两个平面平行
证明面面平行的方法
证明面面平行的方法面面平行是几何学中的一个重要概念，它指的是两个平面在空间中没有交点，且它们的法向量平行。
在实际问题中，我们常常需要证明两个平面是平行的，下面将介绍几种常用的方法来证明面面平行的情况。
首先，最直接的方法是利用平面的法向量来进行证明。
设有两个平面分别为平面α和平面β，它们的法向量分别为n1和n2。
要证明这两个平面平行，只需证明它们的法向量平行即可。
具体来说，如果n1与n2平行，则可以得出平面α和平面β是平行的。
因此，我们可以通过计算这两个法向量的夹角来判断它们是否平行。
若夹角为0度或180度，则说明这两个法向量平行，从而得出这两个平面是平行的。
其次，我们可以利用平面上的直线来证明平面的平行关系。
如果两个平面平行，那么它们在空间中的任意一条直线在这两个平面上的投影也是平行的。
因此，我们可以通过构造一条直线，然后在这两个平面上找到它们的投影，如果这两个投影是平行的，那么就可以得出这两个平面是平行的结论。
另外，我们还可以利用平行四边形的性质来证明平面的平行关系。
如果在空间中存在两个平行四边形，那么它们所在的平面也是平行的。
因此，我们可以通过构造平行四边形来证明两个平面的平行关系。
具体来说，我们可以在这两个平面上分别找到两个平行四边形，如果这两个平行四边形是平行的，那么就可以得出这两个平面是平行的结论。
最后，我们还可以利用向量的线性组合来证明平面的平行关系。
如果两个平面平行，那么它们上任意一点的法向量之间存在线性关系。
因此，我们可以通过选取这两个平面上的三个点，然后计算它们的法向量，如果这三个法向量之间存在线性关系，那么就可以得出这两个平面是平行的结论。
综上所述，我们可以利用平面的法向量、平面上的直线投影、平行四边形的性质以及向量的线性组合等方法来证明两个平面的平行关系。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来进行证明，以便更加方便和准确地得出结论。
通过掌握这些方法，我们可以更好地理解和运用平面的平行关系，为解决实际问题提供更多的思路和方法。
《两个平面平行》课件
平面平行的性质 定理：如果两个 平面平行，则它 们之间的直线也 是平行的。
03
平面平行的判定条件
判定条件一：若两平面内分别有两条相交直线，则两平面平行
• 定义：若两平面内分别有两条相交直线，则称这两平面为相交直线。 • 性质：若两平面为相交直线，则它们之间的距离为常数。 • 判定条件：若两平面内分别有两条相交直线，则这两平面平行。 • 证明：假设两平面分别为α和β，且它们内分别有两条相交直线a和b。由于a和b相交，它们确定一个平面γ。由于α和
• 应用：这个判定条件在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与平面几何相关的问题时。 以上内容仅供参考，具 体内容可以根据您的需求进行调整优化。
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判定条件三：若两平面分别与第三个平面交于两条相交直线，则 两平面平行
定义：若两平面 分别与第三个平 面交于两条相交 直线，则称两平 面平行。
β都与γ相交，根据平面的性质，α和β必然平行。 注：这个判定条件是平面平行的基本判定条件之一，它在几何学 中有着广泛的应用。
• 注：这个判定条件是平面平行的基本判定条件之一，它在几何学中有着广泛的应用。
判定条件二：若两平面分别与第三个平面交于两条平行直线，则 两平面平行
• 定义：若两平面分别与第三个平面交于两条平行直线，则称两平面平行。
性质证明：根据平面几何的基本性质，两平面平行意味着它们之间 的距离保持不变，因此它们不会相交，也就没有公共点。
性质应用：在几何学中，这一性质被广泛应用于证明和推导定理。
性质的意义：这一性质是平面几何中的基本概念之一，对于理解平 面几何的性质和定理具有重要意义。
性质二：若两平面平行，则它们没有公共直线
两个平面平行的性质
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目 录
• 定义与性质 • 两个平面平行的性质定理 • 两个平面平行在几何中的应用 • 两个平面平行的判定方法 • 两个平面平行的实际应用
01
定义与性质
平面平行定义
平面平行定义
两个平面没有公共点，则这两个平面 平行。
平行平面的性质
如果两个平面平行，则它们没有公共 点，且它们之间的距离保持不变。
在机械零件设计中，平面之间的平行关系对 于确保零件的精确配合和功能至关重要。例 如，在齿轮的设计中，齿面的平行关系决定 了齿轮的传动效率和稳定性。
空间几何中的应用
空间定位
在空间几何中，平面之间的平行关系用于确定物体的位置和方向。例如，在导航中，地 球上的经纬线形成平行的平面，用于确定地理位置和方向。
平面平行性质
1 2
3
性质1
如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线都与另一 个平面平行。
性质2
如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意直线都与另一 个平面垂直。
性质3
如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意点都与另一个 平面等距。
平面平行的判定定理
判定定理1
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
判定方法三
总结词
根据平面的性质，如果两个平面都垂 直于同一条直线，则这两个平面平行。
详细描述பைடு நூலகம்
如果两个平面都垂直于同一条直线， 那么这两个平面必然平行。这是因为 垂直于同一直线的两个平面必然是平 行的，因为它们都与这条直线形成相 同的角度。
05
两个平面平行的实际应用
建筑学中的应用
建筑设计
在建筑设计中，两个平面平行是常见的 几何关系。例如，在建筑物的立面设计 中，平行于地面的墙面和窗户常常用于 实现美观和功能性的设计。
证明两平面平行的判定定理
证明两平面平行的判定定理平面是我们日常生活中常见的几何概念之一，它是由无数个相互平行的直线组成的。
而判定两个平面是否平行，则是几何学中一个重要的问题。
在几何学中，有一个重要的定理可以帮助我们判定两个平面是否平行，即两平面平行的判定定理。
定理表述如下：如果两个平面都与一条直线平行，则这两个平面是平行的。
要理解这个定理，我们首先要明确什么是平行。
在几何学中，两条直线或两个平面平行，意味着它们的方向相同，永远不会相交。
也就是说，两个平面平行，其中任意一条直线都与另一个平面平行。
接下来，我们来证明这个定理。
证明：设有两个平面P和Q，它们都与一条直线L平行。
我们取平面P上的一条直线a，使其与直线L相交于点A。
然后，在平面Q上取一条与直线a平行的直线b，并使其与直线L 相交于点B。
由于直线a与直线L平行，所以直线a与直线b也平行。
现在，我们来证明平面P与平面Q平行。
假设平面P与平面Q不平行，那么它们一定会相交于一条直线。
设这条直线为m，它与平面P的交点为C，与平面Q的交点为D。
由于直线a和直线b都与直线L平行，所以它们与直线m也平行。
根据平面与直线的关系，直线a与平面P相交于点A，直线b与平面P相交于点B，直线a与直线m相交于点C，直线b与直线m 相交于点D。
根据平面与直线的性质，直线a与直线m相交于点C，那么点C必定在平面P上。
同理，点D也必定在平面Q上。
所以，点C既在平面P上，又在平面Q上，这与平面P与平面Q 不相交的条件矛盾。
因此，假设不成立，得出结论：平面P与平面Q平行。
如果两个平面都与一条直线平行，则这两个平面是平行的。
这个定理的证明使用了平面与直线的性质以及平行线的性质，通过构造相交的直线和平面，利用矛盾法得出结论。
这个定理为我们判定两个平面是否平行提供了一个有效的方法。
在实际应用中，我们可以利用这个定理来解决很多几何问题。
比如，在建筑设计中，我们可以通过判定两个墙面是否平行来确定房间的布局；在制图中，我们可以通过判定两条边是否平行来确定平行四边形的形状等等。
两个平面平行的性质
抽象概括：
平面与平面平行的判定定理：
一个平面内有两条相交直线与另一个平面平 行,则这两个平面平行. a 即：a b A α b
a∩ b=A b// β //β β
a// β
简述为：线面平行面面平行
回顾：已知正方体ABCD-A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1∥平面C1BD.
两个平面平行的性质
平面是经过点A与直线b的平面. 设 a // a a // b b a l a l
l
b
lbl
a
A
例1 一条直线垂直于两个平行平面中 的一个平面，它也垂直于另一个平面．
l
β
这个结论可作为两个 平面平行的性质 3
两个平面平行的性质
复习：
1、两个平面的位置关系 2、两个平面平行的判定方法
（a）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面 平行。（定义） （b) 两上平面平行的判定定理——两条相交直线 都平行于另一个平面 （c) “例1”——垂直于同一条直线的两个平面平行 (d) “例2”——平行于同一个平面的两个平面平行
BD, 且 //
AE // BD
B
D
证明：连结 DM并延长交于E，连AE、CE AB DE M AB和DE可确定一个平面
AE, BD, 且 //
AE // BD
M是AB的中点 AEM BDM DM ME, M 又 DN NC, MN // EC, 又 EC ，MN B MN //
E A
C
N
D
两个平面平行的性质
证明面面平行的判定定理
证明面面平行的判定定理
面面平行是立体几何学中一个非常重要的概念。
在三维空间中，
如果两个平面是平行的，那么它们永远不会相交。
而面面平行的判定
定理可以帮助我们准确地判断两个平面是否平行。
本文将详细介绍面
面平行的判定定理，包括定义、性质和应用。
一、定义
在三维空间中，两个平面是平行的，当且仅当它们的法线向量平行。
因此，要判断两个平面是否平行，我们只需要比较它们的法线向
量是否平行即可。
二、性质
1. 如果两个平面是平行的，那么它们永远不会相交。
2. 两个平面的法线向量分别为n和m，如果n和m平行，那么这
两个平面是平行的。
3. 如果两个平面是平行的，那么它们的法线向量长度相等。
三、应用
在求解立体几何学问题时，面面平行的判定定理是非常有用的。
比如，在计算两个平面之间的距离时，我们可以先判断它们是否平行，再利用向量的知识求解距离。
又比如，在求解两个平面的夹角时，我
们也可以利用这个定理来进行计算。
另外，在工程和建筑设计中，面面平行的判定定理也有着广泛的应用。
比如，在设计房屋或者建筑物时，我们需要保证墙壁之间是平行的，才能保证建筑物的稳定性和美观性。
此外，在工程测量中，面面平行的判定定理也可以用来判断不同建筑物的墙面是否平行，从而帮助我们得出准确的测量结果。
综上所述，面面平行的判定定理是立体几何学中一个非常重要的定理，它可以帮助我们准确地判断两个平面是否平行，并在工程、建筑设计和测量方面有着广泛的应用。
因此，学好面面平行的判定定理对我们的学习和工作都是非常有帮助的。
平面与平面平行的性质和判定
两个平面平行的性质定理与结论：（面面平行→线线平行）②如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。
（面面平行→线面平行）面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行⇒面面平行）面面平行的判定方法：①面面平行的定义：两个平面无公共点。
②判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂= ⇒ //αβ平面与平面平行的判定练习一、选择题；1．设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有 ( )①l ⊂α,m ⊂α,且l ∥β,m ∥β；②l ⊂α,m ⊂α,且l ∥m ；③l ∥α,m ∥β,且l ∥mA 1个B 2个C 3个D 0个2． 已知：命题：P ：α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等；命题：Q ：α∥β，则下面成立的是（ ）A P ⇒Q ，P ⇐QB P ⇐Q ，P ⇒QC P ⇔Q ，D P ⇒Q ， P ⇐Q3．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（ ）①α，β分别过两条平行直线；②a ，b 为异面直线，α过a 平行b ，β过b 平行a ；A ①B ②C ①②D 无4．下列命题中为真命题的是（ ）A 平行于同一条直线的两个平面平行B 垂直于同一条直线的两个平面平行C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．D若三条直线a、b、c两两平行，则过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c都平行．5．下列命题中正确的是( )①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④与同一直线成等角的两个平面平行A ①②B ②③C ③④D ②③④二、填空题；6．下列命题中正确的是（填序号）；①一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一直线的两个平面一定相互平行；④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；7．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系是；8．如右图,点P是光源,将投影片放在平面α内,问投影幕所在平面β与平面α______时,投影图象的形状不发生变化.三、解答题；9.平面α∥平面β，AB，CD是异面直线，M，N分别是AB，CD的中点，且A1∈α，BD∈β，求证：MN∥α.10．已知四面体ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，P为AC上一点，且AP：PC=2：1，求证：（1）BD∥面CMN；（2）平面MNP//平面BCD.11．在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1；。
11两个平面平行
4.已 知 ： 如 图 ， // ， 点 P是 平 面 ， 外 一 点 ， 直 线 PAB, PCD分 别 与 ， 相 交 于 点 A,B和 C,D: 求 证 ： (1)AC//BD;
P (2) 已 知 PA=4,AB=5,PC=3, 求 PD的 长 。
C
A
D
B
n
//
三、两个平面平行的性质 :
性质定理：如果两个平行平面同时和第 三个平面相交，那么它们的交线平行．
已知: ∥ , a , b . 求证: a ∥b
证明: 因为 ∥ ,
所以 与 没有公共点, 因而交线 a ,b也没有公共点, 又因为 a , b 都在平面 所以 a ∥ . b
平面//平面，直线a，b相交于点S，且直线a 分别交、于点A、B，直线b分别交、于点C、D, 已知AS=1，BS=2，CD=9，求线段CS的长。
S
A
C
[拓展提高]
b
D
S
a
B
C
A
b
D
a
B
巩固练习:
1.判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1).过已知平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行. (
AB A B ∥
A B∥ A B A A ∥B B
A′
B′
所 以 经 过 A A ， B B 能 确 定 一 个 平 面 ， 记 为 平 面 .
A A B B 是 平 行 四 边 形 A A B B .
A1 B1C 1
设D 是 A1 C 1上的点，且 A1 B // 平 面 B1 C D ，求 A1 D : D C 1 的值.
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1、若平面α∥平面β，直线a α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数多条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
2、设a，b是两条互不垂直的异面直线，过a，b分别作平面α，β对于下面4种情况①b∥α，
②b⊥α，③α∥β，④α⊥β可能的情况有()
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
3、a、b是异面直线，α、β表示平面，aα，bβ，甲：a∥β，b∥α乙：α∥β则甲是乙的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.不充分不必要条件
4、设a、b是异面直线，给出下列命题：
(1)经过直线a有且仅有一个平面平行于直线b。
(2)经过直线a有且只有一个平面垂直于直线b。
(3)存在分别经过直线a和b的两个平行平面。
(4)存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面。
其中错误的命题为()
A.(1)与(2)
B.(2)与(3)
C.(3)与(4)
D.仅(2)
5、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：
(1)AP⊥MN。
(2)平面MNP∥平面A1BD。
6、a和b是两条异面直线。
(1)求证：过a和b分别存在平面α和β，使α∥β。
(2)求证：a，b间的距离等于平面α与β的距离。
7、如图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间。
点A 、D ∈α，C 、F ∈γ，AC ∩β=B ，DF ∩β=E 。
(1)求证：EF DE BC AB =(2)设AF 交β于M ，AC ∥CF ，α与β间距离为h ′，α与γ间距离为h ，当h h '
的值是多少时，S ∆BEM 的面积最大?
8、下列命题中，错误的是()
A.三角形的两条边平行一个平面，则第三边也平行于这个平面。
B.平面α∥平面β，a α，过β内的一点B 有唯一的一条直线b ，使b ∥a 。
C.α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ的交线为a 、b 、c 、d ，则a ∥b ∥c ∥d 。
D.一条直线与两个平面成等角的这两个平面平行的充要条件。
9、已知α、β表示不同的平面，m 、n 表示不同的直线，则α∥β的一个充分条件是()
A.m ⊂α，n ⊂β，且m ∥n
B.m ⊂α，n ⊂β，且m ∥β，n ∥α
C.m ∥α，n ∥β，且m ∥n
D.m ⊥α，n ⊥β，且m ∥n 10、设平面α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS=18，BS=9，CD=34，则CS=。
11、已知AB 、CD 是夹在两平行平面α、β之间的两条线段，AB ⊥CD ，AB=2，AB 与平面α成30°角。
则线段CD 的范围是()A.(32,332)
B.［332，+∞)
C.(1，33
2) D.［1，+∞］
12、如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、M、N、Q分别为棱A1A、A1B1，A1D1与CB，CC1，CD的中点。
求证：平面EFG∥平面MNQ。
13、如图，已知平面α∥平面β，线段AB分别交α、β于M、N，线段AD分别交α、β于C、D；线段BF分别交α、β于F、E。
若AM=m，BN=n，MN=p，△FMC的面积为(m+p)(n+p)，
求证：△END的面积为
2) (p
m
m
n。