第2课时 圆周角定义和性质

2.若ABCD为圆内接四边形,则下列选项可能成 立的是 ( B ) A.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=1∶2∶3∶4 B.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶1∶3∶4 C.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=3∶2∶1∶4 D.∠A∶∠B∶∠C∶∠D=4∶3∶3∶2
3.如图所示,在圆内接四
边形ABCD中,∠B=30°, 则∠D= 150° .
解:BD=CD.理由如下:连接AD, ∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°, 即AD⊥BC,
又∵AC=AB,∴△ABC是等腰三角形, ∴BD=CD.
圆内接四边形的性质
如图所示,已知四边形ABCD为☉O的内接四边形. 求证 ∠BCD+∠BAD=180°,∠ABC+∠ADC=180°.
证明:连接OB,OD. ∵ BAD和 BCD所对的圆心 角之和为360°, ∠BCD和∠BAD分别为 BAD 和 BCD 所对的圆周角,
同弧所对的圆周角都相等.
再分别量出图中 AB所对 的圆周角和圆心角的度 数，比较一下，你什么 发现？
P
·O
A
B
如图，在⊙O中，AP为直径， ∠AOB和∠APB分别是 AB所对
的圆心角和圆周角，你认为∠AOB 与∠APB的大小具有什么关 系？说出你的理由.
∵OP=OB，
P
O·
A
B
∴∠OPB=∠OBP．
∵∠BCD+∠DCE=180°,
∴∠DCE=∠BAD.
[知识拓展]
1.圆周角定理包含两个独立的条件,可以分开使用,即“同弧或 等弧所对的圆周角相等”以及“在同圆或等圆中,同一条弧所 对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”.
2.若将“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”,则结论不一定成立.
3.圆内接四边形的外角等于它的内对角.
∵BC=CD,∴弧BC=弧CD,
∴∠DAC=∠BAC=12 ×60°=30°,
∴∠B=90°-∠BAC=60°, ∴∠B+∠BCD=180°,∴CD∥AB;
解:(2)连接OC,OD,如图所示, 由(1)知∠DAC=30°, ∴∠DOC=2∠DAC=60°, ∴△ODC为等边三角形, 又∵∠B=60°,∴△OBC为等边三角形, ∵AB∥CD,∴S△ADC=S△ODC,
4.圆内接四边形性质是解决有关角的计算和证明常用的结论.
1.如图所示,AB是☉O的直径,CD是
☉O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD等
于 (B )
A.16°
B.32°
C.58°
D.64°
解析:∵AB是☉O的直径, ∴∠ADB=90°.∵∠ABD=58°,∴∠A=90° -∠ABD=32°,由同弧所对的圆周角相等可得 ∠BCD=∠A=32°.故选B.
2.计算圆周角时,常转化为计算同弧所对的圆心角解决.
3.根据直径所对的圆周角是直角,构造直角三角形,利用直角三 角形的性质解决有关问题.
1.如图所示,点A,B,C都在☉O上,若∠C=35°,则 ∠AOB的度数为 ( D ) A.35° B.56° C.65° D.70°
解析:∠C与∠AOB是 AB所对的圆周角和圆 心角,由圆周角定理可得
1 2
∠AOB,即
∠AOB=2∠ACB,又因为∠AOB+∠ACB=84°,
所以2∠ACB+∠ACB=84°,解得∠ACB=28°.
故填28°.
4.如图所示,AB是☉O的直径,BD是☉O的弦,延长BD到 C,使AC=AB,BD与CD的大小有什么关系?为什么?
解析:在圆中,常作直径所对 的圆周角,构造直角后利用三 角形的性质求解.
∴∠ACB= 1∠AOB=44°.
2
1.在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧之间有 什么关系？
2.半圆（或直径）所对的圆周角是直角吗?90°的
圆周角所对弦是直径吗？
半圆（或直径）所对 的圆周角是直角，90°的 圆周角所对的弦是直径．
C2
C1
C3
A
·O
B
[知识拓展]
1.定理中的圆周角与圆心角是通过它们所对的同一条弧 联系在一起的,故不能把“同一条弧”这一前提条件省略.
左下图所示的是一圆柱形海洋馆,在这个海洋馆里,人们可以通 过其中的圆弧形玻璃窗( AB)观看窗内的海洋动物.右下图为海 洋馆的横截面示意图.
1.如右图所示,同学甲站在圆心O的位置,同学乙站在正对着 玻璃窗的靠墙的位置C,则他的视角(∠ACB)是圆心角吗?他 与甲的视角(∠AOB)有什么关系? 2.如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E,他们的视 角(∠ADB和∠AEB)的主要特征是什么?他们和同学甲的视 角(∠AOB)有什么关系?
又∠AOB=∠OPB+∠OBP， ∴∠AOB=2∠OPB，
即 P 1 AOB. 2
如图，在⊙O中，当 AB 所对的圆心角∠AOB与圆周角
∠APB具有如图所示的两种位置关系时，它们是否还具
有上述的数量关系？为什么？
P
P
O·
D
B A
O·ALeabharlann BD连接PO并延长交☉O于点D,
∵PD过圆心O,
∴∠APD= 1 ∠AOD,∠BPD= 2
又∵S△OBC=S△ODC,∴S△ABC=2S△OBC,
∴S△ACD∶S△ABC=1∶2.
4.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AB 是☉O的直径,∠BCD=120°,BC=CD. (1)求证CD∥AB; (2)求S△ACD∶S△ABC的值.
证明:(1)∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°,
∵∠BCD=120°,∴∠ACD=30°, ∵四边形ADCB是圆内接四边形, ∴∠DAB=180°-∠BCD=60°,
12∠BOD.
∴∠BPD-∠APD= 1∠BOD- ∠1 AOD.
2
2
∴∠APB= 12∠AOB.
P
O·
D
B A
P
连接PO并延长交☉O于点D,
∵PD过圆心O,
O·
A
B
D
∴∠APD=
1 2
∠AOD,∠BPD=
12∠BOD.
∴∠APD+∠BPD=
1 2
∠AOD+ 12
∠BOD.
∴∠APB= 12∠AOB.
∠AOB=2∠C=2×35°=70°.故选D.
2.如图所示,△ABC的顶点A,B,C都在☉O
上,∠OBC=25°,则∠A的度数为 ( B )
A.70°
B.65°
C.60°
D.50°
3.如图所示,点A,B,C都在☉O上,如果 ∠AOB+∠ACB=84°,那么∠ACB= 28° .
解析:由圆周角定理可得∠ACB=
圆周角的概念
我们把图中∠ACB、∠ADB、∠AEB这样的顶点在圆上，
两边与圆都相交的角叫做圆周角．
D
A
C O·
E
B
观察下列图形中的角都是圆周角吗?
【图(1)中∠APB是圆周角,图(2)和图(3)中 ∠AQB,∠ARB不是圆周角,图(4)中的∠ASB是 圆周角,而∠ASC不是圆周角】
请画一个圆，在这圆上截取一段 AB ，并画 出 AB 所对的任意的两个圆周角∠APB和 ∠AQB ，用量角器量出这两个角的大小.这两 个角具有什么关系？
圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等
于它所对的圆心角的一半.
(教材157页例2)如图所示,点A,B,C均在☉O 上,∠OAB=46°.求∠ACB的度数.
解:如图所示,连接OB. ∵OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA.
∵∠OAB=46°, ∴∠AOB=180°-2∠OAB
=180°-2×46°=88°.
∴∠BCD+∠BAD=180. 同理,∠ABC+∠ADC=180°.
结论:圆内接四边形的对角互补.
(教材160页例3)如图所示,已知四边形ABCD为☉O 的内接四边形,∠DCE为四边形ABCD的一个外角.求证 ∠DCE=∠BAD.
证明:∵四边形ABCD为☉O的内接 四边形, ∴∠BAD+∠BCD=180°.