上海交通大学线性代数第一、二章复习题集附答案解析
代数第一、二章复习2005-10-31一、填空题1、 设311174736-=A ，则A 中元素12a 的代数余子式等于-11；121241(1)13A +=-2、 设A 是3阶方阵，且，则*A=2113n A-⎛⎫= ⎪⎝⎭；3133393n A A A A ===⇔=3、 设3阶方阵123406103A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭0≠，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30342531t B ，且0=AB ，则t =_______-7____； 4．设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111c b a c b a c b a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B ，且A =4，B =1，则B A 2+= 54 B A 2+ =233332222111132********=+++d c b a d c b a d c b a 333322221111222d c b a d c b a d c b a +++ 3332221119c b a c b a c b a =1112223332929[421]542a b d a b d a b d +=+⨯=； 5已知A 是秩为2 的4阶矩阵，则)(*A r =__0_________；00=∴=*A A ij6.设A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212221212111，其中0≠i a ，n i b i ,,2,1,0 =≠，则)(A r =__1___________；7、设A ,B ,C 都是行列式等于3的3阶方阵,则行列式1911130271()231(1)()33(3)27B D A CB A B A B A-----==-----=-=-=-由于 ；8、 已知A 为三阶方阵,且4=A ,82=+E A , 则1-+A A =_____2____；9、 设1121011130111111-=A ，则第4行各元素的代数余子式之和为___0________；10、设A 为n 阶可逆矩阵,B 是将A 中的第i 行与第j 行元素对调后的矩阵,则1-AB =__Pij____。
11．设A 为5阶方阵，且A ＝－4，则行列式64A A =12如果1112132122233132333a a a D a a a a a a ==，则1112131212223313233535353a a a D a a a a a a -=--= -45 13．如果111221222a a a a =，线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a bx a x a 的解必是14．已知行列式1340564x x中元素(1, 2)的代数余子式120854x A =-=，元素(2, 1)的代数余子式21A 的值=。
15．已知5为A 阶方阵，且行列式a A =||，则|2|A =5|2|2A a =二、选择题1、如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则3332313123222121131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---== ( ))(A 8 )(B 12-)(C 24 )(D 24-2．设A 为4阶方阵，已知3=A ，且，则1-*A A =______； 3、设A ,B ,C 是n 阶方阵,且E ABC =,E 为n 阶单位矩阵,则下列各式中必成立的是 ( ))(A E BCA =)(B E ACB =)(C E BAC =)(D E CBA =4、当bc ad ≠时，1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a = （ ）)(A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a b c d bc ad 1)(B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---a b c d bc ad 1 )(C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a c b d ad bc 1)(D ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---a c b d bc ad 1 5、下列矩阵中，不是初等矩阵的是 （ ）)(A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001)(B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001)(C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-400010001)(D ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010101006、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅333231232221131211a a a a a a a a a P = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---333231232221331332123111333a a a a a a a a a a a a ，则P = （ ）)(A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-103010001)(B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010301)(C ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010300)(D ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1300100017、设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4433221100000000a b a b b a b a A ，则A =（ ）)(A 43214321b b b b a a a a -)(B 43214321b b b b a a a a +)(C ))((41413232b b a a b b a a --)(D ))((43432121b b a a b b a a --8、设n 阶方阵A 满足E A 22=，其中E 是n 阶单位阵，则必有（ ）)(A 12-=A A )(B E A 2-=)(C A A 211=-)(D 1=A9、设A 、B 都是n 阶非零矩阵，且0=AB ，则A 和B 的秩（ B ） )(A 必有一个等于零 )(B 都小于n)(C 一个小于n ，一个等于n )(D 都等于010．设n 阶矩阵A 满足02=+E A ，其中E 为n 阶单位矩阵，则必有( )(A) A E = (B) A E -= (C) 1--=A A (D) 1=A11．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=004030200A ，且a ，b ，c 均不为零，则1-A = （ ）)(A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛004103102100)(B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛004102103100)(C ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002103104100)(D ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛41000310002112．设A 、B 是n 阶方阵，且0AB =，()2r A n =-，则 ( )(A) ()2r B = (B) ()2r B < (C) ()2r B ≤ (D) ()2r B >三、 计算题1、 已知 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=102324171231102B A 求T AB )(。
解：法一：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1013173140102324171231102AB ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10313141701013173140TT AB 法二()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1031314170213012131027241131027241213012T T TT T A B AB B A2、 求行列式；（1）,3554243313221211--（2）xyyyyy x y y yy y x y yyy y xyyy y y x（3）mx x x x m x x x x m x n n n +++212121（4）n111211113、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ，已知X A E AX +=+2，求矩阵X 。
4．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110111101A ，则1-A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11121111231 解：由于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-313131323131313132313131323131313132100010001100010001110111101),(1A E A5、设A 是n 阶矩阵，满足E AA T =，0<A ，求行列式E A +的值6、设3阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且21=A ，求*--A A 2)4(1。
7、如果可逆矩阵A 的各行元素之和为a ，计算1-A 的各行元素之和等于什么？解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11111111111111111 a A A A a A a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒--a a a a A aA 1111111111111111118、设实矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a 满足条件： （1）j i j i A a =，)3,2,1,(=j i ，其中j i A 是j i a 的代数余子式；（2）111-=a 求行列式A 。
9、设A ＝120021001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, B ＝112053-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵X 使其满足矩阵方程AX B =。
10.设A ，B 为5阶方阵，|A|＝－1，|B|＝－2，求=-12B A T 。
=*-B A 13解 15122--=B A B A T T =)21)(1(25--=16 =*-B A 1311．利用初等变换求矩阵A 的秩（1）、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=14011313021512012211A 解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=00000222001512012211222000000015120122112220015120151201221114011313021512012211Ar(A)=3（2）、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=321131111111A解：2)(00002100111142002100111121004200111132113111111123323212,)1(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=+-↔+-⨯A r A r r r r r r r （3）、 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3620130131120141A 解：3)(00005160015101301516005160015101301362014401510130136200141311213013620130131120141=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=A r A12．已知1101A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求19A 解 由于 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101n A n ，因此⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1019119A 类似地，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,1101n B B n ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,101na C a C n11．解线性方程组123413412313424343317733x x x x x x x x x x x x x -+-=-⎧⎪+-=-⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩解：将增广阵化为规X 的阶梯阵：),(000006100040210301010000061000212103110124400012200021210311012440001032102121031101337071011343412311013370710113311014341200212)1(732313233422314131212βA r r r r r rr r r r r r r r rr r r =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------+---+---↔ 得同解方程组00β=X A 为⎪⎩⎪⎨⎧==-=+642343231x x x x x 移项添项即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+-=64234333231x x x x x x x 因此方程组通解为：是任意数）33(60430121x x X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=四．证明题1．设方阵A 满足40A =，试证明E A -可逆，且123)E A E A A A --=+++（2323234)E A E A A A E A A A A A A A E A E-++++++-+++=4（（）=（）=-2．设A 为可逆矩阵，E A A ||2=，证明：*=A A证明：由于A 为可逆矩阵，且E A A E A AA ==*2,||又由已知故*=AA A 2两边左乘1-A 得*=A A3、设n 阶方阵A ，B 满足 AB B A =+，求证（1）E A -可逆；（2）AB=BA4、设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，证明：矩阵A 可逆证明 由于022=--E A A ，有E E A A E A A =-⇒=-)2(22故矩阵A 可逆，且E A A 21-=-。
上海交通大学 线性代数教材 课后答案 习题3
习 题 三 （一）1.求下列矩阵的特征值与特征向量.（1）133353331A ⎛⎫ ⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭答案特征值为2,1321-===λλλ(二重)对应的特征向量. 1111c ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭,23231110,,01c c c c --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为不同时为零的任意常数.（2）212533102A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭答案特征值为1231λλλ===-(三重)对应的特征向量. 11,1k k -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭为任意非零常数. (3) 563101121A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭答案特征值为1232λλλ===(三重)对应的特征向量. 12122110,,01c c c c -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为不同时为零的任意常数. (4) 222214241A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭答案特征值为1236,3λλλ=-==(二重).对应的特征向量分别为:112,2k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭232210,01k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k 为任意非零常数,23,k k 为不同时为零的任意常数。
(5) 322010423A -⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭答案特征值为1231,1λλλ===-(二重) 。
对应的特征向量分别为. 110,1k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭231120,02k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1k 为任意非零常数,23,k k 为不同时为零的任意常数。
(6) 0100100000010010A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭答案特征值为121λλ==-(二重) 341λλ==(二重) 。
对应的特征向量分别为. 120101,1010k k -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭340101,1010k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12,k k 为不同时为零的任意常数,34,k k 为不同时为零的任意常数。
线性代数第3版习题全解
习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s x y z x x zx y x x yzx-； ()2cos 10412cos 1012cos x x x；(5)xy x y yx y x x yxy+++。
解：(1)7415=7×5−1×4=31； (2) 1D =；(3) ()111x y zy z y z D x y zx y x y z xy x y zz x zx++=++=++++ ()3331030y zx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。
(4) 22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x xx--=2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x xx x x--=-=-。
(5)x y x y y x y x x yxy+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2) 1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。
解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==, 121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,11301D D --==-==- 242132114453,4241813113D D -====， 3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。
3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。
(完整版)行列式习题1附答案.doc
⋯⋯_ ⋯_ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯：⋯号⋯学⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ 线_ 订_ _ 装_ _ ⋯_ _ ⋯_ _ ⋯_ ⋯：⋯名⋯姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯：⋯⋯⋯班⋯⋯⋯《线性代数》第一章练习题⋯⋯一、填空⋯⋯⋯1、(631254) _____________ 8⋯⋯⋯2、要使排列（3729m14n5）偶排列， m =___8____, n =____6_____⋯⋯x 1 13 , x 2 的系数分是⋯3、关于x的多式x x x中含 x -2,4⋯1 2 2x⋯⋯4、 A 3方， A 2， 3A* ____________ 108⋯⋯⋯5、四行列式det( a ij)的次角元素之（即a14a23a32a41）一的符号+⋯⋯1 2 1线1234 2346、求行列式的 (1) =__1000 ；（2）2 4 2 =_0___；封2469 469密10 14 13⋯⋯1 2000 2001 2002⋯0 1 0 2003⋯⋯(3)0 1=___2005____;⋯0 20040 0 0 2005⋯⋯1 2 3⋯中元素 0 的代数余子式的___2____⋯(4) 行列式2 1 0⋯3 4 2⋯⋯1 1 1 1⋯1 5 25⋯ 4 2 3 57、 1 7 49 = 6 ；= 1680⋯16 4 9 25⋯1 8 64⋯64 8 27 125⋯⋯矩方，且，，， A 1 1 。
⋯A 4⋯8、|A|=5 | A*| =__125 | 2A| =__80___ | |=50 1 10 1 2 22 2 2 09、 1 0 1 = 2 。
；3 0121 1 01 01 0 0 0bx ay010、若方程cx az b 有唯一解，abc≠0 cy bz a11、把行列式的某一列的元素乘以同一数后加到另一列的元素上，行列式12、行列式a11a12a13a14a21a22a23a24 的共有4! 24, 在a11a23 a14a42, a34a12a31a32a33a34a41a42a43a44a34a12a43 a21 是行列式的，符号是 + 。
线性代数第3版习题全解（上海交通大学）
习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s xy z x x zx y x x yzx-； ()2cos 1412cos 1012cos x x x；(5)xy x y yx y x x yxy+++。
解：(1)7415=7×5−1×4=31；(2) 1D =；(3) ()111x y zy zyz D x y zx y x y z x y x y zz x z x++=++=++++ ()3331030yzx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。
(4)22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x xx--=2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x xx x x--=-=-。
(5) xy x y y x y x x yx y+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2)1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。
解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==, 121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,10131D D --==-==- 242132114453,42418131103D D -====，3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。
3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。
线性代数第3版习题全解上海交通大学--资料
习题1.11. 计算下列行列式：(1) 7415； ()()c o s s i n 2;3s i n c o s x y z x x zx y x x yzx-； ()2cos 10412cos 1012cos x x x；(5) xy x y y x y x x yxy+++。
解：(1)7415=7×5−1×4=31； (2) 1D =； (3) ()111x y zy z y z D x y zx y x y z xy x y zzxzx++=++=++++()3331030y zx y z x yy z x y z xyz z yx z=++--=++---。
(4) 22cos 10014cos 2cos 12cos 112cos 1012cos 012cos x x x x x x x--= 2314cos 2cos 8cos 4cos 12cos x x x x x--=-=-。
(5) xy x y y x y x x yxy+++=2()()()()()x x y y yx x y yx x y x y x y +++++-++33y x --3322x y =--2. 用行列式方法求解下列线性方程组：(1) 31528x y x y +=-⎧⎨+=⎩； (2) 1231231323142543x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩。
解：(1) 123111311,10,29528258D D D --====-==,121210,29D Dx x D D==-== (2) 12131134253,42527,11301D D --==-==- 242132114453,4241813113D D -====， 3121239,1,6D D Dx x x D D D====-==-。
3．求下列各排列的逆序数：(1) 34215； (2) 13…(2n −1)(2n )(2n −2)…2。
上海交通大学版线性代数第一章答案
当 或 时有无穷多解
时
时
(2)当 时，无解；
当 时，有无穷多解，通解为
(3)当 时无解；
当 且 时有唯一解
当 时有无穷多解，通解为
(4)当 时无解；
当 且 时有唯一解
当 时有无穷多解，通解为
38.求解下列各题。
(1)已知 是三元非齐次线性方程组 的解， ，且
求方程组的通解。
(2)已知 是 的两个不同解， 是 的基础解系，求非齐次线性方程组 通解。
证：由17题， ，当 时， ，当 可逆时， ，从而 ， 可逆。
19.判断下列线性方程组是否有解：
(1)
(2)
(3)
(4)
解：令系数矩阵为 ，系数矩阵 ，增广矩阵为
(1)因为 ，所以线性方程组有唯一解；
(2)因为 ，所以线性方程组无解；
(3)因为 ，所以线性方程组有无穷多个解；
(4)因为 ，所以线性方程组无解；
(1) ; (2) ;
(3) ,其中为 非零常数;
(4) ,其中
，
此处 为非零常数。
解：
(1)
；
(2)
(3)
同上小问的方法
；
(4) ；
其中
17.设A,B为n阶方阵，数 .证明： .
证：因为 ，
，
所以有
因此对于 ，
对于， ，有 ，则有 。
18.设A和B为n阶方阵，且E-AB可逆.证明：E-BA也可逆.
60.当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有唯一解或无穷多组解？在有解时求出其解。
(1)
(2)
解：同上题用消去法
(1)当 ，无解
当 ，有无穷多解
(2)当 ，有唯一解
线性代数第3版习题全解(上海交通大学)
2023大学_大学线性代数课后答案
2023大学线性代数课后答案大学线性代数内容简介第一章矩阵与行列式1.0 预备知识1.0.1 集合1.0.2 数集1.0.3 数域1.0.4 求和号1.1 线性型和矩阵概念的引入1.1.1 矩阵的定义1.1.2 常用矩阵1.2 矩阵的运算1.2.1 矩阵的线性运算1.2.2 矩阵的乘法1.2.3 方阵的幂与方阵多项式1.3 方阵的行列式1.3.1 行列式的递归定义1.3.2 排列1.3.3 行列式的等价定义1.4 行列式的'基本性质1.4.1 转置行列式1.4.2 行线性性1.4.3 行列式的初等变换1.5 Laplace定理1.5.1 子式余子式代数余子式1.5.2 Laplace定理1.5.3 行列式的按行展开与按列展开 1.5.4 方阵乘积的行列式1.6 行列式的计算1.6.1 三角化1.6.2 降阶法与镶边法1.6.3 归纳与递推1.7 可逆矩阵1.7.1 可逆矩阵1.7.2 矩阵可逆的条件1.7.3 逆矩阵的求法1.8 分块矩阵1.8.1 矩阵的分块1.8.2 分块矩阵的运算1.8.3 分块对角矩阵习题一第二章线性方程组理论2.1 解线性方程组的消元法2.1.1 线性方程组的矩阵形式2.1.2 线性方程组的初等变换2.1.3 梯矩阵和简化梯矩阵2. 2向量空间Kn2.2.1 向量空间Kn及其运算性质2.2.2 子空间2.3 向量组的秩2.3.1 线性组合、线性方程组的向量形式 2.3.2 线性相关与线性无关2.3.3 极大线性无关组、向量组的秩2.4 矩阵的相抵标准形2.4.1 初等矩阵和矩阵的初等变换2.4.2 矩阵的秩2.5 Cramer法则2.5.1 Cramer法则2.5.2 求逆矩阵的初等变换法2.5.3 矩阵方程2.6 线性方程组解的结构2.6.1 线性方程组相容性判别准则2.6.2 齐次线性方程组的解空间2.6.3 非齐次线性方程组解的结构2.7 分块矩阵的初等变换2.7.1 分块矩阵的初等变换2.7.2 分块初等矩阵2.7.3 行列式和矩阵计算中的分块技巧习题二第三章相似矩阵3.1 方阵的特征值与特征向量3.1.1 方阵的特征值与特征向量3.1.2 特征值与特征向量的求法3.1.3 特征向量的性质3.2.1 矩阵相似的概念3.2.2 相似矩阵的性质3.3 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.1 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.2 特征值的代数重数和几何重数3.3.3 矩阵Jordan标准形3.4 方阵的最小多项式3.4.1 方阵的化零多项式3.4.2 最小多项式3.4.3 最小多项式与方阵相似于对角矩阵的条件 3.5 相似标准形的若干简单应用3.5.1 行列式求值与方阵求幂3.5.2 求与给定方阵可交换的方阵习题三第四章二次型与对称矩阵4.1 二次型及其标准形4.1.1 二次型及其矩阵表示4.1.2 二次型的标准形4.1.3 实对称矩阵的合同标准形4.2 惯性定理与二次型分类4.2.1 惯性定理4.2.2 二次型的分类4.3 正定二次型4.3.1 正定二次型4.3.2 二次型正定性判别法4.4 正交向量组与正交矩阵4.4.1 向量的内积4.4.2 正交向量组4.4.3 正交矩阵4.5 实对称矩阵的正交相似标准形4.5.1 实对称矩阵的特征值和特征向量 4.5.2 实对称矩阵的正交相似标准形 4.5.3 用正交替换化二次型为标准形习题四第五章线性空间与线性变换5.1 线性空间的概念5.1.1 线性空间的定义5.1.2 线性空间的简单性质5.1.3 线性子空间5.2 线性空间的同构5.2.1 基底，维数与坐标5.2.2 基变换与坐标变换5.2.3 线性空间的同构5.3 欧氏空间5.3.1 欧氏空间的定义与基本性质5.3.2 标准正交基5.3.3 欧氏空间的同构5.4 线性变换5.4.1 线性变换的概念与运算5.4.2 线性变换的性质5.5 线性变换的矩阵5.5.1 线性变换在给定基下的矩阵5.5.2 线性变换在不同基下矩阵间的关系习题五索引参考文献大学线性代数目录《大学数学线性代数》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材“大学数学”系列教材之一，秉承上海交通大学数学基础课程“基础厚、要求严、重实践”的特点编写而成。
上海交通大学线性代数第一,二章深刻复知识题附答案解析
6 3 74 7 1，贝y A中元素的代数余子式等于-11 ；1 1 3Q A12A 2B = 54 _______3印30 & 2d〔a1b c1 2d1A 2B = 3 a? 3d C2 2d 2 32a2 d c2 2d23a3 3b；j C3 2d 3 a3 b s C3 2d3A j0 A 0a1b1a1b2abazd a2b2a2b n6•设A = ，其中a i 0 , b i 0, i 1,2, ,n ,and a n b2 a n b n则r(A) = 1 ；7、设A,B,C都是行列式等于3的3阶方阵，则行列式一、填空题Q 3A 3n A 33A9 A 131 2 3 1 3 53、设3阶方阵 A 4 0 6 0 ,B 2 4 t，且AB 0 ,1 0 3 3 0 3则t = -7a1 b1 C1 a1 b1 d14 •设A = a2 b2 C2 , B a2 b2 d2，且 A =4 , B =1，则a3 b3 C3 a3 b3 d33 a1 bi C1 ai bi 2d19 a2b2 C2 9 a2 b2 2d2 a3 b a C3 a3 b3 2d3 9[4 2 1] 54 ；1)12、设A是3 阶方阵，5已知A是秩为2的4阶矩阵，则r(A )=__0_________D 1!27(-A) 2C 3Q 由于(1)9| B|( 3 A) 1 ； B 3A 1 B ( 3)3 A 127&已知 A 为三阶方阵,且| A | 4 , A2E 8 ,则A A 1 =2________ J ______ ?1 1 11 1 01 1 1 12 110、设A 为n 阶可逆矩阵，B 是将A 中的第i 行与第j 行元素对调后的矩阵，则1AB = _pij_ _。
11 •设A 为5阶方阵，且|A =-4，则行列式 A A 46a11 a12a135a 〔13a 〔2 a1312如果Da 21 a22 a233，则 D 15a ?1 3a ?2a23=-45a 31a32a3353313a32a33、选择题9、设A4行各元素的代数余子式之和为an a 123H X 113 如果a 21 a 222,线性方程组 a 21X 1是1 X 314 .已 知行 列 式 X 4 0中元 素(1,5 6 4Q2X 2 b的解必元素(2,1)的代数余子式A 21的值—O15 .已知A 为5阶方阵，且行列式 5|A| a ，则 |2A| _|2A| 2 a 322X 2b2)的代数余子式A 128an a 12 a 134an 2an 3a 12 a 13 1、如果Da 21 a 22 a 231，则 D 14a 21 2a 21 3a 22 a 23a 31 a 32 a 334a 312a 313a 32a 334、当adbe 时， c;d=( )1 d e1de(A)(B)ad be b aad be b a1d b1d b(C)(D)be < a d eaad be ea5、下列矩阵中，不是初等矩阵的是( )1 01 0 01 0 0(A)0 0 1(B) 0 1 0 (C) 0 1 0 (D)0 11 0 10 0 40 0 10 1 010 1a11 a12 a13a 113a 31a 〔2 3a32a133a336、若 Pa21 a22 a23=a21a22a[23 ，则a 31a 32a33a31a32a33P =()1 0 01 030 03(A)0 1 0(B)0 1 0 (C)0 1 03 0 10 0 11 01CBA Ea ib(A) 8 (B) 12 (C)24(D)24 2 •设A 为4阶方阵，已知 且，则3、设A ,B ,C 是n 阶方阵且ABC 必成立的是 BCAE , E 为n 阶单位矩阵，则下列各式中(A) )(B) ACB(C) BAC E(D)(A) (B)(C) A A i(D)ii •设，且a ,c 均不为零，则A i(A) (B)i 412(C)(D)i2 .设(A) B 是n 阶方阵，且 r(B) 2(B) r(B) 2AB 0,r(A)(C) r(B)2，则( 2 (D))r(B) 2(a i a 2 b i b 2)(a 3a 4 b s b q )(A) A 2A i(B) Aii2E(C) A -A(D)A i9、设A 、 B 都是n 阶非零矩阵，且 AB 0，则A 和B 的秩(B ) (A) 必有一个等于零(B)都小于n(C) 一个小于n ，—个等于n(D)都等于028、设n 阶方阵A 满足A 2E ，其中E 是n 阶单位阵，则必有()0，其中 E 为n 阶单位矩阵, io •设n 阶矩阵 A 满足 则必有)( A 2 E1 0 0(D) 01 0 03 1a i 0 0 bi0 a 2 b 2 0A7、设A，则 =()0 t h a 3 0 b 4 0 0 a 4(B)a i a 2a 3a 4b 1b 2b 3b 4(C)(a 2a 3 b 2b 3)(a i a 4 bb 4) (D)(A) a i a 2a 3a 4 b]b 2b 3b 4计算题T0 17 T0 14 3AB14 1317 13 103 10法二2 1 A T0 3 1 2 1 4 22 1 AB T B T A T7 2 0 0 3 1 3 11 22、求行列式;X nX x 2x n m1 1 1 1 21(4)1 1n21 12 1 (1 )2 23 1 3 34 245 5 32 0 11、 已知 A1 32 1 7 1 B 4 23 求(AB)T。
(完整版)线性代数课后习题答案第1——5章习题详解
第一章 行列式4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=ec b e c b ec b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bzay y x by ax x z bxaz z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗?解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以AB =(AB)T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有|A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以 (A*)-1=|A|-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得 A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到|A||A*|=|A|n . 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B . 解 由A*BA =2BA -8E 得 (A*-2E)BA =-8E , B =-8(A*-2E)-1A -1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1 =4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11.解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。