(优选)第二节二重积分的计算
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概率论 二重积分的计算(二)
1 o DD1 D12 x
2 ( y x2 )dxdy 2 ( x2 y)dxdy
D1
D2
201dx
1
x2
(
y
x2 )dy
201dx
x
0
2
(x2
y)dy.
例3.17——3.18不作要求
小结
一、二重积分在直角坐标系中计算
D
f (x, y)dxdy
b
dx
a
y2 ( x) y1 ( x )
2
dy
2 y y2
x2 y2 dx
D
0
0
二重积分在极坐标下的计算
例6 计算 (x2 y2 )dxdy，其中D由圆x2 y2 2y,
x2 y2 4y, x D 3y 0, y 3x 0所围成的平面区域.
解
x2 y2 2 y r 2sinθ
x2 y2 4 y r 4sin
当积分区域由直线和除圆以外的其它曲线围成时，
通常选择在直角坐标系下计算.
二重积分计算过程
选择坐标系
选择积分次序
化为累次积分
计算累次积分
二重积分在极坐标下的计算
二. 利用区域的对称性和函数的奇偶性计算二重积分
(1)若D关于y轴对称,则
2 f ( x, y)dxdy, f ( x, y) f ( x, y)
x
3y 0
θ1
π
6π
y 3x 0 θ2 3
故
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
4sin r 2 rdr
6
2sin
15( 2
3).
二重积分在极坐标下的计算
例7 求广义积分 I e x2 dx.(泊松积分,例3.19）
2 ( y x2 )dxdy 2 ( x2 y)dxdy
D1
D2
201dx
1
x2
(
y
x2 )dy
201dx
x
0
2
(x2
y)dy.
例3.17——3.18不作要求
小结
一、二重积分在直角坐标系中计算
D
f (x, y)dxdy
b
dx
a
y2 ( x) y1 ( x )
2
dy
2 y y2
x2 y2 dx
D
0
0
二重积分在极坐标下的计算
例6 计算 (x2 y2 )dxdy，其中D由圆x2 y2 2y,
x2 y2 4y, x D 3y 0, y 3x 0所围成的平面区域.
解
x2 y2 2 y r 2sinθ
x2 y2 4 y r 4sin
当积分区域由直线和除圆以外的其它曲线围成时，
通常选择在直角坐标系下计算.
二重积分计算过程
选择坐标系
选择积分次序
化为累次积分
计算累次积分
二重积分在极坐标下的计算
二. 利用区域的对称性和函数的奇偶性计算二重积分
(1)若D关于y轴对称,则
2 f ( x, y)dxdy, f ( x, y) f ( x, y)
x
3y 0
θ1
π
6π
y 3x 0 θ2 3
故
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
4sin r 2 rdr
6
2sin
15( 2
3).
二重积分在极坐标下的计算
例7 求广义积分 I e x2 dx.(泊松积分,例3.19）
高等数学第十章第二节二重积分的计算法课件.ppt
• 若积分区域为
y y y2(x)
D
y y1(x)
a
bx
则
f (x, y) d
b
dx
y2 (x) f (x, y) d y
D
a
y1( x)
• 若积分区域为
则
f (x, y) d
d
dy
x2 ( y) f (x, y) d x
D
c
x1( y)
y x x2 ( y) d
D
c
x x1( y) x
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
y y 2(x)
则
D
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
f (x, y) dx dy
b
2 (x)
a d x 1(x)
f
(x,
D
x o a y 1(x)b y) d y
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
例1. 计算 I D x2 yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y y y2(x)
D
y y1(x)
a
bx
则
f (x, y) d
b
dx
y2 (x) f (x, y) d y
D
a
y1( x)
• 若积分区域为
则
f (x, y) d
d
dy
x2 ( y) f (x, y) d x
D
c
x1( y)
y x x2 ( y) d
D
c
x x1( y) x
一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f (x, y) 0
且在D上连续时, 若D为 X – 型区域
y y 2(x)
则
D
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
f (x, y) dx dy
b
2 (x)
a d x 1(x)
f
(x,
D
x o a y 1(x)b y) d y
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
例1. 计算 I D x2 yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
高等数学第二节二重积分的计算优秀PPT
f
(x,
y) dx
d
y
X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
常记d为 (y) X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
在分割后的三个区域上分别使用积分公式
2
dy f(x,y)dx. c Y型区域的特点：穿过区域且平行于 x 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
D 高等数学第二节二重积分的计算
X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 . X型区域的特点： 穿过区域且平行于 y 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点 .
c y d
1( y) x 2( y)
例 1. 计算 xydxdy 其D 中 是由 y 直 1,x 线 2
0 R 2x2dy
D
R
80R(R2x2)dx
16 3
R3
x
R y
x2y2R2
25x
例4. 交换积分 : I次 03dx序 5x23 f(x, y)dy
0x3
解.
D5x2 9
y
25x 3
画图
0 y5
D
3y2 25
x
9y 5
9
y
25x or x 3y2 3 A(3,5) 25
D
f
(x,
y)d
x
d
y
b
a d
x 2 ( x) 1( x)
f
x,
yd y
(2)
( 1 ) 式 x ,后 先 y 积 对 ,对 ( 2 ) 式 分 y ,后 先 x 积 对 . 对
由 (1)化(为 2)或(由 2)化(为 1)称为交换积 . 分次
最新-第二节二重积分的计算方法-PPT文档资料
D
曲面 zf( x ,y ) 为曲顶柱体的体积．
用平面x=x0截立体， z 截得A(x0). 应用计算 “平行截面面积为 已知的立体求体积” y 的方法, y ( x ) 2
bx0 )
a
x
y ( x ) 1 得 f ( x , y ) dxdy dx ( x , y ) dy . f
1 2 2
x e dxdy ( 0 , 0 ), ( 1 , 1 ), 例 5 求 ， 其 中 D 是 以
D
2 2 y
( 0 , 1 ) 为 顶 点 的 三 角 形 .
e dy 解 无 法 用 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
2 y
x e
D
1 0
第二节
二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行， 同定积分按照定义进行计算一样，能够按照 定义进行计算的二重积分很少，对少数特别 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法—— 把 二重积分化为二次单积分（定积分）来 计算。
2 a 2 a
2
dy x ,y ) dx . dy ( x , y ) dx y f( 2 2f a 0 a a y
2 a
2a
D ( x y ) dxdy 例 4 求 ， 其 中 是 由 抛 物 线
2
y x x y 和 所 围 平 面 闭 区 域 .
根据二重积分的几何意义：二重积分是以 为顶的曲顶柱体的体积。故可以考虑用定积分应用中求 平行截面面积为已知的立体的体积的方法。
zf (x ,y )
o
a
dx x x
曲面 zf( x ,y ) 为曲顶柱体的体积．
用平面x=x0截立体， z 截得A(x0). 应用计算 “平行截面面积为 已知的立体求体积” y 的方法, y ( x ) 2
bx0 )
a
x
y ( x ) 1 得 f ( x , y ) dxdy dx ( x , y ) dy . f
1 2 2
x e dxdy ( 0 , 0 ), ( 1 , 1 ), 例 5 求 ， 其 中 D 是 以
D
2 2 y
( 0 , 1 ) 为 顶 点 的 三 角 形 .
e dy 解 无 法 用 初 等 函 数 表 示
积 分 时 必 须 考 虑 次 序
2 y
x e
D
1 0
第二节
二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行， 同定积分按照定义进行计算一样，能够按照 定义进行计算的二重积分很少，对少数特别 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法—— 把 二重积分化为二次单积分（定积分）来 计算。
2 a 2 a
2
dy x ,y ) dx . dy ( x , y ) dx y f( 2 2f a 0 a a y
2 a
2a
D ( x y ) dxdy 例 4 求 ， 其 中 是 由 抛 物 线
2
y x x y 和 所 围 平 面 闭 区 域 .
根据二重积分的几何意义：二重积分是以 为顶的曲顶柱体的体积。故可以考虑用定积分应用中求 平行截面面积为已知的立体的体积的方法。
zf (x ,y )
o
a
dx x x
(完整版)第二节二重积分的计算
即等于两个定积分的乘积.
例2 求 x2e y2dxdy, 其中D 是以 (0,0),(1,1),(0,1)
D
为顶点的三角形.
解 因 e y2dy 无法用初等函数表示,
所以, 积分时必须考虑次序.
x2e y2dxdy
1
dy
y x 2e y2 dx
0
0
D
e1 y2
y3 dy
1
1 y2e y2dy2 1 1 2
Oa
b x Oa
bx
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy
a
1 ( x)
D
3. 若区域如图, 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式. (利用积分区域的可加性)
y
D3
D1 D2
O
x
D
D1
D2
D3
例1 求 ( x2 y)dxdy,其中D是抛物线y x2和
0
3
60
6 e
例3 交换积分次序:
1
2 x x2
2
2 x
0 dx0
f ( x, y)dy 1 dx0 f ( x, y)dy
y
解 积分区域:
y2 x
y 2x x2
O
1
2x
原式=
1
dy
2 y
f ( x, y)dx
0
1 1 y2
例4 计算积分 I
1
2 1
dy
1
y
y e x dx
(
x,
y)dx)dy
D
即
f y)dx.
D
c
1( y)
高数讲义第二节二重积分的计算(一)
解：先画出积分区域 D ， 并确定 D 的类型
方法一：将 D 看做 Y 型区域
y x2
y x y2
(4 , 2)
2
y
x y2
0 1
x
(1 , 1)
1 y 2 , y2 x y2
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
1 2
x
2
1 0
y
(
d xd
x2
y
x4
)
1 2
dx
1 x2
0
1 2
(1 ( x3
3
x2)dx x5) 1
5
0
1 15
例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
解：画积分区域 两曲线的交点
x y2
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
· y M 2 y 2( x )
y
· M 2 y 2( x )
D
D
· M 1 y 1( x )
0a x b x
· M 1 y 1( x )
0 a x bx
类型 I （X 型）：D 由直线 x = a , x = b 与曲线
y 1( x ) 和 y 2( x ) 所围成，即
D { ( x, y ) | a x b, 1( x) y 2( x) }
dx
y
A(x)
0
a
z f ( x, y)
y 1( x )
方法一：将 D 看做 Y 型区域
y x2
y x y2
(4 , 2)
2
y
x y2
0 1
x
(1 , 1)
1 y 2 , y2 x y2
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
x y d x d y
2 1
d
y
y2 y2
xy d x
D
1 2
x
2
1 0
y
(
d xd
x2
y
x4
)
1 2
dx
1 x2
0
1 2
(1 ( x3
3
x2)dx x5) 1
5
0
1 15
例 2 求 ( x2 y)dxdy，其中D是由抛物线
D
y x2和 x y2所围平面闭区域.
解：画积分区域 两曲线的交点
x y2
y x2
x
(0,0) y2
, (1,1),
· y M 2 y 2( x )
y
· M 2 y 2( x )
D
D
· M 1 y 1( x )
0a x b x
· M 1 y 1( x )
0 a x bx
类型 I （X 型）：D 由直线 x = a , x = b 与曲线
y 1( x ) 和 y 2( x ) 所围成，即
D { ( x, y ) | a x b, 1( x) y 2( x) }
dx
y
A(x)
0
a
z f ( x, y)
y 1( x )
高等数学 第二节 二重积分的计算
图示法
• 写出积分限
(先积一条线 , 后扫积分域)
不等式
充分利用对称性 • 计算要简便
应用换元公式
第十章 第二节
30
(2)
被积函数形如
f (x2 y2) ,
f
y x
,
f
x y
。
第十章 第二节
22
例9 将下列直角坐标系下的二次积分化为极坐 标系下的二次积分。
1
4 x2
2
4 x2
(1) dx
f ( x , y)dy dx
f ( x , y)dy
0
1 x2
1
0
R
Rx x
R
R2 x2 x
5
(3) 如果二重积分 f ( x , y)dxdy 的被积函数 f (x , y)
D
是两个函数 f1( x) , f2( y) 的乘积，f ( x , y) f1( x) f2( y)，
积分区域 D {(x , y) a x b , c y d}，则该二重积
分等于两个定积分的乘积，即:
D
极坐标系中的面积元素
i
o
d rdrd
f (x , y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd
D
D
第十章 第二节
18
极坐标系下二重积分化为二次积分的公式
(1) 极点在积分区域的边界曲线外
区域特征如图
r 1( )
D
1( ) r 2( )
o
f (r cos , r sin )rdrd
D
a
1 ( x )
• 若积分区域为 Y 型
则
f ( x , y)d
9-2-二重积分的计算法
1
x
4
x
xyd
xyd
xyd
0 dx
xydy
x
1
dx xydy x2
D
D1
D2
1 y2 x
4 y2 x
0
x
2
dx
x
1
x
2
dx x2
0
4 1
x
x 2
(
x
2)2 2
dx
5
5 8
由此可见，这里用公式(1)来计算比较麻烦.
从例 2，例 3 可见，积分次序选择不同，二重积分计算
域，化成二次积分时，积分的上下限均为常数.若先对 y 积
分，把 x暂定为常数，y 的变化范围由 1 到 2，然后再对 x从
0 到 1 积分，于是得
xy2dxdy
D
1
dx
2 xy2dy
01
1
x
0
y3 3
2
1
dx y
7 3
1
xdx
7
0
6
方法二 如图99，若先对 x积 2
分，后对 y积分，则得
从而有 D
f (x, y)d
b a
2 ( x) 1 ( x)
f
(x,
y)dy
dx
(1)
或写成
f (x, y)d
b
dx
2 (x) f (x, y)dy
D
a
1 ( x)
(1')
这个公式表明，二重积分可以化为先对 y，后对 x 的
二次积分来计算.先对 y 积分时，应把 f (x, y)中的 x 看作常
表示（图9-5），其中1( y),2 ( y) 在区间c, d 上连续，这样的
13 第二节 二重积分的计算
x 1( y)
c
D
x 1( y) x 2( y)
c
D
x 2( y)
x 轴的直线与区域 边界相交不多于两
个交点.
f ( x, y)d
d
[
2( y) f ( x, y)dx ]dy
D
c 1( y)
D
:
1
(
y)
x
2(
y) ,
c y d
D
f ( x, y)d
d
dy
2( y) f ( x, y)dx.
确定表示积分区域D的不等式组, 常采用下述步骤：
step1 画出积分区域D的图形, 结合积分域和被积函数 考虑先对哪个变量积分更方便些.
step2 若先对y积分, 则找出D在x轴上的投影区间[a,b].
过任一点 x[a,b]作平行于y轴的直线与区域D相交,
从下往上看: 该直线进入D的边界曲线 y=1(x) 作为
计算积分 I
1
dy 2
cos x 1 cos2 x dx.
0 arcsin y
被积函数为分段函数的二重积分如何计算?
一般是将积分区域适当分块, 使被积函数在各个子块 上都表示为初等函数形式, 然后分别计算各个子块上 的积分并求和.
例9 计算 | y x2 |dxdy. 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
c
1( y)
先对x, 后对y 的二次积分.
例2 计算 y2 sin xydx dy , D由 y 0, y x , x 1 所围.
D
解
D
:
y 0
x y
1 1
y 1
xydxdy
1
0
dy
大学高数下--二重积分的计算
D1
(C ) 4 ( xy cos x sin y)dxdy ; (D) 0
D1
例 2：I | xy | dxdy , 其中 D : x y 1
D
D1、D2关于原点对称，| xy | 关于 x, y 为偶函数
D3D4关于原点对称，| xy | 关于x, y为偶函数
D3D1关于y轴对称，| xy | 关于x为偶函数
, ,
D1
D2 D3
D4 D1
D3
I＝4
xydxdy 4
1
dx
1 x
xydy
1
0
0
6
D1
D3 D1 D2 D4
例3 计算 xydxdy , 其中 D 为由下列
D
双纽线所围成： (1) ( x2 y2 )2 2( x2 y2 ) ;
2、极点O在D的边界上 区域特征如图
()
D
,
0 ( ).
o
A
f ( cos , sin )dd
D
( )
d 0 f ( cos , sin )d .
二重积分化为二次积分的公式（３）
3、极点O在D的内部 区域特征如图
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
例 8 求 ( x 2 y)dxdy，其中 D 是由抛物线
D
y 2 x2及 y 1 x2 所围成的闭区域.
例9 求 xydxdy，其中 D 是由直线 y x 1及
(C ) 4 ( xy cos x sin y)dxdy ; (D) 0
D1
例 2：I | xy | dxdy , 其中 D : x y 1
D
D1、D2关于原点对称，| xy | 关于 x, y 为偶函数
D3D4关于原点对称，| xy | 关于x, y为偶函数
D3D1关于y轴对称，| xy | 关于x为偶函数
, ,
D1
D2 D3
D4 D1
D3
I＝4
xydxdy 4
1
dx
1 x
xydy
1
0
0
6
D1
D3 D1 D2 D4
例3 计算 xydxdy , 其中 D 为由下列
D
双纽线所围成： (1) ( x2 y2 )2 2( x2 y2 ) ;
2、极点O在D的边界上 区域特征如图
()
D
,
0 ( ).
o
A
f ( cos , sin )dd
D
( )
d 0 f ( cos , sin )d .
二重积分化为二次积分的公式（３）
3、极点O在D的内部 区域特征如图
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
例 8 求 ( x 2 y)dxdy，其中 D 是由抛物线
D
y 2 x2及 y 1 x2 所围成的闭区域.
例9 求 xydxdy，其中 D 是由直线 y x 1及