DIP3频域处理

设f(x,y)和g(x,y) 是大小分别为A×B和C×D的两个
数组，则它们的离散卷积定义为
f ( x, y) * g ( x, y) f (m, n) g ( x m, y n)
M 1 N 1 m 0 n 0
卷积定理
DFT[ f ( x, y) * g ( x, y)] F (u, v)G(u, v)
第3章
频域处理
3.1 傅里叶变换基础
• 法国数学家傅立叶生于1768年，他对世人的最大贡献 在于他指出任何周期函数都可以表示为不同频率的正 弦和（或余弦和）的形式，每个正弦（或余弦）乘以 不同的系数。 • 甚至非周期的函数（曲线是有限的情况下）也可以用 正弦（或余弦）乘以加权函数的积分来表示。 • 一个恰当的比喻是将傅立叶变换比作一个玻璃棱镜， 棱镜是可以将光分成不同颜色成分的物理仪器，每个 颜色由光的频率（波长）决定；而傅立叶变换可看作 “数学的棱镜”，将函数基于频率分成不同的成分。
I (u, v) (u, v) arct an[ ] R(u, v)
DFT变换进行图像处理时有如下特点：
（1）直流成分为F(0,0)。 （2）幅度谱|F(u,v)|对称于原点。 （3）图像f (x, y)平移后，幅度谱不发生变 化，仅有相位发生了变化。
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1 M 1 N 1 F (0,0) f ( x, y) MN x0 y 0
即 f (x,y) 的平均值。 如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于 图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。
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f ( x, y)e j 2 (ux vy) dxdy
为二维连续函数
f ( x, y)

的傅里叶变换，并定义
f ( x, y)


F (u, v)e j 2 (ux vy) dudv
为 F (u , v) 的反变换。 f ( x, y)和 F (u , v)为傅里叶变换对。
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• 傅里叶变换在数学中的定义是严格的。设f(x)为x的函数， 如果满足下面的狄里赫莱条件： • （１）具有有限个间断点； • （２）具有有限个极值点； • （３）绝对可积。 • 则有下列二式成立：
• •
G(u, v) H (u, v) F (u, v)
式中， H (u, v)为传递函数。
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•
在增强问题中，f ( x, y) 是给定的原始数据，经傅立叶 变换可得到 F (u , v )。选择合适的 H (u, v) ，使得由式
或写成指数形式
附 欧拉公式
F () F () e j()
F () R () I ()
2 2
e j cos j sin
I ( ) ( ) arctg R ( )
把 F( ) 叫做
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f ( x ) 的傅里叶谱，而 ( ) 叫相位谱。



f ( x)e jx dx
1 f ( x) 2



F ( )e jx d
通常把以上公式称为傅里叶变换对。
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函数f(x)的傅里叶变换一般是一个复量，它可以由下式表示：
F ( ) R ( ) jI ( )
F (u)
f ( x)
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f ( x)e j 2ux dx
F (u )e j 2ux du
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• 式中x是时域(空间域)变量，u为频率变量。 • 如令 2 u ， 则有
F (u )
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3.2.2 二维离散傅里叶变换
尺寸为M×N的离散图像函数的DFT
1 M 1 N 1 F (u, v) f ( x, y)e j 2 (ux / M vy / N ) MN x 0 y 0
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推广到二维情况。在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y
乘以输入的图像函数，则有：
DFT[ f ( x, y)(1) x y ] F (u M / 2, v N / 2)
DFT的原点，即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。 (0,0)点的变换值为：
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【例】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。 解：MATLAB程序如下： A=imread('pout.tif'); %读入图像 imshow(A); %显示图像 A2=fft2(A); %计算二维傅里叶变换 A2=fftshift(A2); %将直流分量移到频谱图的中心 figure, imshow(log(abs(A2)+1),[0 10]); %显示变换后的频谱图
反变换可以通过对F(u,v) 求IDFT获得
f ( x, y ) F (u, v)e j 2 (ux / M vy / N )
u 0 v 0 M 1 N 1
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F (u, v) R(u, v) jI (u, v)
0
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幅度谱：
F (u ) AX
sin uX uX
（a）幅度谱
（b）原点平移后的幅度谱
频谱图
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DFT取的区间是[0,N-1]，在这个区间内频谱 是由两个背靠背的半周期组成的 ，要显示 一个完整的周期，必须将变换的原点移至 u=N/2点。 根据定义，有
3.2.3
二维离散傅里叶变换的性质
1．周期性和共轭对称性 周期性和共轭对称性来了许多方便。 我们首先来看一维的情况。
设有一矩形函数为,求出它的傅里叶变换：
A f ( x) 0
F (u )
X
0 xX 其他
sin uX juX e uX

f ( x)e j 2ux dx A e j 2ux dx AX
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• 所谓理想低通滤波器是指以截频 D0为半径的圆内的所有 频率都能无损地通过，而在截频之外的频率分量完全被 衰减。理想低通滤波器可以用计算机模拟实现，但是却
不能用电子元器件来实现。
• 理想低通滤波器在处理过程中会产生较严重的模糊和振 铃现象。这种现象正是由于傅立叶变换的性质决定的。 原因：略
1 N 1 f ( x, y)e j 2vy / N N y 0
M 1 x 0
F ( x, v)e j 2ux / M
这里
1 N 1 F ( x, v) f ( x, y)e j 2vy / N N y 0
对于每个x值，当v＝0，1，2，…，N－1时， 该等式是完整的一维傅里叶变换。
g( x, y) h( x, y) f ( x, y)
• 其中＊代表卷积。
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• 如果 G (u , v)，H (u, v) ，F (u , v) 分别是 • g( x, y), h( x, y), f ( x, y) 的傅立叶变换,那么,上面的 卷积关系可表示为变换域的乘积关系，即
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式中 D0 是一个规定的非负的量，叫做理想低通滤波 器的截止频率。D(u, v) 是从频率颊的原点到(u,v)点 的距离，即
D(u, v) = u v
2

1 2 2

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理想低通滤波器传递函数径向剖面图
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g ( x, y) F
•
1
[ H (u, v) F (u, v)]
得到的 g ( x , y ) 比 f ( x, y) 在某些特性方面更加鲜明、
突出，因而更加易于识别、解译。
• 例如，可以强调图像中的低频分量使图像得到平滑，
也可以强调图像中的高频分量使图像的边缘得到增强
等等。以上就是频域处理法的基本原理。
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3.2
二维离散傅里叶变换（DFT）
3.2.1 二维连续傅里叶变换
二维连续函Leabharlann f (x, y)的傅里叶变换定义如下：
设 f ( x, y) 是独立变量 x, y 的函数，且在 上绝对可 积，则定义积分