北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分复习小结
x
1
2
例3、如图所示，已知曲线 C1
2
x t 0 t 1 与曲线 C1 、 2 C 分别相交于点 D 、B ，连结 OD, DA , AB 。写出曲边四边形 ABOD （阴影部分）的面积 S 与 的函数关 系式 S f t 。
直线 C2 : y x 2ax a 1 交于点 O 、A ，
四）、课堂练习：课本P95页复习题四A组 1、2
（
（五）、作业布置：课本P95页复习题四A 组4（1）、（8），5、10、11
五、教后反思：
a
奇函数，
a
f x dx
。
（二）、方法点拨： 1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题 步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范 围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积 分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分 清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形 面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求 出定积分。
0
2
2
1 3 2 2 S f t t at a t 0 t 1 6
例4、物体A以速度
v 3t 1
2
在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同 时，物体B在物体A的正前方5m处以 v 10t 的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相 遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位 为：s，速度单位为：m/s）
b
a
它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨 公式，F x 是 f x 的 。 b 7、计算定积分 f x dx F b F a a = = 。
8、若 f x 在 a, a上连续，且是偶函数，则有
a
a
f x dx
若 f x 在 a, a 上连续，且是
b a
计算 f x dx 时，若在 a , b 上 f x 0 则 a b 。若在 a , b 上 f x 0 a f x dx =
b
b
c, b 上 f x 0
a
f x dx =
b a
。 若在 a , c 上 f x 0，
1 3 1 3 3 1 3 2 2 2 2 2 t at t t 2at a t t at a t 6 3 2
．
1 3 1 3 2 t 2 x ax 0 t t at a t 2 3
t0
解：设A追上B时,所用的时间为 依题意有 t t 2 S A SB 5 即 0 (3t 1)dx 0 10tdx 5
0 0
t0 t0 5t0 5
3 2
t 0 =5 (s) 所以 S A =5t0
2
t0 (t0 1) 5(t0 1)
2 2
5 =130 (m)
y x 2 与 y 3x ，x 0
2
y
解 :由题意知阴影部分的面积是: S= 10 ( x 2 2 3x)dx 12 (3x x 2 2)dx 1 3 3 2 1 3 2 1 3 ( x 2 x x ) |0 ( x x 2 x) |12 3 2 2 3 1
0
b
a
（4）f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函 a a T 数，则 f ( x)dx f ( x)dx
0 T
其中正确命题的个数为 （ ） 答案：B A．1 B．2 C．3 D．4 学生练习，教师准对问题讲评。
例2、求由曲线
x ，
2 所围成的平面图形的面积。
: y x 与曲线
2
t
y x2 , 解：（Ⅰ）由 得点 2 y x 2ax, O 0, 0 , A a, a 2 ．又由已知得 B t , t 2 2at , D t , t 2 故 S t x 2 2ax dx 1 t t 2 1 t 2 2at t 2 a t
北师大版高中数学选修2-2 第四章《定积分》
一、教学目标：1、理解定积分的定义及几何意义， 理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且 熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似 代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的 计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。 二、学法指导：1、重点理解定积分的定义及几何意 义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理， 并且熟练计算一些函数的积分；2、定积分的概念是 运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；3、重 点掌握定积分的计算方法。 三、重点与难点：重点：理解并且掌握定积分算法； 难点：利用定积分的几何意义解决问题。 四、教学方法：探究归纳，讲练结合 五、教学过程
2、求简单旋转体体积的解题步骤：（1）画出旋转前 的平面图形（将它转化为函数）；（2）确定轴截面的 图形的范围；（3）确定被积函数；（4）v= b f 2 x dx
f ( x)dx 0，则f(x)>0； 例1、给出以下命题：（1）若 a 21 （2） dx F (2) F (1) , 则F(x)=lnx； 1 x 2 （3）应用微积分基本定理，有 sin x dx 4 ;
（一）、知识闪烁 1、 解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对 自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的 ，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度 趋于 时，过剩估计值和不足估计值都趋于 ； 误差趋于 。2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; n 3 、 lim f i xi = ；其中 叫做 n
f x dx =
。
5、定积分的性质： 1dx =
b
a
kf x dx =
b
。
。
a
。a f x g x dx =
b
。 （定积分对积分区间的可加性）a f x dx = 6、如果连续函数 f x 是函数 F x 的导函数， b 即 f x = ，则有 f x dx = 。
i 1
。
叫 4、 f a 的面积取
b
;
a叫做
b叫做
。
f x
的几何意义 x dx ，在x轴下方的面积取
；在x轴上方 。
f x dx
b a
的几何意义
；
f x dx 的几何意义
bx
b
b
a
a
f x dx 的关系
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③如图所示，当 f(x)在区间[a，b]上一部分大于 0，另一部
分小于 0 时，且各部分面积分别为 A1，A2，A3，A4，则 Nhomakorabeab
f(x)dx＝A1－A2＋A3－A4.
a
3．定积分的性质
由定积分的定义，可以得到定积分的如下性质：
(1)b[f(x)± g(x)]dx＝b f(x)dx±bg(x)dx；
该几何体的体积 V 等于所有小圆柱的体积和
V≈π[f2(x1)Δx1＋f2(x2)Δx2＋…＋f2(xi)Δxi＋…＋f2(xn)Δxn]． 这个问题是积分问题，则有
V＝bπf2(x)dx＝πb f2(x)dx.
a
a
知识结构
专题研究
•定积分的概念
•
已知某运动物体做变速直线运动，它的
速间度内v所是经时过间的t的路函程数s. v(t)，求物体在t＝0到t＝t0这段时
[解析] (1)分割： 将时间区间[0，t0]分成 n 等份： [i－n 1t0，ni t0](i＝1,2，…，n)， 每个小区间所表示的时间为 Δt＝tn0， 各区间物体运动的距离记作 Δsi(i＝1,2，…，n)．
(2)π(sinx－cosx)dx＝πsinxdx－πcosxdx
0
0
0
＝(－cosx)π0－sinxπ0＝2.
(3)21x－x2＋1xdx＝21xdx－21x2dx＋211xdx ＝x2221－x3321＋lnx21＝32－73＋ln2＝ln2－56.
(2)近似代替： 在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线 运动的距离： 在小区间[i－n 1t0，ni t0]上任取一时刻 ξi(i＝1,2，…，n)，用 时刻 ξi 的速度 v(ξi)近似代替第 i 个小区间上的速度．由匀速直 线运动的路程公式，每个小区间上物体运动所经过的距离可以 近似地表示为 Δsi≈v(ξi)Δt(i＝1,2，…，n)．
北师大版高中数学选修2-2第四章章末总结
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作章末总结知识点一 定积分的几何意义当f (x )≥0时，定积分ʃb a f (x )d x 在几何上表示曲线y ＝f (x )、直线x ＝a 、x ＝b 与x 轴围成的曲边梯形的面积．利用定积分的几何意义可以将一些定积分转化为对应图形的面积，计算一些简单的定积分．例1 求ʃ2－24－x 2d x 的值．知识点二 微积分基本定理利用微积分基本定理是计算定积分的常用办法，和定义比较起来大大减少运算量．在计算时主要是找被积函数的原函数，结合定积分的性质，根据牛顿—莱布尼茨公式进行计算．例2 求ʃ21⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x .例3 求ʃ31⎝⎛⎭⎫|x －2|＋1x 2d x 的值．知识点三 利用定积分求平面图形的面积和简单几何体的体积曲边梯形的面积或者可以分割成曲边梯形的图形的面积，可以根据定积分和相关公式进行计算．在计算中关键是确定积分的上限和积分的下限，要充分结合图形进行分析；由连续曲线y ＝f (x )、直线x ＝a 、x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的几何体，则该旋转体的体积为V ＝ʃb a π[f (x )]2d x .例4 求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝54π，y ＝0所围成图形的面积．例5 求由y ＝x ，y ＝x 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积．知识点四 定积分的物理意义利用定积分还可以解决一些变速运动的路程以及变力做功问题等，其基本思想和求曲边梯形的面积类似，主要是找到被积函数以及积分的上下限．例6 变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2，初始位置为x 0＝1，求它在前2秒内所走过的路程及2秒末所在的位置．知识点五 定积分的综合应用定积分是解决函数问题的一个工具，在一些问题中，可以通过建立函数模型，结合定积分的几何意义解决．例7 在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，如图所示，试在此区间内确定点t 的值，使图中的阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．答 案重点解读例1 解 根据定积分的几何意义，ʃ2－24－x 2d x 表示由直线x ＝－2，x ＝2，y ＝0以及曲线y ＝4－x 2所围成的曲边梯形的面积，而这个图形是以原点为圆心，以2为半径的上半圆，故ʃ2－24－x 2d x ＝2π.例2 解 ∵⎝⎛⎭⎫12x 2＋ln x ′＝x ＋1x .∴ʃ21⎝⎛⎭⎫x ＋1x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋ln x |21＝⎝⎛⎭⎫12×22＋ln 2－⎝⎛⎭⎫12＋ln 1＝32＋ln 2.例3 解 ʃ31⎝⎛⎭⎫|x －2|＋1x 2d x＝ʃ21⎝⎛⎭⎫|x －2|＋1x 2d x ＋ʃ32⎝⎛⎭⎫|x －2|＋1x 2d x＝ʃ21⎝⎛⎭⎫2－x ＋1x 2d x ＋ʃ32⎝⎛⎭⎫x －2＋1x 2d x .∵⎝⎛⎭⎫2x －12x 2－1x ′＝2－x ＋1x 2，⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －1x ′＝x －2＋1x 2，∴ʃ31⎝⎛⎭⎫|x －2|＋1x 2d x＝⎝⎛⎭⎫2x －12x 2－1x |21＋⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －1x |32＝53.例4 解所求面积S ＝ʃ54π－π2|sin x |d x＝－ʃ0－π2sin x d x ＋ʃπ0sin x d x －ʃ54ππsin x d x ＝1＋2＋⎝⎛⎭⎫1－22＝4－22.例5 解 画出图形V ＝ʃ10π[(x )2－x 2]d x ＝ʃ10π(x －x 2)d x ＝π⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3|10＝π6.例6 解 当0≤t ≤1时，v (t )≥0；当1≤t ≤2时，v (t )<0.所以，前2秒内所走过的路程为S ＝ʃ10v (t )d t ＋ʃ21[－v (t )]d t＝ʃ10(1－t 2)d t ＋ʃ21(t 2－1)d t＝⎝⎛⎭⎫t －13t 3|10＋⎝⎛⎭⎫13t 3－t |21＝2.2秒末所在的位置：x ＝x 0＋ʃ20v (t )d t ＝1＋ʃ20(1－t 2)d t＝1＋⎝⎛⎭⎫t －13t 3|20＝1＋2－83＝13. 所以它在前2秒内所走过的路程为2,2秒末所在的位置为x ＝13. 例7 解 面积S 1等于边长为t 与t 2的矩形的面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴、直线x ＝t 围成的面积，即S 1＝t ·t 2－ʃt 0x 2d x ＝23t 3. 面积S 2等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t 2，(1－t )，即S 2＝ʃ1t x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13. 所以阴影部分面积S 为：S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)， 由S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎫t －12＝0， 得t ＝0，或t ＝12. 由于当0<t <12时，S ′(t )<0； 当12<t <1时，S ′(t )>0， 所以S (t )在0<t <12上单调递减，在12<t <1上单调递增． 所以当t ＝12时，S 最小，即图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．。
高中数学 第四章 定积分章末小结知识整合与阶段检测课件 北师大版选修2-2.pptx
识 核心要点
整
归纳
合
与测
测
1
2
一、定积分 1．定积分的概念：
b
af(x)dx 叫函数 f(x)在区间[a，b]上的定积分． 2．定积分的几何意义：
b
当 f(x)≥0 时，af(x)dx 表示的是 y＝f(x)与直线 x＝a，x＝b 和 x 轴所围成的曲边梯形的面积．
3
3．定积分的性质：
5
三、定积分的简单应用 定积分的应用在于求平面图形的面积及简单旋转几何体的 体积，解题步骤为： ①画出图形．②确定图形范围，通过解方程组求出交点的横 坐标，定出积分上、下限．③确定被积函数．④写出平面图形面 积或旋转体体积的定积分表达式．⑤运用微积分基本定理计算定 积分，求出平面图形的面积或旋转几何体的体积．
4
二、微积分基本定理 1．如果连续函数 f(x)是函数 F(x)的导函数，即 f(x)＝F′(x)，
b
则af(x)dx＝F(x)| ab＝F(b)－F(a)． 2．利用微积分基本定理求定积分，其关键是找出被积函数
的一个原函数．求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆 运算，因此，应熟练掌握一些常见函数的导数公式．
6
(1)∫ba1dx＝b－a.
b
b
(2)akf(x)dx＝kaf(x)dx.
b
b
b
(3)a[f(x)±g(x)]dx＝af(x)dx±ag(x)dx.
b
c
b
(4)af(x)dx＝af(x)dx＋cf(x)dx.
定积分的几何意义和性质相结合求定积分是常见类型，多用于
被积函数的原函数不易求，且被积函数是熟知的图形．
第四章 定积分章末总结 教案(高中数学选修2-2 北师大版)
1．利用定义求定积分．步骤：(1)分割区间；(2)求过剩估计值、不足估计值；(3)取极限． 2．利用定积分的几何意义求定积分．3．利用微积分基本定理求定积分．若F ′(x )＝f (x )，⎠⎛abf (x )d x ＝F (b )－F (a )．求下列定积分：(1)⎠⎛3－39－x 2d x ；(2)⎠⎛e 1e |ln 3xx|d x . 【思路点拨】 (1)可用定积分的几何意义求解； (2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解．【规范解答】 (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为3的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，所以有⎠⎛3－39－x 2d x ＝π·322＝9π2. (2)∵|ln 3xx |＝⎩⎨⎧－ln 3x x ，1e≤x ≤1，ln 3xx ，1≤x ≤e ，∴⎠⎛e 1e |ln 3x x |d x ＝⎠⎛11e (－ln 3x x )d x ＋⎠⎛1eln 3x x d x .∵(ln 4x 4)′＝ln 3xx ，∴⎠⎛e 1e |ln 3x x|d x ＝－ln 4x 4|错误!＋错误!错误!错误!＝－ln 414＋ln 41e 4＋ln 4e 4－ln 414＝12.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x ≤π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2≤x ≤4，先画出函数图像，再求这个函数在[0,4]上的定积分．【解】 图像如图．⎠⎛04f (x )d x ＝⎠⎜⎛0π2sin x d x ＋⎠⎜⎛π221d x ＋⎠⎛24(x －1)d x ＝＝1＋(2－π)＋(4－0)＝7－π.广泛的应用．求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解．求由曲线y ＝x 2，y ＝x ，及y ＝2x 所围成的平面图形的面积．【思路点拨】 画出草图→求交点坐标→确定被积函数及积分上、下限→求定积分【规范解答】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 得A (1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 得B (2,4)．如图阴影部分面积为S ＝⎠⎛01(2x －x )d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛12(2x －x 2)d x ＝12x 2|10＋x 2|21－13x 3|21＝76. 故所围成的平面图形的面积为76.求抛物线y 2＝2x 和直线y ＝－x ＋4所围成的图形的面积．【解】 先求抛物线和直线的交点，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝－x ＋4，求出交点坐标为A (2,2)和B (8，－4)．法一 选x 为积分变量，变化区间为[0,8]，将图形分割成两部分(如图)，则面积为S ＝S 1＋S 2＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x＝423x 32⎪⎪⎪ 20＋(223x 32－12x 2＋4x )⎪⎪⎪82 ＝18.法二 选y 作积分变量，则y 的变化区间为[－4,2]，如图得所求的面积为S ＝⎠⎛2－4(4－y －y 22)d y ＝(4y －12y 2－16y 3)⎪⎪⎪2－4＝18.i i 理学中有“路程＝速度×时间”，“功＝力×位移”等等．故应用定积分可以研究物理学中变速运动物体行驶的路程(位移)、变力做功等问题．图4－1一物体在做变速直线运动，其v －t 曲线如图4－1所示，求该物体在12～6 s 间的运动路程．【思路点拨】 根据图像求出速度函数v (t )后，求定积分，求路程．【规范解答】 v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得s ＝⎠⎛612v (t )d t ＝⎠⎛1122t d t ＋⎠⎛132d t ＋⎠⎛36(13t ＋1)d t ＝t 2⎪⎪⎪⎪112＋2t ⎪⎪⎪ 31＋(16t 2＋t )⎪⎪⎪63＝494.即该物体在12～6 s 间的运动路程为494m.一物体在力F (x )(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向运动，力—位移曲线，如图4－2所示．求该物体从x ＝0处运动到x ＝4处，力F (x )做的功．图4－2 【解】 由力—位移曲线可知F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10(0≤x <2)，3x ＋4(2≤x ≤4)，因此该物体从x ＝0处运动到x ＝4处力F (x )做的功W ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x＝10x |20＋(3x 2＋4x )|42＝46(J).积分求曲边图形的面积．在做题前首先要画出图形，确定图形是在x 轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限．如图4－3所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小．图4－3【思路点拨】 确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值．【规范解答】 S 1的面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴，直线x ＝t 围成的面积．即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3；S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t 2,1－t ，即S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13.所以阴影部分面积S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t (t －12)＝0，得t ＝0或t ＝12，易知当t ＝12时，S 最小，所以最小值为S (12)＝14.计算由直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝(x －1)3围成的平面图形的面积． 【解】 画出直线x ＝－1，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝(x －1)3.所围成的图形如图所示．∴S ＝||⎠⎛1－1(x －1)3d x＋⎠⎛12(x －1)3d x ＝⎪⎪⎪⎪14(x －1)4|1－1＋14(x －1)4|21＝4.25.综合检测(四) 第四章 定积分(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.⎠⎛14x d x 表示平面区域的面积，则该平面区域用阴影表示为( )【解析】 由定积分的几何意义易知选项B 正确． 【答案】 B2．已知f (x )为偶函数，且⎠⎛6－6f (x )d x ＝8，则⎠⎛06f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16【解析】 由f (x )为偶函数，知f (x )的图像关于y 轴对称， 则⎠⎛6－6f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8，∴⎠⎛06f (x )d x ＝4.【答案】 B3．若⎠⎛0a (2－3x )d x ＝－2(a >0)，则a 的值为( ) A ．2 B.23C ．2或23D ．2或－23【解析】 ∵a >0，⎠⎛0a (2－3x )d x ＝(2x －32x 2)|a 0＝2a －32a 2，由题知2a －32a 2＝－2，解得a＝2.【答案】 A。
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的简单应用二定积分在物理中的应用(2)
例2、 一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速 度v=t2-4t+3 (m/s)运动,求:
(1)在t=4 s的位置;
(2)在t=4 s运动的路程.
(1)
4 (t2 4t 3)dt 0
4 3
,t=4s时刻该点距出发点4/3m
(2) S 1(t2 4t 3)dt | 3 (t2 4t 3)dt | 4 (t2 4t 3)dt 4
练习:
1.物体以速度 v(t) 3t 2 2t 3 (m/s)作直线运动,它
C 在时刻 t 0 (s)到 t 3 (s)这段时间内的位移是( )m
(A)9
(B)18
(C)27
(D)36
S
3
v(t )dt
0
3 0
(3t
2
2t
3)dt
(t
3
t
2
3t )
|03
27
2.以初速度 40 m s 垂直向上抛一物体, t s 时刻的速度
为 v 40 10t (单位: m s ),试将物体的高度表示为时
间 t 的函数式.(记起点的高度为 0m).
解:记物体时刻 t 的高度为 h(t ) ,∵ h(0) 0
∴
h(t )
t
h(0) 2021/3/290
(40
10
x)dx
=
40 x
5
x2
|0t
=
40t
5t 2
∴物体的高度表示为时间 t 的函数式为 h(t) 40t 5t 2
车在这 1 min 行驶的路程.
解:由速度──时间曲线可知:
3t (0≤ t ≤10)
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分复习小结
解：设A追上B时,所用的时间为 依题意有 t t 2 S A S B 5 即 (3 t 1) d x 1 0 td x 5 0 0
0 0
t0 t0 5t0 5
3 2
t 0 ( t 0 1) 5( t 0 1)
2 2
2
t0
=5 (s) 所以 S A = 5 t 0 5 =130 (m)
x
b
f
a
x dx =
5、定积分的性质： 1d x =
a
b
。
x g x d x =
b
b
kf
a
x d x =
。
b
a
f
。
。 （定积分对积分区间的可加性）a f x d x = 6、如果连续函数 f x 是函数 F x 的导函数， b 即 f x = ，则有 f x d x = 。
（一）、知识闪烁 1、 解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对 自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的 ，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度 趋于 时，过剩估计值和不足估计值都趋于 ； 误差趋于 。2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; n 3 、 lim f i x i = ；其中 叫做 n
；
计算 f x d x 时，若在 a , b 上 f x 0 则 a 。若在 a , b 上 f x 0 f x dx =
b a
b
f
a
x dx =
。 若在 a , c 上
0
f
x 0，
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念
y f (x)
a
b
x
5
积分上限
a f ( x )dx I
积分下限
b
lim f (i )xi
n i 1
n
被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
6
说明：
(1) 定积分是一个数值, 它只与被积函数及积分区间有关， 而与积分变量的记法无关，即
a f(x)dx a
(3)
b
b
b
f (t)dt a
a
b
f(u)du。
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
a f(x)dx - b f (x)dx
7
(二)、定积分的几何意义：
当 f(x)0 时，积分a f ( x)dx 在几何上表示由 y=f (x)、 xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
北师大版高中数学选修2-2第 四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽 车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于 几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概 念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解 掌握定积分的几何意义． 二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单 的定积分、定积分的几何意义． 教学难点：定积分的概念、定积分的几何意 义． 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程
ba Sn f (i )x f (i ) n i 1 i 1 如果 x 无限接近于 0（亦即 n ） 上述和式 S n 时， 无限趋近于常数 S ，那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区
n n
间 [ a, b] 上的定积分。记为： S
b
a
f ( x )dx
高中数学第四章 定积分 章末小结课件北师大版选修2
b a b a
1 dx = b - a k f（x）dx =
k∫
b a
f（x）dx （定积分的线性性质）
（其中 k是不为0的常数）
性质 3
b
a b
a b a
［f（x）± g（x）］dx f（x）dx ±
∫
b a c a
g（x）dx （定积分的线性性质） f（x）dx +
性质 4
f（x）dx =
∫
∫
b
位移为 s = s（t），速度为 υ=υ（t）， 加速度为 α=α（t） ′ t）= υ（t）， υ（ ′ t）=α（t）= 2√t + 1 则有 s（ 3 又 s（0）= 0 ，υ（0）= 1 t 4 2 t υ（t）- υ（0）= α（t）dt = 0 （ 2√t + 1 ）dt= 3 t + t 0 3 ∴ υ（t）= 4 t2 + t + 1 3 3 t t 4 2 s（t）- s（0）= （ t + t + 1 ）dt υ（t）dt = 0 3 0 5 5 1 2 8 2 1 2 8 2 = t + t + t 也即 s（t）= 15 t + 2 t + t 15 2 t∈［0，+∞）
2. 定积分的几何意义
从几何上看，如果在区间 [a ，b]上函数 f（x）≥ 0 ，那么定 b 积分 ∫ a f（x）dx 表示由直线 x = a ，x = b（a ≠ b），y = o 和 曲线 y = f（x）所围成的曲边梯形的面积.
主要性质和定理
3. 定积分的简单性质 性质 1 性质 2
∫ ∫ ∫ =∫ ∫
∫
1
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2. 定积分在几何中的应用
2012-2013高二北师大数学选修2-2第五课时第四章定积分小结与复习课件
2 故 S x 2ax dx t 0
1 2 1 t t t 2 2at t 2 a t 2 2
1 1 x3 ax 2 t0 t 3 t 2 at a t 2 3
b b a
a
说明：①推广：
蝌[f1 (x )北f2 (x ) L ? fm (x )]dx
a b b a
f1 (x ) dx 北蝌 f2 (x ) dx L ?
a
fm (x )
b ck
②推广: 蝌f (x )dx =
a
b
c1 a
f (x )dx +
f (x )dx + L + 蝌 c
1
c2
f (x )dx
S =
òa f (x )dx ；变速运动路程
òa
b
b
òt
t2
1
v( t) dt ；变力做功W =
F (r) dr
2）．定积分的几何意义
b ]上函数 f (x )连续 从几何上看， 如果在区间 [a,
且恒有 f (x )³ 0 ，那么定积分 òa f (x )dx 表示由直线 x = a,x = b ( a ? b ),y 0 和曲线 y = f (x )所围成的 曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积， 这就是定积 分 òa f (x )dx 的几何意义。
f (x ) dx = 性质 4 蝌 a
b c a
f1 (x ) dx ?
?a f (x )dx （定积分的线性
b
2
f (x ) dx +
高中数学北师大版选修2-2第4章 知识归纳：定积分的基本性质盘点
定积分的基本性质盘点一、定积分基本性质假设下面所涉及的定积分都是存在的，则有性质1 函数代数和（差）的定积分等于它们的定积分的代数和（差）．即[()()]()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．这个性质可推广到有限多个函数代数和的情形．性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号前，即()()bbaakf x dx k f x dx=⎰⎰（k 为常数）．性质3 不论a b c ，，三点的相互位置如何，恒有()()()bc baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰．这性质表明定积分对于积分区间具有可加性．性质4 若在区间[]a b ，上，()0f x ≥，则()0ba f x dx ⎰≥．推论1 若在区间[]a b ，上，()()f x g x ≤，则()()b baaf x dxg x dx ⎰⎰≤．推论2()()bbaaf x dx f x dx ⎰⎰≤．性质5 （估值定理）设函数()f x 在区间[]a b ，上的最小值与最大值分别为m 与M ，则()bbbaaamdx f x dx Mdx ⎰⎰⎰≤≤．证明：因为()m f x M ≤≤，由推论1得()bb baaamdx f x dx Mdx ⎰⎰⎰≤≤．即()bbbaaam dx f x dx M dx ⎰⎰⎰≤≤．故()()()bam b a f x dx M b a --⎰≤≤．利用这个性质，由被积函数在积分区间上的最小值及最大值，可以估计出积分值的大致范围．二、定积分性质的应用例1.比较定积分120x dx ⎰和130x dx ⎰的大小．分析：由都在区间[0，1]，无需求出积分值，只需比较被积函数大小即可． 解：由在区间[0，1]上，有x 2≥x 3．根据性质4的推论1，知120x dx ⎰≥130x dx ⎰．评注：利用性质，可减少计算量． 例2.计算：0|sin cos |x x dx π-⎰．分析：首先去绝对值，分0＜x ＜4π和4π＜x ＜π两个区间，分开运算． 解：0|sin cos |x x dx π-⎰＝4(cos sin )x x dx π-⎰＋4(sin cos )x x dx ππ-⎰＝(sinx ＋cosx)40|π＋(－cosx －sinx)4|ππ＝＋1)＋－1)＝．评注：这里用到了定积分对于积分区间具有可加性．例3.求函数f(x)＝3,[0,1][1,2]2,[2,3]x x x x x ⎧∈∈∈⎪⎩在区间[0，3]上的积分．分析：先分段，再运用性质． 解：由积分性质，知3()f x dx ⎰＝10()f x dx ⎰＋21()f x dx ⎰＋32()f x dx ⎰＝13x dx ⎰＋1⎰＋322x dx ⎰＝44x 10|＋3223x 21|＋2ln 2x 32|＝5412ln 2-．评注：⑴分段函数在区间[a ，b]上积分可分成几段积分的和的形式； ⑵分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段即可，无需分得过细．例4.估计定积分π30212sin dx x+⎰的值．分析：不用求出积分的值，可用估值定理解决． 解：∵当[0π]x ∈，时，0sin 1x ≤≤，∴320sin 1x ≤≤，由此有3222sin 3x +≤≤，32111322sin x+≤≤， 于是由估值定理得π302π1π322sin dx x+⎰≤≤．评注：运用的估值定理为大学涉及内容，不作要求，可以了解．。