高考考前小题冲刺训练(理科数学)六
2023届重庆高考冲刺训练数学试题及参考答案
2023年重庆高考冲刺训练数学试题及参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{y |y ＝x }，B ＝{x |y ＝x }，全集为R ，则A ∩(∁R B )等于()A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．{0,1}D ．{(0,0)，(1,1)}2．已知复数z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于()A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i3．已知|a |＝5，b ＝(1,2)，且a ∥b ，a ·b <0，则a 的坐标为()A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．(1，－2)D ．(－1，－2)4．甲、乙、丙三人参加社区义工活动，每人从编号为1到6的社区中任选一个，所选社区编号数各不相同且不相邻，则不同的选择方案的种数为()A ．12B ．24C ．36D ．485．已知数列{a n }满足a 1＝2，S n ＋1＝2(1＋S n )，若a 6是a m ，a 2n 的等比中项，m ，n ∈N *，则m ＋2n 等于()A ．12B ．123C ．22D ．46．如图所示，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为()A ．2B .15 C.13 D.37．如图，已知三棱锥P －ABC 的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝2，AB ＝2，球心O 到平面ABC 的距离为3，则球O 的体积为()A.32π3B.16π3C ．16πD ．32π8．已知f(x)＝x(l n x－a)，不等式f(x)≥x2－e x－1恒成立，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－1]B．(－∞，0]C．(－∞，1]D．(－∞，e]二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)9．已知函数f(x)＝sin2x＋3cos2x，则下列四个命题正确的是()A．f(x)的最小值为－2B．f(x)向右平移π3个单位长度后得到的函数是奇函数C．f(x)在0，π12上单调递增D．f(x)关于直线x＝7π12对称10．已知x>0，y>0，且x＋y＋xy－3＝0，则()A．x y的取值范围是[1,9]B．x＋y的取值范围是[2，＋∞)C．x＋4y的最小值是3D．x＋2y的最小值是42－311．有两个箱子，第1个箱子有3个白球，2个红球，第2个箱子有4个白球，4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中随机取1个球放到第1个箱子里，则下列判断正确的是()A．从第2个箱子里取出的球是白球的概率为2345B．从第2个箱子里取出的球是红球的概率为2245C．若从第2个箱子里取出的球是白球，则从第1个箱子里取出的是白球的概率为1523D．两次取出的球颜色不同的概率为5912．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝2a2.则下列结论正确的是()A．当E与D1重合时，异面直线AE与BF所成的角为π3B．三棱锥B－AEF的体积为定值C．EF在平面ABB1A1内的射影长为a2D．当E向D1运动时，二面角A－EF－B的平面角保持不变三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________．14．设曲线y＝12x2在点A1，12y＝x l n x在点P处的切线互相平行，则点P的坐标为________．15．以模型y＝c e k x(c>0)去拟合一组数据时，设z＝l n y，将其变换后得到经验回归方程z ＝2x－1，则c＝________.16．在△ABC中，AB＝2，AC＝23，BC＝4，点O为△ABC的外心，则AO→·BC→＝________，P是△ABC外接圆圆O上一动点，则PA→·(PB→＋PC→)的最小值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在①a3＋a11＝20，②a3S10＝310这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，若1a n a n＋1n∈N*)的前2023项和；若问题中的数列不存在，说明理由．问题：是否存在正项等差数列{a n}(n∈N*)，其前n项和为S n，且a1＝1，________？18．(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知a c o s C＋c c o s A＝3，a＝2b.(1)求a；(2)若S＝312(a2＋c2－b2)，求A.19．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，M为PD的中点．(1)求证：PB∥平面ACM；(2)求直线BM与平面PAD所成角的正弦值．20．(12分)某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动，凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加双人PK赢取“购书券”的游戏．游戏规则为：游戏共三局，每局游戏开始前，在不透明的箱中装有5个号码分别为1,2,3,4,5的小球(小球除号码不同之外，其余完全相同)．每局由甲、乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球(摸球者无法摸出小球号码)．若双方摸出的两球号码之差为奇数，则甲被扣除2个积分，乙增加2个积分；若号码之差为偶数，则甲增加n(n∈N*)个积分，乙被扣除n个积分．PK游戏开始时，甲、乙的初始积分均为零，PK游戏结束后，若双方的积分不等，则积分较大的一方视为获胜方，将获得“购书券”奖励；若双方的积分相等，则均不能获得奖励．(1)设PK游戏结束后，甲的积分为随机变量ξ，求ξ的分布列；(2)以(1)中的随机变量ξ的均值为决策依据，当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时，记正整数n的最小值为n0.①求n0的值，并说明理由；②当n＝n0时，求在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书券”奖励的概率．21．(12分)在平面直角坐标系中，已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点P(t，s)(s>0)为抛物线C上一点，P关于x轴对称的点为Q，且△OPQ和△OPF的面积分别为16和2.(1)求C的方程；(2)设点D(a,2)，A，B为抛物线C上不同的三点，直线DA，DB的倾斜角分别为α，β，且满足tanα＋tanβ＝1，证明：直线AB经过定点．22．(12分)已知函数f(x)＝ln x＋ax－b(其中a，b为参数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a＝1，函数g(x)＝f(x e x)有且仅有2个零点，求b的取值范围．参考答案1．B 2.B 3.D4.B5.A6.C7．A[如图，因为AC ＝BC ＝2，AB ＝2，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC .因为PA ⊥平面ABC ，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥BC .又AC ∩PA ＝A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥PC ，所以球心O 是PB 的中点．取AB 的中点D ，连接OD ，则OD ∥PA ，所以OD ⊥平面ABC ，所以OD ＝ 3.设球O 的半径为R ，在Rt △ODB 中，R ＝OB ＝OD 2＋DB 2＝(3)2＋12＝2，所以球O 的体积为43πR 3＝43×π×23＝32π3.]8．B[由题意可知x >0，由f (x )≥x 2－e x －1，可得a ≤e x －1x＋l n x －x .∵e x －1x ＋l n x －x ＝1e ·e x x ＋l n x e x ，令t ＝e xx ，则t ′＝e x x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，∴t ＝e xx在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴t ≥t (1)＝e ，因此令φ(t )＝1e t ＋ln 1t ＝1e t －ln t (t ≥e)，φ′(t )＝t －e t e ≥0，∴φ(t )在[e ，＋∞)上单调递增，故φ(t )≥φ(e)＝0，∴a ≤0.]9．ACD 10．BD[因为x >0，y >0，所以x ＋y ≥2xy ，所以3－xy ≥2xy ，解得0<xy ≤1，即0<xy ≤1，故A 错误；因为x >0，y >0，所以x y ，所以3－(x ＋y )，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥2，故B 正确；因为x ＋y ＋x y －3＝0，所以x ＝－y ＋3y ＋1＝－1＋4y ＋1，则x ＋4y ＝－1＋4y ＋1＋4y ＝4y ＋1＋4(y ＋1)－5≥2×4－5＝3，当且仅当4y ＋1＝4(y ＋1)，即y ＝0时等号成立．因为y >0，所以x ＋4y >3，故C 错误；x ＋2y ＝－1＋4y ＋1＋2y ＝4y ＋1＋2(y ＋1)－3≥42－3，当且仅当4y ＋1＝2(y ＋1)，即y ＝2－1时等号成立，故D 正确．]11．ABC[从第2个箱子里取出的球是白球的概率为35×59＋25×49＝2345，故A 正确；从第2个箱子里取出的球是红球的概率为35×49＋25×59＝2245，故B 正确；设从第2个箱子取出的球是白球为事件A ，从第1个箱子取出的球是白球为事件B ，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35×592345＝1523，故C 正确；两次取出的球颜色不同的概率为35×49＋25×49＝49，故D 错误．]12．BCD[当E 与D 1重合时，因为EF ＝22a ，此时F 为B 1D 1的中点，记BD中点为O ，连接D 1O ，如图，由正方体性质可知，BO ∥D 1F ，BO ＝D 1F ，所以四边形BOD 1F 为平行四边形，所以D 1O ∥BF ，所以AE 与BF 所成的角为∠AD 1O .又D 1O＝6a 2，AD 1＝2a ，AO ＝2a 2，所以cos ∠AD 1O ＝3a 22＋2a 2－a 222×6a2×2a＝32，故A 错误；V B －AEF ＝V A －BEF ，易知点A 到平面BB 1D 1D 的距离和点B 到直线B 1D 1的距离为定值，且EF ＝2a2为定值，所以三棱锥A －BEF 的体积为定值，故B 正确；易知∠A 1B 1D 1＝π4，EF 在平面ABB 1A 1内的射影在A 1B 1上，所以射影长为2a 2×cos π4＝a2，故C 正确；二面角A －EF －B 即为二面角A －B 1D 1－B ，显然其平面角不变，故D 正确．]13．8；14.(1,0)；15.1e 解析由z ＝l n y ，得l n y ＝2x －1，y ＝e 2x －1＝e －1·e 2x ，所以c ＝e －1＝1e.16．40解析因为AB 2＋AC 2＝BC 2，所以AB ⊥AC ，所以O 是BC 的中点．以A 为原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,23)，O (1，3)，AO →＝(1，3)，BC →＝(－2,23)，所以AO →·BC →＝4.圆O 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，－y )，PB →＝(2－x ，－y )，PC →＝(－x ,23－y )，所以圆上点P d min ＝r －1＝2－1＝1，所以PA →·(PB →＋PC →)的最小值为2×12－2＝0.17．解若选择①1＝1，3＋a 11＝a 1＋2d ＋a 1＋10d ＝20，所以d ＝32，所以a n ＝1＋(n －1)×32＝32n －12.由a 3S 10＝(1＋2d＋10×92d 310，得d ＝32(舍负)，因此a n ＝1＋(n －1)×32＝32n －12.因为1a n a n ＋1＝所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a 2023a 2024＝－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a 2023＝23×＝40466071.18．解(1)在△ABC 中，由a cos C ＋c cos A ＝3及余弦定理，可得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3，即2b 2＝23b ，则b ＝3，而a ＝2b ，所以a ＝ 6.(2)由S ＝312(a 2＋c 2－b 2)，得S ＝312×2ac ×cos B ＝36ac cos B ，又S ＝12ac sin B ，所以12ac sin B ＝36ac cos B ，则tan B ＝33，因为B ∈(0，π)，故B ＝π6，根据a ＝2b ，得sin A ＝2sin B ＝22，又A >B ，A ∈(0，π)，所以A ＝π4或3π4.19．(1)证明连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，如图，在正方形ABCD 中，N 为BD 的中点，而M 为PD 的中点，则PB ∥MN ，而MN ⊂平面ACM ，PB ⊄平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .(2)解取AB 的中点O ，连接PO ，如图，在正△PAB 中，PO ⊥AB ，因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB ∩底面ABCD ＝AB ，PO ⊂侧面PAB ，则PO ⊥平面在平面ABCD 内，过点O 作OE ⊥AB 交CD 于点E ，则射线OB ，OE ，OP 两两垂直，以O 为原点，射线OB ，OE ，OP 分别为x ，y ，z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，A (－1,0,0)，D (－1,2,0)，P (0,0，3)，－12，1AD →＝(0,2,0)，AP →＝(1,0，3)，BM →－32，1设平面PAD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)·AD →＝2y 1＝0，·AP →＝x 1＋3z 1＝0，令z 1＝1，得m ＝(－3，0,1)，设直线BM 与平面PAD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，BM →〉|＝|m ·BM →||m ||BM →|＝232×2＝32，所以直线BM 与平面PAD 所成角的正弦值为32.20．解(1)记“一局游戏后甲被扣除2个积分”为事件A ，“一局游戏后乙被扣除n 个积分”为事件B ，由题意可知P (A )＝C 12C 13A 22A 25＝35，则P (B )＝1－P (A )＝25，当三局均为甲被扣除2个积分时，ξ＝－6，当两局为甲被扣除2个积分，一局为乙被扣除n 个积分时，ξ＝n －4，当一局为甲被扣除2个积分，两局为乙被扣除n 个积分时，ξ＝2n －2，当三局均为乙被扣除n 个积分时，ξ＝3n ，所以P (ξ＝－6)＝27125，P (ξ＝n －4)＝C 23×25＝54125，P (ξ＝2n －2)＝C 13×35×＝36125，P (ξ＝3n )＝8125，所以随机变量ξ的分布列为ξ－6n －42n －23n P2712554125361258125(2)①由(1)易得E (ξ)＝(－6)×27125＋(n －4)×54125＋(2n －2)×36125＋3n ×8125＝6n －185，显然甲、乙双方的积分之和恒为零，当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时，则需E (ξ)＝6n －185>0，所以n >3，即正整数n 的最小值n 0＝4.②当n ＝4时，记“甲至少有一局被扣除积分”为事件C ，则P (C )＝1＝117125，由题设可知若甲获得“购书券”奖励，则甲被扣除积分的局数至多为1，记“甲获得‘购书券’奖励”为事件D ，易知事件CD 为“甲恰好有一局被扣除积分”，则P (CD )＝C 13×35×＝36125，所以P (D |C )＝P (CD )P (C )＝36125×125117＝413，即在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书券”奖励的概率为413.21．(1)解由题意知|PQ |＝2s ，所以△OPQ 的面积为12×t ×2s ＝ts ，则ts ＝16.①又因为焦点|OF |＝p 2，则△OPF 的面积为12×p 2×s ＝ps 4，则ps4＝2.②由①②联立解得t ＝2p ，s ＝8p，则p将P 点坐标代入抛物线方程得＝2p ·2p ，解得p ＝2，故C 的方程为y 2＝4x .(2)证明将D (a ,2)代入抛物线C 的方程得22＝4a ，解得a ＝1，所以D (1,2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋n ，＝my ＋n ，2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4n ＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n .因为tan α＋tan β＝1，即k DA ＋k DB ＝1，所以y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝1，所以y 1－2y 214－1＋y 2－2y 224－1＝4y 1＋2＋4y 2＋2＝1，整理得y 1y 2－2(y 1＋y 2)－12＝0，所以－4n －2×4m －12＝0，则n ＝－2m －3，所以直线AB 的方程为x ＝my －2m －3，即x ＋3＝m (y －2)，所以直线AB 经过定点(－3,2)．22．解(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －ax2.当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a >0时，令f ′(x )>0，解得x >a ，令f ′(x )<0，解得0<x <a ，11所以f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)当a ＝1时，g (x )＝f (x e x )＝ln x e x ＋1x e x －b ＝ln x ＋x ＋1x ex －b ，g ′(x )＝1x ＋1－x ＋1x 2e x ＝(x ＋1)(x e x －1)x 2ex .令g ′(x )＝0，则x e x ＝1(x ＝－1舍去)，令h (x )＝x e x －1(x >0)，则h ′(x )＝(x ＋1)e x >0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增．又＝12e －1<0，h (1)＝e －1>0，且函数h (x )在(0，＋∞)上的图象是连续不断的曲线，所以根据零点存在定理，存在唯一的x 0h (x 0)＝x 00e x －1＝0，并且当x ∈(0，x 0)时，h (x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )>0，所以当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (x 0)＝ln x 0＋x 0＋1e x x 00－b ＝1－b .因为函数g (x )有且仅有2个零点，所以必须有g (x )min <0，即b >1.下面证明当b >1时，函数g (x )有且仅有2个零点．因为g (x 0)＝1－b <0，g (b )＝ln b ＋1b eb >0，且g (x )在(x 0，＋∞)上单调递增且连续，所以g (x )在(x 0，＋∞)上有且仅有1个零点，因为g (x )＝f (x e x )＝ln x e x ＋1x e x －b ，令x e x ＝t (0<t <x 0)，则F (t )＝ln t ＋1t－b .因为b >1，所以0<e －b <1e <12，F (e －b )＝ln e －b ＋e b －b ＝e b －2b ，令φ(b )＝e b －2b ，b >1，显然φ(b )＝e b －2b 在(1，＋∞)上单调递增，所以φ(b )＝e b －2b >e －2>0，又g (x 0)＝1－b <0，所以g (x )在(0，x 0)上有且仅有1个零点．综上，b >1.。
2020届高考考前大冲刺卷理科数学六 (含解析)
2020年高考考前45天大冲刺卷理 科 数 学（六）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请将答案填写在答题卷上。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}ln 0P x x =>，{}12Q x x =-<<，则P Q =I （ ） A ．()1,2-B ．()0,1C ．()0,2D ．()1,22．已知复数z 满足i 1i z =-，则z =（ ） A ．1i --B ．1i -C ．1i -+D ．1i +3．已知向量a ，b 满足||1=a ，||3=b ，且a 与b 的夹角为6π，则()(2)+⋅-=a b a b （ ） A ．12B ．32-C ．12-D ．324．为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个单位 B ．向右平移5π12个单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向左平移6π个单位 5．命题“任意0x >，11x x+≥”的否定是（ ） A ．存在00x ≤，0011x x +≥ B ．存在00x >，0011x x +< C ．任意0x >，11x x+< D ．任意0x ≤，11x x+≥ 6．“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法．在公元263年左右，由魏晋时期的数学家刘徽发明．其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求π．当时刘微就是利用这种方法，把π的近似值计算到3.1415和3.1416之间，这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据．这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的．为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”．这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分．根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率π，则π的近似值是（ ）（精确到0.01）（参考数据sin150.2588≈o ）A ．3.05B ．3.10C ．3.11D ．3.147．已知三棱锥A BCD -的顶点均在球O 的球面上，且3AB AC AD ===，π2BCD ∠=， 若H 是点A 在平面BCD 内的正投影，且2CH =，则球O 的表面积为（ ）A ．43πB ．23πC ．9πD ．4π8．函数()()ln xxf x e e x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右顶点分别为A B ，，左焦点为F P ，为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P F ，），与y 轴交于点M ，直线MB 与y 轴交于点H ．若3HN OH =-u u u r u u u r（O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．（北京师范大学附中2018届高三下学期第二次模拟）习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图，“大衍数列”：0，2，4，8，12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ）A ．44B ．68C ．100D ．14011．等腰直角OAB △内接于抛物线，其中O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，OA OB ⊥，OAB △的面积为16，F 为C 的焦点，M 为C 上的动点，则OMMF的最大值为（ ） A ．33B ．63C ．33D ．26312．已知()()e e cos 2xxf x x x -+=+∈R ，[]1,4x ∀∈，()()ln 222f mx x f --≤-()2ln f x mx +-，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12112,22n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．112,1e 2n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C ．1212,122n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D ．11ln 2,e 2+⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．()62221x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为________．14．若实数,x y 满足210,220x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩则2z x y =-的最小值为________．15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2(2cos cos )sin sin A C b c B C -=，2a =，则ABC △的面积的最大值是_______．16．对于函数()[]()()sin π,0,212,2,2x x f x f x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤恒成立；②()()()*22f x kf x k k =+∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；④对任意0x >，不等式()2f x x≤恒成立．则其中所有真命题的序号是______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）已知等差数列{}n a ，若611a =，且2a ，5a ，14a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12a <，设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，,E F分别为棱,AB PC的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求二面角P EC D--的正切值．19．（12分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的出行方式．为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方APP中设置了用户评价反馈系统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价．现从评价系统中选出200条较为详细的评价信息进行统计，车辆状况的优惠活动评价的22⨯列联表如下：对优惠活动好评对优惠活动不满意合计对车辆状况好评10030130对车辆状况不满意4030合计14060200（1）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系？（2）为了回馈用户，公司通过APP向用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券．用户每次使用APP扫码用车后，都可获得一张骑行券．用户骑行一次获得1元券，获得2元券的概率分别是12，15，且各次获取骑行券的结果相互独立．若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为X，求随机变量X的分布列和数学期望．参考数据：2()P K k≥0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k 2.072 3.841 5.024 6.6357.87910.828参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，且4AB =，离心率为12． （1）求椭圆C 的方程；（2）设点()4,0Q ，若点P 在直线4x =上，直线BP 与椭圆交于另一点M ．判断是否存在点P ，使得四边形APQM 为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数()324x a x f x x =-++．（1）求函数()f x 在0x =处的切线方程；（2）若对任意的()0,x ∈+∞，()()4ln 8f x f x x +-≥+恒成立，求a 的取值范围；（3）当3a =时，设函数()()g x f x kx =-．证明：对于任意的1k <，函数()g x 有且只有一个零点．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求1C ，2C 交点的直角坐标；（2）设点A 的极坐标为π(4,)3，点B 是曲线2C 上的点，求AOB △面积的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()|21|2|1|f x x x =-++．（1）若存在0x ∈R ，使得()205f x m m +≤+，求实数m 的取值范围；（2）若m 是（1）中的最大值，且33a b m +=，证明：02a b <+≤．答案与解析第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】{}{}ln 01P x x x x =>=>Q ，{}12Q x x =-<<，{}()121,2P Q x x ∴=<<=I ，故选D ．2．【答案】C【解析】把i 1i z =-两边同乘以i -，则有()()1i i 1i z =-⋅-=--，1i z ∴=-+， 故选C ． 3．【答案】A【解析】221()(2)22312+⋅-=-+⋅=-+=a b a b a b a b ，故选A ． 4．【答案】B【解析】因为πsin26y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且πcos2sin 2sin 224πy x x x ⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以由 4π6πx x ϕ++=-，知ππ5π6412ϕ=--=-， 即只需将cos2y x =的图像向右平移5π12个单位，故选B ． 5．【答案】B【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意0x >11x≥”的否定是：存在00x >011x <，故选B ． 6．【答案】C【解析】设圆的半径为r ，以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的24个等腰三角形，且顶角为3601524︒=︒， 所以正二十四边形的面积为2124sin1512sin152r r r ⋅⋅⋅⋅︒=︒，所以2212sin15ππ12sin15 3.11r r ︒=⇒=︒≈，故选C ． 7．【答案】C【解析】因为3AB AC AD ===，CH ⊥平面BCD ，HB Q 、HC 、HD ⊂平面BCD ，AH HB ∴⊥，AH HC ⊥，AH HD ⊥， AHB AHC AHD ∴≅≅Rt Rt Rt △△△，HB HC HD ∴==，即H 是BCD △的外心，即H 是斜边BD 的中点，则球心O 在AH 上， 由勾股定理，可得222AB BH AH -=，得1AH =， 设球O 的半径为R ，则()2212R R =-+，所以32R =． 所以球O 的表面积为24π9πR =，故选C ． 8．【答案】D【解析】根据题意，函数的定义域{}|0x x ≠，因为()()ln x xf x e e x -=+，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除B 项，当1x >时，()0f x >，当01x <<时，()0f x <，排除A ，C 选项， 当0x →时，()f x →-∞，所以D 项是正确的，故选D ． 9．【答案】B【解析】不妨设P 在第二象限，如图所示：设||FM m =，(0, )(0)H h h >，由3HN OH =-u u u r u u u r，可得(0,2)N h -，由AFM AON △∽△，得2m c a h a-=（1）由BOH BFM △∽△，得h a m c a=+（2） 由（1），（2）两式相乘得12c a c a-=+，即3c a =，所以离心率3ce a ==，故选B ．10．【答案】C【解析】第1次运行，211,0,0002n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；第2次运行，22,2,0222n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行；第3次运行，213,4,4262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；第4次运行，24,8,86142n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行；第5次运行，215,12,1412262n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；第6次运行，26,18,2618442n n a S ====+=，不符合n m ≥，继续运行；第7次运行，217,24,2444682n n a S -====+=，不符合n m ≥，继续运行；第8次运行，28,32,68321002n n a S ====+=，符合n m ≥，推出运行，输出100S =，故选C ． 11．【答案】C【解析】设等腰直角三角形OAB 的顶点()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y px =，2222y px =，由OA OB =，得22221122x y x y +=+，221212220x x px px ∴-=-=，即()()1212++20x x x x p -=，10x >Q ，20x >，20p >，12x x ∴=，即A ，B 关于x 轴对称，∴直线OA 的方程为tan45y x x =︒=，与抛物线联立，解得00x y =⎧⎨=⎩或22x py p=⎧⎨=⎩，故4AB p =，212442OAB S p p p ∴=⨯⨯=△，AOB Q △的面积为16，2P ∴=，焦点()1,0F ，设(),M m n ，则24n m =，0m >， 设M 到准线1x =-的距离等于d ，则()2241OM MO m mMFdm +==+，令1m t +=，1t >，则2114233333OMMF t ⎛⎫=--+≤⎪⎝⎭（当且仅当3t =时，等号成立）． 故OM MF 的最大值为233，故选C ．12．【答案】B【解析】函数()e e cos 2x x f x x -+=+的定义域为R ，()()()()e e e e cos cos 22x x x xf x x x f x x --++-=+-=+=∈R Q ，()e e cos 2x xf x x -+∴=+为R 上的偶函数，又()e e sin 2x xf x x --'=-，()e e 1cos cos 1cos 022x x f x x x x -+''=-≥⋅=-≥，()e e sin 2x xf x x --'∴=-在R 上单调递增，又()00f '=，∴当0x ≥时，()0f x '≥，()e e cos 2x xf x x -+∴=+在区间[)0,+∞单调递增．不等式()()()ln 2222ln f mx x f f x mx --≤-+-，由偶函数性质可得()()2ln 222f mx x f --≤，即()()ln 22f mx x f --≤， 由函数的单调性可得ln 22mx x --≤，2ln 22mx x ∴-≤--≤，[]1,4x ∴∀∈，141nx nxm x x+≤≤恒成立， 令()11nxg x x =，则()121ln x g x x -'=， 当[]1,x e ∈时，()10g x '>，()1g x 在[]1,x e ∈上单调递增； 当(],4x e ∈时，()10g x '<，()2g x 在(],4x e ∈上单调递减，()()()1111最大值极大值g x g x g e e∴===，令()24ln x g x x +=，()()22214ln 3ln x xg x x x-++'==-， []1,4x ∈Q ，ln 30x ∴+>，故()223ln 0xg x x +'=-<，()g x ∴在区间[]1,4单调递减， ()()()222414124142最小值极小值n n g x g x g +∴====+，11212n m e ∴≤≤+，故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】132【解析】因为62()x x-的展开式的通项公式为6216C (2)r r r r T x -+=-，令624r -=，得1r =；令622r -=，得2r =，所以()62221x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为2211662C (2)(1)C (2)132-+--=，故答案为132． 14．【答案】1-【解析】作出不等式组210220x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立10220x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，得01x y =⎧⎨=⎩，得点A 的坐标为()0,1，平移直线2z x y =-，当该直线经过可行域的顶点A 时，直线在x 轴上的截距最小， 此时，目标函数2z x y =-取到最小值，且最小值为min 2011z =⨯-=-， 故答案为1-． 15．【答案3【解析】由2(2cos cos )sin sin A C b c B C -=及正弦定理， 得22(2cos cos )sin sin sin A C B B C -=， 显然sin 0B ≠，所以222cos cos sin A C C -=， 即222cos sin cos 1A C C =+=，得1cos 2A =， 又(0,π)A ∈，所以3sin 2A =．由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，得2222b c bc +-=，则2242bc b c bc +=+≥，所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时取等号， 所以ABC △的面积1133sin 322S bc A bc bc ==⨯=≤， 故ABC △的面积的最大值是3，故答案为3． 16．【答案】①③④ 【解析】对于①，如图：任取[)12,0,x x ∈+∞，当[]12,0,2x x ∈，()()1212sin πsin π2f x f x x x -=-≤，当()2,x ∈+∞，11()(2)sin π22nf x f x n ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()*n ∈N ，[)12,0,x x ∴∈+∞，()()122f x f x -≤，恒成立，故①正确；对于②，1()(2)2f x f x =-Q ，1(2)()2kf x k f x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， ()*()2(2)k f x f x k k ∴=+∈N ，故②错误；对于③，()()ln 1f x x =-的零点的个数问题， 分别画出()y f x =和()ln 1y x =-的图像，如图：()y f x =Q 和()ln 1y x =-图像由三个交点，()()ln 1f x x =∴-的零点的个数为3，故③正确；对于④，设(]2,22x k k ∈+，()k ∈N ，()[]()()sin π,0,212,2,2x x f x f x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩Q ，max 1()2k f x ∴=，()k ∈N ，令()2g x x=在(]2,22x k k ∈+，()k ∈N ， 可得()min 11g x k =+， 当0k =时，[]0,2x ∈，max ()1f x =，()min 1g x =，()max min ()f x g x ∴≤，Q 若任意2x >，不等式()2f x x ≤恒成立， 即()max min ()f x g x ≤，可得1112k k ≥+， 求证：当1k ³，1112k k ≥+，化简可得21k k ≥+， 设函数()21kT k k =--，则()2ln 210kT k '=-≥，∴当1k ³时，()T k 单调递增，可得()(1)0T k T ≥=，()210k T k k ∴=--≥，21kk ∴≥+，即1112k k ≥+， 综上所述，对任意0x >，不等式()2f x x≤恒成立，故④正确， 故答案为①③④．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）21n a n =-或11n a =；（2）21n nS n =+． 【解析】（1）∵611a =，∴1511a d +=①∵2a ，5a ，14a 成等比数列，∴25214a a a =，∴()()()2111413a d a d a d +=++，化简得2163a d d =，若0d =，11n a =； 若0d ≠，12a d =②， 由①②可得11a =，2d =，所以数列的通项公式是21n a n =-或11n a =． （2）由（1）得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴1211111111112335212122121n n n S b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭L L ． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）15． 【解析】（1）证明：取PD 中点G ，连结GF AG 、，GF Q 为PDC △的中位线，GF CD ∴∥且12GF CD =，又AE CD ∥且12AE CD =，GF AE ∴∥且GF AE =，∴EFGA 是平行四边形，则EF AG ∥，又EF ⊄面PAD ，AG ⊂面PAD ，EF ∴∥面PAD ．（2）取AD 中点O ，连结PO ，∵面PAD ⊥面ABCD ，PAD △为正三角形，PO ∴⊥面ABCD ，且3PO =连OB 交CE 于M ，可得EBC OAB Rt Rt △≌△，MEB AOB ∴∠=∠，则90MEB MBE ∠+∠=︒，即OM EC ⊥．连接PM ，又PO EC ⊥，可得EC ⊥平面POM ，则PM EC ⊥， 即PMO ∠是二面角P EC D --的平面角，在EBC Rt △中，5BE BC BM CE ⋅==，5OM OB BM =-=，∴tan PO PMO OM ∠==P EC D --． 19．【答案】（1）在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系；（2）分布列见解析，EX =1.8（元）． 【解析】（1）由22⨯列联表的数据，有()()()()()()222220030001200200181406070130146713n ad bc K a b c d a c b d --⨯===++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 54008.4810.828637=≈<， 因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下，不能认为优惠活动好评与车辆状况好评有关系． （2）由题意，可知一次骑行用户获得0元的概率为310．X 的所有可能取值分别为0，1，2，3，4．∵()239010100P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()121331C 21010P X ==⨯=⨯， ()212131372C 5102100P X ⎛⎫==⨯+= ⎪⎝⎭⨯，()121113C 255P X ⨯==⨯=， ()2114525P X ⎛⎫===⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为：X 的数学期望为1210100EX =⨯+⨯34 1.8525+⨯+⨯=（元）． 20．【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，()4,3P ±．【解析】（1）由4AB =，得2a =， 又因为12c e a ==，所以1c =，所以2223b a c =-=， 所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）假设存在点P ，使得四边形APQM 为梯形， 由题意知，显然AM ，PQ 不平行，所以AP MQ ∥，所以BQ BM ABBP=，所以12BM BP=． 设点()11,M x y ，()4,P t ， 过点M 作MH AB ⊥于H ，则有12BH BM BQBP==， 所以1BH =，所以()1,0H ，所以11x =， 代入椭圆方程，求得132y =±，所以()4,3P ±． 21．【答案】（1）40x y -+=；（2）1,e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦；（3）证明见解析．【解析】（1）()324x a f x x x =-++Q ，()2321f x x ax '∴=-+，∴切线的斜率()10f '=，()04f =Q ，∴切线的方程为40y x -=-，即40x y -+=．（2）对任意的()0,x ∈+∞，()()4ln 8f x f x x +-≥+恒成立， 即对任意的()0,x ∈+∞，22ln 0ax x +≤恒成立， 即对任意的()0,x ∈+∞，22ln xa x-≤恒成立． 令()22ln ,0xh x x x -=>，则()()322ln 1x h x x-'=．由()0h x '>，得x >()0h x '<，得0x <<．()h x ∴在(上单调递减，在)+∞上单调递增，()min 1h x he∴===-，1a e ∴≤-， 故a 的取值范围为1,e∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦．（3）证明：当3a =时，()()32314x x x g x k =-+-+，1k <Q ，10k ∴->，当0x ≤时，()23610g x x x k '=-+->，()g x ∴在(],0-∞上单调递增． 又()04g =，()110g k -=-<，()()100g g ∴-<， 由零点存在定理可得函数()g x 在()1,0-上至少有一个零点，又()g x 在(],0-∞上单调递增，()g x ∴在(],0-∞上有且只有一个零点． 当0x >时，令()3234m x x x =-+，则()()()()1g x m x k x m x =+->．()()23632m x x x x x '∴=-=-，令()0m x '>，得2x >；令()0m x '<，得02x <<，()m x ∴在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， ()()()min 20,0m x m m x ∴==∴≥在()0,∞+上恒成立， ()0g x ∴>恒成立，即()g x 在()0,∞+上没有零点．综上，对于任意的1k <，函数()g x 有且只有一个零点．22．【答案】（1）12⎛ ⎝⎭，1,2⎛ ⎝⎭；（2）2+． 【解析】（1）221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，∴2=2cos ρρθ，∴222x y x +=．联立方程组得222212x y x y x ⎧+=⎨+=⎩，解得1112x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴所求交点的坐标为1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． （2）设(),B ρθ，则2cos ρθ=， ∴AOB △的面积11sin 4sin 4cos sin 223π3πS OA OB AOB ρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，∴当23π12θ=时，max 2S = 23．【答案】（1）12m -≤≤；（2）证明见解析．【解析】（1）()()212121213f x x x x x Q =-++≥--+=，Q 存在0x ∈R ，使得()205f x m m +≤+，235m m ∴+≤+，220m m ∴--≤，12m ∴-≤≤．（2）由（1）知max |2m =，332a b ∴+=，()()()23322232024b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫∴=+=+-+=+-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，而223024b a b ⎡⎤⎛⎫-+>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，0a b L L ∴<+①()()33222a b a b a ab b ∴=+=+-+()()()()()()222331344a b a b ab a b a b a b a b ⎡⎤⎡⎤=++-≥++-+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()38a b ∴+≤，2a b ∴+≤L L ②由①②可得，02a b ∴<+≤．。
普通高等学校招生全国统一考试理科数学冲刺卷(整理含答案)
普通高等学校招生全国统一考试冲刺卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如果复数21iz =-+，则（ ） A ．z 的共轭复数为1i + B ．z 的实部为1 C ．2z =D ．z 的虚部为1-2．已知全集U =R ，集合{}2|60A x x x =--≤，(4)|0(1)x B x x ⎧⎫-=⎨⎬+⎩⎭≤，那么集合()U A C B =I （ ）A ．[24)-，B ．(13]-，C ．[21]--，D ．[13]-，3．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1~1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（ ） A ．16B ．17C ．18D ．194．已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，点(),P x y 在抛物线C 上，且1x =，则PF =（ ） A ．98B ．32C ．178D ．525．函数1sin y x x=-的图象大致是（ ） A ．B ．C ．D ．6．若不等式组1,3,220x y x y λ⎧⎪⎨⎪-+-⎩≤≤≥表示的平面区域经过所有四个象限，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(,4)-∞B ．[]1,2C ．[]2,4D ．(2,)+∞7．假设你家订了一份牛奶，送奶人在早上6：30~7：30之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上7：00~8：00之间随机离家上学，则你在离家前能收到牛奶的概率是（ ） A ．81B ．85 C ．21 D ．87 8．我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生()01，内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为（ ）A ．3.119B ．3.126C ．3.132D ．3.1519．将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移π12个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图像．若()()129g x g x =，且[]12,2π,2πx x ∈-，则122x x -的最大值为（ ）A ．49π12B ．35π6C ．25π6D ．17π410．三棱锥S ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则该三棱锥S ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．112π3C ．28π3D ．64π311．过椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点2F ，若1132k <<，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．2(,1)3C ．12(,)23D ．12(0,)(,1)23U12．已知实数b a ,满足225ln 0a a b --=，c ∈R ，则22)()(c b c a ++-的最小值为（ ）A ．21 B ．22 C ．223 D ．29 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
(整理版)高考数学小题狂做冲刺训练(详细解析)
高考数学小题狂做冲刺训练〔详细解析〕、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。
在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的〕 1.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，那么角α的取值范围是( )A.［0，2π］B.［0，2π〕∪［43π,π) C.［43π,π) D.(2π,43π］解析:∵y′＝3x 2-1,故导函数的值域为［-1，+∞). ∴切线的斜率的取值范围为［-1,+∞〕. 设倾斜角为α,那么tanα≥-1. ∵α∈［0,π),∴α∈［0,2π)∪［43π,π).答案:B2.假设方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,那么a 2+b 2的最小值为( )A.3B.516 C.517 D.518 解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,那么a 2+b 2的几何意义为l 上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2＝211)1(1)100(2224222-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2+1,易知21)(-+=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,那么f(u)≥f(5)＝516, ∴a 2+b 2的最小值为516.应选B. 答案:B3.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况,它的计算公式为yxn =(x:人均食品支出总额,y:人均个人消费支出总额),且y ＝2x+475.各种类型家庭情相同的情况下人均少支出75元，那么该家庭属于( )解析:设1998年人均食品消费x 元，那么人均食品支出：x(1-7.5%)＝92.5%x,人均消费支出：2×92.5%x+475，由题意,有2×92.5%x+475+75＝2x+475,∴x＝500. 此时，14005.462475%5.922%5.92=+⨯=x x x ≈0.3304＝33.04%,应选D.答案:D4.(海南、宁夏高考,文4)设f(x)＝xlnx,假设f′(x 0)＝2,那么x 0等于( )2B.eC.22ln 解析:f′(x)＝lnx+1,令f′(x 0)＝2, ∴lnx 0+1＝2.∴lnx 0＝1.∴x 0＝e. 答案:B5.n ＝log n+1 (n+2)(n∈N *).定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的实数k 为奥运桔祥数,那么在区间［1,2 008］内的所有奥运桔祥数之和为( )A.1 004B.2 026C.4 072D.2 044解析:a n ＝log n+1 (n+2)＝)1lg()2lg(++n n ,a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2lg )2lg()1lg()2lg(4lg 5lg 3lg 4lg 2lg 3lg +=++••k k k . 由题意知k+2＝22,23,…,210,∴k＝22-2,23-2,…,210-2.∴S＝(22+23+…+210)-2×9＝20261821)21(49=---. 答案：B6.从2 004名学生中选取50名组成参观团,假设采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2 004人中剔除4人,剩下的 2 000人再按系统抽样的方法进行,那么每人入选的概率〔 〕A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等且为002125D ．都相等且为401解析：抽样的原那么是每个个体被抽到的概率都相等,所以每人入选的概率为002125. 答案：C7.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i 个数为a i 〔i ＝1,2,…,6〕,假设a 1≠1,a 3≠3,5≠5,a 1＜a 3＜a 5,那么不同的排列方法种数为〔 〕A ．18B ．30C ．36D ．48 解析：∵a 1≠1且a 1＜a 3＜a 5,∴〔1〕当a 1＝2时，a 3为4或5,a 5为6，此时有12种； 〔2〕当a 1＝3时，a 3仍为4或5，a 5为6，此时有12种； 〔3〕当a 1＝4时，a 3为5，a 5为6，此时有6种. ∴共30种. 答案：B8.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.假设从中任选3人,那么选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为〔 〕A ．511 B ．681 C ．3061 D ．4081 解析：属于古典概型问题,根本领件总数为318C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3〔n －1〕〔1≤n ≤6〕,a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率68131617444444318=⨯⨯++=++=C P . 答案：B9.复数i 3(1+i)2等于( )A.2B.-2 C解析：i 3(1+i)2=-i(2i)=-2i 2=2. 答案：A 10.(全国高考卷Ⅱ,4)函数x xx f -=1)(的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y ＝-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y ＝x 对称 解析: x xx f -=1)(是奇函数,所以图象关于原点对称. 答案:C、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2-5相切的直线方程为___________________.解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x 3+3x 2-5的切线斜率为y ′=3x 2+6x.依题意,有y ′=-3,即3x 2+6x=-3,得x=-1.当x=-1时，y=(-1)3+3·(-1)2-5=-3.故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1), 即3x+y+6=0. 答案：3x+y+6=0 12.函数13)(--=a axx f (a≠1).假设f(x)在区间(0,1］上是减函数，那么实数a 的取值范围是______________. 解析：由03)1(2)('<--=axa a x f ,⎪⎩⎪⎨⎧<->-②,0)1(2①,03a aax由①,得a ＜x3≤3. 由②,得a ＜0或a ＞1,∴当a ＝3时,f(x)在x∈(0,1)上恒大于0,且f(1)＝0,有f(x)＞f(1). ∴a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］. 答案:(-∞,0)∪(1,3］ 13.平面上三点A 、B 、C满足3||=AB ,5||=CA ,4||=BC ,那么AB CA CA BC BC AB •+•+•的值等于________________.解析：由于0=++CA BC AB ，∴)(2||||||)(2222AB CA CA BC BC AB CA BC AB CA BC AB •+•+•+++=++0)(225169=•+•+•+++=AB CA CA BC BC AB ,即可求值.答案：-2514.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=_________________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为___________________________________.解析：4)2(2n q p n npq D =+≤=ξ,等号在21==q p 时成立，此时Dξ＝25，σξ＝5. 答案：215 15.设z 1是复数,112z i z z -=(其中1z 表示z 1的共轭复数),z 2的实部是-1,那么z 2的虚部为___________________.解析：设z 1=x+yi(x,y ∈R),那么yi x z -=1. ∴z 2=x+yi-i(x-yi)=x-y+(y-x)i. ∵x-y=-1, ∴y-x=1. 答案：1。
2020届高考理科数学考前冲刺竞优卷 第六卷
2020届高考理科数学考前冲刺竞优卷第六卷1、已知集合{}22|2A x x y =+=，集合{}2|B y y x x A ==∈，，则()R B A =⋂ð( )A.⎡⎣B.[]02,C.0⎡⎣D.⎤⎦2、若复数z 满足()512i 13z -=，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高．2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍．同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化．下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（ ）A ．该企业2018年设备支出金额是2017年设备支出金额的一半B ．该企业2018年支付工资金额与2017年支付工资金额相当C ．该企业2018年用于研发的费用是2017年用于研发的费用的五倍D ．该企业2018年原材料的费用是2017年原材料的费用的两倍4、已知椭圆22221()0x y a ba b +=＞＞的两顶点为((00,))A a B b ,,，且左焦点为F ，FAB V 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为（ ）A.B. C.D. 5、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且11539,44a S S ==+,则n S 的最大值为( ) A.225B.223C.221D.2196、在()()412x x -+的展开式中，含3x 项的系数为( )A.16B.16-C.8D.8-7、函数e 1()sin e 1x x f x x -=⋅+的部分图象大致是( )A. B.C. D.8、如图,已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等, 1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点,则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为( )A.4B.4C.4D.349、抛物线24x y =的焦点为F ,准线为l , ,A B 是抛物线上的两个动点,且满足AF BF ⊥,P 为线段AB 的中点,设P 在l 上的射影为Q ,则PQ AB的最大值是( )A.3B.C. 2D.10、已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为31812343y x x =-+-,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件11、已知2sin 1αα=+，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A.34 B. 34-C. 78-D.7812、《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为24π3R 时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为( )A.4π3C.32π313、袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为__________.14、设函数()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()1f x x =+，则3()2f =__________.15、如图,在同一平面内,向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r的模分别是,OA u u u r 与 OC u u u r 的夹角为α,且tan 7α=,OB uuu r 与OC u u u r 的夹角为45o,若(),OC mOA nOB m n R =+∈u u u r u u u r u u u r ,则m n +=__________.16、如图，边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=沿对角线BD 将其折起，使点A 与点A '重C 合，则当三棱锥A BCD '-的体积最大时，三棱锥A BCD '-外接球的体积为 .17、在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且228sin cos sin cos 2cos2sin 2cos2cos 4cos 3A A B B A B A B C +=++(1)求角C 的大小(2)若点D 为AB 上一点,4,4AC CD AD ===,求BCD △的面积18、某高中随机选取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:min),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)其中上学路上所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100).1.求直方图中x 的值；2.如果上学路上所需时间不少于1h 的学生可申请在学校住宿，若招收高一新生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；3.学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40min 的人数记为X,求X 的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）19、如图,在四棱锥B ACDE -中,已知,AB AC EA ⊥⊥平面ABC ,CD ⊥平面ABC ,3332AB AC EA CD ===(1)试在BD 上确定点F 的位置,使得直线//EF 平面ABC (2)在(1)的条件下,求直线AF 与平面BED 所成角的正弦值. 20、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(0,2)M，离心率e =.（1）求椭圆的方程；（2）设直线1y x =+与椭圆相交于,A B 两点，求AMB S △.21、设函数()323f x x x ax =-+，()22233322a a g x ax x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-++-，a ∈R .(1)求函数()f x 的单调区间. (2)若函数()()()[]230222()a x f x g x x x ϕ=--∈,在0x =处取得最大值，求a 的取值范围. 22、在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数，a R ∈)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos p θ=，射线(π03)p θ=≥与曲线C 交于O P ,两点，直线l 与曲线C 交于A B ,两点.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)当AB OP =时，求a 的值.23、已知关于x 的不等式24(R)x m x m +--≤∈的解集为[2,2]-. (1)求m 的值；(2)若实数,[2,2]a b ∈-,证明14a b ab m+≤+答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：因为222x y +={|A x x =≤，)(R A =-∞⋃+∞,ð.而在函数2y x =中，当x A ∈时，[]0,2y ∈，即[]0,2B =，从而()A B ⎤⋂=⎦R ð.故选D.2答案及解析： 答案：D 解析：()()()13512i 13512i 512i 512i z +==--+()13512i 512i 512i 169131313++===+，所以512i 1313z =-，所以z 的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限故选D.3答案及解析：答案：C解析：由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t ，则2018年全年的收入为2t ，对于选项A ，该企业2018年设备支出金额为02204t t ⨯.＝.，2017年设备支出金额为0404t t ⨯.＝.，故A 错误，对于选项B ，该企业2018年支付工资金额为02204t t ⨯.＝.，2017年支付工资金额为0202t t ⨯.＝.，故B 错误，对于选项C ，该企业2018年用于研发的费用是025205t t ⨯.＝.，2017年用于研发的费用是0101t t ⨯.＝.，故C 正确，对于选项D ，该企业2018年原材料的费用是03206t t ⨯.＝.，2017年原材料的费用是015015t t ⨯.＝.，故D 错误，故选：C ．4答案及解析：答案：B解析：由双曲线22221()0x y a b a b +=＞＞，得4a ＝.由双曲线的定义知12||28PF PF a －＝＝，19PF ＝，∴ 21PF ＝ (舍去)或217PF ＝，故217PF ＝.故选B5答案及解析： 答案：A解析：设等差数列{}n a 的公差为d,11539,44a S S ==+Q 1451109,2744a d a a a d ∴+=+=+= 得129,2a d ==-22(1)29(2)30(15)2252n n n S n n n n -∴=+⨯-=-+=--+所以15n =时,n S 取得最大值225.6答案及解析： 答案：B解析：因为()()()()4441222x x x x x -+=+-+，所以()()412x x -+的展开式中含3x 项的系数为()42x +的展开式中含3x 项的系数减去()42x x +的展开式中含3x 项的系数，即为1122442216C C -=-，所以()()412x x -+的展开式中，含3x 项的系数为16-.故选B.7答案及解析： 答案：A解析：由e 1e 1()sin()sin ()e 1e 1x x x x f x x x f x -----=⋅-=⋅=++,得函数()f x 是偶函数,所以其图象关于y 轴对称,排除D;当03x <<时,e 1,sin 0x x >>,所以()0f x >,排除C,又03x <<时,0e 1e 1xx<-<+,所以e 101e 1x x -<<+,且0sin 1x <≤,因此e 1sin 1e 1x x x -⋅<+,即()1f x <排除B,故选A.8答案及解析：答案：D解析：设BC 的中点为D,连接11A D AD A B ,,,易知1A AB θ=∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角；并设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长为1,则111,2AD A D A B ===，由余弦定理,得11132cos 24θ+-==.9答案及解析： 答案：C解析：设,AF a BF b ==，,A B 在l 上的射影分别为,M N ，则,AF AM BF BN ==，故22AM BNa bPQ ++==.又AF BF ⊥，所以AB =.因为()()()()222222222a b a b a b a b ab a b +++=+-≥+-=)2a b +≥，当且仅当a b =时等号成立,故2PQ AB=≤=故选C10答案及解析： 答案：C解析：2'81y x x =-+,令0y '=得9x =或9x =-(舍去). 当()0,9x ∈时,0y '>, 当()9,x ∈+∞时,0y '<, 则当9x =时,y 有最大值.即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件,故选C.11答案及解析： 答案：D解析：解法 一由2sin 1αα=+，得14sin 12αα⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 即π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭.令π3αθ-=,则1sin 4θ=，π3αθ=+，π2πππ2226362αθθ-=+-=+，所以2ππ17sin 2sin 2cos212sin 16288αθθθ⎛⎫⎛⎫-=+==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故选D.解法二由2sin 1αα=+得224sin 212cos 1ααα-+=，则()()21cos 2261cos 21ααα--++=，22cos27αα-=，故172cos228αα-=，π7sin 268α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选D.12答案及解析： 答案：B解析：由题意易得BC ⊥平面11ACC A ，1111·3B ACC A V AA AC BC -∴=⋅()222211333AC BC AC BC AB =⋅≤+=，当且仅当AC BC =时取等号.又阳马11B ACC A -体积的最大值为24π3R ，2AB ∴=，∴堑堵111ABC A B C -的外接球半径R =∴外接球的体积24π3V R ==.故选B.13答案及解析： 答案：56解析：4只球分别记为白、红、黄1、黄2,则从中一次摸出2只球所有可能的情况有: 白红、白黄1、白黄2、红黄1、红黄2、黄1黄2,共6种情况, 其中2只球颜色不同的有5种,故56P =.14答案及解析： 答案：32解析：∵函数()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，∴3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=-=-⎭+，又∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数，∴1122f f -=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又∵当[]0,1x ∈时()1f x x =+，∴1131222f ⎛⎫ ⎪=+=⎝⎭， 则3322f ⎛⎫⎪⎭= ⎝.15答案及解析： 答案：3解析：由tan 7α=可得sin 10α=,cos 10α=,根据向量的分解,易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα︒+=︒-=⎧⎪⎨⎪⎩即2100210m m ⎪+=-=⎩,即510{570n m n m +=-=,即得57,44m n ==,所以3m n +=.16答案及解析：解析：过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H，则13A BCD BCD V S A H H '-''=⨯⨯△，显然当平面A BD '⊥平面BCD 时，A H '取得最大值.设三棱锥A BCD '-的外接球球心为,O A BD '△和BCD △的外接圆圆心分别为12O O ，， 连接1A O '并延长，交BD 于点M ，连接12,OO OO ，2O M A O '，， 易得四边形21OO MO为正方形，则1113OO O M A M '===在1Rt OO A '△中，123O A A M ''==OA '所以外接球的半径R，所以3344ππ33O V R ==⨯⎝⎭球.17答案及解析：答案：(1) 由228sin cos sin cos 2cos2sin 2cos2cos 4cos 3A A B B A B A B C +=++ 得222sin 2sin 22coscos 2(cos sin )4cos 3A B A B B C =-++2(cos2cos2sin 2sin 2)4cos 32cos(22)4cos 30A B A B C A B C ∴-++=+++=2cos(2π2)4cos 3C C ∴-++2cos24cos 3C C =++24cos 4cos 10C C =++= 即24cos 4cos 10C ++=解得1cos 2C =-又0πC <<2π3C ∴=(2)在ADC △中,4,4AC CD AD ===Q所以由余弦定理得cos CAD ∠== 又0πCAD <∠<,π6CAD ∴∠= 由(1)知2ππ,36ACB CBA ∠=∴∠= 4AC BC ∴==在ABC △中,由余弦定理得222222π2cos 44244cos 483AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=4AB BD AB AD ∴==-=,1π44sin 426BCD S ∴=⨯⨯⨯=△解析：18答案及解析：答案：1.由频率分布直方图可得20(20.0050.01750.0225)1x ⨯+++=, ∴0.0025x =2.新生上学所需时间不少于1h 的频率为20(0.0050.0025)0.15⨯+=. ∵12000.15180⨯=∴估计这1200名新生中有180名学生可以申请住宿. 3.由题意知X 的所有可能取值0,1,2,3,4.由频率分布直方图可知,一名学生上学所需时间少于40min 的概率为25, ∴4381(0)()5625P X ===;13423216(1)()55625P X C ==⨯⨯=; 222423216(2)()()55625P X C ==⨯⨯=; 3342396(3)()55625P X C ==⨯⨯=; 4216(4)()5625P X ===. ∴X 的分布列为∴X 的数学期望()01234625625625625625E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯5=.解析：19答案及解析： 答案： (1) 如图,过点F 作//FH CD 交BC 于点H,连接AH ,易知//AE CD ,所以//FH AE 因为//EF 平面ABC ,平面AEFH ⋂平面ABC AH =,所以//EF AH所以四边形AEFH 是平行四边形,所以FH AE =,又32EA CD =,所以32FH CD = 所以23BF FH BD CD ==,即点F 在线段BD 上靠近点D 的三等分点处. (2)连接AD ,令33326AB AC EA CD ====,则2,3AB AC EA CD ====所以12222ADE S =⨯⨯=△因为EA ⊥平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,所以EA AB ⊥ 又,AB AC AC AE A ⊥⋂=,所以AB ⊥平面ACDE 所以三棱锥B ADE -的体积11433ADE V S AB =⨯=△易知BE ED BC BD ====所以1cos 10BED ∠=-,所以sin BED ∠=所以132BDES =⨯=△ 设点A 到平面BED 的距离为h则三棱锥A BDE -的体积213BDE V S h h =⨯=△因为12V V =,所以43h =过点A 作AN BC ⊥于点N,则AN NH =所以EF AH ==,所以AF = 设直线AF 与平面BED 所成的角为θ则4sin h AF θ===即直线AF 与平面BED解析：20答案及解析： 答案：（1）由题意得代入点M可得：2,c b a ==结合222a b c =+，解得212a =所以，椭圆的方程为221124x y +=. （2）由2211241x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()223112x x ++=即24690x x +-=，经验证0∆>. 设()()1122,,,A x y B x y .所以121239,24x x x x +=-⋅=-，AB ==AB = 因为点到直线的距离02122d -+==，所以1122AMB S AB d ∆=⨯⨯==. 解析：21答案及解析：答案：(1)()()2236313f x x x a x a '=-+=-+-，当3a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当3a <时，令()0f x '>，得1x <或1x >令()0f x '<，得11x <即()f x 的单调递增区间为,1⎛-∞ ⎝和1⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()f x 的单调递减区间为1⎛ ⎝. 综上，当3a ≥时，()f x 的单调递增区间为()-∞+∞,，无单调递减区间；当3a <时，()f x 的单调递增区间为,1⎛-∞ ⎝和1⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1⎛+ ⎝ (2)由题意得()()32213313,02222x ax a x x a x ϕ=+--+∈［,］，故()()2313x ax a x ϕ'=+--，令()0x ϕ'=，即()2331302ax a x +--=，2990a ∆=+>，当0a >时，数形结合可知，若()x ϕ在0x =处取得最大值，则()()02ϕϕ≥，所以605a <≤， 当0a =时，()()322x x x ϕ=-+，易知()x ϕ在02［,］上单调递减，()x ϕ在0x =处取得最大值，满足题意.当0a <时，数形结合可知()0x ϕ'<，()x ϕ在02［,］上单调递减，()x ϕ在0x =处取得最大值，满足题意.综上，a 的取值范围为6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.解析：22答案及解析：答案：(1)将直线l0y a +-=由4cos ρθ=，得24cos p ρθ=， 所以224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为2240x x y -+= (2)由4cos π3ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得π2,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2OP =. 将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程2240x x y -+=，得()2220t t a ++=， 由0∆>，得44a <<.设A B ,两点对应的参数分别为12,t t ，所以122t t +=--，212t t a =，则12AB t t =-=2==，解得0a=或a =所以a 的值为0或43. 解析：23答案及解析：答案：(1)2x m x ++-表示数轴上的点x 到点-m 与点2的 距离的和,因为关于x 的不等式24(R)x m x m ++-≤∈的解集为[2,2]-,所以2m = (2)由(1)知2m = 要证14a b ab m +≤+只需证142a b ab +≤+ 只需证I 42()ab a b +≥+即证(2)(2)0a b --≥因为,[2,2]a b ∈-所以02,02a b ≤≤≤≤ 所以(2)(2)0a b --≥成立. 所以14a b ab m+≤+成立 解析：。
2020版考前小题练 高考数学理科(全国通用)总复习文档：12+4满分练六(含答案解析)
3 B.
16
3 C.－
8
D.不能确定
12.已知函数 f(x)=1x2＋1x＋a(x＜0)，g(x)=ln x(x>0)，其中 a∈R.若 f(x)的图象在点 A(x1， 42
f(x1))处的切线与 g(x)的图象在点 B(x2，f(x2))处的切线重合，则 a 的取值范围为( )
A.(－1＋ln 2，＋∞)
D.( p)∧( q)
5.给出 40 个数：1，2，4，7，11，16，…，要计算这 40 个数的和，如图给出了该问题的程序 框图，那么判断框①处和执行框②处可分别填入( )
A.i≤40？；p=p＋i－1 C.i≤41？；p=p＋i
B.i≤41？；p=p＋i－1 D.i≤40？；p=p＋i
6.若α∈(0,
5.答案为：D； 解析：由于要计算 40 个数的和，故循环要执行 40 次，由于循环变量的初值为 1，步长为 1， 故终值应为 40，即①中应填写 i≤40？；又由第 1 个数是 1；第 2 个数比第 1 个数大 1， 即 1＋1=2；第 3 个数比第 2 个数大 2，即 2＋2=4；第 4 个数比第 3 个数大 3，即 4＋3=7；… 故②中应填写 p=p＋i.综上可知选 D.
3.答案为：A； 解析：如图，O→B＋O→C=2O→D，又O→B＋O→C=－2O→A=2A→O，故A→O=O→D.
4.答案为：D 解析：“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件， 所以 p 为假命题；“∃x0∈R，x20＋2＞3x0”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”， 所以 q 为假命题，因此( p)∧( q)为真命题.故选 D.
1＋tan2α 10
7
7.答案为：A;
3
4
bsin A 2
2020年名校考前冲刺押题试卷高三冲刺模拟考试数学(理)试题(解析版)
【详解】
解：由 ，得 ，
又 ，
结合选项中图像，可直接排除B，C，D
故选：A
【点睛】
本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.
8．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）
【详解】
作出约束条件 所表示的可行域如下：
由 ，使得 恒成立可知，只需求出 的最大值即可；令目标函数 ，则目标函数表示平面区域内的点与定点 距离的平方，由图像易知，点 到 的距离最大.
由 得 ，所以 .
因此 ，即 的最小值为37.
故答案为37
【点睛】
本题主要考查简单的线性规划问题，只需分析清楚目标函数的几何意义，即可结合可行域来求解，属于常考题型.
A． B． C． D．
Hale Waihona Puke 【答案】B【解析】先由三视图可知该几何体是一个四棱锥，分别求出其各棱长，即可确定结果.
【详解】
由三视图可知该几何体是一个四棱锥，其直观图如图所示，
其中 ，
； ，
所以最长的棱的长度为 .
故选B
【点睛】
本题主要考查几何体的三视图，根据三视图还原几何体即可，属于常考题型.
10．若 ，二项式 的展开式中 项的系数为20，则定积分 的最小值为（）
12．已知函数 ，当 时， 的取值范围为 ，则实数m的取值范围是（）
A． B． C． D．
高考数学考前冲刺理科试题及答案.doc
试卷类型：A湖北省实验中学2010年高考考前最后冲刺试题数学试卷（理工农医类）审核人：王君 校对：陈亮★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上无效。
3．非选择题的作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.1．若∈a R ，则1=a 是复数i a a z )1(12++-=是纯虚数的 （ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2.设函数)02(2)(2<≤-+=x x x f ，其反函数为)(1x f-，则=-)3(1f（ ）A ．－1B ．1C ．0或1D ．1或－1 3.已知在等比数列{}n a 中,1346510,4a a a a +=+=,则等比数列{}n a 的公比q 的值为 （ ）A.14B.12C.2D. 8 4．已知函数),0(),0(,)(2b x a xx a x f ∈>+=，则下列判断正确的是（ ） A.当a b >时，)(x f 的最小值为a 2；B.当a b ≤<0 时，)(x f 的最小值为a 2；C.当a b ≤<0时，)(x f 的最小值为bb a 2+；D.对任意的0>b ，)(x f 的最小值均为a 2．5.若半径是R 的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比是（ ）6．如图是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><在一个周期内的图象，M 、N分别是最大、最小值点，且OM ON ⊥，则A ω⋅的值为（A ．6πB ．6C ．6D ．127．设曲线2cos sin x y x -=在点,22π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与直线10x ay ++=垂直，则a =( )A ．2B ．2-C ．1-D ．18．用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数的个数为（ ）A ．120B ．72C ．48D ．369.某物流公司有6辆甲型卡车和4辆乙型卡车，此公司承接了每天至少运送280t 货物的业务，已知每辆甲型卡车每天的运输量为30t ，运输成本费用为0.9千元；每辆乙型卡车每天的运输量为40t ，运输成本为1千元，则当每天运输成本费用最低时，所需甲型卡车的数量是( ) A ．6 B ．5 C ．4 D.310.已知点P 为双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的右支上一点,1F 、2F 为双曲线的左、右焦点，使0)(22=⋅+−→−−→−−→−P F OF OP (O 为坐标原点),且213PF PF =,则双曲线离心率为（ ）A.216+ B.16+ C. 213+ D. 13+ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写.11． 设集合{}{}221,,,A y y x x R B y y x x R ==+∈==-∈，则集合A B =．12．在二项式nx )31(-的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，2x 项的系数是 .（用数字作答）13. 随机变量ξ服从正态分布)16,50(N ，若3.0)40(=<ξP ，则=<<)6040(ξP .14．已知,1||=e 且满足|2|||e a e a -=+，则向量a 在e 方向上的投影等于 .15. 设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-. 若函数xxa a x f +=1)(（1,0≠>a a ），则()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为__________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本题满分12分）已知△ABC 的周长为)12(4+，且sin sin B C A +=．（Ⅰ）求边长a 的值；（Ⅱ）若3sin ABC S A∆=，求角A 的大小（结果用反三角函数值表示）．17．（本小题满分12分）某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，抽奖规则是：盒中装有10张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案，参加者每次从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖．（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是152，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及ξE ．18．（本小题满分12分）在正三棱柱111C B A ABC -中，21==BC BB ，且M 是BC 的中点，点N 在1CC 上.（Ⅰ）试确定点N 的位置，使MN AB ⊥1；（Ⅱ）当MN AB ⊥1时，求二面角N AB M --1的大小. 19. （本小题满分12分）已知点B '为圆A ：22(1)8x y -+=上任意一点，点B (-1,0)，线段BB '的垂直平分线和线段AB '相交于点M .（Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）已知点00(,)M x y 为曲线E 上任意一点， 求证：点0000324(,)22x y P x x ---关于直线0022x x y y +=的对称点为定点，并求出该定点的坐标.20．（本小题满分13分）已知定义在),0(∞+上的三个函数,)(),()(,1)(2x a x x h x af x x g nx x f -=-==且)(x g 在1=x 处取得极值.（Ⅰ）求a 的值及函数)(x h 的单调区间；（Ⅱ）求证：当21e x <<时，恒有)(2)(2x f x f x -+<成立；（Ⅲ）把)(x h 对应的曲线1C 按向量m )6,0(=平移后得到曲线2C ，求2C 与)(x g 对应曲线3C 的交点个数，并说明理由.21.（本小题满分14分）已知函数)(,0),1(21)(1n n a f a x xx x f =>+=+，对于任意的+∈N n ，都有n n a a <+1.（Ⅰ）求1a 的取值范围； （Ⅱ）若231=a ，证明)2,(2111≥∈+<++n N n a n n ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下证明1213221+<-++++n a a a a a a n n .湖北省实验中学2010年高考考前最后冲刺试题数学试卷（理工农医类）参考答案审核人：王君校对：陈亮一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 CABABCDDCD11、 ,0],(-∞ 12、 135, 13、0.4, 14、21, 15、{0,-1} 16. 解 (1)根据正弦定理，sin sin B C +=可化为b c +=． ………3分联立方程组1)a b c b c ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得4a =． 所以，边长4a =(2)3sin ABC S A ∆=，∴1sin 3sin 62bc A A bc ==，． 又由(1)可知，b c +=∴22222()21cos 223b c a b c bc a A bc bc +-+--===． 因此，所求角A 的大小是1arccos3． 17. 解：（1）设“世博会会徽”卡有n 张，由2210n C C =152，得n =4….3分故“海宝”卡有6张，抽奖者获奖的概率为3121026=C C …………………………5分（2）ξ可能取的值为0，1，2，3，4，则.…..….….….……………...….….…6分8116)32()0(4===ξP 8132)32(31)1(314=⋅==C P ξ 8124)32()31()2(2224=⋅==C P ξ 81832)31()3(314=⋅==C P ξ1)1()4(4===ξP ………………………………………..……………9分...................................10分=ξE 0×8116+1×8132+2×8124+3×818+4×811=3481108= …………………12分法二（1）设“海宝”卡有n 张，由152210210=-C C n得078192=+-n n n=6或n=13（舍去） ……….………..................…………...3分故“海宝”卡有6张，抽奖者获奖的概率为3121026=C C …………………………5分（2）)31,4(~B ξ. …..….…...……………...….….…6分)4,3,2,1,0()2()1()(44=⋅==-k C k P k kk ξ...................................10分=ξE 34314=⨯=np ……………………………………….12分 18.19. 解：（1）连结MB ，MB MB '∴=,MA MB AB ''+== 故MA MB +=2AB =∴点M 的轨迹是以A 、B 为焦点且长轴长为∴点M 的轨迹E 的方程为 2212x y += --------------------4分（2）证明：设点0000324(,)22x y P x x ---关于直线0022x x y y +=的对称点为(,)Q a b 所以0000422322y b x yx x a x --=---，即 0000(2)2(2)(1)bx x y x a ∴-=-+，02x ≠002(1)0bx y a ∴-+=因为上式对任意00,x y 成立，故100a b +=⎧⎨=⎩所以对称点为定点(1,0)Q -.20.21.。
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627- 成等比数列%则/"#- 的形状是
,-等腰三角形
0-直角三角形
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%!某中学语文老师从/红楼梦0/平凡的世界0/红岩0/老
人与海05本不同的名著中选出3本%分给三个同学去
读!每人 一 本 "%其 中 /红 楼 梦 0为 必 读%则 不 同 的 分 配
方法共有
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1-'5种
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3E!$"%满足3E!$"23!$"%且 3!$.3"为 偶 函 数%
过+& 的左焦点作$ 轴的垂线交双曲线- 于< %6 两 点%其中 < 位于第二象限%#!$%)"%若6#<6 是锐 角%则双曲线- 的离心率的取值范围是!!!!!! &#!已知点( 为函数3!$"*<$ 的图象上任意一点%点 = 为圆!$+<'+&"'.%'*&上任意一点!<为自然对数 的底"%则线段(= 的长度的最小值为!!!!!!
小题冲刺训练!六"
!时量##$分钟!!满分#%$分"
班级
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!!学号
一$选择题!本题共&'小题%每小题(分%在每小题给出 的四个选项中%只有一项是符合题目要求的!" &!若复数?满足?!&.2"*&+2!2是 虚 数 单 位 "%则? 的
共轭复数为
#!某算法的程序框图如图所示%若输出的%*槡''%则输入 的$ 的值可能为
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二$填空题!每题(分%满分'$分%将答案填在答题纸上"
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( &3!若 "$"8$*3#!其中''$"%则!'$+&"' 的展开式 F'
中$' 的系数为!!!!! &5!设!&+$"!'$.&"( **$ .*&$.*'$' . + .*#$#%则
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