七年级数学几何图形初步(培优篇)(Word版 含解析)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）

1．问题情境1:如图1,AB∥CD,P是ABCD内部一点,P在BD的右侧,探究∠B,∠P,∠D之间的关系?

小明的思路是:如图2,过P作PE∥AB,通过平行线性质,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论)

问题情境2

如图3,AB∥CD,P是AB,CD内部一点,P在BD的左侧,可得∠B,∠P,∠D之间满足____关系。(直接写出结论)

问题迁移:请合理的利用上面的结论解决以下问题:

已知AB∥CD,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F

（1）如图4,若∠E=80°,求∠BFD的度数；

（2）如图5中,∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论。

（3）若∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF,设∠E=m°,用含有n,m°的代数式直接写出∠M=________.

【答案】（1）解：根据问题情境2，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF

∵,∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F

∴∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE

∴∠FBE+∠FDE=∠BFD

∵∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°

∴80°+∠BFD+∠BFD=360°

∴∠BFD=140°

（2）结论为：6∠M+∠E=360°

证明：∵∠ABM= ∠ABF,∠CDM= ∠CDF

∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM

∵∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F

∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM

∵∠ABE+∠CDE+∠E=360°

∴6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°

∵∠M=∠ABM+∠CDM

∴6∠M+∠E=360°

（3）证明：根据（2）的结论可知

2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°

2n（∠ABM+∠CDME）+∠E=360°

∵∠M=∠ABM+∠CDM

∴2n∠M+m°=360°

∴∠M=

【解析】问题情境1: 图1中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P+∠B+∠D=360°，问题情境2：图3中∠B,∠P,∠D之间关系是：∠P=∠B+∠D；

【分析】问题情境1和2 过点P作EP∥AB，利用平行线的性质，可证得结论。

（1）利用问题情境2的结论，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF，再根据角平分线的定义得出∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE，再证明∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°，就可建立方程80°+∠BFD+∠BFD=360°，解方程求出∠BFD的度数即可。

（2）根据已知可得出∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，再根据角平分线的定义得出，∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，然后根据问题情境1的结论∠ABE+∠CDE+∠E=360°，可推出6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°，变形即可证得结论。

（3）根据已知得出2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°，再根据∠M=∠ABM+∠CDM，代入变形即可得出结论。

2．如图，∠AOB=90°，∠BOC=30°，射线OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．

（1）求∠MON的度数；

（2）如果（1）中，∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数；

（3）如果（1）中，∠BOC=β（β为锐角），其他条件不变，求∠MON的度数；

（4）从（1）、（2）、（3）的结果中，你能看出什么规律？

【答案】（1）解：∠AOB=90°，∠BOC=30°，

∴∠AOC=90°+30=120°．

由角平分线的性质可知：∠MOC= ∠AOC=60°，∠CON= ∠BOC=15°．

∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，

∴∠MON=60°﹣15°=45°

（2）解：∠AOB=α，∠BOC=30°，

∴∠AOC=α+30°．

由角平分线的性质可知：∠MOC= ∠AOC= α+15°，∠CON= ∠BOC=15°．

∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，

∴∠MON= α+15°﹣15°= α

（3）解：∠AOB=90°，∠BOC=β，

∴∠AOC=β+90°．

由角平分线的性质可知：∠MOC= ∠AOC= β+45°，∠CON= ∠BOC= β．

∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，

∴∠MON= β+45°﹣β=45°

（4）解：根据（1）、（2）、（3）可知∠MON= ∠BOC，与∠BOC的大小无关

【解析】【分析】（1）先求得∠AOC的度数，然后由角平分线的定义可知∠MOC=60°，∠CON=15°，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（2）先求得∠AOC=α+30°，由

角平分线的定义可知∠MOC= α+15°，∠CON=15°，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解

即可；（3）先求得∠AOC=β+90°，由角平分线的定义可知∠MOC= β+15°，∠CON= β，最后根据∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（4）根据计算结果找出其中的规律即可．

3．综合题

（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度．

（2）对于（1）问，如果我们这样叙述：“已知点C在直线AB上，且AC=6cm，BC=4cm，点M、N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度．”结果会有变化吗？如果有，求出结果；如果没有，说明理由．

【答案】（1）解：∵AC=6cm，且M是AC的中点，

∴MC= AC= 6=3cm，

同理：CN=2cm，

∴MN=MC+CN=3cm+2cm=5cm，

∴线段MN的长度是5m

（2）解：分两种情况：

当点C在线段AB上，由（1）得MN=5cm，

当C在线段AB的延长线上时，

∵AC=6cm，且M是AC的中点

∴MC= AC= ×6=3cm，

同理：CN=2cm，

∴MN=MC﹣CN=3cm﹣2cm=1cm，

∴当C在直线AB上时，线段MN的长度是5cm或1cm．

【解析】【分析】（1）根据线段的中点定义，由M是AC的中点，求出MC、CN的值，得到MN=MC+CN的值；（2）当点C在线段AB上，由（1）得MN的值；当C在线段AB 的延长线上时，再由M是AC的中点，求出MC、CN的值，得到MN=MC﹣CN的值.

4．根据下图回答问题：