例题和作业
1压力钢管例题与作业
例题：某露天式压力钢管，管径D ＝3m ，跨中断面最大静水头0H =62m 。
水锤压力00.3H H ∆=，钢管允许应力[]127.5σ=MPa ，焊缝系数0.95φ=，若将允许应力降低20％。
试确定管壁厚度，并验算是否应设刚性环？若其钢管轴向倾角030α=，求径向水压力在此非钢性环断面的管壁顶点(00θ=)和水平轴线(2πθ=)处的环向应力？解：(1)3369.8110(620.362)312.210122[]0.820.95127.5100.8HD m mm γδφσ-⨯⨯+⨯⨯===⨯≈⨯⨯⨯⨯ 计 214mm δδ=+=计实构造要求：(a)D 3000447.75mm 800800＋＝＋＝ (b) 6mm最后取管壁厚度14mm δ=实(2)是否应设刚性环？D 300023mm 12(,2mm )130130mm δδ>=计计＝＝注：用不考虑的裕度 故需设刚性环。
(3) 环向应力(1-1断面)13060(cos cos )9.8110 1.5(80.6 1.5cos30cos )()0.0121.22610(80.6 1.299cos )()97.223(0)98.816()2r H r Pa Pa MPa MPa θγσαθδθθθπθ=-⨯⨯=-⨯⨯=⨯-⎧=⎪=⎨=⎪⎩作业：某电站采用露天式压力钢管，跨中断面最大作用水头为80.6m(包括水击压力)，钢管直径D=3m ，管厚16mm δ=,若其管轴线与地面夹角030α=，法向均布力(垂直管轴线)83.7/q kN m =水+管，支墩间距L=10m 。
求（1） 是否需设钢性环？（2） 管截面顶点由径向水压力产生的环向应力？（3） 由法向力在管壁顶点产生的轴向应力？解：(1) 30002314130130D mm mm δ==>=计 故需设刚性环。
(2) 管截面顶点由径向水压力产生的环向应力1300(cos cos )9.8110 1.5(80.6 1.5cos30cos 0)()0.01483.351r H r Pa MPaθγσαθδ=-⨯⨯=-⨯⨯= (3) 由法向力在管壁顶点产生的轴向应力2183.71083710M kN m =⨯⨯= 3022283710cos cos08.4623.14 1.50.014x M MPa r σθπδ⨯=-=-⨯=-⨯⨯。
数学实践性作业的例题
数学实践性作业的例题
问题描述
在实践性作业中，通常需要学生运用数学知识解决实际问题。
以下是一些例题，供参考。
例题1：汽车行驶速度
一辆汽车在一段时间内以匀速行驶，已知该段路程长100公里，行驶时间为2小时。
请计算这辆汽车的行驶速度。
例题2：供水管道
一条供水管道长1000米，直径为10厘米。
已知水在管道内的
流速为2米/秒，请计算水在管道中的流量。
解题思路
解题思路1：汽车行驶速度
行驶速度的定义是单位时间内行驶的路程。
由题可知，汽车行驶100公里所花费的时间为2小时，因此速度等于路程除以时间。
即：
速度 = 100公里 / 2小时
解题思路2：供水管道
流量的定义是单位时间内通过一定区域的流体的体积。
由题可知，水在管道内的流速为2米/秒，管道的横截面积可以通过直径计算得到。
因此，流量等于流速乘以横截面积。
即：
流量 = 2米/秒* (π * (10厘米/2)²)
结论
结论1：汽车行驶速度
该辆汽车的行驶速度为50公里/小时。
结论2：供水管道
水在管道中的流量为314.16立方厘米/秒。
注意：以上结论仅供参考，实际情况可能存在误差。
参考资料
- 无。
色谱例题,习题,作业
[例2-2]9.15化工0901
在一定条件下，如果n=3600，两个组分的保留时间分别为 12.2s和12.8s，计算分离度。要达到完全分离，即R=1.5，所需
要的柱长。
解：
t R1 4 12 .2 Wb1 4 0.8133 n 3600 t 4 12 .8 Wb 2 4 R 2 0.8533 n 3600
[例2-1]huagong0906 9.25
在一定条件下，两个组分的调整保留时间分别为85秒和 100秒，要达到完全分离，即R=1.5 。计算需要多少块有效 塔板。若填充柱的塔板高度为0.1 cm，柱长是多少？ 解： r21= 100 / 85 = 1.18 n有效 = 16R2 [r21 / (r21 —1) ]2 = 16×1.52 ×(1.18 / 0.18 ) 2 = 1547（块） L有效 = n有效· 有效 = 1547×0.1 = 155 cm H 即柱长为1.55米时，两组分可以得到完全分离。
欲达到分离度R为0.75及1.5时所需的理论塔板数.
2-2 在一根长度为3米的填充柱上，空气峰的保留时间为 1min，苯和环己烷的保留时间分别为14min和17min，环己烷的 峰宽为1min，为得到R=1.5的分离度，需要的最短柱长是多少？
2 (12.8 12.2) 0.72 分离度： R 0.8533 0.8133
R2 1 .5 L1 L2 1 4.34 m 0.72 R1
2
2
塔板数增加一倍，分离度增加多少？
习题
2-1 在一个柱效相当于4200块有效塔板数的色谱柱上，测得十八 烷 及 2- 甲 基 - 十 七 烷 的 调 整 保 留 时 间 分 别 为 15.05min 和
信号与系统第一章习题及作业(1,2)
(2)（余弦序列是否为周期信号，取决于2л/Ω0是正整 （余弦序列是否为周期信号，取决于 Ω 有理数还是无理数。） 数、有理数还是无理数。） 因此， 因此， 2л/Ω0=2л·7/8л=7/4=N/m Ω =2л·7/8л 所以基波周期为N=7； 所以基波周期为N=7； N=7
因为2л/Ω =16л 为无理数， (4) 因为 Ω0=16л,为无理数，则此信号不是周期 信号． 信号． (5) 因为周期信号在[-∞,+∞]的区间上,而本题的重 因为周期信号在[ ∞,+∞]的区间上, 的区间上 复区间是[0, +∞],则此信号为非周期信号 则此信号为非周期信号, 复区间是[0, +∞],则此信号为非周期信号,
f(n) 1 0 3 6 … n
9、判断是否为线性系统？为什么？ 、判断是否为线性系统？为什么？
( 3) ( 5) (7 )
y( t ) = ln y( t 0 ) + 3t 2 f ( t ) y( t ) = y( t 0 ) + f 2 ( t ) y( t ) = sin t ⋅ f ( t )
8、一个连续时间系统的输入-输出关系为 、一个连续时间系统的输入 输出关系为
1 t+T y ( t ) = T [ f ( t ) ] = ∫ T2 f (τ )d τ T t− 2 试确定系统是否为线性的？非时变的？因果的？ 试确定系统是否为线性的？非时变的？因果的？
解：积分系统是线性的，因此系统是线性系统。 积分系统是线性的，因此系统是线性系统。
sin ω 0 tε ( t )
sin ω 0 ( t − t 0 )ε ( t )tt0 Nhomakorabeat
sin ω 0 tε ( t − t 0 )
牛吃草问题 非常完整版例题讲解+课后作业
牛吃草问题例题讲解【例题1】青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。
改养廿三只，九周走他方；若养二十一，可作几周粮？（注：“廿”的读音与“念”相同。
“廿”即二十之意。
）【题意翻译】：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。
若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）【巩固】牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？【例题2】牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？【巩固】有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天？【例题3】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天？【巩固】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。
如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？【例题4】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？【巩固】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。
如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？【例题5】一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天．如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？【巩固】有一片草场，草每天的生长速度相同。
若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。
那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?【例题6】有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？【巩固】一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？【例题7】一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？【巩固】现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?【例题8】东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天．在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？【巩固】有甲、乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的3倍．30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地上的草．问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？【例题9】一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场．三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快．农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草．问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？【巩固】有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天．问：第三块草地可供多少头牛吃80天？【例题10】4头牛28天可以吃完10公顷牧场上全部牧草，7头牛63天可以吃完30公顷牧场上全部牧草，那么60头牛多少天可以吃完40公顷牧场上全部牧草？(每公顷牧场上原有草量相等，且每公顷牧场上每天生长草量相等)【巩固】有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷．草地上的草一样厚而且长得一样快．第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周．问：第三块草地可供50头牛吃几周？【例题11】三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷．第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周．问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周？【例题12】17头牛吃28公亩的草，84天可以吃完；22头牛吃同样牧场33公亩的草54天可吃完，几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完？(假设每公亩牧草原草量相等，且匀速生长)【例题13】有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快．它们的面积分别是133公顷、10公顷和24公顷．已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草，21头牛9星期吃完第二片牧场的草，那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草?【例题14】如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光(在这2天内其他草地的草正常生长)．之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光．然后牧民把13的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外23的牛放在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完．那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？【课后作业】1、牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则头牛96天可以把草吃完．2、仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。
力学题库1(例题与作业)
第一章质点运动学例1、质点沿x轴正向运动，加速度a=-kv，k为常数。
设从原点出发时速度为v0，求运动方程x=x(t)与速度—位移关系v=v(x)。
例2、已知斜抛运动的抛射角为θ，初速度为v0。
求其轨迹方程。
例3、如图，小船在绳子的匀速v0牵引下运动，已知h。
求θ位置时船的速度与加速度大小。
（两种方法）例4、有一轮以匀角速ω旋转，一质点自轮心沿水平轮轴以匀速v0向轮边移动。
求质点的轨迹方程，以及t时刻质点的速度和加速度大小。
*例5、一只狼沿着半径为R的圆形岛边缘按逆时针方向匀速跑动，当狼经过某点时，一只猎犬以相同的速率从岛中心出发追逐狼。
设追逐过程中犬、狼、岛中心始终在一直线上，求猎犬的轨迹和追上狼时的位置。
*例6、（上海高考题改编）下图为平静海面上拖船A、B拖着驳船C运动的示意图。
已知A、B的速度分别沿缆绳CA、CB方向，且A、B、C不共线。
以下说法正确的是（）（多选）（A）C的速度大小可能介于A、B的速度大小之间（B）C的速度一定不小于A、B的速度（C）C的速度方向可能在CA、CB的夹角之外（D）C的速度方向一定在CA、CB的夹角之内**例7、已知点P0(l,0)处有一小船，以长为l的线，拉着小船从原点向上走，小船沿着绳运动，PQ为P点切线，Q点恒在y轴上。
（1）以图中θ为参数，求P点的轨迹方程。
（曳物线）（2）若Q 点以匀速u 向上运动，求θ位置处P 点的加速度。
练习题1、一质点沿x 轴运动，其速度—时间关系为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t v 6sin 23ππ，式中各量均取国际单位。
已知当t =0时质点在x =-2m 处。
求：（1）2s 时质点的位置；（2）0s 至2s 质点的位移；（3）0s 和2s 两时刻质点的加速度。
2、一质点以初速度v 0=5i 开始离开原点，其运动加速度为a =-i -j 。
求：（1）质点到达x 坐标最大值时的速度；（2）上述时刻质点的位置。
3、如图所示，长为l 的棒的一端A 靠在墙上，另一端B 搁在地面上，A 端以恒定速率u 向下运动。
小学奥数-行程问题之变速问题-完整版例题+课后作业
行程板块之变速问题变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。
例题精讲:【例1】小红和小强同时从家里出发相向而行。
小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇。
若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇。
小红和小强两人的家相距多少米？【例2】甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。
相遇后甲比原来速度增加2米/秒，乙比原来速度减少2米/秒，结果都用25秒同时回到原地。
求甲原来的速度。
［例3］甲、乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A,B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行5千米，则相遇地点距C点16千米.甲车原来每小时行多少千米?［例4］甲、乙两车从A、B两地同时出发相向而行，5小时相遇；如果乙车提前1小时出发，则差13千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前1小时出发，则过中点37千米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时？【例5】如图，甲、乙分别从A、C两地同时出发，匀速相向而行，他们的速度之比为5:4,相遇于B地后，甲继续以原来的速度向C地前进，而乙则立即调头返回，并且乙的速度比相遇前降低1/5,这样当乙回到C地时，甲恰好到达离C地18千米的D处，那么A、C两地之间的距离是千米。
A B CD［例6］一列火车出发1小时后因故停车0.5小时，然后以原速的3/4前进，最终到达目的地晚1.5小时.若出发1小时后又前进90公里再因故停车0.5小时，然后同样以原速的3/4前进，则到达目的地仅晚1小时，那么整个路程为多少公里？【例7】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行.出发时，甲，乙的速度之比是5:4,相遇后甲的速度减少20%,乙的速度增加20%.这样当甲到达B地时，乙离开A地还有10千米.那么A、B两地相距多少千米？【例8】王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9,结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高1/6,于是提前1小时40分到达北京.北京、上海两市间的路程是多少千米？【例9】、一个极地探险家乘10只狗拉雪橇从甲营地赶往乙营地.出发4小时发生意外，由3只狗受伤，由7只狗继续拉雪橇前进速度为原来的十分之七,结果探险家比预定迟到2小时,如果受伤的3只狗能再拉雪橇21千米那么就可以比预定迟到1小时,求甲乙两营地的距离？【例10】甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。
小学数学 三角形 专题训练 完整版例题+课后作业
小学数学三角形专题训练完整版例题+课后作业小学数学三角形专题训练完整版例题+课后作业【前言】三角形是小学数学中的重要内容之一，对于学生的几何思维和逻辑推理能力有很大的培养作用。
为了帮助同学们更好地掌握三角形的相关知识，本文整理了一些完整版例题和课后作业，希望能够对同学们的学习有所帮助。
【例题一】已知△ABC中，∠A=90°，AB=5cm，AC=12cm，求BC的长度。
解析：根据勾股定理可知，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
代入已知数据，得到BC的平方为：BC² = AC² - AB²= 12² - 5²= 144 - 25= 119因此，BC≈√119≈10.92cm。
【例题二】已知△ABC中，AB=7cm，BC=4cm，∠ABC=30°，求AC的长度。
解析：根据余弦定理可知，三角形中一个边的平方等于另外两边的平方和减去它们的乘积的两倍再乘以这两边之间夹角的余弦。
代入已知数据，得到AC的平方为：AC² = AB² + BC² - 2×AB×BC×cos∠ABC= 7² + 4² - 2×7×4×cos30°= 49 + 16 - 56×0.866≈ 65.4因此，AC≈√65.4≈8.09cm。
【例题三】已知△ABC中，∠A=45°，AB=10cm，AC=8cm，求BC的长度。
解析：此题为45°-45°-90°特殊角三角形。
根据特殊角三角形的性质可知，两直角边的长度相等，和为斜边的根号2倍。
代入已知数据，得到BC=AB=10cm。
【例题四】已知△ABC中，△DEF为等边三角形，AB=DE=5cm，AC=DF=7cm，求BC的长度。
解析：由于△DEF为等边三角形，DE=EF=5cm。
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【例题3-2】钢筋混凝土四层框架计算简图如图3-13所示，层高均为4m ，重力荷载代表值G 1＝450kN ，G 2＝G 3＝440kN ，G 4＝380kN 。
体系的前三阶自振周期为：T 1＝0.383s ，T 2＝0.154s ，T 3＝0.102s 。
体系的前三阶振型见图3-13。
结构阻尼比ξ＝0.05，Ⅰ类建筑场地，设计地震分组第一组，抗震设防烈度为8度(设计基本地震加速度0.20s)。
试按振型分解反应谱法和底部剪力法分别确定该结构在多遇地震时的最大底部剪力。
(a )体系简图 (b )第一振型 (c )第二振型 (d )第三振型图3-13 例题3-2图【解】1.振型分解反应谱法 (1)计算地震影响系数由表3.2查得，抗震设防烈度为8度(设计基本地震加速度为0.20s)，在多遇地震时，αmax ＝0.16；由表3.3查得，Ⅰ类建筑场地，设计地震分组为第一组时，T g ＝0.25s 。
当阻尼比ξ＝0.05时，由式(3-32)和式(3-33)得γ＝0.9，η2＝1.0。
因T g ＜T 1≤5T g ，故109.016.00.1383.025.09.0max 21=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αηαγTT g0.1s ≤T 2，T 3≤T g ，故α2＝α3＝η2αmax ＝0.16。
(2)计算振型参与系数22221211111380)782.0508.0(440238.04501380)782.0508.0(440238.0450⨯++⨯+⨯⨯++⨯+⨯==∑∑==ni iini iiXm Xm γ＝1.338同理，可计算得γ2＝-0.462，γ3＝0.131 (3)计算水平地震作用标准值 第一振型时各质点地震作用F 1i ：F 11＝α1γ1X 11G 1＝0.109×1.338×0.238×450＝15.62kN F 12＝α1γ1X 12G 2＝0.109×1.338×0.508×440＝32.60kN F 13＝α1γ1X 13G 3＝0.109×1.338×0.782×440＝50.18kN F 14＝α1γ1X 14G 4＝0.109×1.338×1.0×380＝55.42kN 第二振型时各质点地震作用F 2i ：F 21＝α2γ2X 21G 1＝0.16×(-0.462)×(-0.605)×450＝20.12kN F 22＝α2γ2X 22G 2＝0.16×(-0.462)×(-0.895)×440＝29.11kN F 23＝α2γ2X 23G 3＝0.16×(-0.462)×(-0.349)×440＝11.35kN F 24＝α2γ2X 24G 4＝0.16×(-0.462)×1.0×380＝-28.09kN 第三振型时各质点地震作用F 3i ：F 31＝α3γ3X 31G 1＝0.16×0.131×1.542×450＝14.54kN F 32＝α3γ3X 32G 2＝0.16×0.131×0.756×440＝6.97kNF 33＝α3γ3X 33G 3＝0.16×0.131×(-2.108)×440＝-19.44kN F 34＝α3γ3X 34G 4＝0.16×0.131×1.0×380＝7.96kN (4)计算各振型水平地震作用下的底部剪力 V 11＝F 11＋F 12＋F 13＋F 14＝153.82kN V 21＝F 21＋F 22＋F 23＋F 24＝31.49kN V 31＝F 31＋F 32＋F 33＋F 34＝10.03kN (5)通过振型组合求结构的最大底部剪力222103.1049.3182.153++=V ＝157.33kN若只取前两阶振型反应进行组合，则22149.3182.153+=V ＝157.01kN只取一个振型：153.82/157.33=97.77% 只取两个振型：157.01/157.33=99.80% 补充：二层剪力：V 12＝F 12＋F 13＋F 14＝138.2kN V 22＝F 22＋F 23＋F 24＝12.37kN V 32＝F 32＋F 33＋F 34＝-4.51kN 通过振型组合求结构的最大二层剪力2222)51.4(37.122.138-++=V ＝138.83kN若只取前两阶振型反应进行组合，则22137.122.138+=V ＝138.75kN只取一个振型：138.2/138.83=99.55% 只取两个振型：138.75/138.83=99.84% 三层剪力：V 13＝F 13＋F 14＝105.6kN V 23＝F 23＋F 24＝-16.74kN V 33＝F 33＋F 34＝-11.48kN通过振型组合求结构的最大底部剪力2222)48.11()74.16(6.105-+-+=V ＝107.53kN若只取前两阶振型反应进行组合，则221)74.16(6.105-+=V ＝106.92kN只取一个振型：105.6/107.53=98.21% 只取两个振型：106.92/107.53=99.43% 四层剪力：V 14＝F 14＝55.42kN V 24＝F 24＝-28.09kN V 34＝F 34＝7.96kN通过振型组合求结构的最大底部剪力2222)96.7()09.28(42.55+-+=V ＝62.64kN若只取前两阶振型反应进行组合，则221)09.28(42.55-+=V ＝62.13kN只取一个振型：55.42/62.64=88.47% 只取两个振型：62.13/62.64=99.19% 2.底部剪力法(1)计算地震影响系数 由前可知，α1＝0.109 (2)计算结构等效总重力荷载∑==ni i G G 1eq 85.0＝0.85×(450＋440＋440＋380)＝1453.5kN(3)计算底部剪力eq 1Ek G F α=＝0.109×1453.5＝158.43kN(4)计算各质点的水平地震作用。
因T 1＝0.383s ＞1.4T g ＝0.35s ，所以需要考虑顶部附加地震作用。
由表3-5得：δn ＝0.08T 1＋0.07＝0.101则： ΔF n ＝δn F Ek ＝0.101×158.43＝16.0kN(1－δn )F Ek ＝(1-0.101)×158.43＝142.43(kN)又已知H 1＝4m ，H 2＝8m ，H 3＝12m ，H 4＝16m ， 则作用在结构各楼层上的水平地震作用为：则结构各楼层上的水平地震剪力为：V 4＝F 4＋ΔF n ＝51.92＋16.0＝67.92kN V 3＝F 3＋V 4＝67.92＋45.09＝113.01kN V 2＝F 2＋V 3＝113.01＋30.06＝143.07kN V 1＝F 1＋V 2＝143.07＋15.37＝158.44kN 或者用表格计算如下：由公式(3-79)和(3-77)计算各层地震作用和地震剪力，计算结果列于表3-7。
可见，底部剪力法的计算结果与振型分解反应谱法的计算结果是很接近的。
【例题3-3】试求图3-18所示两层框架的基本周期。
质点重力荷载G 1、G 2集中在楼层处。
G 1＝400kN ，G 2＝300kN ，层间侧移刚度K 1＝14280kN/m ，K 2＝10720kN/m 。
【解】1.能量法(图3-18a ) (1)计算各层层间剪力：首层层间剪力：V 1＝400＋300＝700kN ；二层层间剪力：V 2＝300kN 。
(2)计算各层楼层处的水平位移u i ：第一层：u 1＝V 1/ K 1＝700/14280＝0.049m ；第二层：u 2＝u 1＋V 2/ K 2＝0.049＋300/10720＝0.077m 。
(3)计算基本周期：由式(3-102)得：∑∑==≈ni ni i i ii u G u G T 1121/2＝2077.0300049.0400077.0300049.040022⨯+⨯⨯+⨯＝0.507s 2.折算质量法(图3-18b )(1)计算各层在单位力F ＝1作用下的侧移：x 1＝F /K 1＝1/(14280×103)＝7.00×10-8m/N ； x 2＝x 1＋F /K 2＝7.00×10-8＋1/(10720×103)＝16.33×10-8m/N ；x m ＝δ＝x 2＝16.33×10-8m/N 。
(2)计算折算质量M eq ：212eq/mni ii x x m M ∑==328282810)1033.16(80.9)1033.16(300)1000.7(400⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=---＝38112kg (3)计算体系的基本周期8eq 11033.163811222-⨯⨯==⋅πδπM T ＝0.495s3.顶点位移法由能量法已经求得在重力荷载当作水平荷载作用下的顶点位移为u T ＝0.077m ，且本例为剪切型结构，由式(3-115)计算结构基本周期为：T 18.1u T =＝077.08.1＝0.499s(a ) (b )图3-18 例题3-3图(a )能量法；(b )折算质量法1.已知某两质点弹性体系如图3-21，层间刚度k 1＝k 2＝21600kN/m ，质点质量为m 1＝m 2＝60×103kg ，试求该体系的自振周期和振型。
2.单自由度体系，结构自振周期T ＝0.496s ，质点质量G ＝260kN ，位于抗震设防烈度为8度的Ⅰ类场地上，设计基本地震加速度为0.30g ，设计地震分组为第一组，试计算该结构在多遇地震时的水平地震作用。
习题1图 习题3图3.三层框架结构如图3-22所示，横梁刚度为无穷大，位于抗震设防烈度为8度的Ⅱ类场地上，该地区设计基本地震加速度为0.30s ，设计地震分组为第一组，结构各层的层间侧移刚度及质量如图所示，结构的自振周期分别为T 1＝0.467s ，T 2＝0.208s ，T 3＝0.134s ，各振型为：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧334.0667.0000.1111213X X X ,⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧667.0666.0000.1212223X X X ,⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧019.4035.3000.1313233X X X 分别用振型分解反应谱法和底部剪力法计算该结构在多遇地震作用下的各层层间地震剪力。