《子集、全集、补集》教案(1)(1)

子集、全集、补集
教学目标：理解子集、真子集概念，会判断和证明两个集合包含关系，会判断简单集合的相等关系.
教学重点：子集的概念，真子集的概念.
教学难点：元素与子集，属于与包含间的区别；描述法给定集合的运算.
课 型：新授课
教学手段：讲、议结合法
教学过程：
一、创设情境
在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集合而言，类似的关系就是“包含”与“相等”关系 二、活动尝试 1．回答概念：集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、文氏图
2．用列举法表示下列集合： ①32{|220}x x x x --+= {-1，1，2}
②数字和为5的两位数} {14，23，32，41，50}
3．用描述法表示集合：1111{1,,,,}2345 *1{|,5}x x n N n n =∈≤且
4．用列举法表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”{||2|3}x Z x ∈-=={-1，5}
5．问题：观察下列两组集合，说出集合A 与集合B 的关系（共性）
（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}
（2）A=N ，B=R
（3）A={x x 为北京人}，B= {x x 为中国人}
(4)A ＝∅，B ＝{0}
（集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素）
三、师生探究
通过观察上述集合间具有如下特殊性
(1)集合A 的元素-1，1同时是集合B 的元素.
(2)集合A 中所有元素，都是集合B 的元素.
(3)集合A 中所有元素都是集合B 的元素.
(4)A 中没有元素，而B 中含有一个元素0，自然A 中“元素”也是B 中元素.
由上述特殊性可得其一般性，即集合A 都是集合B 的一部分.从而有下述结论.
四、数学理论
1.子集
定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素
都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集
合A.记作A ⊆B （或B ⊇A ），这时我们也说集合A 是集合B 的子集.
请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.
2．真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真
R Q Z N 子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A 这应理解为：若A ⊆B ，且存在b ∈B ，但b ∉A ，称A 是B 的真子集.
注意：子集与真子集符号的方向
3．当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A B （或
B A ）.
如：A ＝{2，4}，B ＝{3，5，7}，则A B.
4．说明
（1）空集是任何集合的子集Φ⊆A
（2）空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A
（3）任何一个集合是它本身的子集A A ⊆
（4）易混符号
①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；
集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合
如 Φ⊆{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}
五、巩固运用
例1（1） 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示
（2）判断下列写法是否正确 ①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A
解（1）：N ⊂Z ⊂Q ⊂R
（2）①正确；②错误，因为A 可能是空集；③正确；④错误；
思考1：A B ⊆与B A ⊆能否同时成立？
结论：如果A ⊆B ，同时B ⊆A ，那么A ＝B.
如：{a ，b ，c ，d}与{b ，c ，d ，a}相等；{2，3，4}与{3，4，2}相等；{2，3}与{3，2}相等. 问：A ＝{x ｜x ＝2m ＋1，m ∈Z}，B ＝{x ｜x ＝2n －1，n ∈Z}.（A=B ）
稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨.
思考2：若A B ，B C ，则A C ？
真子集关系也具有传递性若A B ，B C ，则A C.
例2写出{a 、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
分析：寻求子集、真子集主要依据是定义.
解：依定义：{a ，b}的所有子集是∅、{a}、{b}、{a ，b}，其中真子集有∅、{a}、{b}. 变式：写出集合{1，2，3}的所有子集
解：Φ、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}
猜想：(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？(1624=)
（2）集合{}n a a a ,,21Λ的所有子集的个数是多少？(n 2)
注：如果一个集合的元素有n 个，那么这个集合的子集有2n 个，真子集有2n －1个.
六、回顾反思
1．概念：子集、集合相等、真子集
2．性质：（1）空集是任何集合的子集Φ⊆A （2）空集是任何非空集合的真子集Φ A （A ≠Φ） （3）任何一个集合是它本身的子集A A ⊆
（4）含n 个元素的集合的子集数为n 2；非空子集数为12-n ；真子集数为12-n ；非空真子集数为22-n
七、课外练习
1．下列各题中，指出关系式A ⊆B 、A ⊇B 、A B 、A B 、A ＝B 中哪些成立：
(1)A ＝{1，3，5，7}，B ＝{3，5，7}.
解：因B 中每一个元素都是A 的元素，而A 中每一个元素不一定都是B 的元素，
故A ⊇B 及A B 成立.
(2)A ＝{1，2，4，8}，B ＝{x ｜x 是8的约数}.
解：因x 是8的约数，则x ：1，2，4，8
那么集合A 的元素都是集合B 的元素，集合B 的元素也都是集合A 的元素，故A ＝B. 式子A ⊆B 、A ⊇B 、A ＝B 成立.
2．判断下列式子是否正确，并说明理由.
(1)2⊆{x ｜x ≤10} 解：不正确.因数2不是集合，也就不会是{x ｜x ≤10}的子集.
(2)2∈{x ｜x ≤10} 解：正确.因数2是集合{x ｜x ≤10}中数.故可用“∈”.
(3){2}{x ｜x ≤10}
解：正确.因{2}是{x ｜x ≤10}的真子集.
(4) ∅∈{x ｜x ≤10}
解：不正确.因为∅是集合，不是集合{x ｜x ≤10}的元素.
(5) ∅{x ｜x ≤10}
解：不正确.因为∅是任何非空集合的真子集.
(6) ∅{x ｜x ≤10}
解：正确.因为∅是任何非空集合的真子集.
(7){4，5，6，7}{2，3，5，7，11}
解：正确.因为{4，5，6，7}中4，6不是{2，3，5，7，11}的元素.
(8){4，5，6，7}{2，3，5，7，11}
解：正确.因为{4，5，6，7}中不含{2，3，5，7，11}中的2，3，11.
3．设集合A={四边形}，B={平行四边形}，C={矩形} D={正方形}，试用Venn 图表示它们之间的关系。

4．已知A ＝{x ｜x ＜－2或x ＞3}，B ＝{x ｜4x ＋m ＜0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围. 分析：该题中集合运用描述法给出，集合的元素是无限的，要准确判断两集合间关系.需用数形结合.
解：将A 及B 两集合在数轴上表示出来
要使A ⊇B ，则B 中的元素必须都是A 中元素
即B 中元素必须都位于阴影部分内
那么由x ＜－2或x ＞3及x ＜－4m
知
－4m
＜－2即m ＞8
故实数m 取值范围是m ＞8
5．满足∅
A ⊆},,,{d c b a 的集合A 有多少个? 解析:由∅A 可知,集合A 必为非空集合;
又由A ⊆},,,{d c b a 可知,此题即为求集合},,,{d c b a 的所有非空子集。

满足条件的集合A 有
},{},{},{},{d c b a },,{},,{},,{},,{},,{d b c b d a c a b a },,{},,,{},,,{},,{d c a d b a c b a d c ,},,{d c b },,,{,d c b a 共十五个非空子集。

此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式12-n 进行检验，15124
=-，正确。

答案:15
6．已知},1{},,{xy B y x A ==，若B A =，求y x ,。

解析:B A =，即B A .两集合的元素相同，有两种可能：
⎩⎨⎧==xy y x 1解得⎩⎨⎧∈=R y x 1 ； ⎩⎨⎧==1y xy x 解得⎩⎨⎧=∈1y R x
∴1=x 或1=y 。

答案: 1=x 或1=y 。

八、教学后记
本节讲子集，先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出子集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质。