上海交通大学线性代数第一、二章复习题集附答案解析
上海交通大学 线性代数教材 课后答案 习题3
习 题 三 （一）1.求下列矩阵的特征值与特征向量.（1）133353331A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭答案特征值为2,1321-===λλλ(二重)对应的特征向量. 1111c ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,23231110,,01c c c c --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为不同时为零的任意常数.（2）212533102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭答案特征值为1231λλλ===-(三重)对应的特征向量. 11,1k k -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭为任意非零常数. (3) 563101121A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭答案特征值为1232λλλ===(三重)对应的特征向量. 12122110,,01c c c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为不同时为零的任意常数. (4) 222214241A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭答案特征值为1236,3λλλ=-==(二重).对应的特征向量分别为:112,2k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭232210,01k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k 为任意非零常数,23,k k 为不同时为零的任意常数。
(5) 322010423A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭答案特征值为1231,1λλλ===-(二重) 。
对应的特征向量分别为. 110,1k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭231120,02k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k 为任意非零常数,23,k k 为不同时为零的任意常数。
(6) 0100100000010010A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭答案特征值为121λλ==-(二重) 341λλ==(二重) 。
对应的特征向量分别为. 120101,1010k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭340101,1010k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12,k k 为不同时为零的任意常数,34,k k 为不同时为零的任意常数。
线性代数第3版习题全解
习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s x y z x x zx y x x yzx-； ()2cos 10412cos 1012cos x x x；(5)xy x y yx y x x yxy+++。
解：(1)7415=7×5−1×4=31； (2) 1D =；(3) ()111x y zy z y z D x y zx y x y z xy x y zz x zx++=++=++++ ()3331030y zx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。
(4) 22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x xx--=2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x xx x x--=-=-。
(5)x y x y y x y x x yxy+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2) 1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。
解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==, 121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,11301D D --==-==- 242132114453,4241813113D D -====， 3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。
3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。
(完整版)行列式习题1附答案.doc
⋯⋯_ ⋯_ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯：⋯号⋯学⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ 线_ 订_ _ 装_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ ⋯：⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯：⋯⋯⋯班⋯⋯⋯《线性代数》第一章练习题⋯⋯一、填空⋯⋯⋯1、(631254) _____________ 8⋯⋯⋯2、要使排列（3729m14n5）偶排列， m =___8____, n =____6_____⋯⋯x 1 13 , x 2 的系数分是⋯3、关于x的多式x x x中含 x -2,4⋯1 2 2x⋯⋯4、 A 3方， A 2， 3A* ____________ 108⋯⋯⋯5、四行列式det( a ij)的次角元素之（即a14a23a32a41）一的符号+⋯⋯1 2 1线1234 2346、求行列式的 (1) =__1000 ；（2）2 4 2 =_0___；封2469 469密10 14 13⋯⋯1 2000 2001 2002⋯0 1 0 2003⋯⋯(3)0 1=___2005____;⋯0 20040 0 0 2005⋯⋯1 2 3⋯中元素 0 的代数余子式的___2____⋯(4) 行列式2 1 0⋯3 4 2⋯⋯1 1 1 1⋯1 5 25⋯ 4 2 3 57、 1 7 49 = 6 ；= 1680⋯16 4 9 25⋯1 8 64⋯64 8 27 125⋯⋯矩方，且，，， A 1 1 。
⋯A 4⋯8、|A|=5 | A*| =__125 | 2A| =__80___ | |=50 1 10 1 2 22 2 2 09、 1 0 1 = 2 。
；3 0121 1 01 01 0 0 0bx ay010、若方程cx az b 有唯一解，abc≠0 cy bz a11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的元素上，行列式12、行列式a11a12a13a14a21a22a23a24 的共有4! 24, 在a11a23 a14a42, a34a12a31a32a33a34a41a42a43a44a34a12a43 a21 是行列式的，符号是 + 。
线性代数第3版习题全解（上海交通大学）
习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s xy z x x zx y x x yzx-； ()2cos 1412cos 1012cos x x x；(5)xy x y yx y x x yxy+++。
解：(1)7415=7×5−1×4=31；(2) 1D =；(3) ()111x y zy zyz D x y zx y x y z x y x y zz x z x++=++=++++ ()3331030yzx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。
(4)22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x xx--=2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x xx x x--=-=-。
(5) xy x y y x y x x yx y+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2)1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。
解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==, 121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,10131D D --==-==- 242132114453,42418131103D D -====，3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。
3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。
线性代数第3版习题全解上海交通大学--资料
习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s x y z x x zx y x x yzx-； ()2cos 10412cos 1012cos x x x；(5) xy x y y x y x x yxy+++。
解：(1)7415=7×5−1×4=31； (2) 1D =； (3) ()111x y zy z y z D x y zx y x y z xy x y zzxzx++=++=++++()3331030y zx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。
(4) 22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x x x--= 2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x x x x x--=-=-。
(5) xy x y y x y x x yxy+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2) 1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。
解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==,121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,11301D D --==-==- 242132114453,4241813113D D -====， 3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。
3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。
上海交通大学版线性代数第一章答案
当 或 时有无穷多解
时
时
(2)当 时，无解；
当 时，有无穷多解，通解为
(3)当 时无解；
当 且 时有唯一解
当 时有无穷多解，通解为
(4)当 时无解；
当 且 时有唯一解
当 时有无穷多解，通解为
38.求解下列各题。
(1)已知 是三元非齐次线性方程组 的解， ，且
求方程组的通解。
(2)已知 是 的两个不同解， 是 的基础解系，求非齐次线性方程组 通解。
证：由17题， ，当 时， ，当 可逆时， ，从而 ， 可逆。
19.判断下列线性方程组是否有解：
(1)
(2)
(3)
(4)
解：令系数矩阵为 ，系数矩阵 ，增广矩阵为
(1)因为 ，所以线性方程组有唯一解；
(2)因为 ，所以线性方程组无解；
(3)因为 ，所以线性方程组有无穷多个解；
(4)因为 ，所以线性方程组无解；
(1) ; (2) ;
(3) ,其中为 非零常数;
(4) ,其中
，
此处 为非零常数。
解：
(1)
；
(2)
(3)
同上小问的方法
；
(4) ；
其中
17.设A,B为n阶方阵，数 .证明： .
证：因为 ，
，
所以有
因此对于 ，
对于， ，有 ，则有 。
18.设A和B为n阶方阵，且E-AB可逆.证明：E-BA也可逆.
60.当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有唯一解或无穷多组解？在有解时求出其解。
(1)
(2)
解：同上题用消去法
(1)当 ，无解
当 ，有无穷多解
(2)当 ，有唯一解
线性代数第3版习题全解(上海交通大学)
2023大学_大学线性代数课后答案
2023大学线性代数课后答案大学线性代数内容简介第一章矩阵与行列式1.0 预备知识1.0.1 集合1.0.2 数集1.0.3 数域1.0.4 求和号1.1 线性型和矩阵概念的引入1.1.1 矩阵的定义1.1.2 常用矩阵1.2 矩阵的运算1.2.1 矩阵的线性运算1.2.2 矩阵的乘法1.2.3 方阵的幂与方阵多项式1.3 方阵的行列式1.3.1 行列式的递归定义1.3.2 排列1.3.3 行列式的等价定义1.4 行列式的'基本性质1.4.1 转置行列式1.4.2 行线性性1.4.3 行列式的初等变换1.5 Laplace定理1.5.1 子式余子式代数余子式1.5.2 Laplace定理1.5.3 行列式的按行展开与按列展开 1.5.4 方阵乘积的行列式1.6 行列式的计算1.6.1 三角化1.6.2 降阶法与镶边法1.6.3 归纳与递推1.7 可逆矩阵1.7.1 可逆矩阵1.7.2 矩阵可逆的条件1.7.3 逆矩阵的求法1.8 分块矩阵1.8.1 矩阵的分块1.8.2 分块矩阵的运算1.8.3 分块对角矩阵习题一第二章线性方程组理论2.1 解线性方程组的消元法2.1.1 线性方程组的矩阵形式2.1.2 线性方程组的初等变换2.1.3 梯矩阵和简化梯矩阵2. 2向量空间Kn2.2.1 向量空间Kn及其运算性质2.2.2 子空间2.3 向量组的秩2.3.1 线性组合、线性方程组的向量形式 2.3.2 线性相关与线性无关2.3.3 极大线性无关组、向量组的秩2.4 矩阵的相抵标准形2.4.1 初等矩阵和矩阵的初等变换2.4.2 矩阵的秩2.5 Cramer法则2.5.1 Cramer法则2.5.2 求逆矩阵的初等变换法2.5.3 矩阵方程2.6 线性方程组解的结构2.6.1 线性方程组相容性判别准则2.6.2 齐次线性方程组的解空间2.6.3 非齐次线性方程组解的结构2.7 分块矩阵的初等变换2.7.1 分块矩阵的初等变换2.7.2 分块初等矩阵2.7.3 行列式和矩阵计算中的分块技巧习题二第三章相似矩阵3.1 方阵的特征值与特征向量3.1.1 方阵的特征值与特征向量3.1.2 特征值与特征向量的求法3.1.3 特征向量的性质3.2.1 矩阵相似的概念3.2.2 相似矩阵的性质3.3 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.1 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.2 特征值的代数重数和几何重数3.3.3 矩阵Jordan标准形3.4 方阵的最小多项式3.4.1 方阵的化零多项式3.4.2 最小多项式3.4.3 最小多项式与方阵相似于对角矩阵的条件 3.5 相似标准形的若干简单应用3.5.1 行列式求值与方阵求幂3.5.2 求与给定方阵可交换的方阵习题三第四章二次型与对称矩阵4.1 二次型及其标准形4.1.1 二次型及其矩阵表示4.1.2 二次型的标准形4.1.3 实对称矩阵的合同标准形4.2 惯性定理与二次型分类4.2.1 惯性定理4.2.2 二次型的分类4.3 正定二次型4.3.1 正定二次型4.3.2 二次型正定性判别法4.4 正交向量组与正交矩阵4.4.1 向量的内积4.4.2 正交向量组4.4.3 正交矩阵4.5 实对称矩阵的正交相似标准形4.5.1 实对称矩阵的特征值和特征向量 4.5.2 实对称矩阵的正交相似标准形 4.5.3 用正交替换化二次型为标准形习题四第五章线性空间与线性变换5.1 线性空间的概念5.1.1 线性空间的定义5.1.2 线性空间的简单性质5.1.3 线性子空间5.2 线性空间的同构5.2.1 基底，维数与坐标5.2.2 基变换与坐标变换5.2.3 线性空间的同构5.3 欧氏空间5.3.1 欧氏空间的定义与基本性质5.3.2 标准正交基5.3.3 欧氏空间的同构5.4 线性变换5.4.1 线性变换的概念与运算5.4.2 线性变换的性质5.5 线性变换的矩阵5.5.1 线性变换在给定基下的矩阵5.5.2 线性变换在不同基下矩阵间的关系习题五索引参考文献大学线性代数目录《大学数学线性代数》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材“大学数学”系列教材之一，秉承上海交通大学数学基础课程“基础厚、要求严、重实践”的特点编写而成。
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代数第一、二章复习2005-10-31一、填空题1、 设311174736-=A ，则A 中元素12a 的代数余子式等于-11；121241(1)13A +=-2、 设A 是3阶方阵，且，则*A=2113n A-⎛⎫= ⎪⎝⎭；3133393n A A A A ===⇔=3、 设3阶方阵123406103A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭0≠，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30342531t B ，且0=AB ，则t =_______-7____； 4．设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111c b a c b a c b a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B ，且A =4，B =1，则B A 2+= 54 B A 2+ =233332222111132********=+++d c b a d c b a d c b a 333322221111222d c b a d c b a d c b a +++ 3332221119c b a c b a c b a =1112223332929[421]542a b d a b d a b d +=+⨯=； 5已知A 是秩为2 的4阶矩阵，则)(*A r =__0_________；00=∴=*A A ij6.设A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212221212111，其中0≠i a ，n i b i ,,2,1,0 =≠，则)(A r =__1___________；7、设A ,B ,C 都是行列式等于3的3阶方阵,则行列式1911130271()231(1)()33(3)27B D A CB A B A B A-----==-----=-=-=-由于 ；8、 已知A 为三阶方阵,且4=A ,82=+E A , 则1-+A A =_____2____；9、 设1121011130111111-=A ，则第4行各元素的代数余子式之和为___0________；10、设A 为n 阶可逆矩阵,B 是将A 中的第i 行与第j 行元素对调后的矩阵,则1-AB =__Pij____。
11．设A 为5阶方阵，且A ＝－4，则行列式64A A =12如果1112132122233132333a a a D a a a a a a ==，则1112131212223313233535353a a a D a a a a a a -=--= -45 13．如果111221222a a a a =，线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a bx a x a 的解必是14．已知行列式1340564x x中元素(1, 2)的代数余子式120854x A =-=，元素(2, 1)的代数余子式21A 的值=。
15．已知5为A 阶方阵，且行列式a A =||，则|2|A =5|2|2A a =二、选择题1、如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则3332313123222121131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---== ( ))(A 8 )(B 12-)(C 24 )(D 24-2．设A 为4阶方阵，已知3=A ，且，则1-*A A =______； 3、设A ,B ,C 是n 阶方阵,且E ABC =,E 为n 阶单位矩阵,则下列各式中必成立的是 ( ))(A E BCA =)(B E ACB =)(C E BAC =)(D E CBA =4、当bc ad ≠时，1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a = （ ）)(A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a b c d bc ad 1)(B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---a b c d bc ad 1 )(C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a c b d ad bc 1)(D ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---a c b d bc ad 1 5、下列矩阵中，不是初等矩阵的是 （ ）)(A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001)(B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001)(C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-400010001)(D ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010101006、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅333231232221131211a a a a a a a a a P = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---333231232221331332123111333a a a a a a a a a a a a ，则P = （ ）)(A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-103010001)(B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010301)(C ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010300)(D ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1300100017、设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4433221100000000a b a b b a b a A ，则A =（ ）)(A 43214321b b b b a a a a -)(B 43214321b b b b a a a a +)(C ))((41413232b b a a b b a a --)(D ))((43432121b b a a b b a a --8、设n 阶方阵A 满足E A 22=，其中E 是n 阶单位阵，则必有（ ）)(A 12-=A A )(B E A 2-=)(C A A 211=-)(D 1=A9、设A 、B 都是n 阶非零矩阵，且0=AB ，则A 和B 的秩（ B ） )(A 必有一个等于零 )(B 都小于n)(C 一个小于n ，一个等于n )(D 都等于010．设n 阶矩阵A 满足02=+E A ，其中E 为n 阶单位矩阵，则必有( )(A) A E = (B) A E -= (C) 1--=A A (D) 1=A11．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=004030200A ，且a ，b ，c 均不为零，则1-A = （ ）)(A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛004103102100)(B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛004102103100)(C ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002103104100)(D ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛41000310002112．设A 、B 是n 阶方阵，且0AB =，()2r A n =-，则 ( )(A) ()2r B = (B) ()2r B < (C) ()2r B ≤ (D) ()2r B >三、 计算题1、 已知 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=102324171231102B A 求T AB )(。
解：法一：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1013173140102324171231102AB ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10313141701013173140TT AB 法二()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1031314170213012131027241131027241213012T T TT T A B AB B A2、 求行列式；（1）,3554243313221211--（2）xyyyyy x y y yy y x y yyy y xyyy y y x（3）mx x x x m x x x x m x n n n +++212121（4）n111211113、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ，已知X A E AX +=+2，求矩阵X 。
4．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110111101A ，则1-A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11121111231 解：由于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-313131323131313132313131323131313132100010001100010001110111101),(1A E A5、设A 是n 阶矩阵，满足E AA T =，0<A ，求行列式E A +的值6、设3阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且21=A ，求*--A A 2)4(1。
7、如果可逆矩阵A 的各行元素之和为a ，计算1-A 的各行元素之和等于什么？解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11111111111111111 a A A A a A a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒--a a a a A aA 1111111111111111118、设实矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a 满足条件： （1）j i j i A a =，)3,2,1,(=j i ，其中j i A 是j i a 的代数余子式；（2）111-=a 求行列式A 。
9、设A ＝120021001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, B ＝112053-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵X 使其满足矩阵方程AX B =。
10.设A ，B 为5阶方阵，|A|＝－1，|B|＝－2，求=-12B A T 。
=*-B A 13解 15122--=B A B A T T =)21)(1(25--=16 =*-B A 1311．利用初等变换求矩阵A 的秩（1）、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=14011313021512012211A 解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=00000222001512012211222000000015120122112220015120151201221114011313021512012211Ar(A)=3（2）、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=321131111111A解：2)(00002100111142002100111121004200111132113111111123323212,)1(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=+-↔+-⨯A r A r r r r r r r （3）、 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3620130131120141A 解：3)(00005160015101301516005160015101301362014401510130136200141311213013620130131120141=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=A r A12．已知1101A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求19A 解 由于 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101n A n ，因此⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1019119A 类似地，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,1101n B B n ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,101na C a C n11．解线性方程组123413412313424343317733x x x x x x x x x x x x x -+-=-⎧⎪+-=-⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩解：将增广阵化为规X 的阶梯阵：),(000006100040210301010000061000212103110124400012200021210311012440001032102121031101337071011343412311013370710113311014341200212)1(732313233422314131212βA r r r r r rr r r r r r r r rr r r =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------+---+---↔ 得同解方程组00β=X A 为⎪⎩⎪⎨⎧==-=+642343231x x x x x 移项添项即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+-=64234333231x x x x x x x 因此方程组通解为：是任意数）33(60430121x x X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=四．证明题1．设方阵A 满足40A =，试证明E A -可逆，且123)E A E A A A --=+++（2323234)E A E A A A E A A A A A A A E A E-++++++-+++=4（（）=（）=-2．设A 为可逆矩阵，E A A ||2=，证明：*=A A证明：由于A 为可逆矩阵，且E A A E A AA ==*2,||又由已知故*=AA A 2两边左乘1-A 得*=A A3、设n 阶方阵A ，B 满足 AB B A =+，求证（1）E A -可逆；（2）AB=BA4、设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，证明：矩阵A 可逆证明 由于022=--E A A ，有E E A A E A A =-⇒=-)2(22故矩阵A 可逆，且E A A 21-=-。