1.1.3解三角形的进一步讨论
三角形解的个数的进一步讨论
龙源期刊网 三角形解的个数的进一步讨论作者：刘振龙来源：《新课程·教师》2016年第03期在学习了正弦定理、余弦定理之后，学生经常对如何判断三角形解的个数而烦扰。
结合初中全等三角形的判定定理，若已知三角形的三边（且符合任意两边之和大于第三边）、两边一夹角、两角一边，则该三角形有唯一解。
但是如果已知三角形的两边及其中一边的对角时，解的情况又如何呢？普通高中课程标准实验教科书《数学必修5》在第8页到第9页的“探究与发现《解三角形的进一步讨论》”中有详细的说明（此处略），但分类种数较多，学生容易混淆结论，故在实际操作中仍存在很多困惑。
因此，针对学生的具体学情，笔者以课堂实例为依托，对已知“两边一对角”的三角形解的个数问题进行多种方法的探究讨论。
方法二：画圆找交点解：由于角A为已知角，故先画出角A，在角A的其中一边上确定顶点C，使得AC=24，即b=24，接着以点C为圆心，a=18为半径画圆，观察所画得的圆与角A的另一边出现的交点个数（交点即为三角形的顶点B），若没有交点，则说明该三角形无解；若只有一个交点，则说明该三角形解的个数为1个；若有两个交点，则说明该三角形解的个数为2个。
如图所示，以C为圆心，为半径所画得的圆与角A的另一边交于B1，B2两点，故该三角形有两解。
在判断交点个数时，可利用半径a与过点C作射线AB1的垂线段CH的长度大小进行对比：若a数学教学活动中，不断渗透、总结相关的数学思想并有效地理解掌握，对于寻找解题途径和提高解题能力具有重大意义。
上述方法体现了数学学习中常见的分类讨论思想、数形结合思想、化归思想等多种数学思想。
当面临问题时，先思考该问题所属类别，尽可能多地联想解决此类问题所能包含的各种数学思想，选择其中一种或多种思想予以解决。
所以，平时注重对数学思想的认识归纳和掌握，对于提升认识并解决问题的能力大有益处。
编辑尹军。
人教A版高中数学《必修5第一章解三角形》单元教材教学分析
第一课时：1.1.1正弦定理
通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
第二课时：1.1.2余弦定理
掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
第三课时：1.2解三角形应用举例（一）
学数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱。学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够。针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题。
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语
第四课时：1.2解三角形应用举例（二）
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题
说明
1．要在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法。
【重磅】新课标高中数学必修5全套教案
课题:§1．1．1正弦定理授课类型：新授课●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？CB Ⅱ.讲授新课[探索研究](图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c ==,A则sin sin sin a b c c A B C===bc 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==Ca (图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=，C同理可得sin sin cbCB=，ba从而sin sin abAB=sin cC=AcB(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
高中数学必修5教案全集
高中数学必修5教案全集第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
最新高中数学必修人教A版教案全套
高一数学教案(必修五)重庆铁路中学陈昭旭数学5 第一章解三角形课题:§1．1．1正弦定理授课类型：新授课●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin aA c=，sin b B c =，又sin 1cC c==, A 则sin sin sin a b c c A B C=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cb=， b a从而sin sin a b A B =sin cC=A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
解三角形研究性学习报告
《解三角形的进一步讨论》——研究性学习报告研究班级：高二（8）班小组组长：钱成玲小组成员：刘万童许海强丁志珺马海龙张鹏恩指导老师：魏兴文实施时间：2012年3月15日至2012年3月20日一、背景说明：在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事。
明月高悬，我们仰望星空，会有无限遐想。
不禁会问，遥不可及的月球离地球到底有多远？1671年，两个法国天文学家测出大约距离为385400千米。
他们是怎样测出的呢？在数学发展史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动。
解三角形的理论不断发展，并被用于解决许多测量问题方面。
二、课题目的和意义：三角形是基本的几何图形，三角形中的数量关系是基本的数量关系，有着极其广泛的应用。
我们将在以前学习的有关三角形、三角函数和解直角三角形的知识基础上，通过对于任意三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的变长与角度之间的数量关系，并解决一些实际问题。
学而不思则罔，只有通过自己的独立思考才能真正学会数学，同时应当掌握科学的思维方法，特别是学习类比、推广等数学思考方法，提高我们的数学思维能力。
三、研究内容：在生产、生活、科技和技术中，我们都会看到许多数学的应用，我们小组主要研究高中数学中以解三角形为中心的一系列问题。
其中包括正弦定理、余弦定理、以及解三角形在实际生活中的一些应用，有天文测量、航海测量和地理测量。
还有解三角形中的一些特殊问题——海伦公式和秦九韶独出的“三斜求积”公式。
四、研究方法：主要采用数学归纳法、合情推理、建立数学模型、数形结合法、类比、化归、推广等数学思考中常用的逻辑方法。
五、活动步骤及计划安排：（包括成员分工）1、确定研究课题——解三角形的进一步讨论2、成员分工：组长：钱成玲，负责与指导教师联系，获取课题信息和研究方法指导，积极协同课题组成员共同研究。
成员：刘万童、许海强负责收集课题材料。
丁志珺，负责对所收集的材料进行分类、整理。
马海龙，负责对收集的材料的综合整理，完成对研究性学习报告表的填写。
高一数学资源必修1---必修5总目录
高一数学资源必修1---必修5总目录高一数学资源(必修1---必修5)总目录必修1教案:1.1.1集合的含义与表示 1.1.2集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算 1.2.1函数的概念1.2.2函数的表示法1.3.1函数的单调性1.3.1函数的最大(小)值1.3.2函数的奇偶性2.1.1 指数与指数幂的运算 2.1.2指数函数及其性质2.2.1 对数与对数运算2.2.2对数函数及其性质2.3.1幂函数3.1.1方程的根与函数的零点 3.1.2用二分法求方程的近似解 3.2.1 几类不同增长的函数模型 3.2.2 函数模型的应用实例课件:1.1.1集合的含义与表示1.1.2集合间的基本关系1.1.3 集合的基本运算1.2.1函数的概念1.2.2函数的表示法1.3.1函数的单调性1.3.1函数的最大(小)值 1.3.2函数的奇偶性2.1.1 指数与指数幂的运算 2.1.2指数函数及其性质2.2.1 对数与对数运算2.2.2对数函数及其性质 2.3.1幂函数3.1.1方程的根与函数的零点 3.1.2用二分法求方程的近似解 3.2.1 几类不同增长的函数模型 3.2.2 函数模型的应用实例试卷:必修一第1单元考试试卷必修一第2单元考试试卷必修一第3单元考试试卷必修2教案:1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2.1 空间几何体的三视图 1.2.2 空间几何体的直观图1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积2.1.1 平面2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系2.2.1 直线与平面平行的判定2.2.2 平面与平面平行的判定 2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.2平面与平面垂直的判定2.3.3直线与平面垂直的性质3.1.1直线的倾斜角和斜率3.1.2两条直线的平行与垂直 3.2.1 直线的点斜式方程 3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程 3.3.1两直线的交点坐标3.3.2直线与直线之间的位置关系-两点间距离 3.3.3两条直线的位置关系―点到直线的距离公式4.1.1 圆的标准方程4.1.2圆的一般方程4.2.1 直线与圆的位置关系4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用课件:1.1.1柱、锥、台、球的结构特征1.2.1 空间几何体的三视图1.2.2 空间几何体的直观图1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 1.3.2 球的体积和表面积2.1.1 平面2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3 空间中直线与平面2.1.4平面与平面之间的位置关系 2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.2 平面与平面平行的判定 2.2.3直线与平面2.2.4平面与平面平行的性质2.3.1直线与平面垂直的判定 2.3.2平面与平面垂直的判定2.3.3直线与平面垂直的性质 3.1.1直线的倾斜角和斜率3.1.2两条直线的平行与垂直 3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程3.3.1两直线的交点坐标 3.3.2直线与直线之间的位置关系-两点间距离3.3.3两条直线的位置关系―点到直线的距离公式4.1.1 圆的标准方程4.1.2圆的一般方程4.2.1 直线与圆的位置关系 4.2.2 圆与圆的位置关系4.2.3 直线与圆的方程的应用试卷:必修二第1单元考试试卷必修二第2单元考试试卷必修二第3单元考试试卷必修二第4单元考试试卷必修3教案:1.1.1算法的概念1.1.2 程序框图1.2.1输入、输出语句和赋值语句 1.2.2-1.2.3条件语句和循环语句 1.3算法案例2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.2.1用样本的频率分布估计总体分布 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义3.1.3 概率的基本性质 3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生课件:1.1.1算法的概念1.1.2 程序框图1.2.1输入、输出语句和赋值语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1.3算法案例2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.2.1用样本的频率分布估计总体分布 2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征3.1.1随机事件的概率3.1.2概率的意义3.1.3 概率的基本性质3.2.1古典概型3.2.2 (整数值)随机数的产生 3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生试卷:必修三第1单元考试试卷必修三第2单元考试试卷必修三第3单元考试试卷必修4教案:1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.2.1向量的加法运算及其几何意义 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 2.3.1 平面向量基本定理2.3.2—2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 2.4.2平面向量数量积的运算律2.4.3平面向量数量积的坐标表示、模、夹角3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 3.2 简单的三角恒等变换课件:1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.2.1向量的加法运算及其几何意义 2.2.2 向量的减法运算及其几何意义 2.3.1—2.3.2 平面向量基本定理和坐标表示 2.3.3-2.3.4平面向量的坐标运算及向量共线的坐标表示2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义 2.4.2平面向量数量积的运算律2.4.3平面向量数量积的坐标表示、模、夹角3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式 3.2 简单的三角恒等变换试卷:必修四第1单元考试试卷必修四第2单元考试试卷必修四第3单元考试试卷必修5教案:1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.1.3解三角形的进一步讨论1.2解三角形应用举例2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和3.1不等式与不等关系3.2一元二次不等式及其解法3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域 3.3.2简单的线性规划3.4基本不等式课件:1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1.1.3解三角形的进一步讨论1.2解三角形应用举例(1)1.2解三角形应用举例(2)1.2解三角形应用举例(3)2.1数列的概念与简单表示法 2.2等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和3.1不等式与不等关系3.2一元二次不等式及其解法(1) 3.2一元二次不等式及其解法(2) 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域 3.3.2简单的线性规划 3.3.2线性规划(1)3.3.2线性规划(2)3.4基本不等式试卷:必修五第1单元考试试卷必修五第2单元考试试卷必修五第3单元考试试卷。
高中数学人教版必修5全套教案
1课题: §1．1．1正弦定理授课类型：新授课 ●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin bB c=，又sin 1cC c==, A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3)2思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
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（注意： A是锐角ABC是锐角三角形 ）
解： 72 52 32 ，即 a2 b2 c2 ，
∴ ABC是钝角三角形 。
[课堂小结] （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用。
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（五）评价设计（课时作业）
（1）在 ABC 中，已知b 4 ，c 10 ， B 300 ，试判断此三角形的解的情况。
（2）设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数 x 的取值范围。
[随堂练习 2]
（1）在 ABC 中，已知sinA:sinB :sinC 1:2:3 ，判断 ABC 的类型。 （2）已知 ABC 满足条件acosA bcosB ，判断 ABC 的类型。 （答案：（1） ABC是钝角三角形 ；（2） ABC 是等腰或直角三角形）
例 3．在 ABC 中， A 600 ，b 1，面积为
3 2
，求
sin A
a b c sin B sinC
的值
分析：可利用三角形面积定理 S
1 2
ab
sinC
1 ac sin B 2
1 2
bc
sin
A
以及正弦定理
a
b
sinA sinB
c sinC
a b c sin A sin B sinC
解：由 S
1 2
bc
sin
A
3 2
得c
2
，
则 a2 b2 c2 2bc cosA =3，即a 3 ，
（由学生阅读课本第 9 页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条
件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
[探索研究]
例 1．在 ABC 中，已知 a,b,A ，讨论三角形解的情况
分析：先由 sin B
b sinA a
可进一步求出
从而
sin
A
a b sin
B
c
sinC
a sin A
2
[随堂练习 3]
（1）在 ABC 中，若a 55 ，b 16，且此三角形的面积 S 220 3 ，求角 C
（2）在 ABC
中，其三边分别为
a、b、c，且三角形的面积 S
a2
b2 4
c2
，求角
C
（答案：（1） 600 或1200 ；（2） 450 ）
中，若 a
1，c
1 2
， C
400 ，则符合题意的
b
的值有_____个。
（3）在 ABC 中， a xcm ，b 2cm ， B 450 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求
x 的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3） 2 x 2 2 ）
例 2．在 ABC 中，已知a 7 ，b 5 ，c 3 ，判断 ABC 的类型。
B；
则C 1800 (A B )
从而c
a
sinC AΒιβλιοθήκη 1．当 A 为钝角或直角时，必须a b 才能有且只有一解；否则无解。
2．当 A 为锐角时，
如果a ≥b ，那么只有一解；
如果 a b ，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若a bsinA ，则有两解；
（2）若a bsinA ，则只有一解；
（3）若a bsinA ，则无解。
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 （三）学法与教学用具 学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。 教学用具：教学多媒体设备 （四）教学设想 [创设情景]
思考：在 ABC 中，已知a 22cm ，b 25cm ， A 1330 ，解三角形。
1．1．3 解三角形的进一步讨论 （一）教学目标 1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无 解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理， 三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。 3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数 的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事 物之间的内在联系。 （二）教学重、难点 重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（以上解答过程详见课本第 9 10 页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且
bsinA a b 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习 1]
（1）在 ABC 中，已知a 80 ，b 100 ， A 450 ，试判断此三角形的解的情况。
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（2）在 ABC
（3）在 ABC 中， A 600 ， a 1，b c 2 ，判断 ABC 的形状。 （4）三角形的两边分别为 3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程 5x 2 7x 6 0 的根，
求这个三角形的面积。
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