2017年高考真题分类汇编(理数)解析几何
2017年高考真题分类汇编（理数）：专题5 解析几何一、单选题（共6题；共12分）1、（2017•浙江）椭圆+ =1的离心率是（）A、B、C、D、2、（2017•新课标Ⅲ）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆+ =1有公共焦点，则C的方程为（）A、﹣=1B、﹣=1C、﹣=1D、﹣=13、（2017·天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（）A、=1B、=1C、=1D、=14、（2017•新课标Ⅰ卷）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（）A、16B、14C、12D、105、（2017•新课标Ⅱ）若双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A、2B、C、D、6、（2017•新课标Ⅲ）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A、B、C、D、二、填空题（共6题；共6分）7、（2017•北京卷）若双曲线x2﹣=1的离心率为，则实数m=________．8、（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．9、（2017•江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．10、（2017•新课标Ⅰ卷）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为________ ．11、（2017•新课标Ⅱ）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=________．12、（2017•山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线=1（a＞0，b＞0）的右支与焦点为F的抛物线x2=2py（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．三、解答题（共8题；共50分）13、（2017·天津）设椭圆+ =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．14、（2017•北京卷）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．15、（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足= ．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．16、（2017•山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（14分）（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且看k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．17、（2017•浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．18、（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．19、（2017•新课标Ⅰ卷）已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（12分）(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．20、（2017•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】解：椭圆+ =1，可得a=3，b=2，则c= = ，所以椭圆的离心率为：= ．故选：B．【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．2、【答案】B【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：椭圆+ =1的焦点坐标（±3，0），则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，可得，即，可得= ，解得a=2，b= ，所求的双曲线方程为：﹣=1．故选：B．【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．3、【答案】B【考点】斜率的计算公式，两条直线平行的判定，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e= = ，c= a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=± x=±x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k= = ，则=1，c=4，则a=b=2 ，∴双曲线的标准方程：；故选B．【分析】由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．4、【答案】A【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|= •|y1﹣y2|= × =8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，故选：A【分析】根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．5、【答案】A【考点】直线与圆相交的性质，双曲线的简单性质，圆与圆锥曲线的综合【解析】【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：= ，解得：，可得e2=4，即e=2．故选：A．【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．6、【答案】A【考点】圆的标准方程，直线与圆的位置关系，椭圆的简单性质【解析】【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2．∴椭圆C的离心率e= = = ．故选：A．【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出．二、填空题7、【答案】2【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率为，可得：，解得m=2．故答案为：2．【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．8、【答案】[-5 ，1]【考点】平面向量数量积的运算，直线和圆的方程的应用【解析】【解答】解：根据题意，设P（x0，y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0+6y0+30≤0，即2x0+y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5 ，1]，故答案为：[﹣5 ，1]．【分析】根据题意，设P（x0，y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．9、【答案】2【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x= ，双曲线渐近线方程为：y= x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2 ．故答案为：2 ．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．10、【答案】【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°= ，可得：= ，即，可得离心率为：e= ．故答案为：．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．11、【答案】6【考点】抛物线的简单性质【解析】【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2 =6．故答案为：6．【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．12、【答案】y=± x【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，圆锥曲线的综合【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴y A+y B= ，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A+y B+2× =4× ，∴=p，∴= ．∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x．故答案为：y=± x．【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．三、解答题13、【答案】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．依题意可得，解得a=1，c= ，p=2，于是b2=a2﹣c2= ．所以，椭圆的方程为x2+ =1，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），联立方程组，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x= ，故D（，0）．∴|AD|=1﹣= ．又∵△APD的面积为，∴× = ，整理得3m2﹣2 |m|+2=0，解得|m|= ，∴m=± ．∴直线AP的方程为3x+ y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线的综合【解析】【分析】（Ⅰ）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（Ⅱ）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．14、【答案】（1）解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p= ，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+ ，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y= x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+ =0，∴x1+x2= ，x1x2=∴y1+ =kx1+ + =2kx1+ =2kx1+ =∴A为线段BM的中点．【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1.）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；（2.）设过点（0，）的直线方程为y=kx+ ，M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理得到x1+x2= ，x1x2= ，根据中点的定义即可证明．15、【答案】解：（Ⅰ）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），由点P满足= ．可得（x﹣x0，y）= （0，y0），可得x﹣x0=0，y= y0，即有x0=x，y0= ，代入椭圆方程+y2=1，可得+ =1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；（Ⅱ）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1，解得m= ，即有Q（﹣3，），椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），由k OQ=﹣，k PF= ，由k OQ•k PF=﹣1，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【考点】数量积的坐标表达式，同角三角函数间的基本关系，斜率的计算公式，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，轨迹方程【解析】【分析】（Ⅰ）设M（x0，y0），由题意可得N（x0，0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；（Ⅱ）设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．16、【答案】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a= ，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．由题意得△= ＞0．，．∴|AB|= ．由题意可知圆M的半径r为r= ．由题意设知，，∴．因此直线OC的方程为．联立，得．因此，|OC|= ．由题意可知，sin = ．而= ．令t= ，则t＞1，∈（0，1），因此，= ≥1．当且仅当，即t=2时等式成立，此时．∴，因此．∴∠SOT的最大值为．综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．【考点】函数的值域，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r=．由题意设知．得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin = ．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．17、【答案】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣＜x＜，所以k AP= =x﹣∈（﹣1，1），故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣＜x＜，所以=（﹣﹣x，﹣x2），设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+ k+ ，BP：y=﹣x+ + ，联立直线AP、BP方程可知Q（，），故=（，），又因为=（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），故﹣|PA|•|PQ|= •= + =（1+k）3（k﹣1），所以|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1），由于当﹣1＜x＜﹣时f′（x）＞0，当＜x＜1时f′（x）＜0，故f（x）max=f（）= ，即|PA|•|PQ|的最大值为．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，平面向量数量积的运算，斜率的计算公式，抛物线的应用，圆锥曲线的综合【解析】【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣＜x＜可得结论；（Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣＜x＜，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BP方程可知Q点坐标，进而可用k表示出、，计算可知|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．18、【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率e= = ，则a=2c，①椭圆的准线方程x=± ，由2× =8，②由①②解得：a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设P（x0，y0），则直线PF2的斜率= ，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x﹣1），直线PF1的斜率= ，则直线l2的斜率k2=﹣，直线l2的方程y=﹣（x+1），联立，解得：，则Q（﹣x0，），由Q在椭圆上，则y0= ，则y02=x02﹣1，则，解得：，则，∴P（，）或P（﹣，）或P（，﹣）或P（﹣，﹣）．【考点】直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=± ，则2× =8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；19、【答案】（1）解：根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．（2）证明：①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴= = =﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，，x1x2= ，则= == = =﹣1，又b≠1，∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【考点】直线的斜截式方程，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，圆锥曲线的综合【解析】【分析】（1.）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2.）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），联立，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．20、【答案】解：方法一：证明：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），则=（2，2），=（2，﹣2），则•=0，∴⊥，则坐标原点O在圆M上；当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0，则y1y2=﹣4，由•=x1x2+y1y2=0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，综上可知：坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程x=my+2，，整理得：y2﹣2my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=﹣4，则（y1y2）2=4x1x2，则x1x2=4，则•=x1x2+y1y2=0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，∴坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4，圆M过点P（4，﹣2），则=（4﹣x1，﹣2﹣y1），=（4﹣x2，﹣2﹣y2），由•=0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4，则x1+x2= ，y1+y2=﹣1，则M（，﹣），半径为r=丨MP丨= = ，∴圆M的方程（x﹣）2+（y+ ）2= ．当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2，同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨= ，∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣）2+（y+ ）2=或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．【考点】直线的点斜式方程，直线的斜截式方程，圆的标准方程，点与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由•=0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得•=0，则坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得•=0，则坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）由题意可知：•=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．。
2017年高考真题分类汇编(理数)专题6 立体几何(解析版)
球与多面体的切接问题1．在棱锥P ABC -中，侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，Q 为底面ABC ∆内一点，若点Q 到三个侧面的距离分别为3、4、5，则以线段PQ 为直径的球的表面积为（ ）A ．100πB ．50πC ．25πD ．52π 2.已知四面体P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，23AC AB =,若四面体P ABC -的体积为32，则该球的体积为（A ）3π （B ）2π （C ）22π （D ）43π3. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB ＝３，BC ＝2，则棱锥O －ABCD 的体积为A. 51B. 351C. 251D. 5164．在三棱锥S —ABC 中，AB ⊥BC,AB=BC=2,SA=SC=2,，二面角S —AC —B 的余弦值是33-，若S 、A 、B 、C 都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）A ．π68B ．π6C ．24πD ．6π5．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为34π的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是（A ）36 （B ）312 （C ）318 （D ）3246．一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为3的球，则该棱柱体积的最大值为（ ）A ．332B ．233 C ．33 D ．367.已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，，则此球的表面积等于________.8．正三棱锥S-ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 中点，且M N ⊥AM ，若SA=23．则正三棱锥S - ABC 的外接球的体积为 。
9．已知AB 是表面积为4π的球的直径，C 、D 是该球球面上的两点，且BC ＝CD ＝DB ＝1， 则三棱锥A －BCD 的体积为______________．10、（2012理11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A 26 ()B 3 ()C 23 ()D 2211、（2010全国12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为(A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 8312．把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为A．l03cm B．10 cm C．102cm D．30cm一、单选题（共7题；共14分）1、（2017•浙江）如图，已知正四面体D﹣ABC（所有棱长均相等的三棱锥），P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点，AP=PB ，= =2，分别记二面角D﹣PR﹣Q，D﹣PQ﹣R，D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ，则（）A 、γ＜α＜βB、α＜γ＜βC、α＜β＜γD、β＜γ＜α2、（2017•新课标Ⅱ）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A、B、C、D、3、（2017•新课标Ⅲ）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A、πB、C、D、4、（2017•江苏）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．5、（2017•新课标Ⅰ卷）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F 为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为________．6、（2017•新课标Ⅲ）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°；其中正确的是________（填写所有正确结论的编号）1（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．15、（2017•浙江）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．16、（2017•北京卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD= ，AB=4．（14分）(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．17、（2017•江苏）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°．（Ⅰ）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．18、（2017•江苏）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（Ⅰ）EF∥平面ABC；（Ⅱ）AD⊥AC．19、（2017•新课标Ⅱ）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．（Ⅰ）证明：直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．20、（2017•新课标Ⅲ）如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．21、（2017•新课标Ⅰ卷）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（12分）(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．答案解析部分一、单选题1、【答案】A【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为× ×π×12×3+ × × × ×3= +1，故选：A【分析】根据几何体的三视图，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，画出图形，结合图中数据即可求出它的体积．2、【答案】B【考点】用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法【解析】【解答】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6 ），Q ，R ，= ，=（0，3，6 ），=（，5，0），= ，= ．设平面PDR的法向量为=（x，y，z），则，可得，可得= ，取平面ABC的法向量=（0，0，1）．则cos = = ，取α=arccos ．同理可得：β=arccos ．γ=arccos ．∵＞＞．∴α＜γ＜β．解法二：如图所示，连接OD，OQ，OR，过点O发布作垂线：OE⊥DR，OF⊥DQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接PE，PF，PG．设OP=h．则cosα= = = ．同理可得：cosβ= = ，cosγ= = ．由已知可得：OE＞OG＞OF．∴cosα＞cosγ＞cosβ，α，β，γ为锐角．∴α＜γ＜β．故选：B．【分析】解法一：如图所示，建立空间直角坐标系．设底面△ABC的中心为O．不妨设OP=3．则O（0，0，0），P（0，﹣3，0），C（0，﹣6，0），D（0，0，6 ），Q ，R ，利用法向量的夹角公式即可得出二面角．解法二：如图所示，连接OD，OQ，OR，过点O发布作垂线：OE⊥DR，OF⊥DQ，OG⊥QR，垂足分别为E，F，G，连接PE，PF，PG．设OP=h．可得cosα= = = ．同理可得：cosβ= = ，cosγ= = ．由已知可得：OE＞OG＞OF．即可得出．3、【答案】B【考点】由三视图求面积、体积，由三视图还原实物图【解析】【解答】解：由三视图可得直观图，再四棱锥P﹣ABCD中，最长的棱为PA，即PA= ==2 ，故选：B．【分析】根据三视图可得物体的直观图，结合图形可得最长的棱为PA，根据勾股定理求出即可．4、【答案】B【考点】由三视图求面积、体积，组合几何体的面积、体积问题，由三视图还原实物图【解析】【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形= ×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可5、【答案】C【考点】余弦定理的应用，异面直线及其所成的角【解析】【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0，]），可知MN= AB1= ，NP= BC1= ；作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ=1，MQ= AC，△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC= ，∴MQ= ；在△MQP中，MP= = ；在△PMN中，由余弦定理得cos∠MNP= = =﹣；又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．【分析】设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，得出AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．6、【答案】B【考点】由三视图求面积、体积，组合几何体的面积、体积问题，由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，故选：B．【分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，即可求出几何体的体积．7、【答案】B【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r= = ，∴该圆柱的体积：V=Sh= = ．故选：B．【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r= = ，由此能求出该圆柱的体积．二、填空题8、【答案】2+【考点】由三视图还原实物图，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2= ×π×12×1= ，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+ ，故答案为：2+ ．【分析】由三视图可知：长方体长为2，宽为1，高为1，圆柱的底面半径为1，高为1圆柱的，根据长方体及圆柱的体积公式，即可求得几何体的体积．9、【答案】【考点】球的体积和表面积【解析】【解答】解：设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a= ，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R= ，则球的体积V= π•（）3= ；故答案为：．【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的体积公式进行计算即可．10、【答案】【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积【解析】【解答】解：设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则= = ．故答案为：．【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果．11、【答案】4 cm3【考点】棱锥的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG= BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2 x，DG=5﹣x，三棱锥的高h= = = ，=3 ，则V= = = ，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤ =4 cm3，∴体积最大值为4 cm3．故答案为：4 cm3．【分析】由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG= BC，设OG=x，则BC=2 x，DG=5﹣x，三棱锥的高h= ，求出S△ABC=3 ，V= = ，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．12、【答案】②③【考点】异面直线及其所成的角，用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC|=1，|AB|= ，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量=（0，1，0），| |=1，直线b的方向单位向量=（1，0，0），| |=1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），∴AB′在运动过程中的向量，=（﹣cosθ，﹣sinθ，1），| |= ，设与所成夹角为α∈[0，]，则cosα= = |sinθ|∈[0，]，∴α∈[ ，]，∴③正确，④错误．设与所成夹角为β∈[0，]，cosβ= = = |cosθ|，当与夹角为60°时，即α= ，|sinθ|= = = ，∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ= |cosθ|= ，∵β∈[0，]，∴β= ，此时与的夹角为60°，∴②正确，①错误．故答案为：②③．【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，|AC|=1，|AB|= ，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x 轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．三、解答题13、【答案】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BEGH为菱形，∴AE=GE=AC=GC= ．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM= ．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z2=﹣2，得．∴cos＜＞= ．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；（Ⅱ）法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．14、【答案】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，∵M为AD中点，∴MF∥BD，∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．∵N为BC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2，∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则，，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得．由图可得平面CME的一个法向量为．∴cos＜＞= ．∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为；（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），，．∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|=| |=| |= ．解得：t=4．∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为4．【考点】异面直线及其所成的角，平面与平面平行的判定，平面与平面平行的性质，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦值；（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长．15、【答案】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点，∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角系，设PC=AD=2DC=2CB=2，则C（0，1，0），D（0，0，0），P（1，0，1），E（），A（2，0，0），B（1，1，0），=（），=（1，0，﹣1），=（0，1，﹣1），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（1，1，1），∵= =0，CE⊄平面PAB，∴CE∥平面PAB．解：（Ⅱ）=（﹣1，1，﹣1），设平面PBC的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（0，1，1），设直线CE与平面PBC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|= = = ．∴直线CE与平面PBC所成角的正弦值为．【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角，向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角【解析】【分析】（Ⅰ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角系，利用向量法能证明CE∥平面PAB．（Ⅱ）求出平面PBC的法向量和，利用向量法能求出直线CE与平面PBC所成角的正弦值．16、【答案】（1）证明：如图，设AC∩BD=O，∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM，∵PD∥平面MAC，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM，∴PD∥OM，则，即M为PB的中点；（2）解：取AD中点G，∵PA=PD，∴PG⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD= ，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（﹣2，4，0），M （﹣1，2，），，．设平面PBD的一个法向量为，则由，得，取z= ，得．取平面PAD的一个法向量为．∴cos＜＞= = ．∴二面角B﹣PD﹣A的大小为60°；（3）解：，平面PAD的一个法向量为．∴直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos＜＞|=| |=| |= ．【考点】直线与平面平行的性质，平面与平面垂直的性质，直线与平面所成的角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1.）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；（2.）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小；（3.）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值．17、【答案】解：在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，∵AA1⊥平面ABCD，AD、Ax⊂平面ABCD，∴AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵AB=AD=2，AA1= ，∠BAD=120°，∴A（0，0，0），B（），C（，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，），C1（）．=（），=（），，．（Ⅰ）∵cos＜＞= = ．∴异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为；（Ⅱ）设平面BA1D的一个法向量为，由，得，取x= ，得；取平面A1AD的一个法向量为．∴cos＜＞= = ．∴二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为，则二面角B﹣A1D﹣A的正弦值为．【考点】异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质，用空间向量求直线间的夹角、距离，二面角的平面角及求法【解析】【分析】在平面ABCD内，过A作Ax⊥AD，由AA1⊥平面ABCD，可得AA1⊥Ax，AA1⊥AD，以A为坐标原点，分别以Ax、AD、AA1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．结合已知求出A，B，C，D，A1，C1的坐标，进一步求出，，，的坐标．（Ⅰ）直接利用两法向量所成角的余弦值可得异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（Ⅱ）求出平面BA1D与平面A1AD的一个法向量，再由两法向量所成角的余弦值求得二面角B﹣A1D﹣A的余弦值，进一步得到正弦值．18、【答案】证明：（Ⅰ）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（Ⅱ）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，所以FG⊥BC，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，故AD⊥AC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定【解析】【分析】（Ⅰ）利用AB∥EF及线面平行判定定理可得结论；（Ⅱ）通过取线段CD上点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，利用线面垂直的性质定理可知FG⊥AD，结合线面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，从而可得结论．19、【答案】（Ⅰ）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF AD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF⊂平面PAB，CF⊄平面PAB，∴直线CE∥平面PAB；（Ⅱ）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP= ，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN= MN，BC=1，可得：1+ BN2=BN2，BN= ，MN= ，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ== ，二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：= ．【考点】直线与平面平行的判定，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（Ⅰ）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．（Ⅱ）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．20、【答案】（Ⅰ）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OB⊥AC．△ABD与△CBD中，AB=BD=BC，∠ABD=∠CBD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．∵△ACD是直角三角形，∴AC是斜边，∴∠ADC=90°．∴DO= AC．∴DO2+BO2=AB2=BD2．∴∠BOD=90°．∴OB⊥OD．又DO∩AC=O，∴OB⊥平面ACD．又OB⊂平面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC．（Ⅱ）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则= ．∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，∴= = =1．∴点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设AB=2．则O（0，0，0），A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（0，，0），E ．=（﹣1，0，1），= ，=（﹣2，0，0）．设平面ADE的法向量为=（x，y，z），则，即，取= ．同理可得：平面ACE的法向量为=（0，1，）．∴cos = = =﹣．∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为．【考点】平面与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（Ⅰ）如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD．△ABC是等边三角形，可得OB⊥AC．由已知可得：△ABD≌△CBD，AD=CD．△ACD是直角三角形，可得AC是斜边，∠ADC=90°．可得DO= AC．利用DO2+BO2=AB2=BD2．可得OB⊥OD．利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明．（Ⅱ）设点D，B到平面ACE的距离分别为h D，h E．则= ．根据平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，可得= = =1，即点E是BD的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．设AB=2．利用法向量的夹角公式即可得出．21、【答案】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD 为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD= ．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥AD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞= = ．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【考点】平面与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法【解析】【分析】（1.）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2.）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD= ．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．。
专题05+解析几何-2017年高考数学试题分项版解析
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②只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝a2－c2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)， 解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围).
5.【2017 天津，理 5】已知双曲线
x2 y2 1( a 0, b 0) 的左焦点为 F ，离心率为 2 .若 a 2 b2
x2 y2 2. 【 2017 课 标 II ， 理 9 】 若 双 曲 线 C : 2 2 1 （ a 0 ， b 0 ） 的 一 条 渐 近 线 被 圆 a b
x 2
2
y 2 4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为（
）
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A． 2 【答案】A 【解析】
B． 3
2p 2p 2p ， 则 | DE | ， 所 以 2 2 cos sin 2 cos ( ) 2 2p 2p 1 1 | AB | | DE | 2 4( 2 2 ) 2 cos sin cos sin
， 则 | AB |
4(
1 1 sin 2 cos 2 2 2 )(cos sin ) 4(2 ) 4 (2 2) 16 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2
C．
2
D．
2 3 3
【考点】 双曲线的离心率 ；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式
【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或 离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出 a，c，代入公式 e
c ； a
②只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2＝c2－a2 转化为 a，c 的齐次式， 然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)。 3.【2017 浙江，2】椭圆
2017年高考真题分类总汇编(理数)专题5解析汇报几何(解析汇报版)
2017年高考真题分类汇编（理数）：专题5 解析几何13、（2017·天津）设椭圆+ =1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．14、（2017•北京卷）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（14分）(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．15、（2017•新课标Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足= ．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点Q在直线x=﹣3上，且•=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．16、（2017•山东）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2．（14分）（Ⅰ）求椭圆E的方程．（Ⅱ）如图，该直线l：y=k1x﹣交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上的一点，直线OC的斜率为k2，且看k1k2=，M是线段OC延长线上一点，且|MC|：|AB|=2：3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T，求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．17、（2017•浙江）如图，已知抛物线x2=y，点A（﹣，），B（，），抛物线上的点P（x，y）（﹣＜x＜），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求|PA|•|PQ|的最大值．18、（2017•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1， F2，离心率为，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）若直线l1， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．19、（2017•新课标Ⅰ卷）已知椭圆C：+ =1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（12分）(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．20、（2017•新课标Ⅲ）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．（Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程．答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】椭圆的简单性质【解析】【解答】解：椭圆+ =1，可得a=3，b=2，则c= = ，所以椭圆的离心率为：= ．故选：B．【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可．2、【答案】B【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：椭圆+ =1的焦点坐标（±3，0），则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，可得，即，可得= ，解得a=2，b= ，所求的双曲线方程为：﹣=1．故选：B．【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．3、【答案】B【考点】斜率的计算公式，两条直线平行的判定，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e= = ，c= a，则双曲线为等轴双曲线，即a=b，双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k= = ，则=1，c=4，则a=b=2 ，∴双曲线的标准方程：；故选B．【分析】由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲线方程．4、【答案】A【考点】抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|= •|y1﹣y2|= ×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，故选：A【分析】根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．5、【答案】A【考点】直线与圆相交的性质，双曲线的简单性质，圆与圆锥曲线的综合【解析】【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：= ，解得：，可得e2=4，即e=2．故选：A．【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．6、【答案】A【考点】圆的标准方程，直线与圆的位置关系，椭圆的简单性质【解析】【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2．∴椭圆C的离心率e= = = ．故选：A．【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出．二、填空题7、【答案】2【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线x2﹣=1（m＞0）的离心率为，可得：，解得m=2．故答案为：2．【分析】利用双曲线的离心率，列出方程求和求解m 即可．8、【答案】[-5 ，1]【考点】平面向量数量积的运算，直线和圆的方程的应用【解析】【解答】解：根据题意，设P（x0， y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0，﹣y0）•（﹣x0， 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0+6y0+30≤0，即2x0+y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5 ，1]，故答案为：[﹣5 ，1]．【分析】根据题意，设P（x0， y0），由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0，分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立直线与圆的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案．9、【答案】2【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线﹣y2=1的右准线：x= ，双曲线渐近线方程为：y= x，所以P（，），Q（，﹣），F1（﹣2，0）．F2（2，0）．则四边形F1PF2Q的面积是：=2 ．故答案为：2 ．【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程，得到P，Q坐标，求出焦点坐标，然后求解四边形的面积．10、【答案】【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°= ，可得：= ，即，可得离心率为：e= ．故答案为：．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．11、【答案】6【考点】抛物线的简单性质【解析】【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：，|FN|=2|FM|=2 =6．故答案为：6．【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．12、【答案】y=±x【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，双曲线的标准方程，双曲线的简单性质，圆锥曲线的综合【解析】【解答】解：把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，∴y A+y B= ，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A+y B+2×=4×，∴=p，∴= ．∴该双曲线的渐近线方程为：y=±x．故答案为：y=±x．【分析】把x2=2py（p＞0）代入双曲线=1（a＞0，b＞0），可得：a2y2﹣2pb2y+a2b2=0，利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出．三、解答题13、【答案】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．依题意可得，解得a=1，c= ，p=2，于是b2=a2﹣c2= ．所以，椭圆的方程为x2+ =1，抛物线的方程为y2=4x．（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），联立方程组，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=﹣．∴B（，）．∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，令y=0，解得x= ，故D（，0）．∴|AD|=1﹣= ．又∵△APD的面积为，∴×= ，整理得3m2﹣2 |m|+2=0，解得|m|= ，∴m=±．∴直线AP的方程为3x+ y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．【考点】椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的关系，圆锥曲线的综合【解析】【分析】（Ⅰ）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出方程；（Ⅱ）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．14、【答案】（1）解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p= ，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+ ，M（x1， y1），N（x2， y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y= x，由题意知A（x1， x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+ =0，∴x1+x2= ，x1x2=∴y1+ =kx1+ + =2kx1+ =2kx1+ =∴A为线段BM的中点．【考点】抛物线的简单性质，抛物线的应用，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1.）根据抛物线过点P（1，1）．代值求出p，即可求出抛物线C的方程，焦点坐标和准线方程；（2.）设过点（0，）的直线方程为y=kx+ ，M（x1， y1），N（x2， y2），根据韦达定理得到x1+x2= ，x1x2= ，根据中点的定义即可证明．15、【答案】解：（Ⅰ）设M（x0， y0），由题意可得N（x0， 0），设P（x，y），由点P满足= ．可得（x﹣x0， y）= （0，y0），可得x﹣x0=0，y= y0，即有x0=x，y0= ，代入椭圆方程+y2=1，可得+ =1，即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2；（Ⅱ）证明：设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），•=1，可得（cosα，sinα）•（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，即为﹣3 cosα﹣2cos2α+ msinα﹣2sin2α=1，解得m= ，即有Q（﹣3，），椭圆+y2=1的左焦点F（﹣1，0），由k OQ=﹣，k PF= ，由k OQ•k PF=﹣1，可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．【考点】数量积的坐标表达式，同角三角函数间的基本关系，斜率的计算公式，两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，轨迹方程【解析】【分析】（Ⅰ）设M（x0， y0），由题意可得N（x0， 0），设P（x，y），运用向量的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；（Ⅱ）设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，PF的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．16、【答案】解：（Ⅰ）由题意知，，解得a= ，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设A（x1， y1），B（x2， y2），联立，得．由题意得△= ＞0．，．∴|AB|= ．由题意可知圆M的半径r为r= ．由题意设知，，∴．因此直线OC的方程为．联立，得．因此，|OC|= ．由题意可知，sin = ．而= ．令t= ，则t＞1，∈（0，1），因此，= ≥1．当且仅当，即t=2时等式成立，此时．∴，因此．∴∠SOT的最大值为．综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．【考点】函数的值域，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，椭圆的应用，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得关于a，b，c的方程组，求解方程组得a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设A（x1， y1），B（x2， y2），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标的和与积，由弦长公式求得|AB|，由题意可知圆M的半径r，则r=．由题意设知．得到直线OC的方程，与椭圆方程联立，求得C点坐标，可得|OC|，由题意可知，sin = ．转化为关于k1的函数，换元后利用配方法求得∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为．17、【答案】解：（Ⅰ）由题可知P（x，x2），﹣＜x＜，所以k AP= =x﹣∈（﹣1，1），故直线AP斜率的取值范围是：（﹣1，1）；（Ⅱ）由（I）知P（x，x2），﹣＜x＜，所以=（﹣﹣x，﹣x2），设直线AP的斜率为k，则AP：y=kx+ k+ ，BP：y=﹣x+ + ，联立直线AP、BP方程可知Q（，），故=（，），又因为=（﹣1﹣k，﹣k2﹣k），故﹣|PA|•|PQ|= •= + =（1+k）3（k﹣1），所以|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，则f′（x）=（1+x）2（2﹣4x）=﹣2（1+x）2（2x﹣1），由于当﹣1＜x＜﹣时f′（x）＞0，当＜x＜1时f′（x）＜0，故f（x）max=f（）= ，即|PA|•|PQ|的最大值为．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，平面向量数量积的运算，斜率的计算公式，抛物线的应用，圆锥曲线的综合【解析】【分析】（Ⅰ）通过点P在抛物线上可设P（x，x2），利用斜率公式结合﹣＜x＜可得结论；（Ⅱ）通过（I）知P（x，x2）、﹣＜x＜，设直线AP的斜率为k，联立直线AP、BP方程可知Q点坐标，进而可用k表示出、，计算可知|PA|•|PQ|=（1+k）3（1﹣k），通过令f（x）=（1+x）3（1﹣x），﹣1＜x＜1，求导结合单调性可得结论．18、【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率e= = ，则a=2c，①椭圆的准线方程x=±，由2×=8，②由①②解得：a=2，c=1，则b 2=a 2﹣c 2=3，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设P （x 0 ， y 0），则直线PF 2的斜率 =，则直线l 2的斜率k 2=﹣ ，直线l 2的方程y=﹣ （x ﹣1），直线PF 1的斜率=，则直线l 2的斜率k 2=﹣ ，直线l 2的方程y=﹣（x+1），联立 ，解得： ，则Q （﹣x 0 ， ），由Q 在椭圆上，则y 0= ，则y 02=x 02﹣1，则 ，解得： ，则 ，∴P （ ， ）或P （﹣ ， ）或P （ ，﹣ ）或P （﹣ ，﹣ ）．【考点】直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a=2c ，由椭圆的准线方程x=± ，则2×=8，即可求得a 和c 的值，则b 2=a 2﹣c 2=3，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设P 点坐标，分别求得直线PF 2的斜率及直线PF 1的斜率，则即可求得l 2及l 1的斜率及方程，联立求得Q 点坐标，由Q 在椭圆方程，求得y 02=x 02﹣1，联立即可求得P 点坐标；19、【答案】（1）解：根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．（2）证明：①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴= = =﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1， y1），B（x2， y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，，x1x2= ，则= == = =﹣1，又b≠1，∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【考点】直线的斜截式方程，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，圆锥曲线的综合【解析】【分析】（1.）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2.）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），联立，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．20、【答案】解：方法一：证明：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2），则=（2，2），=（2，﹣2），则•=0，∴⊥，则坐标原点O在圆M上；当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），设A（x1， y1），B（x2， y2），，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0，则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2，由y1y2＜0，则y1y2=﹣4，由•=x1x2+y1y2=0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，综上可知：坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程x=my+2，，整理得：y2﹣2my﹣4=0，设A（x1， y1），B（x2， y2），则y1y2=﹣4，则（y1y2）2=4x1x2，则x1x2=4，则•=x1x2+y1y2=0，则⊥，则坐标原点O在圆M上，∴坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4，圆M过点P（4，﹣2），则=（4﹣x1，﹣2﹣y1），=（4﹣x2，﹣2﹣y2），由•=0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0，整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1，当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4，则x1+x2= ，y1+y2=﹣1，则M（，﹣），半径为r=丨MP丨= = ，∴圆M的方程（x﹣）2+（y+ ）2= ．当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2，同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨= ，∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10，综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣）2+（y+ ）2=或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10．【考点】直线的点斜式方程，直线的斜截式方程，圆的标准方程，点与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的关系【解析】【分析】（Ⅰ）方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得A和B的坐标，由•=0，则坐标原点O在圆M上；当直线l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得•=0，则坐标原点O在圆M上；方法二：设直线l的方程x=my+2，代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得•=0，则坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）由题意可知：•=0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得k的值，求得M点坐标，则半径r=丨MP丨，即可求得圆的方程．。
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编12 解析几何【含答案】
近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编十二、解析几何一、单选题1．（2021·全国（文））点(3,0)到双曲线x216−y29=1的一条渐近线的距离为（）A．95B．85C．65D．452．（2021·全国（文））设B是椭圆C:x25+y2=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（）A．52B．√6C．√5D．23．（2021·全国）已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|⋅|MF2|的最大值为（）A．13 B．12 C．9 D．6 4．（2021·浙江）已知a,b∈R,ab>0，函数f(x)=ax2+b(x∈R).若f(s−t),f(s),f(s+ t)成等比数列，则平面上点(s,t)的轨迹是（）A．直线和圆B．直线和椭圆C．直线和双曲线D．直线和抛物线5．（2021·全国（理））已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2= 60°,|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（）A B．√132C．√7D．√136．（2021·全国（理））设B是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（）A．√22,1)B．12,1)C．0,√22D．0,127．（2020·天津）设双曲线C的方程为22221(0,0)x ya ba b-=>>，过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l．若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（）A．x24−y24=1B．x2−y24=1C．2214xy-=D．221x y-=8．（2020·北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（）．A ．经过点OB ．经过点PC ．平行于直线OPD ．垂直于直线OP9．（2020·北京）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A ．4B ．5C ．6D ．710．（2020·浙江）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =3√4−x 2图像上的点，则|OP |=（ ） A ．√222B ．4√105C ．√7D ．√1011．（2020·全国（文））设F 1,F 2是双曲线C:x 2−y 23=1的两个焦点，O 为坐标原点，点P在C 上且|OP|=2，则△PF 1F 2的面积为（ ） A ．72B ．3C ．52D ．212．（2020·全国（理））若直线l 与曲线y =√x 和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +1213．（2020·全国（理））设双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1（a >0，b >0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√5．P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P ．若△PF 1F 2的面积为4，则a =（ ） A ．1B ．2C ．4D ．814．（2020·全国（文））点(0，﹣1)到直线y =k (x +1)距离的最大值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．215．（2020·全国（文））设O 为坐标原点，直线x =2与抛物线C ：y 2=2px(p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为（ ） A ．(14,0)B ．(12,0)C ．(1,0)D ．(2,0)16．（2020·全国（文））在平面内，A ，B 是两个定点，C 是动点，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则点C 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．直线17．（2020·全国（文））已知圆x 2+y 2−6x =0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．418．（2020·全国（理））已知⊙M ：x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线l ：2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA,PB ，切点为A,B ，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB的方程为（ ） A ．2x −y −1=0B ．2x +y −1=0C ．2x −y +1=0D ．2x +y +1=019．（2020·全国（理））已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2B ．3C ．6D ．920．（2020·全国（理））若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x −y −3=0的距离为（ ） A ．√55B ．2√55C ．3√55D ．4√5521．（2020·全国（理））设O 为坐标原点，直线x =a 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于D,E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．3222．（2019·北京（文））已知双曲线x 2a 2−y 2=1（a ＞0）的离心率是√5 则a =A ．√6B ．4C ．2D ．1223．（2019·全国（文））已知F 是双曲线C:x 24−y 25=1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若|OP |=|OF |，则△OPF 的面积为 A ．32B ．52C ．72D ．9224．（2019·北京（理））已知直线l 的参数方程为{x =1+3t,y =2+4t （t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是 A ．15B ．25C ．45D ．6525．（2019·全国（理））双曲线C ：x 24−y 22=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若|PO |=|PF |，则△PFO 的面积为 A ．3√24B ．3√22C ．2√2D ．3√226．（2019·天津（文））已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF （O 为原点），则双曲线的离心率为 A ．√2B ．√3C ．2D ．√527．（2019·全国（文））设F 为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为A．√2B．√3C．2 D．√528．（2019·全国（文））已知椭圆C的焦点为F1(−1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若│AF2│=2│F2B│，│AB│=│BF1│，则C的方程为A．2212xy+=B．x23+y22=1C．x24+y23=1D．x25+y24=129．（2019·全国（文））双曲线C:22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为A．2sin40°B．2cos40°C．1sin50°D．1cos50°30．（2019·上海）以(a1,0),(a2,0)为圆心的两圆均过(1,0)，与y轴正半轴分别交于(0,y1),(0,y2)，且满足ln y1+ln y2=0，则点(1a1,1a2)的轨迹是A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线31．（2018·北京（理））在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x−my−2= 0的距离，当θ、m变化时，d的最大值为A．1B．2C．3D．432．（2018·全国（理））设F1,F2是双曲线2222:1x yCa b-=（）的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若|PF1|=√6|OP|，则C的离心率为A．√5B．√3C．2D．√2 33．（2018·全国（理））直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x−2)2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是A．[2 ， 6]B．[4 ， 8]C．[√2 ， 3√2]D．[2√2 ， 3√2] 34．（2018·全国（文））已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为A．1−√32B．2−√3C．√3−12D．√3−135．（2018·全国（理））已知F1，F2是椭圆C： x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为√36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P=120°，则C的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．1436．（2017·全国（理））已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的一条渐近线方程为y =√52x ，且与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．x 28−y 210=1 B ．x 24−y 25=1 C ．x 25−y 24=1 D ．x 24−y 23=137．（2017·全国（文））过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为√3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） A ．√5 B ．2√2 C ．2√3 D ．3√3二、多选题38．（2021·全国）在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =AA 1=1，点P 满足BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ +μBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则（ ） A ．当λ=1时，△AB 1P 的周长为定值 B ．当μ=1时，三棱锥P −A 1BC 的体积为定值 C ．当λ=12时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BP D ．当μ=12时，有且仅有一个点P ，使得1A B 平面AB 1P39．（2021·全国）已知点P 在圆(x −5)2+(y −5)2=16上，点A (4,0)、B (0,2)，则（ ） A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2 C ．当∠PBA 最小时，|PB |=3√2 D ．当∠PBA 最大时，|PB |=3√240．（2020·海南）已知曲线C:mx 2+ny 2=1.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C 是圆，其半径为√nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =±√−mn xD ．若m =0，n >0，则C 是两条直线未命名未命名三、填空题41．（2021·全国）已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ，若|FQ |=6，则C 的准线方程为______. 42．（2021·全国（文））已知F 1,F 2为椭圆C ：x 216+y 24=1的两个焦点，P ，Q 为C 上关于坐标原点对称的两点，且|PQ |=|F 1F 2|，则四边形PF 1QF 2的面积为________． 43．（2021·全国（理））已知双曲线C:x 2m−y 2=1(m >0)的一条渐近线为√3x +my =0，则C 的焦距为_________． 44．（2021·全国（文））双曲线x 24−y 25=1的右焦点到直线x +2y −8=0的距离为________．45．（2020·天津）已知直线x −√3y +8=0和圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A,B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．46．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a2﹣y 25=1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=√52x ，则该双曲线的离心率是____.47．（2020·全国（理））已知F 为双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点，A 为C的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________.48．（2019·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y =x +4x (x >0)上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.49．（2019·北京（文））设抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l .则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为__________．50．（2019·全国（理））设F 1，F 2为椭圆C:x 236+y 220=1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为___________. 51．（2019·浙江）已知椭圆x 29+y 25=1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.52．（2019·全国（理））已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为____________．53．（2018·上海）已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，则11√2+22√2的最大值为______．54．（2018·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l:y =2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则点A 的横坐标为________．55．（2018·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为√32c ，则其离心率的值是________．56．（2018·北京（文））已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线y 2=4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.57．（2018·全国（理））已知点M(−1，1)和抛物线C ：y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB =90°，则k =________．58．（2018·浙江）已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．四、解答题59．（2021·全国（文））已知抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线的距离为2． （1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线OQ 斜率的最大值.60．（2021·全国（文））抛物线C 的顶点为坐标原点O ．焦点在x 轴上，直线l ：x =1交C 于P ，Q 两点，且OP ⊥OQ ．已知点M (2,0)，且⊙M 与l 相切． （1）求C ，⊙M 的方程；（2）设A 1,A 2,A 3是C 上的三个点，直线A 1A 2，A 1A 3均与⊙M 相切．判断直线A 2A 3与⊙M 的位置关系，并说明理由．61．（2021·浙江）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且|MF |=2，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线MA,MB,AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且|RN |2=|PN |⋅|QN |，求直线l 在x 轴上截距的范围. 62．（2021·全国（理））在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心为()2,1C ，半径为1． （1）写出⊙C 的一个参数方程;（2）过点F (4,1)作⊙C 的两条切线．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．63．（2021·全国（理））已知抛物线C:x 2=2py (p >0)的焦点为F ，且F 与圆M:x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为4． （1）求p ；（2）若点P 在M 上，PA,PB 是C 的两条切线，A,B 是切点，求△PAB 面积的最大值． 64．（2021·全国）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1(−√17,0)、F 2(√17,0)|MF 1|−|MF 2|=2，点M 的轨迹为C . （1）求C 的方程；（2）设点T 在直线x =12上，过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ，Q 两点，且|TA |⋅|TB |=|TP |⋅|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和. 65．（2020·海南）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M（2，3）,点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12 ， （1）求C 的方程；（2）点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值. 66．（2020·天津）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A(0,−3)，右焦点为F ，且|OA|=|OF|，其中O 为原点． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 67．（2020·北京）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1过点A(−2,−1)，且a =2b ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B 的直线l 交椭圆C 于点M,N ,直线MA,NA 分别交直线x =−4于点P,Q ．求|PB||BQ|的值．68．（2020·山东）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且过点A (2,1)．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．69．（2020·江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E:x 24+y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．70．（2020·全国（理））已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a 2+y 2=1（a >1）的左、右顶点，G为E 的上顶点，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，P 为直线x =6上的动点，P A 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD过定点.71．（2020·全国（文））已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=43|AB|．（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．72．（2019·江苏）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．73．（2019·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1（–1、0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:(x−1)2+y2= 4a2交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C 于点E，连结DF1．已知DF1=52．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．74．（2019·北京（理））已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．75．（2019·全国（文））已知点A，B关于坐标原点O对称，│AB│ =4，⊙M过点A，B 且与直线x+2=0相切．（1）若A在直线x+y=0上，求⊙M的半径．（2）是否存在定点P，使得当A运动时，│MA│－│MP│为定值？并说明理由．76．（2019·上海）已知抛物线方程y2=4x,F为焦点，P为抛物线准线上一点，Q为线段PF与抛物线的交点，定义：d(P)=|PF|.|FQ|)时，求d(P)；（1）当P(−1,−83（2）证明：存在常数a，使得2d(P)=|PF|+a；（3）P1,P2,P3为抛物线准线上三点，且|P1P2|=|P2P3|，判断d(P1)+d(P3)与2d(P2)的关系.77．（2018·上海）设常数t>2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2，0)，直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x(0≤x≤t，y≥0)．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 距离；（2）设t =3，|FQ |=2，线段OQ 的中点在直线FP ，求△AQP 的面积；（3）设t =8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由． 78．（2018·北京（文））已知椭圆M:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√63，焦距为2√2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B . （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）若k =1，求|AB|的最大值；（Ⅲ）设P (−2,0)，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点Q (−74,14) 共线，求k .79．（2018·江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点(√3,12)，焦点F 1(−√3,0),F 2(√3,0)，圆O 的直径为F 1F 2． （1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A,B 两点．若△OAB 的面积为2√67，求直线l 的方程．80．（2018·北京（理））已知抛物线C ：y 2=2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μQO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：1λ+1μ为定值． 81．（2018·全国（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y =k |x |+2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ−3=0. （1）求C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程. 82．（2018·全国（理））已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ： x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M(1 ， m)(m >0)． （1）证明：k <−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．证明：|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |成等差数列，并求该数列的公差．83．（2018·全国（文））已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ： x 24+y 23=1交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M(1,m)(m >0)． （1）证明：k <−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP ⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ．证明：2|FP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |+|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ |． 84．（2018·全国（理））在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为{x =cos θ，y =sin θ（θ为参数），过点(0 ， −√2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ， B 两点． （1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程．85．（2018·浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+y 24=1(x<0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围．86．（2018·全国（文））设抛物线C ： y 2=2x ，点A(2 ， 0)，B(−2 ， 0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； （2）证明：∠ABM =∠ABN ． 87．（2018·天津（理））设椭圆x 2a2+y 2b 2=1 (a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的离心率为√53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |⋅|AB |=6√2.（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：y =kx(k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q . 若|AQ ||PQ |=5√24sin∠AOQ (O 为原点) ，求k 的值.88．（2018·全国（文））设抛物线C ： y 2=4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB| =8． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 89．（2018·天津（文））设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为√53，|AB |=√13．（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．五、双空题90．（2021·浙江）已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，焦点1(,0)Fc -，2(,0)F c (c >0)，若过F 1的直线和圆(x −12c)2+y 2=c 2相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且PF 2⊥x 轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.91．（2020·浙江）设直线l:y =kx +b(k >0)与圆x 2+y 2=1和圆(x −4)2+y 2=1均相切，则k =_______；b =______．92．（2019·浙江）已知圆C 的圆心坐标是(0,m)，半径长是r .若直线2x −y +3=0与圆相切于点A(−2,−1)，则m =_____，r =______. 93．（2018·北京（理））已知椭圆M ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2−y 2n2=1．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编十二、解析几何（答案解析）1．A 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可. 【解析】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：x 216−y 29=0，即3x ±4y =0，结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x +4y =0的距离：d =√9+16=95. 故选：A. 2．A 【分析】设点P (x 0,y 0)，由依题意可知，B (0,1)，220015x y +=，再根据两点间的距离公式得到2PB ，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值． 【解析】设点P (x 0,y 0)，因为B (0,1)，220015x y +=，所以|PB |2=x 02+(y 0−1)2=5(1−y 02)+(y 0−1)2=−4y 02−2y 0+6=−4(y 0−12)2+254，而−1≤y 0≤1，所以当y 0=12时，|PB |的最大值为52． 故选：A ． 【小结】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出． 3．C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到|MF 1|+|MF 2|=2a =6，借助基本不等式|MF 1|⋅|MF 2|≤(|MF 1|+|MF 2|2)2即可得到答案．【解析】由题，a 2=9,b 2=4，则|MF 1|+|MF 2|=2a =6，所以|MF 1|⋅|MF 2|≤(|MF 1|+|MF 2|2)2=9（当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时，等号成立）．故选：C ． 【小结】椭圆上的点与椭圆的两焦点的距离问题，常常从椭圆的定义入手，注意基本不等式得灵活运用，或者记住定理：两正数，和一定相等时及最大，积一定，相等时和最小，也可快速求解. 4．C 【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程. 【解析】由题意得2()()[()]f s t f s t f s -+=，即()2222()()a s t b a s t b as b ⎡⎤⎡⎤-+++=+⎣⎦⎣⎦，对其进行整理变形：(as 2+at 2−2ast +b )(as 2+at 2+2ast +b )=(as 2+b )2，()()222222(2)0asat b ast as b++--+=，()2222222240asat b at a s t ++-=，222242220a s t a t abt -++=，所以22220as at b -++=或t =0，其中2212s t b b a a-=为双曲线，t =0为直线.故选：C. 【小结】关键点小结：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题. 5．A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出|PF 1|,|PF 2|，结合余弦定理可得答案.【解析】因为|PF1|=3|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2|PF2|=2a，所以|PF2|=a，|PF1|=3a；因为1260F PF∠=︒,由余弦定理可得4c2=9a2+a2−2×3a⋅a⋅cos60°，整理可得4c2=7a2，所以e2=c2a2=74，即e=√72.故选：A【小结】关键小结：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立a,c间的等量关系是求解的关键. 6．C【分析】设P(x0,y0)，由B(0,b)，根据两点间的距离公式表示出|PB|，分类讨论求出|PB|的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【解析】设P(x0,y0)，由B(0,b)，因为x02a2+y02b2=1，a2=b2+c2，所以|PB|2=x02+(y0−b)2=a2(1−y02b2)+(y0−b)2=−c2b2(y0+b3c2)2+b4c2+a2+b2，因为−b≤y0≤b，当−b3c2≤−b，即b2≥c2时，|PB|max22，即|PB|max，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0<e≤√22；当−b3c2>−b，即b2<c2时，|PB|max2b4c222，即b4c2+a2+b2≤4b2，化简得，(c2−b2)2≤0，显然该不等式不成立．故选：C．【小结】本题解题关键是如何求出|PB|的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．7．D【分析】由抛物线的焦点(1,0)可求得直线l的方程为x+yb=1，即得直线的斜率为−b，再根据双曲线的渐近线的方程为y=±ba x，可得−b=−ba，−b×ba=−1即可求出a,b，得到双曲线的方程．【解析】由题可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线l的方程为x+yb=1，即直线的斜率为−b，又双曲线的渐近线的方程为y=±ba x，所以−b=−ba，−b×ba=−1，因为0,0a b>>，解得a=1,b=1．故选：D．【小结】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．8．B【分析】依据题意不妨作出焦点在x轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段FQ的垂直平分线经过点P，即求解.【解析】如图所示：．因为线段FQ的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，又点P在抛物线上，根据定义可知，|PQ|=|PF|，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.故选：B.【小结】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.9．A【分析】求出圆心C的轨迹方程后，根据圆心M到原点O的距离减去半径1可得答案.【解析】设圆心C(x,y)，则√(x−3)2+(y−4)2=1，化简得(x−3)2+(y−4)2=1，所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，所以|OC|+1≥|OM|=√32+42=5，所以|OC|≥5−1=4，当且仅当C在线段OM上时取得等号，故选：A.【小结】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.10．D【分析】根据题意可知，点P既在双曲线的一支上，又在函数234y x=-即可求出点P的坐标，得到|OP|的值．【解析】因为|PA|−|PB|=2<4，所以点P在以A,B为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由c=2,a=1可得，b2=c2−a2=4−1=3，即双曲线的右支方程为x2−y23=1(x>0)，而点P还在函数234y x=-的图象上，所以，由{y=3√4−x2x2−y23=1(x>0)，解得{x=√132y=3√32，即|OP|=√134+274=√10．故选：D.【小结】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．11．B 【分析】由△F 1F 2P 是以P 为直角直角三角形得到|PF 1|2+|PF 2|2=16，再利用双曲线的定义得到||PF 1|−|PF 2||=2，联立即可得到12||||PF PF ，代入12F F P S =△12|PF 1||PF 2|中计算即可.【解析】由已知，不妨设F 1(−2,0),F 2(2,0)， 则a =1,c =2，因为|OP |=2=12|F 1F 2|， 所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，即△F 1F 2P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即|PF 1|2+|PF 2|2=16，又||PF 1|−|PF 2||=2a =2，所以4=||PF 1|−|PF 2||2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1||PF 2|=16−212||||PF PF ，解得|PF 1||PF 2|=6，所以12F F P S =△12|PF 1||PF 2|=3故选：B 【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题. 12．D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【解析】设直线l 在曲线y =√x 上的切点为(x 0,√x 0)，则x 0>0，函数y =√x 的导数为y ′=2√x ，则直线l 的斜率k =2√x ，设直线l 的方程为y −√x 0=2√x x −x 0)，即x −2√x 0y +x 0=0， 由于直线l 与圆x 2+y 2=15相切，则0√1+4x =√5，两边平方并整理得5x 02−4x 0−1=0，解得x 0=1，x 0=−15（舍），则直线l 的方程为210x y -+=，即y =12x +12. 故选：D. 【小结】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 13．A 【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案. 【解析】∵ca =√5，5c a ∴，根据双曲线的定义可得||PF 1|−|PF 2||=2a ， S △PF 1F 2=12|PF 1|⋅|PF 2|=4，即|PF 1|⋅|PF 2|=8，∵F 1P ⊥F 2P ，∴|PF 1|2+|PF 2|2=(2c )2，∴(|PF 1|−|PF 2|)2+2|PF 1|⋅|PF 2|=4c 2，即a 2−5a 2+4=0，解得1a =， 故选：A. 【小结】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于中档题. 14．B 【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点P(−1,0)，设A(0,−1)，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大，即可求得结果. 【解析】由(1)y k x =+可知直线过定点P(−1,0)，设A(0,−1)，当直线(1)y k x =+与AP 垂直时，点A 到直线(1)y k x =+距离最大， 即为|AP|=√2. 故选：B. 【小结】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.15．B【分析】，从而可以根据题中所给的条件OD⊥OE，结合抛物线的对称性，可知∠DOx=∠EOx=π4确定出点D的坐标，代入方程求得p的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【解析】因为直线x=2与抛物线y2=2px(p>0)交于E,D两点，且OD⊥OE，，所以D(2,2)，根据抛物线的对称性可以确定∠DOx=∠EOx=π4,0)，代入抛物线方程4=4p，求得p=1，所以其焦点坐标为(12故选：B.【小结】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.16．A【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【解析】设AB=2a(a>0)，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：A(−a,0),B(a,0)，设C(x,y)，可得：AC→=(x+a,y),BC→=(x−a,y)，从而：AC→⋅BC→=(x+a)(x−a)+y2，结合题意可得：(x+a)(x−a)+y2=1，整理可得：x2+y2=a2+1，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，√a2+1为半径的圆.故选：A.【小结】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17．B【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【解析】圆x2+y2−6x=0化为(x−3)2+y2=9，所以圆心C坐标为C(3,0)，半径为3，设P(1,2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时|CP|=√(3−1)2+(−2)2=2√2根据弦长公式得最小值为2√9−|CP|2=2√9−8=2.故选：B.【小结】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.18．D【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A,P,B,M共圆，且AB⊥MP，根据|PM|⋅|AB|=4S△PAM=4|PA|可知，当直线MP⊥l时，|PM|⋅|AB|最小，求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程．【解析】圆的方程可化为(x−1)2+(y−1)2=4，点M到直线l的距离为d=√22+12=√5>2，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点A,P,B,M四点共圆，且AB⊥MP，所以|PM|⋅|AB|=4S△PAM=4×12×|PA|×|AM|=4|PA|，而|PA|=√|MP|2−4，当直线MP⊥l时，|MP|√5min，|PA|min，此时|PM|⋅|AB|最小．∴MP:y−1=12(x−1)即y=12x+12，由{y=12x+122x+y+2=0解得，{x=−1y=0．所以以MP为直径的圆的方程为(x−1)(x+1)+y(y−1)=0，即x2+y2−y−1=0，两圆的方程相减可得：2x+y+1=0，即为直线AB的方程．故选：D.【小结】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．19．C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知|AF|=x A+p2=12，即12=9+p2，解得p=6.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 20．B【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(a,a),a>0，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点(2,1)在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x−y−3=0的距离.【解析】由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a,a)，则圆的半径为a，圆的标准方程为(x−a)2+(y−a)2=a2.由题意可得(2−a)2+(1−a)2=a2，可得a2−6a+5=0，解得1a=或a=5，所以圆心的坐标为(1,1)或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d⨯--==；圆心到直线的距离均为225532555d⨯--==圆心到直线2x−y−3=0的距离均为d=√5=2√55；所以，圆心到直线2x−y−3=0的距离为2√55.故选：B.【小结】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 21．B【分析】因为C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，与直线x=a联立方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c= 2√a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.【解析】∵C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴双曲线的渐近线方程是y=±bax∵直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=ba x，解得{x=ay=b故D(a,b)联立{x=ay=−ba x，解得{x=ay=−b故E(a,−b)∴|ED|=2b ∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴其焦距为2c=2√a2+b2≥2√2ab=2√16=8当且仅当a=b=2√2取等号。
2017年全国高考理科数学试题分类汇编之解析几何
一、选择题：1.已知双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=2.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）A ．22144x y -= B ．22188x y -= C ．22148x y -= D ．22184x y -= 3.若双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2BCD ．34.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B C ．3D ．135.已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则||||AB DE +的最小值为（ ） A ．16B ．14C ．12D ．10二、填空题：6.若双曲线221y x m-=m =_________.7.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径做圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若60MAN ∠=︒，则C 的离心率为________．8.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右支与焦点为F 的抛物线22x py =（0p >）交于A ，B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .9.已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则||FN = ．三、解答题：10.（新课标1）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（0a b >>），四点11,1P ()，20,1P ()，3–1P (，41P (中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点.11.（新课标2）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =.（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .12.（新课标3）已知抛物线C ：22y x =，过点（20，）的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （42-，），求直线l 与圆M 的方程．13.（北京）已知抛物线C ：22y px =过点P （1，1），过点（0，12）作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP 、ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段BM 的中点.14.（山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）如图，动直线l ：1y k x =交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC的斜率为2k ，且12k k =M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T ，求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.15.（天津）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12，已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线的距离为12. （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设上两点P ，Q 关于轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ与轴相交于点D ，若APD ∆的面积为AP 的方程.答案：BB ；AAA ；2；3；2y x =±；610.（1）2214x y +=；（2）(2,1)- 11.（1）222x y +=；（2）略12.（1）略；（2）当m=1时，直线l 的方程为x-y-2=0，圆心M 的坐标为（3,1），圆M 的半，圆M 的方程为()()223110x y -+-= 当12m =-时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91，-42⎛⎫⎪⎝⎭，圆M 的半径为4，圆M 的方程为229185++4216x y ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13.（1）2y x =焦点坐标为（14，0），准线方程为14x =-；（2）略14.（1）2212x y +=；（2）SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l 的斜率为1k =15.（1）22413y x +=， 24y x =.（2）330x -=，或330x -=。
2017年高考数学试题：解析几何
在 中： ， ， 。
。
（Ⅱ）当 时：焦点在 轴。
椭圆 ： 长轴为 轴 长轴上的两个端点： ， 。
椭圆具有对称性（关于 轴， 轴，原点都对称） 边界值是 在左右顶点处。
假设： 点在右顶点处 点的坐标为 。如下图所示：
在 中： ， ， 。
。
所以：根据两个边界值 和 得到 的取值范围： 。
， 。
直线 的方程为 。 ， ， 。
直线 过定点 。
训练七：2017年高考文科数学新课标Ⅱ卷第5题：2017年高考文科数学新课标Ⅱ卷第5题：若 ，则双曲线 的离心率的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
本题解答：双曲线 。
， ，
离心率的取值范围： 。
训练八：2017年高考文科数学新课标Ⅱ卷第12题：过抛物线 ： 的焦点 ，且斜率为 的直线交 于点 （ 在 轴上方）， 为 的准线，点 在 上且 ，则 到直线 的距离为（ ）
。
训练二：2017年高考文科数学新课标Ⅰ卷第12题：设 ， 是椭圆 ： 长轴的两个端点，若 上存在点 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
本题解答：分类讨论：（Ⅰ）当 时：焦点在 轴。
椭圆 ： 长轴为 轴 长轴上的两个端点： ， 。
椭圆具有对称性（关于 轴， 轴，原点都对称） 边界值是 在上下顶点处。
， 为曲线 ： 上两点 ， ，
直线 的斜率为 。
（Ⅱ）假设：点 的坐标为 。导函数： 切线斜率： 。
在 处的切线与直线 平行 。假设：直线 的方程为 。
联立 和 得到： 。
。
根据韦达定理得到： ， 。
；
。
， ， 。
2017年高考真题分类汇编(理数)专题2导数(解析版)
2017年高考真题分类汇编(理数)专题2导数(解析版)D答案解析部分一、单选题1、【答案】D【考点】函数的图象，函数的单调性与导数的关系【解析】【解答】解：由当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，则由导函数y=f′（x）的图象可知：f（x）先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A，C，且第二个拐点（即函数的极大值点）在x轴上的右侧，排除B，故选D【分析】根据导数与函数单调性的关系，当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减，当f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f（x）的图象可能2、【答案】A【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1，可得f′（x）=（2x+a）e x﹣1+（x2+ax﹣1）e x﹣1，x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，可得：﹣4+a+（3﹣2a）=0．解得a=﹣1．可得f′（x）=（2x﹣1）e x﹣1+（x2﹣x﹣1）e x﹣1，=（x2+x﹣2）e x﹣1，函数的极值点为：x=﹣2，x=1，当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．故选：A．【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可．3、【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用，函数的零点与方程根的关系，函数的零点【解析】【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（e x﹣1+ ）=0，所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a （e x﹣1+ ）有唯一解，等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（e x﹣1+ ）的图象只有一个交点．①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y=a（e x﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（e x﹣1+ ）的图象的最高点为B（1，2a），由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a （e x﹣1+ ）的图象有两个交点，矛盾；③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且y=a（e x﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（e x﹣1+ ）的图象的最低点为B（1，2a），由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a= ，符合条件；综上所述，a= ，故选：C．【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（e x﹣1+ ）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．二、解答题4、【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x﹣）e﹣x （x≥ ），导数f′（x）=（1﹣••2）e﹣x﹣（x﹣）e﹣x=（1﹣x+ ）e﹣x=（1﹣x）（1﹣）e﹣x；（Ⅱ）由f（x）的导数f′（x）=（1﹣x）（1﹣）e﹣x，可得f′（x）=0时，x=1或，当＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减；当1＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减，且x≥ ⇔x2≥2x﹣1⇔（x﹣1）2≥0，则f（x）≥0．由f（）= e ，f（1）=0，f（）= e ，即有f（x）的最大值为 e ，最小值为f（1）=0．则f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围是[0， e ]．【考点】简单复合函数的导数，利用导数研究函数的单调性，导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，注意运用复合函数的求导法则，即可得到所求；（Ⅱ）求出f（x）的导数，求得极值点，讨论当＜x ＜1时，当1＜x＜时，当x＞时，f（x）的单调性，判断f（x）≥0，计算f（），f（1），f（），即可得到所求取值范围．5、【答案】解：（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x ﹣2sinx，∴f′（π）=2π．∴曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为：y﹣（π2﹣2）=2π（x﹣π）．化为：2πx﹣y﹣π2﹣2=0．（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x ﹣2）﹣a（x2+2cosx）h′（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2）+e x（﹣sinx﹣cosx+2）﹣a（2x﹣2sinx）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，∴函数u（x）在R上单调递增．∵u（0）=0，∴x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．（i）a≤0时，e x﹣a＞0，∴x＞0时，h′（x）＞0，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，h′（x）＜0，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．∴x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．（ii）a＞0时，令h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）=0．解得x1=lna，x2=0．①0＜a＜1时，x∈（﹣∞，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（lna，0）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＜0，函数h （x）单调递减；x∈（0，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h （x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a ﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．②当a=1时，lna=0，x∈R时，h′（x）≥0，∴函数h （x）在R上单调递增．③1＜a时，lna＞0，x∈（﹣∞，0）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；x∈（0，lna）时，e x﹣e lna＜0，h′（x）＜0，函数h （x）单调递减；x∈（lna，+∞）时，e x﹣e lna＞0，h′（x）＞0，函数h （x）单调递增．∴当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a ﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．综上所述：a≤0时，函数h（x）在（0，+∞）单调递增；x＜0时，函数h（x）在（﹣∞，0）单调递减．x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣1﹣2a．0＜a＜1时，函数h（x）在x∈（﹣∞，lna）是单调递增；函数h（x）在x∈（lna，0）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极小值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna 时，函数h（x）取得极大值，h（lna）=﹣a[ln2a﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．当a=1时，lna=0，函数h（x）在R上单调递增．a＞1时，函数h（x）在（﹣∞，0），（lna，+∞）上单调递增；函数h（x）在（0，lna）上单调递减．当x=0时，函数h（x）取得极大值，h（0）=﹣2a﹣1．当x=lna时，函数h（x）取得极小值，h（lna）=﹣a[ln2a ﹣2lna+sin（lna）+cos（lna）+2]．【考点】导数的加法与减法法则，导数的乘法与除法法则，函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（Ⅰ）f（π）=π2﹣2．f′（x）=2x ﹣2sinx，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．（Ⅱ）h（x）=g （x）﹣a f（x）=e x（cosx﹣sinx+2x ﹣2）﹣a（x2+2cosx），可得h′（x）=2（x﹣sinx）（e x﹣a）=2（x﹣sinx）（e x﹣e lna）．令u（x）=x﹣sinx，则u′（x）=1﹣cosx≥0，可得函数u（x）在R上单调递增．由u（0）=0，可得x＞0时，u（x）＞0；x＜0时，u（x）＜0．对a分类讨论：a≤0时，0＜a＜1时，当a=1时，a＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．6、【答案】（1）解：函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）解：函数f（x）=e x cosx﹣x的导数为f′（x）=e x （cosx﹣sinx）﹣1，令g（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣1，则g（x）的导数为g′（x）=e x（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2e x•sinx，当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2e x•sinx≤0，即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，则f（x）在[0，]递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；最小值为f（）=e cos ﹣=﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（1.）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2.）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．7、【答案】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x= ．当x变化时，g′（x），g （x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣（﹣1，）（，+∞）1）g′（x）+ ﹣+g（x）↗↘↗所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣1，）．（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），h（x0）=g（x0）（m﹣x0）﹣f（m）．令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），则H′1（x）=g′（x）（x﹣x0）．由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，故当x∈[1，x0）时，H′1（x）＜0，H1（x）单调递减；当x∈（x0， 2]时，H′1（x）＞0，H1（x）单调递增．因此，当x∈[1，x0）∪（x0， 2]时，H1（x）＞H1（x0）=﹣f（x0）=0，可得H1（m）＞0即h（m）＞0，令函数H2（x）=g（x0）（x﹣x0）﹣f（x），则H′2（x）=g′（x0）﹣g（x）．由（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x0）时，H′2（x）＞0，H2（x）单调递增；当x∈（x0， 2]时，H′2（x）＜0，H2（x）单调递减．因此，当x∈[1，x0）∪（x0， 2]时，H2（x）＞H2（x0）=0，可得得H2（m）＜0即h（x0）＜0，．所以，h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m= ，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，h（x）在区间（m，x0）内有零点；当m∈（x0， 2]时，h（x）在区间（x0， m）内有零点．所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x1，则h（x1）=g（x1）（﹣x0）﹣f（）=0．由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x1）＜g（2），于是| ﹣x0|= ≥ = ．因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在区间[1，2]上除x0外没有其他的零点，而≠x0，故f（）≠0．又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．所以| ﹣x0|≥ ．所以，只要取A=g（2），就有| ﹣x0|≥ ．【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，不等式的证明，函数的零点【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x0）﹣f（m），令函数H1（x）=g（x）（x﹣x0）﹣f（x），求出导函数H′1（x）利用（Ⅰ）知，推出h（m）h（x0）＜0．（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m= ，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m）．由（Ⅱ）知，当m∈[1，x0）时，当m∈（x0， 2]时，通过h（x）的零点．转化推出| ﹣x0|= ≥ =．推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．8、【答案】（Ⅰ）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，g′（x）=6x+2a，令g′（x）=0，解得x=﹣．由于当x＞﹣时g′（x）＞0，g（x）=f′（x）单调递增；当x＜﹣时g′（x）＜0，g（x）=f′（x）单调递减；所以f′（x）的极小值点为x=﹣，由于导函数f′（x）的极值点是原函数f（x）的零点，所以f（﹣）=0，即﹣+ ﹣+1=0，所以b= + （a＞0）．因为f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，所以f′（x）=3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a2﹣12b＞0，即a2﹣+ ＞0，解得a＞3，所以b= + （a＞3）．（Ⅱ）证明：由（1）可知h（a）=b2﹣3a= ﹣+ = （4a3﹣27）（a3﹣27），由于a＞3，所以h（a）＞0，即b2＞3a；（Ⅲ）解：由（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，设x1， x2是y=f（x）的两个极值点，则x1+x2= ，x1x2= ，所以f（x 1）+f（x2）= + +a（+ ）+b（x1+x2）+2=（x1+x2）[（x1+x2）2﹣3x1x2]+a[（x1+x2）2﹣2x1x2]+b（x1+x2）+2= ﹣+2，又因为f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，所以b﹣+ ﹣+2= ﹣≥﹣，因为a＞3，所以2a3﹣63a﹣54≤0，所以2a（a2﹣36）+9（a﹣6）≤0，所以（a﹣6）（2a2+12a+9）≤0，由于a＞3时2a2+12a+9＞0，所以a﹣6≤0，解得a≤6，所以a的取值范围是（3，6]．【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（Ⅰ）通过对f（x）=x3+ax2+bx+1求导可知g（x）=f′（x）=3x2+2ax+b，进而再求导可知g′（x）=6x+2a，通过令g′（x）=0进而可知f′（x）的极小值点为x=﹣，从而f（﹣）=0，整理可知b= +（a＞0），结合f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值可知f′（x）=0有两个不等的实根，进而可知a＞3．（Ⅱ）通过（1）构造函数h（a）=b2﹣3a= ﹣+ = （4a3﹣27）（a3﹣27），结合a＞3可知h（a）＞0，从而可得结论；（Ⅲ）通过（1）可知f′（x）的极小值为f′（﹣）=b﹣，利用韦达定理及完全平方关系可知y=f（x）的两个极值之和为﹣+2，进而问题转化为解不等式b﹣+ ﹣+2= ﹣≥﹣，因式分解即得结论．9、【答案】（1）解：由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1，当a=0时，f′（x）=2e x﹣1＜0，∴当x∈R，f（x）单调递减，当a＞0时，f′（x）=（2e x+1）（ae x﹣1）=2a（e x+ ）（e x﹣），令f′（x）=0，解得：x=ln ，当f′（x）＞0，解得：x＞ln ，当f′（x）＜0，解得：x＜ln ，∴x∈（﹣∞，ln ）时，f（x）单调递减，x∈（ln ，+∞）单调递增；当a＜0时，f′（x）=2a（e x+ ）（e x﹣）＜0，恒成立，∴当x∈R，f（x）单调递减，综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调减函数，当a＞0时，f（x）在（﹣∞，ln ）是减函数，在（ln ，+∞）是增函数；（2）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x=0，有两个零点，由（1）可知：当a＞0时，f（x）=0，有两个零点，则f（x）min=a +（a﹣2）﹣ln ，=a（）+（a﹣2）× ﹣ln ，=1﹣﹣ln ，由f（x）min＜0，则1﹣﹣ln ＜0，整理得：a﹣1+alna＜0，设g（a）=alna+a﹣1，a＞0，g′（a）=lna+1+1=lna+2，令g′（a）=0，解得：a=e﹣2，当a∈（0，e﹣2），g′（a）＜0，g（a）单调递减，当a∈（e﹣2，+∞），g′（a）＞0，g（a）单调递增，g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，由g（1）=1﹣1﹣ln1=0，∴0＜a＜1，a的取值范围（0，1）．【考点】导数的运算，利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值，函数零点的判定定理【解析】【分析】（1.）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2.）由（1）可知：当a＞0时才有个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne ﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．10、【答案】（Ⅰ）解：因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x （ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，因为h′（x）=a﹣，且当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；（Ⅱ）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x= ，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0， x2，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（x0， x2）上为负、在（x2，+∞）上为正，所以f（x）必存在唯一极大值点x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，所以f（x 0）= ﹣x0﹣x0lnx0= ﹣x0+2x0﹣2 =x0﹣，由x 0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+ = ；由f′（）＜0可知x0＜＜，所以f（x）在（0，x 0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，所以f（x0）＞f（）=﹣+ = ＞；综上所述，f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．【考点】导数的运算，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值，导数在最大值、最小值问题中的应用，不等式的综合【解析】【分析】（Ⅰ）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用h′（x）=a﹣可得h（x）min=h（），从而可得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，记t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）=0存在两根x0，x2，利用f（x）必存在唯一极大值点x0及x0＜可知f（x0）＜，另一方面可知f（x0）＞f（）=﹣+ = ＞．11、【答案】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=x﹣1﹣alnx，x＞0，所以f′（x）=1﹣= ，且f（1）=0．所以当a≤0时f′（x）＞0恒成立，此时y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以在（0,1）上f(x)<0,这与f（x）≥0矛盾；当a＞0时令f′（x）=0，解得x=a，所以y=f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，即f（x）min=f（a），又因为f（x）min=f（a）≥0，所以a=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当a=1时f（x）=x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1，所以ln（x+1）≤x当且仅当x=0时取等号，所以ln（1+ ）＜，k∈N*,所以，k∈N*．一方面，因为+ +…+ =1﹣＜1，所以，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e；另一方面，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞（1+ ）（1+ ）（1+ ）= ＞2，同时当n≥3时，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）．因为m为整数，且对于任意正整数n（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，所以m的最小值为3．【考点】函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，等比数列的前n项和，反证法与放缩法【解析】【分析】（Ⅰ）通过对函数f（x）=x﹣1﹣alnx （x＞0）求导，分a≤0、a＞0两种情况考虑导函数f′（x）与0的大小关系可得结论；（Ⅱ）通过（Ⅰ）可知lnx≤x﹣1，进而取特殊值可知ln（1+ ）＜，k∈N*．一方面利用等比数列的求和公式放缩可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜e；另一方面可知（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞2，且当n≥3时，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）∈（2，e）．。
2017年全国各地高考数学分类汇编7-解析几何
2017年全国各地高考数学分类汇编7-解析几何一、选择题（共12小题；共60分）1. 若双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x−2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. 2√332. 过抛物线C:y2=4x的焦点F，且斜率为√3的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )A. √5B. 2√2C. 2√3D. 3√33. 若a>1，则双曲线x2a2−y2=1的离心率的取值范围是( )A. (√2,+∞)B. (√2,2)C. (1,√2)D. (1,2)4. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，离心率为√2．若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( )A. x24−y24=1 B. x28−y28=1 C. x24−y28=1 D. x28−y24=15. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx−ay+2ab=0相切，则C的离心率为( )A. √63B. √33C. √23D. 136. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx−ay+2ab=0相切，则C的离心率为( )A. √63B. √33C. √22D. 137. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=√52x，且与椭圆x212+y23=1有公共焦点，则C的方程为( )A. x28−y210=1 B. x24−y25=1 C. x25−y24=1 D. x24−y23=18. 已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线方程为( )A. x24−y212=1 B. x212−y24=1 C. x23−y2=1 D. x2−y23=19. 已知F是双曲线C：x2−y23=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)．则△APF的面积为( )A. 13B. 12C. 23D. 3210. 已知F为抛物线C:y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则∣AB∣+∣DE∣的最小值为( )A. 16B. 14C. 12D. 1011. 椭圆x 29+y 24=1 的离心率是 ( )A. √133B. √53C. 23D. 5912. 设 A ，B 是椭圆 C:x 23+y 2m =1 长轴的两个端点，若 C 上存在点 M 满足 ∠AMB =120∘，则 m 的取值范围是 ( ) A. (0,1]∪(9,+∞) B. (0,√3]∪[9,+∞)C. (0,1]∪[4,+∞)D. (0,√3]∪[4,+∞)二、填空题（共11小题；共55分）13. 在平面直角坐标系 xOy 中，A (−12,0)，B (0,6)，点 P 在圆 O:x 2+y 2=50 上．若 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是 ．14. 设抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ．已知点 C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与 y 轴的正半轴相切于点 A ．若 ∠FAC =120∘，则圆的方程为 ．15. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x 23−y 2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P ，Q ，其焦点是 F 1，F 2，则四边形 F 1PF 2Q 的面积是 ． 16. 双曲线x 2a2−y 29=1(a >0) 的一条渐近线方程为 y =35x ，则 a = ．17. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中 A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 B i 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1,2,3． （1）记 Q i 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q 1，Q 2，Q 3 中最大的是 ．（2）记 p i 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p 1，p 2，p 3 中最大的是 ．18. 已知双曲线 C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右顶点为 A ，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A ，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M ，N 两点，若 ∠MAN =60∘，则 C 的离心率为 ． 19. 若双曲线 x 2−y 2m=1 的离心率为 √3，则实数 m = ．20. 已知 F 是抛物线 C ：y 2=8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N ．若 M 为 FN的中点，则 ∣FN ∣= ．21. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右支与焦点为 F 的抛物线 x 2=2py (p >0) 交于 A ，B 两点，若 ∣AF∣+∣BF∣=4∣OF∣，则该双曲线的渐近线方程为 ．22. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右支与焦点为 F 的抛物线 x 2=2py (p >0) 交于 A ，B 两点，若 ∣AF ∣+∣BF ∣=4∣OF ∣，则该双曲线的渐近线方程为 ．23. 已知点 P 在圆 x 2+y 2=1 上，点 A 的坐标为 (−2,0)，O 为原点，则 AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 ．三、解答题（共17小题；共221分）24. 在直角坐标系中 xOy ，曲线 y =x 2+mx −2 与 x 轴交于 A ，B 两点，点 C 的坐标为 (0,1)，当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现 AC ⊥BC 的情况?说明理由； （2）证明过 A ，B ，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值．25. 已知抛物线 C:y 2=2px 过点 P (1,1)．过点 (0,12) 作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M ，N ，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP ，ON 交于点 A ，B ，其中 O 为原点． （1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）求证：A 为线段 BM 的中点．26. 设 A ，B 为曲线 C ：y =x 24上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4．（1）求直线 AB 的斜率；（2）设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM ⊥BM ，求直线 AB 的方程．27. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，离心率为 12，两准线之间的距离为 8．点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 F 1 作直线 PF 1 的垂线 l 1，过点 F 2 作直线 PF 2 的垂线 l 2．（1）求椭圆 E 的标准方程； （2）若直线 l 2，l 2 的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标．28. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1 的极坐标方程为 ρcosθ=4．（1）M 为曲线 C 1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ∣OM ∣⋅∣OP ∣=16%,，求点 P 的轨迹C 2 的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为 (2,π3)，点 B 在曲线 C 2 上，求 △OAB 面积的最大值．29. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1 的极坐标方程为 ρcosθ=4．（1）M 为曲线 C 1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 ∣OM∣⋅∣OP∣=16，求点 P 的轨迹 C 2的直角坐标方程；（2）设点 A 的极坐标为 (2,π3)，点 B 在曲线 C 2 上，求 △OAB 面积的最大值．30. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 {x =−8+t,y =t 2（t 为参数），曲线 C 的参数方程为 {x =2s 2,y =2√2s （s 为参数）．设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值．31. 已知矩阵 A =[0110]，B =[1002]．（1）求 AB ；（2）若曲线 C 1:x 28+y 22=1 在矩阵 AB 对应的变换作用下得到另一曲线 C 2，求 C 2 的方程．32. 已知抛物线 C ：y 2=2x ，过点 (2,0) 的直线 l 交 C 于 A ，B 两点，圆 M 是以线段 AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点 O 在圆 M 上； （2）设圆 M 过点 P (4,−2)，求直线 l 与圆 M 的方程．33. 设椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左焦点为 F ，右顶点为 A ，离心率为 12．已知 A 是抛物线 y 2=2px (p >0) 的焦点，F 到抛物线的准线 l 的距离为 12． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设 l 上两点 P ，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B （B 异于 A ），直线 BQ 与 x轴相交于点 D ．若 △APD 的面积为 √62，求直线 AP 的方程．34. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √22，椭圆 C 截直线y =1 所得线段的长度为 2√2．（1）求椭圆 C 的方程；（2）动直线 l:y =kx +m (m ≠0) 交椭圆 C 于 A ，B 两点，交 y 轴于点 M%.．点 N 是 M 关于O 的对称点，⊙N 的半径为 ∣NO ∣．设 D 为 AB 的中点，DE ，DF 与 ⊙N 分别相切于点 E ，F%,，求 ∠EDF 的最小值．35. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左焦点为 F (−c,0)，右顶点为 A ，点 E 的坐标为 (0,c )，△EFA 的面积为 b 22．（1）求椭圆的离心率；（2）设点 Q 在线段 AE 上，∣FQ ∣=32c ，延长线段 FQ 与椭圆交于点 P ，点 M ，N 在 x 轴上，PM ∥QN ，且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c ，四边形 PQNM 的面积为 3c ． （i ）求直线 FP 的斜率；（ii ）求椭圆的方程．36. 如图，已知抛物线 x 2=y ，点 A (−12,14)，B (32,94)，抛物线上的点 P (x,y )(−12<x <32)，过点 B作直线 AP 的垂线，垂足为 Q ．（1）求直线 AP 斜率的取值范围； （2）求 ∣PA ∣⋅∣PQ ∣ 的最大值．37. 已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A (−2,0)，B (2,0)，焦点在 x 轴上，离心率为 √32．（1）求椭圆 C 的方程；（2）点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M ，N ，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E ．求证：△BDE 与 △BDN 的面积之比为 4:5．38. 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C:x 22+y 2=1 上，过 M 做 x 轴的垂线，垂足为 N ，点 P 满足NP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． （1）求点 P 的轨迹方程；（2）设点 Q 在直线 x =−3 上，且 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =1．证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F ．39. 已知椭圆 C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，四点 P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(−1,√32)，P 4(1,√32) 中恰有三点在椭圆 C 上． （1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ，B 两点，若直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为 −1，证明：l 过定点．40. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 的离心率为 √22，焦距为 2． （1）求椭圆 E 的方程．（2）如图，该直线 l:y =k 1x −√32 交椭圆 E 于 A ，B 两点，C 是椭圆 E 上的一点，直线 OC 的斜率为 k 2，且看 k 1k 2=√24，M 是线段 OC 延长线上一点，且 ∣MC ∣:∣AB ∣=2:3，⊙M 的半径为 ∣MC ∣，OS ，OT 是 ⊙M 的两条切线，切点分别为 S ，T ，求 ∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率．答案第一部分 1. A【解析】双曲线 C:x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的一条渐近线为：bx +ay =0，圆 (x −2)2+y 2=4 的圆心 (2,0)，半径为 2，双曲线 C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的一条渐近线被圆 (x −2)2+y 2=4 所截得的弦长为 2，可得圆心到直线的距离为：√22−12=√3=√a 2+b 2， 解得：4c 2−4a 2c 2=3，可得 e 2=4，即 e =2． 2. C【解析】抛物线 C:y 2=4x 的焦点 F (1,0)，且斜率为 √3 的直线：y =√3(x −1)，过抛物线 C:y 2=4x 的焦点 F ，且斜率为 √3 的直线交 C 于点 M （M 在 x 轴上方）， 可知：{y 2=4x,y =√3(x −1),解得 M(3,2√3)． 由 l 为抛物线的准线，点 N 在 l 上，且 MN 垂直于 l ，可得 N(−1,2√3)，NF 的方程为：y =−√3(x −1)，即 √3x +y −√3=0， 则 M 到直线 NF 的距离为：√3+2√3−√3∣√3+1=2√3．3. C4. B【解析】设双曲线的左焦点 F (−c,0)，离心率 e =ca =√2，c =√2a ，则双曲线为等轴双曲线，即 a =b ，双曲线的渐近线方程为 y =±ba x =±x ，则经过 F 和 P (0,4) 两点的直线的斜率 k =4−00+c=4c ，则 4c=1，c =4，则 a =b =2√2， 所以双曲线的标准方程：x 28−y 28=1．5. A【解析】以线段 A 1A 2 为直径的圆与直线 bx −ay +2ab =0 相切， √a 2+b 2=a ，化为：a 2=3b 2． 所以椭圆 C 的离心率 e =ca=√1−b 2a 2=√63． 6. A【解析】以线段 A 1A 2 为直径的圆与直线 bx −ay +2ab =0 相切，√a 2+b 2=a ，化为：a 2=3b 2． 所以椭圆 C 的离心率 e =ca=√1−b 2a 2=√63． 7. B8. D【解析】双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 的右焦点为 F ，点 A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为 2 的等边三角形（O 为原点）， 可得 c =2，ba =√3，即b 2a 2=3，c 2−a 2a 2=3，解得 a =1，b =√3，双曲线的焦点坐标在 x 轴，所得双曲线方程为：x 2−y 23=1．9. D10. A【解析】如图，l 1⊥l 2，直线 l 1 与 C 交于 A ，B 两点，直线 l 2 与 C 交于 D ，E 两点， 要使 ∣AB ∣+∣DE ∣ 最小，则 A 与 D ，B 与 E 关于 x 轴对称，即直线 DE 的斜率为 1， 又直线 l 2 过点 (1,0)，则直线 l 2 的方程为 y =x −1，联立方程组 {y 2=4x,y =x −1, 则 y 2−4y −4=0， 所以 y 1+y 2=4，y 1y 2=−4所以 ∣DE ∣=√1+1k2⋅∣y 1−y 2∣=√2×√32=8，所以 ∣AB ∣+∣DE ∣ 的最小值为 2∣DE ∣=16．方法二：设直线 l 1 的倾斜角为 θ，则 l 2 的倾斜角为 π2+θ， 根据焦点弦长公式可得 ∣AB ∣=2p sin 2θ=4sin 2θ， ∣DE ∣=2p sin 2(π2−θ)=2p cos 2θ=4cos 2θ．所以 ∣AB ∣+DE ∣=4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=16sin 22θ． 因为：0<sin 22θ≤1，所以当 θ=45∘ 时，∣AB ∣+∣DE ∣ 最小，最小值为 16．11. B 12. A 【解析】假设椭圆的焦点在 x 轴上，则 0<m <3 时， 假设 M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 M 满足 ∠AMB =120∘，∠AMB ≥120∘，∠AMO ≥60∘，tan∠AMO =√3√m≥tan60∘=√3， 解得：0<m ≤1．当椭圆的焦点在 y 轴上时，m >3，假设 M 位于短轴的端点时，∠AMB 取最大值，要使椭圆 C 上存在点 M 满足 ∠AMB =120∘，∠AMB ≥120∘，∠AMO ≥60∘，tan∠AMO =√m√3≥tan60∘=√3，解得：m ≥9，所以 m 的取值范围是 (0,1]∪[9,+∞)． 第二部分 13. [−5√2,1]【解析】根据题意，设 P (x 0,y 0)，则有 x 02+y 02=50，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12−x 0,−y 0)⋅(−x 0,6−y 0)=(12+x 0)x 0−y 0(6−y 0)=12x 0+6y +x 02+y 02≤20,化为：12x 0−6y 0+30≤0，即 2x 0−y 0+5≤0，表示直线 2x −y +5≤0 以及直线下方的区域，联立 {x 02+y 02=50,2x 0−y 0+5=0,解可得 x 0=−5 或 x 0=1， 结合图形分析可得：点 P 的横坐标 x 0 的取值范围是 [−5√2,1]．14. (x +1)2+(y −√3)2=1 15. 2√3 16. 5 17. Q 1；p 2【解析】（1）若 Q i 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，Q 1=A 1的纵坐标+B 1的纵坐标 ； Q 2=A 2的纵坐标+B 2的纵坐标，Q 3=A 3的纵坐标+B 3的纵坐标，由已知中图象可得：Q 1，Q 2，Q 3 中最大的是 Q 1；（2）若 p i 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p i 为 A i B i 中点与原点连线的斜率，故 p 1，p 2，p 3 中最大的是 p 2．18. 2√33【解析】双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A(a,0)，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN=60∘，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30∘=√32b，可得：√a2+b2=√32b，即ac=√32，可得离心率为：e=2√33．19. 220. 6【解析】抛物线C：y2=8x的焦点F(2,0)，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，点M为FN 的中点，可知M的横坐标为1，则M的纵坐标为±2√2，∣FN∣=2∣FM∣=2√(1−2)2+(±2√2−0)2=6．21. y=±√22x【解析】把x2=2py(p>0)代入双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得：a2y2−2pb2y+a2b2=0，所以y A+y B=2pb2a2，因为∣AF∣+∣BF∣=4∣OF∣，所以y A+y B+2×p2=4×p2，所以2pb2a2=p，所以ba =√22，所以该双曲线的渐近线方程为：y=±√22x．22. y=±√22x【解析】把x2=2py(p>0)代入双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得：a2y2−2pb2y+a2b2=0，所以y A+y B=2pb2a2，因为∣AF∣+∣BF∣=4∣OF∣，所以y A+y B+2×p2=4×p2，所以2pb2a2=p，所以ba =√22．所以该双曲线的渐近线方程为：y=±√22x．23. 6第三部分24. （1）曲线y=x2+mx−2与x轴交于A，B两点，可设 A (x 1,0)，B (x 2,0)，则 x 1，x 2 是方程 x 2+mx −2=0 的两根，有 Δ>0， 由韦达定理可得 x 1x 2=−2， 若 AC ⊥BC ，则 k AC ⋅k BC =−1， 即有 1−00−x 1⋅1−00−x 2=−1，即为 x 1x 2=−1 这与 x 1x 2=−2 矛盾， 故不出现 AC ⊥BC 的情况．（2） 设过 A ，B ，C 三点的圆的方程为 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2−4F >0)， 由题意可得 y =0 时，x 2+Dx +F =0 与 x 2+mx −2=0 等价． 可得 D =m ，F =−2，圆的方程即为 x 2+y 2+mx +Ey −2=0，由圆过 C (0,1)，可得 0+1+0+E −2=0，可得 E =1， 则圆的方程即为 x 2+y 2+mx +y −2=0， 再令 x =0，可得 y 2+y −2=0， 解得 y =1或−2．即有圆与 y 轴的交点为 (0,1)，(0,−2)，则过 A ，B ，C 三点的圆在 x 轴上截得的弦长为 1−(−2)=3，所以过 A ，B ，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 3．25. （1） 因为 y 2=2px 过点 P (1,1)， 所以 1=2p ， 解得 p =12，所以抛物线方程为 y 2=x ，所以焦点坐标为 (14,0)，准线为 x =−14．（2） 设过点 (0,12) 的直线方程为 y =kx +12，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以直线 OP 为 y =x ，直线 ON 为：y =y 2x 2x ， 由题意知 A (x 1,x 1)，B (x 1,x 1y 2x 2)，由 {y =kx +12,y 2=x 可得 k 2x 2+(k −1)x +14=0， 所以 x 1+x 2=1−k k 2，x 1x 2=14k 2，所以 y 1+x 1y 2x 2=kx 1+12+x 1(kx 2+12)x 2=2kx 1+x 1+x 22x 2=2kx 1+1−k k 22×14k 2x 1=2kx 1+(1−k )⋅2x 1=2x 1，所以 A 为线段 BM 的中点．26. （1） 设 A (x 1,x 124)，B (x 2,x 224) 为曲线 C ：y =x 24上两点，则直线 AB 的斜率为 k =x 124−x 224x 1−x 2=14(x 1+x 2)=14×4=1；（2） 设直线 AB 的方程为 y =x +t ，代入曲线 C ：y =x 24，可得 x 2−4x −4t =0，即有 Δ>0，x 1+x 2=4，x 1x 2=−4t ， 再由 y =x 24 的导数为 yʹ=12x ，设 M (m,m 24)，可得 M 处切线的斜率为 12m ，由 C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，可得 12m =1， 解得 m =2，即 M (2,1)，由 AM ⊥BM 可得，k AM ⋅k BM =−1， 即为x 124−1x 1−2⋅x 224−1x 2−2=−1，化为 x 1x 2+2(x 1+x 2)+20=0， 即为 −4t +8+20=0， 解得 t =7，满足 Δ>0， 则直线 AB 的方程为 y =x +7．27. （1） 由题意可知：椭圆的离心率 e =ca =12，则 a =2c, ⋯⋯①椭圆的准线方程 x =±a 2c ，由 2×a 2c=8, ⋯⋯②由 ①② 解得：a =2，c =1， 则 b 2=a 2−c 2=3， 所以椭圆的标准方程：x 24+y 23=1．（2） 方法一：设 P (x 0,y 0)，x 0=1 时，l 1 与 l 2 相交于点 F 1，与题设不符，当 x 0≠1 时， 则直线 l 2 的斜率 k 2=x 0−1y 0，直线 l 2 的方程 y =−x 0−1y 0(x −1)，直线 PF 1 的斜率 k PF 1=y 0x 0+1， 则直线 l 1 的斜率 k 1=−x 0+1y 0，直线 l 1 的方程 y =−x 0+1y 0(x +1)，联立 {y =x 0−1y 0(x −1),y =x 0+1y 0(x +1), 解得：{x =−x 0,y =x 02−1y 0, 则 Q (−x 0,x 02−1y 0)， 由 P ，Q 在椭圆上，P ，Q 的横坐标互为相反数，纵坐标应相等或相反，则 y 0=x 02−1y 0或x 02−1y 0=−y 0，所以 y 02=x 02−1 或 x 02+y 02=1，则 {x 024+y 023=1,y 02=x 02−1, 解得：{x 02=167,y 02=97, 则 {x 0=±4√77,y 0=±3√77, 或 {x 02+y 02=1,x 024+y 023=1, 无解， 又 P 在第一象限，所以 P 的坐标为： P (4√77,3√77)． 方法二：设 P (m,n )，由 P 在第一象限，则 m >0，n >0，当 m =1 时，k PF 2 不存在，解得：Q 与 F 1 重合，不满足题意， 当 m ≠1 时，k PF 2=nm−1，k PF 1=nm+1， 由 l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，则 k l 1=−m+1n，k l 2=m−1n，直线 l 1 的方程 y =−m+1n(x +1) ⋯⋯①，直线 l 2 的方程 y =−m−1n(x −1), ⋯⋯②联立解得：x =−m ，则 Q (−m,m 2−1n)， 由 Q 在椭圆方程，由对称性可得：m 2−1n=±n 2，即 m 2−n 2=1，或 m 2+n 2=1，由 P (m,n )，在椭圆方程，{m 2−1=n 2,m 24+n 23=1, 解得：{m 2=167,n 2=97 或 {1−m 2=n 2,m 24+n 23=1, 无解， 又 P 在第一象限，所以 P 的坐标为：P (4√77,3√77)． 28. （1） 曲线 C 1 的直角坐标方程为：x =4%,， 设 P (x,y )，M (4,y 0)，则 yx =y 04，所以 y 0=4y x，因为 ∣OM ∣∣OP ∣=16，所以 √x 2+y 2√16+y 02=16，即 (x 2+y 2)(1+y 2x 2)=16，所以 x 4+2x 2y 2+y 4=16x 2，即 (x 2+y 2)2=16x 2．两边开方得：x 2+y 2=4x ， 整理得：(x −2)2+y 2=4(x ≠0)，所以点 P 的轨迹 C 2 的直角坐标方程：(x −2)2+y 2=4(x ≠0)．（2） 点 A 的直角坐标为 A(1,√3)，显然点 A 在曲线 C 2 上，∣OA ∣=2， 所以曲线 C 2 的圆心 (2,0) 到弦 OA 的距离 d =√4−1=√3， 所以 △AOB 的最大面积 S =12∣OA ∣⋅(2+√3)=2+√3． 29. （1） 曲线 C 1 的直角坐标方程为：x =4， 设 P (x,y )，M (4,y 0)，则 yx =y 04，所以 y 0=4y x，因为 ∣OM∣∣OP∣=16，所以 √x 2+y 2√16+y 02=16，即 (x 2+y 2)(1+y 2x 2)=16，所以 x 4+2x 2y 2+y 4=16x 2， 即 (x 2+y 2)=16x 2， 两边开方得：x 2+y 2=4x ， 整理得：(x −2)2+y 2=4(x ≠0)，所以点 P 的轨迹 C 2 的直角坐标方程：(x −2)2+y 2=4(x ≠0)． （2） 设点 B 的坐标为 (ρs ,α)(ρs >0)， 由题设知 ∣OA∣=2，ρs =4cosα， 于是 △OAB 面积S =12∣OA∣⋅ρs sin∠AOB =4cosα⋅∣∣sin (α−π3)∣∣=2∣∣∣sin (2α−π3)−√32∣∣∣≤2+√3,当 α=−π12 时，S 取得最大值 2+√3， 所以 △OAB 面积的最大值为 2+√3．30. 直线 l 的直角坐标方程为 x −2y +8=0，设 P(2s 2,2√2s)， 所以 P 到直线 l 的距离 d =∣2√2s+8∣√5=√2s−2)2√5，所以当 s =√2 时，d 取得最小值√5=4√55． 31. （1） AB =[0110][1002]=[0210]．（2） 设点 P (x,y ) 为曲线 C 1 的任意一点， 点 P 在矩阵 AB 的变换下得到点 Pʹ(x 0,y 0)，则 [0210][x y ]=[2yx]， 即 x 0=2y ，y 0=x ，所以 x =y 0，y =x 02，所以 y 028+x 028=1，即 x 02+y 02=8，所以曲线 C 2 的方程为 x 2+y 2=8．32. （1） 方法一：当直线 l 的斜率不存在时，A (2,2)，B (2,−2)， 则 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2)， 所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以坐标原点 O 在圆 M 上；当直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程 y =k (x −2)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， {y =k (x −2),y 2=2x,整理得：k 2x 2−(4k 2+2)x +4k 2=0，所以 x 1x 2=4，4x 1x 2=y 12y 22=(y 1y 2)2，由 y 1y 2<0，得 y 1y 2=−4， 由 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0， 得 OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以坐标原点 O 在圆 M 上， 综上可知：坐标原点 O 在圆 M 上．方法二：设直线 l 的方程 x =my +2， {x =my +2,y 2=2x, 整理得：y 2−2my −4=0，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 所以 y 1y 2=−4，由 (y 1y 2)2=4x 1x 2，得 x 1x 2=4， 因为 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=0， 所以 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以坐标原点 O 在圆 M 上．（2） 当直线 l 斜率不存在时，圆 M 的方程为 (x −2)2+y 2=4， 此时圆 M 不过点 P (4,−2)，不满足条件； 当直线 l 斜率存在时，由（1）可知：x 1x 2=4，x 1+x 2=4k 2+2k 2，y 1+y 2=2k ，y 1y 2=−4，圆 M 过点 P (4,−2)，则 AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−x 1,−2−y 1)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−x 2,−2−y 2)， 由 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得 (4−x 1)(4−x 2)+(−2−y 1)(−2−y 2)=0， 整理得：k 2+k −2=0，解得：k =−2 或 k =1，当 k =−2 时，直线 l 的方程为 y =−2x +4，且 x 1+x 2=92，y 1+y 2=−1， 则 M (94,−12)，半径为 r =∣MP∣=√(4−94)2+(−2+12)2=√854，所以圆 M 的方程 (x −94)2+(y +12)2=8516．当直线斜率 k =1 时，直线 l 的方程为 y =x −2， 同理求得 M (3,1)，则半径为 r =∣MP∣=√10， 所以圆 M 的方程为 (x −3)2+(y −1)2=10，综上可知：直线 l 的方程为 y =−2x +4，圆 M 的方程 (x −94)2+(y +12)2=8516 或直线 l 的方程为 y =x −2，圆 M 的方程为 (x −3)2+(y −1)2=10． 33. （1） 设 F 的坐标为 (−c,0)， 依题意可得 {ca =12,a =p2,a −c =12,解得 a =1，c =12，p =2，于是 b 2=a 2−c 2=34． 所以，椭圆的方程为 x 2+4y 23=1，抛物线的方程为 y 2=4x ．（2） 直线 l 的方程为 x =−1，设直线 AP 的方程为 x =my +1(m ≠0)，联立方程组 {x =−1,x =my +1,解得点 P (−1,−2m )，故 Q (−1,2m )． 联立方程组 {x =my +1,x 2+4y 23=1,消去 x ，整理得 (3m 2+4)y 2+6my =0，解得 y =0，或 y =−6m3m 2+4． 所以 B (−3m 2+43m 2+4,−6m3m 2+4)，所以直线 BQ 的方程为 (−6m3m 2+4−2m )(x +1)−(−3m 2+43m 2+4+1)(y −2m )=0， 令 y =0，解得 x =2−3m 23m 2+2，故 D (2−3m 23m 2+2,0)，所以 ∣AD ∣=1−2−3m 23m 2+2=6m 23m 2+2，又因为 △APD 的面积为 √62，所以 12×6m 23m 2+2×2∣m∣=√62， 整理得 3m 2−2√6∣m ∣+2=0，解得 ∣m ∣=√63，所以 m =±√63，所以直线 AP 的方程为 3x +√6y −3=0，或 3x −√6y −3=0． 34. （1） 因为椭圆 C 的离心率为 √22，所以a 2−b 2a 2=12，a 2=2b 2%,，因为椭圆 C 截直线 y =1 所得线段的长度为 2√2%,， 所以椭圆 C 过点 (√2,1)%,， 因为 2a 2+1b 2=1%,， 所以 b 2=2，a 2=4%,， 所以椭圆 C 的方程为x 24+y 22=1．（2） 设 A ，B 的横坐标为 x 1，x 2，则 A (x 1,kx 1+m )，B (x 2,kx 2+m )，D (x 1+x 22,k 2(x 1+x 2)+m)，联立 {x 24+y 22=1,y =kx +m%sinα2=EN DN=ON DN =2m1+2k 2√k 4+3k 2+1=22√k 4+3k 2+1可得 (1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−4=0，所以 x 1+x 2=−4km1+2k 2，所以 D (−2km1+2k 2,m1+2k 2)%sin α2=EN DN =ONDN =2m1+2k 2√k 4+3k 2+1=22√k 4+3k 2+1，因为 M (0,m )，则 N (0,−m )， 所以 ⊙N 的半径为 ∣m ∣，∣DN ∣=√(m 1+2k 2+m)2+(−2km 1+2k 2)2=∣2m∣1+2k 2√k 4+3k 2+1，设 ∠EDF =α， 所以sin α2=EN DN=ON DN =2m1+2k 2√k 4+3k 2+1=22√k 4+3k 2+1令 y =22√k 4+3k 2+1，则 yʹ=22√k 4+3k 2+1(k 4+3k 2+1) 当 k =0 时，sin α2 取得最小值，最小值为 12， 所以 ∠EDF 的最小值是 60∘．35. （1） 设椭圆的离心率为 e ．由已知，可得 12(c +a )c =b 22．又由 b 2=a 2−c 2，可得 2c 2+ac −a 2=0，即 2e 2+e −1=0． 又因为 0<e <1，解得 e =12． 所以，椭圆的离心率为 12．（2） （i ）依题意，设直线 FP 的方程为 x =my −c (m >0)，则直线 FP 的斜率为 1m ． 由（1）知 a =2c ，可得直线 AE 的方程为 x2c +yc =1，即 x +2y −2c =0， 与直线 FP 的方程联立，可解得 x =(2m−2)c m+c ，y =3cm+2，即点 Q 的坐标为 ((2m−2)c m+c,y =3cm+2)．由已知 ∣FQ ∣=3c2，有 [(2m−2)c m+c+c]2+(3cm+2)2=(3c 2)2，整理得 3m 2−4m =0， 所以 m =43，即直线 FP 的斜率为 43．（ii ）由 a =2c ，可得 b =√3c ，故椭圆方程可以表示为x 24c 2+y 23c 2=1．由（i ）得直线 FP 的方程为 3x −4y +3c =0，与椭圆方程联立 {3x −4y +3c =0,x 24c 2+y 23c 2=1. 消去 y ，整理得 7x 2+6cx −13c 2=0，解得 x =−13c 7(舍去)，或 x =c ．因此可得点 P (c,3c2)，进而可得 ∣FP ∣=√(c +c )2+(3c 2)2=5c 2，所以 ∣PQ ∣=∣FP ∣−∣FQ ∣=5c2−3c 2=c ．由已知，线段 PQ 的长即为 PM 与 QN 这两条平行直线间的距离，故直线 PM 和 QN 都垂直于直线 FP ． 因为 QN ⊥FP ，所以 ∣QN ∣=∣FQ ∣⋅tan∠QFN =3c 2×34=9c 8，所以三角形 FQN 的面积为 12∣FQ ∣∣QN ∣=27c 232，同理三角形 FPM 的面积等于 75c 232，由四边形 PQNM 的面积为 3c ，得75c 232−27c 232=3c ，整理得 c 2=2c ，又由 c >0，得 c =2． 所以，椭圆的方程为x 216+y 212=1．36. （1） 由题可知 P (x,x 2)，−12<x <32，所以 k AP =x 2−14x+12=x −12∈(−1,1)，故直线 AP 斜率的取值范围是：(−1,1)． （2） 由（1）知 P (x,x 2)，−12<x <32，所以 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12−x,14−x 2)， 设直线 AP 的斜率为 k ，则 AP:y =kx +12k +14，BP:y =−1k x +32k +94， 联立直线 AP ，BP 方程可知 Q (3+4k−k 22k 2+2,9k 2+8k+14k 2+4)，故 PQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+k−k 2−k 31+k 2,−k 4−k 3+k 2+k1+k 2)，又因为 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−k,−k 2−k )， 故−∣PA ∣⋅∣PQ ∣=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+k )3(k−1)1+k 2+k 2(1+k )3(k−1)1+k 2=(1+k )3(k −1),所以 ∣PA ∣⋅∣PQ ∣=(1+k )3(1−k )，令 f (x )=(1+x )3(1−x )，−1<x <1，则 fʹ(x )=(1+x )2(2−4x )=−2(1+x )2(2x −1)，由于当 −1<x <−12 时 fʹ(x )>0，当 12<x <1 时 fʹ(x )<0， 故 f (x )max =f (12)=2716，即 ∣PA ∣⋅∣PQ ∣ 的最大值为 2716． 37. （1） 由椭圆的焦点在 x 轴上，设椭圆方程：x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，则 a =2，e =ca=√32，则 c =√3，b 2=a 2−c 2=1， 所以椭圆 C 的方程x 24+y 2=1；（2） 设 D (x 0,0)(−2<x 0<2)，M (x 0,y 0)，N (x 0,−y 0)，y 0>0，由 M ，N 在椭圆上，则x 024+y 02=1，则 x 02=4−4y 02，则直线 AM 的斜率 k AM =y 0−0x 0+2=y 0x 0+2，直线 DE 的斜率 k DE =−x 0+2y 0，直线DE 的方程：y =−x 0+2y 0(x −x 0)，直线 BN 的斜率 k BN =−y 0x0−2，直线 BN 的方程 y =−yx 0−2(x −2)，{y =−x 0+2y 0(x −x 0),y =−y 0x 0−2(x −2),解得：{x =4x 0+25,y =45y 0, 过 E 做 EH ⊥x 轴，△BHE ∽△BDN ，则 ∣EH∣=4y 05，则 ∣EH∣∣ND∣=45，所以 △BDE 与 △BDN 的面积之比为 4:5．38. （1） 设 M (x 0,y 0)，由题意可得 N (x 0,0)，设 P (x,y )， 由点 P 满足 NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 可得 (x −x 0,y )=√2(0,y 0)， 可得 x −x 0=0，y =√2y 0， 即有 x 0=x ，y 0=√2， 代入椭圆方程x 22+y 2=1，可得 x 22+y 22=1，即有点 P 的轨迹方程为圆 x 2+y 2=2．（2） 设 Q (−3,m )，P(√2cosα,√2sinα)(0≤α<2π)，OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，可得 (√2cosα,√2sinα)⋅(−3−√2cosα,m −√2sinα)=1， 即为 −3√2cosα−2cos 2α+√2msinα−2sin 2α=1， 解得 m =√2cosα)√2sinα， 即有 Q √2cosα)√2sinα)，椭圆x 22+y 2=1 的左焦点为 F (−1,0)，由 k OQ =√2cosα√2sinα，k PF =√2sinα√2cosα+1，由 k OQ ⋅k PF =−1，可得过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F ．39. （1） 根据椭圆的对称性，P 3(−1,√32)，P 4(1,√32) 两点必在椭圆 C 上，又 P 4 的横坐标为 1， 所以椭圆必不过 P 1(1,1)，所以 P 2(0,1)，P 3(−1,√32)，P 4(1,√32) 三点在椭圆 C 上，把 P 2(0,1)，P 3(−1,√32) 代入椭圆 C ，得：{1b 2=1,1a 2+34b 2=1,解得 a 2=4，b 2=1， 所以椭圆 C 的方程为x 24+y 2=1．（2） ①当斜率不存在时，设 l ：x =m ，A (m,y A )，B (m,−y A )， 因为直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率的和为 −1， 所以 k P 2A +k P 2B =y A −1m+−y A −1m=−2m=−1，解得 m =2，此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足． ②当斜率存在时，设 l ：y =kx +b (b ≠1)，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 联立 {y =kx +b,x 2+4y 2−4=0,整理，得 (1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−4=0， x 1+x 2=−8kb1+4k 2，x 1x 2=4b 2−41+4k 2，则k P 2A +k P 2B=y 1−1x 1+y 2−1x 2=x 2(kx 1+b )−x 2+x 1(kx 2+b )−x 1x 1x 2=8kb 2−8k−8kb 2+8kb1+4k 24b 2−41+4k 2=8k (b−1)4(b+1)(b−1)=−1,又 b ≠1，所以 b =−2k −1，此时 Δ=−64k ，存在 k ，使得 Δ>0 成立， 所以直线 l 的方程为 y =kx −2k −1， 当 x =2 时，y =−1， 所以 l 过定点 (2,−1)．40. （1） 由题意知，{ca=√22,2c =2,a 2=b 2+c 2,解得 a =√2，b =1． 所以椭圆 E 的方程为x 22+y 2=1；（2） 设 A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立 {x 22+y 2=1,y =k 1x −√32,得 (4k 12+2)x 2−4√3k 1x −1=0．由题意得 Δ=64k 12+8>0．x 1+x 2=2√3k 12k 12+1，x 1x 2=−12(2k 12+1)． 所以 ∣AB ∣=√1+k 12∣x 1−x 2∣=√2⋅√1+k 12√1+8k 121+2k 12．由题意可知圆 M 的半径 r 为 r =23∣AB ∣=2√23√1+k 12√1+8k 121+2k 12． 由题意设知，k 1k 2=√24， 所以 k 2=√24k 1．因此直线 OC 的方程为 y =√24k 1x ． 联立 {x 22+y 2=1,y =√24k 1x, 得 x 2=8k 121+4k 12，y 2=11+4k 12． 因此，∣OC ∣=√x 2+y 2=√1+8k 121+4k 12． 由题意可知，sin∠SOT 2=r r+∣OC∣=11+∣OC∣r ． 而 ∣OC∣r =√1+8k 121+4k 122√23√1+k 11+8k 11+2k 12=√2412√1+4k 1√1+k 1． 令 t =1+2k 12，则 t >1，1t ∈(0,1)， 因此，∣OC∣r =2√2t 2+t−1=2√2+1t −1t 2=2√−(1t −12)2+94≥1. 当且仅当 1t =12，即 t =2 时等式成立，此时 k 1=±√22． 所以 sin∠SOT2≤12， 因此 ∠SOT 2≤π6．所以∠SOT的最大值为π．3综上所述，∠SOT的最大值为π，3取得最大值时直线l的斜率为k1=±√2．2。
2017年高考真题——理科数学(全国Ⅲ卷) Word版含解析
2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0 【答案】B【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B I 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B I 元素的个数为2，故选B.2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（） A ．12B 2C 2D ．2【答案】C【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则22112z =+ C.3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．2014年 2015年 2016年根据该折线图，下列结论错误的是（） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A 选项错误，故选A.4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）A ．-80B ．-40C ．40D ．80 【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为5y =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为5y x =，则5b a =又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==② 由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=，故选B.6．设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称 C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π23π53-π36πg x y O 7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：S M初始状态0 100 1 第1次循环结束100 10- 2 第2次循环结束90 1 3 此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A ．πB ．3π4C ．π２D ．π4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径221312r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A ．24-B ．3-C ．3D ．8 【答案】A【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为. 则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++ 又∵11a =，代入上式可得220d d += 又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A.10．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（） ABCD ．13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离等于半径，∴d a == 又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b ac =-，可得()2223a a c =-，即2223c a =∴c e a == A11．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．1-２B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为（） A ．3 B． CD ．2【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C e 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为轴正半轴， AB 为轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴BD = ∵BD 切C e 于点E ． ∴CE ⊥BD ．∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C e． ∵P 在C e 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=． 设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 而00(,)AP x y =u u u r ，(0,1)AB =u u u r ，(2,0)AD =u u u r． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=u u u r u u u r u u u r∴0112x μθ==+，01y λθ==． 两式相加得：112)2sin()3λμθθθϕθϕ+=++=+=++≤(其中sin ϕ=，cos ϕ当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．()A O DxyB P gCE二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34z x y =-的最小值为________．【答案】1-【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-纵截距越大，值越小． 由图可知：在()1,1A 处取最小值，故min 31411z =⨯-⨯=-．14．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________． 【答案】8-【解析】{}n a Q 为等比数列，设公比为．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②， 显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， ()3341128a a q ∴==⨯-=-．15．设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________． 【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩Q x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：1)2-)由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与，都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与成60︒角时，AB 与成30︒角； ②当直线AB 与成60︒角时，AB 与成60︒角； ③直线AB 与所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与所成角的最大值为60︒．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD u u u r 为轴正方向，CB u u u r为轴正方向， CA u u u r为轴正方向建立空间直角坐标系． 则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线的方向单位向量(0,1,0)a =r ，||1a =r． B 点起始坐标为(0,1,0)，直线的方向单位向量(1,0,0)b =r，||1b =r ．设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'， 其中为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--u u u r ，||2AB '=u u u r ．设AB 'u u u r 与所成夹角为π[0,]2α∈，则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos |sin |[0,]a AB θθαθ--⋅==∈'r u u u r． 故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误．设AB 'u u u r 与所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)2|cos |AB bb AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='=u u u r r r u u u rr u u u r .当AB 'u u u r 与夹角为60︒时，即π3α=，12sin 2cos 2cos 232πθα====． ∵22cos sin 1θθ+=，∴|cos |θ．∴1cos |cos |2βθ=．∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此时AB 'u u u r 与夹角为60︒．∴②正确，①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 0A A =，a =，2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,4AC BC AB ===，由余弦定理222cos 2a b c C ab +-=∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =由勾股定理AD =又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 26ABDS AD AB =⋅⋅△18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【解析】⑴易知需求量可取200,300,500()21612003035P X +===⨯()3623003035P X ===⨯()257425003035P X ++===⨯.⑵①当200n ≤时：，此时max 400Y =，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦ 880026800555n n n -+=+= 此时max 520Y =，当300n =时取到. ③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 320025n -=此时520Y <.④当500n ≥时，易知一定小于③的情况. 综上所述：当300n =时，取到最大值为520.19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABD CBD ??，AB BD =．（1）证明：平面ACD ^平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C --的余弦值．【解析】⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ； ABC ∆Q 为等边三角形 ∴BO AC ⊥ ∴AB BC =AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆. ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点DA B C ED A BC EO∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ====易得：2OD a =，OB = ∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥ OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩I 平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点以O 为原点，OA u u u r 为轴正方向，OB u u u r为轴正方向，OD u u u r为轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,4a E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得：,24a a AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 设平面AED 的法向量为1n u u r ，平面AEC 的法向量为2n u u r，则1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r，解得1n =u u r 2200AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r，解得(20,1,n =u u r 若二面角D AE C --为，易知为锐角，则1212cos n n n n θ⋅==⋅u u r u u r uu r u u r20．（12分）已知抛物线2:2C y x =，过点（2，0）的直线交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2-），求直线与圆M 的方程．【解析】⑴显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于，122y y m +=，124y y =-． 1212OA OB x x y y ⋅=+uu r uu u r12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0= ∴OA OB ⊥u u r u u u r，即O 在圆M 上．⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅=uu u r uu r1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224x y =-+=，半径||r OQ =则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，12012y y y +==，0023x y =+=，半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21．（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数，2111(1)(1)(1)222nm ++鬃?<，求m 的最小值． 【解析】⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f =当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意； 当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意综上所述1a =．⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立∴11ln(1)22k k+<，*k ∈N 一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222)n n n ++++++<+++=-<，即2111(1)(1)...(1)e 222n +++<．另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=>当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n +++∈∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222n m +++<，∴m 的最小值为．22．选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m my k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+0，M 为与C 的交点，求M 的极径． 【解析】⑴将参数方程转化为一般方程()1:2l y k x =- ……①()21:2l y x k=+ ……②①②消可得：224x y -=即P 的轨迹方程为224x y -=； ⑵将参数方程转化为一般方程3:0l x y +-= ……③ 联立曲线C和224x y x y ⎧+⎪⎨-=⎪⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得ρ即M．23．选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||f x x x =+1--2． （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【解析】⑴()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得：①当1-x ≤时显然不满足题意；②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.⑵不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥，令()()2g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥.而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥.①当1-x ≤时，()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦；②当12x -<<时，()2max3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭； ③当2x ≥时，()()2max 22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦. 综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.。
2017年高考全国卷Ⅰ理科数学试题及详细解析(最新整理)
D． A B
【答案】A
【详解】 A x x 1 ， B x 3x 1 x x 0
∴ A B x x 0 ， A B x x 1 ，
∴选 A
2. 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白 色部分位于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的 概率是（）
B． 5z 2x 3y
C． 3y 5z 2x
D．
3y 2x 5z
【答案】D 【详解】取对数： x ln 2 y ln 3 ln 5 .
x ln 3 3 y ln 2 2
∴ 2x 3y x ln 2 z ln 5 则 x ln 5 5
z ln 2 2 ∴ 2x 5z ∴ 3y 2x 5z ，故选 D
13答案wwwaidyclubwwwaidyclub2wwwaidyclubwwwaidyclub的系数为151535答案项系数为c615某多面体的三视图如图所示其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成正方形的边长为俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干是梯形这些梯形的面积之和为16答案详解由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面123wwwaidyclubwwwaidyclub1000的最小偶数两个空白框中可以分别填入大于1000时输出且框图中在否时输出1000排除已知曲线c1sin2x上各点的横坐标伸长到原来的个单位长度得到曲线c2c1上各点的横坐标伸长到原来的个单位长度得到曲线倍纵坐标不变再把得到的曲线向左平移上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度得到曲线c2纵坐标不变再把得到的曲线向右平移c1上各点的横坐标缩短到原来的个单位长度得到曲线倍纵坐标不变再把得到的曲线向左平移12详解首先曲线c1c2统一为一三角函数名可将c1用诱导公式处理