北师范大学人 文学院 吉林 ・
中 图分 类 号 ： ４ Ｇ６ ２ 文献 标 识 码 ： Ａ
１０１ ） ３ １ ７
文 章 编 号 ：６ ２ ７ ９ （ ０ ３ — ６ － ２ １７ — ８ ４２ １ ０ ０ ９ ０ ０）
频率 密度 ＝频率 ， 距 组
２ 损 失模 型拟 合 的理 论方 法
在非寿险精算教学 中 ，损失模 型一般分 为损失次数模 型与损失金额模 型两种。损失 次数 模型 的理 论分布常见 的 有泊松分布 、 二项分 布和负二项分布等 。其中 ， 损失次数模 型 的理论分布具有 比较明显 的特 征 ，例如泊 松分布 的均值 和方差相等 ， 二项分 布的方差小于均值 ， 负二 项分布 的方 差 大于均值 。损失 金额模型有指数分 布 、 数正态分 布 、 玛 对 伽
ｌ ３ ｌ １ ｌ ２
３５０ ２０ ４ ５０ ７０ ７０ ５０ ８ ５０ ７０ ｌ５ ０ ２０ ０ ２５０ ２０ ０ ３００ ０ｏＯ
ｌ０ ０ Ｏ ０ １Ｏ ０ ５ ０ ２ ００ Ｏ ０ ２００ Ｏ０ ３５ ０ ７０ ｌ００ Ｏ０ｏ ７Ｏ０ ５ ０
３
４
５
ｌ５ ０ ２０
ｌ５ ０ ７０
２２ ００ ５
５０ Ｏ ０
５【 ０） ０
５０ ００
２ ４
５ ０ ｌ ０ ０８
ｌ ５
Ｏ１Ｏ ９ ．ｌ５９
Ｏ０ ２ ４ ．８ ９ ９
Ｏ． ９ｌ ４ ｏ６ ２
２２ｌ９ Ｅ ０ ． ｌ８ — ５
１ ５９ Ｅ ０ ． ８９ 一５ ６
（ 转第 ８ 下 ４页 ）
表 １ 某 责 任 险 分 组 数 据
序号 Ｊ
ｌ ２
组上限 Ｇ 元
２０ ５０ ７０ ５０
组距 ｄ ｃ 产¨
２０ ５０ ５０ ０ ０
频数 ｎ ｊ
４ ｌ ４ ８
频率Ｐ ／ 产ｎｎ
ｒ ｊ ＝Ｐ
０１８ ４ ．８ ９ ０２ １ ９ ．２ ８ ｌ
７５ ７ Ｅ— ５ ． ６ ０ ５ ４４ ３ ６ ０ ．２ ９ Ｅ— ５