信号与系统的数学基础
信号与系统知识点整理
信号与系统知识点整理信号与系统是电子、通信、自动化等领域中的基础课程之一，主要研究信号的产生、传输、处理和分析等内容。
下面是信号与系统的知识点整理。
1.信号的分类：-连续信号：在时间和幅度上都是连续的信号，如声音、电压波形等。
-离散信号：在时间上是离散的信号，如数字音频、数字图像等。
-周期信号：在一定时间周期内重复出现的信号，如正弦信号、方波等。
-非周期信号：在一定时间段内不重复出现的信号，如脉冲信号、矩形波等。
2.基本信号：-阶跃信号：在其中一时刻突然跃变的信号。
-冲击信号：在其中一时刻瞬间出现并消失的信号。
-正弦信号：以正弦函数表示的周期信号。
-方波信号：由高电平和低电平构成的周期信号。
3.系统的分类：-时不变系统：输出不随时间变化而变化的系统。
-线性系统：满足叠加性质的系统。
-因果系统：输出仅依赖于当前和过去的输入的系统。
-稳定系统：有界的输入产生有界的输出的系统。
4.线性时不变系统的特性：-线性性质：满足叠加性质。
-时不变性：系统的输出只取决于输入信号的当前和过去的值。
-冲激响应：线性时不变系统对单位冲激信号的响应。
5.离散时间系统的表示：-差分方程：用差分方程表示离散时间系统。
-传输函数：用传输函数表示系统的输入和输出之间的关系。
6.离散时间信号的分析：-Z变换：将离散时间信号从时域变换到Z域的方法。
-序列的频率表示：幅度谱、相位谱和角频率。
7.连续时间系统的表示：-微分方程：用微分方程表示连续时间系统。
-传递函数：用传递函数表示系统的输入和输出之间的关系。
8.连续时间信号的分析：-傅里叶级数：将连续时间周期信号分解成一系列正弦和余弦函数的和。
-傅里叶变换：将连续时间非周期信号从时域变换到频域。
9.信号处理的应用：-通信系统：对信号进行调制、解调、编码、解码等处理。
-图像处理：对图像进行滤波、增强、压缩等处理。
-音频处理：对音频信号进行降噪、消除回声、变声等处理。
-生物医学信号处理：对生理信号如心电图、脑电图等进行分析和识别。
信号与系统概念公式总结
信号与系统概念，公式集：第一章：概论1.信号：信号是消息的表现形式。
（消息是信号的具体内容）2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。
第二章：信号的复数表示：1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。
常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部；或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复数的辐角。
（复平面）2.欧拉公式：wt j wt e jwtsin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f Fn =如果满足：ni K dt t f j i dt t f t f iT T i T T j i 2,1)(0)()(21212==≠=⎰⎰则称集合F 为正交函数集 如果n i K i,2,11==，则称F 为标准正交函数集。
如果F 中的函数为复数函数条件变为：ni K dt t f t f ji dt t f t f iT T i i T T j i 2,1)()(0)()(2121**==⋅≠=⋅⎰⎰其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。
2.正交函数集的物理意义：一个正交函数集可以类比成一个坐标系统；正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点；点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。
3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。
如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ）()∞<<⎰2120t t dt t x ，满足等式：()()⎰=210t t i dt t g t x ，则此函数集称为完备正交函数集。
【信号与系统】基础：定义、连续和离散、功率和能量、功率信号和能量信号
【信号与系统】基础：定义、连续和离散、功率和能量、功率信号和能量信号信号和系统的定义信号（signal）的定义：在数学上表⽰为，若⼲个独⽴变量的函数。
系统（system）的定义：在数学上表⽰为，将输⼊信号映射为输出信号的变换。
这个定义很棒，因为可以把我已知的⼀些代数知识联系上去。
⾸先，函数、映射、变换在我脑海中都是⼀个东西在不同背景的叫法。
由于函数满⾜了加法和标量乘法的封闭性，符合向量空间的定义，因此这⾥信号所表⽰的函数，以含⼀个独⽴变量为例，其实可以理解为是⼀个⽆限维的向量（可以想象每隔⼀段微⼩距离就取⼀个函数值）。
那么系统所做的⼯作，也就是把输⼊向量，转换为另⼀个输出向量。
这个⼯作，基本上可以想象为⼀种坐标系变换，或者是⼀个施加变换的动作。
如果是有限维的向量，如果这种变换是线性的，显然就是⼀个矩阵形式。
总之，信号就是⼀个映射，系统是⼀个对映射的映射。
当然这个定义之下有⼀些⼯程背景，⽐如信号函数值可能表⽰某些物理量，它的因变量可以表⽰时间、空间等。
这⾥⾯有两个背景我⽐较喜欢，语⾳信号（speech signal）和图像（image）。
语⾳信号是对时间的函数。
图像是对两个空间变量（长、宽）的函数。
连续时间信号与离散时间信号⾸先，依照惯例，含⼀个⾃变量的信号，都把这个⾃变量看做是时间 t。
这⾥有⼀个连续时间信号（Continuous-Time Signal, CTS）和离散时间信号（Discrete-Time Signal, DTS）的概念。
区分的特性是信号的⾃变量是连续还是离散的。
其实这两个概念的划分是⾮常⾃然的。
信号是⼀个函数，⽽连续函数往往出现在⾃然界和⼈的头脑中，只要放在计算机上⾯，都有⼀个将连续函数离散化的过程。
因此，凡是在⾃然界或⼈脑中表达，那么常常是连续时间信号；凡是在计算机上表达，往往是离散时间信号。
有⼀些约定，对于 CTS，表⽰为 f(t)；⽽对于 DTS，表⽰为 f[n]。
前者像数学表达式，后者像数组。
信号与系统基础-第1章
(t) 1
0
t
图1-12 单位阶跃信号
K
E 1V uR (t) (t) R
图1-13 单位阶跃信号实例
(t)
def
0, 1,
(t 0) (t 0)
确知信号虽然不用于通信，但可以作为基本信号对系统的特性进行分析研究， 其研究方法和结果可以直接推广或借鉴到随机信号的分析中去，这就是研究确知信号 的意义所在。
23
1.3 基本连续信号
现实生活中，信号的种类繁多，要想逐个研究是不可能的。因此，人们从各 种信号中挑选出一些基本信号加以研究。主要原因是
（1）基本信号可以通过数学手段去精确或近似表征其他信号，比如傅里叶级数 的基本形式是正弦和余弦信号，但它们可以表示绝大多数不同形式的周期信号（ 详见第4章）。
11
1.2 信号的分类
S
f (t)
yS (t)
p(t)
0
t
0 Ts
t
0
t
（a）抽样概念示意图
F ( / f ) 低通型信号频谱
F ( / f ) 带通型信号频谱
0
fL
fH
/ f 0
fL fH
/ f
（b）低通、带通信号示意图
图1-4 抽样及低通、带通信号概念示意图
12
1.2 信号的分类
离散信号有以下主要特点： （1）虽然自变量取离散值，但因变量（幅值） 的取值可以是连续的（即有无穷个可能的取值）， 也可以是离散的。 （2）其图形是出现在离散自变量点上的一系列 垂直线段。
1 2
信号与系统知识点总结
信号与系统知识点总结一、信号与系统概念1. 信号的基本概念信号是指传输信息的载体，可以是任意形式的能量，例如声音、图像、视频等。
信号分为连续信号和离散信号两种类型。
连续信号是指在任意时间范围内都有定义的信号，离散信号是指只在某些离散点上有定义的信号。
2. 系统的概念系统是指对输入信号进行处理并产生输出信号的过程。
系统分为线性系统和非线性系统两种类型。
线性系统满足叠加原理和齐次性质，而非线性系统不满足这两个性质。
3. 信号与系统的分类信号与系统可以按照不同的分类方式进行划分。
例如，按时间域和频率域可以将信号和系统分为时域信号和系统以及频域信号和系统。
二、时域分析1. 时域中的基本概念在时域中，信号经常被表示为在时间轴上的波形。
对信号进行时域分析，可以揭示信号的变化规律和特征。
例如，信号的幅度、频率、相位等特征。
2. 时域信号的表示时域信号可以分为连续信号和离散信号两种类型。
连续信号通常可以由函数来表示，而离散信号则可以用序列或数组来表示。
3. 线性时不变系统线性时不变系统是指系统具有线性和时不变两个性质。
线性性质意味着系统满足叠加原理和齐次性质，时不变性质意味着系统的响应与输入信号的时移无关。
三、频域分析1. 傅里叶变换傅里叶变换是将信号在时域中的表示转换为频域中的表示的数学工具。
它可以将信号转换为频谱，揭示信号的频率成分和能量分布。
傅里叶变换分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换两种。
2. 滤波器的频域特性滤波器可以用来对信号进行频域处理。
常见的滤波器包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器。
滤波器对不同频率成分的信号有不同的响应，能够用来滤除不需要的频率分量，或者突出需要的频率分量。
3. 抽样定理抽样定理是指在进行模拟信号的离散化表示时，需要保证抽样率足够高，以避免混叠失真。
根据抽样定理，模拟信号进行离散化表示的采样频率需要大于信号最高频率的两倍。
四、系统响应分析1. 系统的时域响应系统的时域响应是指系统对输入信号的时域响应。
信号与系统卷积的原理及应用matlab实验
信号与系统卷积的原理及应用matlab实验一、信号与系统基础概念信号是指随时间或空间变化的物理量，可以是电压、电流、声音等。
系统是指对输入信号进行处理的设备或算法，可以是滤波器、放大器等。
二、卷积的定义卷积是一种信号处理方法，用于描述一个信号经过另一个信号响应后产生的输出。
数学上，卷积可以表示为两个函数之间的积分运算，即：y(t) = ∫x(τ)h(t-τ)dτ其中，y(t)表示输出信号，x(t)表示输入信号，h(t)表示系统的单位响应。
三、卷积定理卷积定理是指在频域中进行卷积运算时，等价于对两个函数进行乘法运算后再进行逆变换。
即：F{f*g} = F{f}·F{g}其中，f和g分别为两个函数，在频域中表示为F{f}和F{g}。
四、离散卷积与离散卷积定理在数字信号处理中，使用离散卷积来描述一个序列经过另一个序列响应后产生的输出序列。
离散卷积可以表示为：y[n] = ∑x[k]h[n-k]其中，y[n]表示输出序列，x[k]表示输入序列，h[n-k]表示系统的单位响应。
离散卷积定理是指在频域中进行离散卷积运算时，等价于对两个序列进行乘法运算后再进行逆变换。
即：DFT{f*g} = DFT{f}·DFT{g}其中，f和g分别为两个序列，在频域中表示为DFT{f}和DFT{g}。
五、matlab实验1. 实验目的通过matlab实现离散卷积的计算，并观察离散卷积定理的效果。
2. 实验步骤（1）生成两个长度为N的随机序列x和h。
（2）使用matlab自带函数conv计算x和h的离散卷积y1，并绘制其图像。
（3）将x和h分别进行N点FFT变换得到X和H，在频域中计算它们的乘积Y2=X·H。
（4）将Y2进行N点IFFT变换得到y2，并绘制其图像。
（5）比较y1和y2的差异，观察离散卷积定理的效果。
3. 实验结果与分析实验结果如下图所示：从图中可以看出，y1和y2基本重合，说明离散卷积定理在频域中成立。
预备知识-概率论、信号与系统
04
信号与系统理论中的滤波器设计，用于提 取有用信号和抑制噪声干扰。
概率论与信号系统在控制系统中的应用
概率论在控制系统中的应用， 主要涉及随机扰动和不确定性
分析。
信号与系统理论在控制系统 中的应用，主要涉及系统的
建模、分析和优化。
概率论与信号系统理论的结合， 有助于研究控制系统的性能和 稳定性，如随机稳定性、鲁棒
03
预备知识应用
概率论在信号处理中的应用
01
概率论为信号处理提供了理论基础，用于描述信号的不确定性、随机 性和噪声。
02
概率论中的随机过程理论，用于分析信号的统计特性和时间变化规律， 如高斯过程、马尔可夫过程等。
03
概率论中的随机变量和概率分布，用于描述信号的各种属性，如幅度、 频率、相位等。
04
积分
掌握不定积分的计算方法，理解定积分的物理 意义。
微分方程
了解微分方程的基本概念和常见类型，以及如何求解一阶和二阶常微分方程。
线性代数
向量空间
理解向量空间的概念，掌握向量的加法、数乘和向量 的模。
矩阵
了解矩阵的基本概念，掌握矩阵的加法、数乘、乘法 等基本运算。
线性方程组
理解线性方程组的概念，掌握如何用矩阵和行列式求 解线性方程组。
概率函数性质
$P$ 是非负的，即 $P(A) geq 0$ 对所有 $A in mathcal{F}$，且 $P(Omega) = 1$。
随机变量及其分布
随机变量定义
随机变量是从样本空间 $Omega$ 到实数域 $mathbb{R}$ 的可测 函数。
离散型随机变量
离散型随机变量是只能取可数个值的随机变量，例如伯努利试验中 的成功次数。
信号与系统_常用数学电路基础(复习)
e 给出 k 项： (C1 C2 x Ck x
rx
其中， m ( x) 是与 Pm ( x) 同次（m 次）的多项式，而 k 按 Q
不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重
根依次取为0、1、2. (2) f ( x) e x [ Pl ( x) cos x Pn ( x)sin x] 型
(1) (2) 特解形式： y x k e x [ Rm ( x) cos x Rm ( x)sin x]
f ( x)dx
0
f ( x)dx
都收敛，则称上述两反常积分之和为函数 f ( x)在无穷区间(, )
上的反常积分，记作
f ( x)dx，即
0
f ( x)dx f ( x)dx
0
f ( x)dx lim f ( x)dx lim f ( x)dx
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
分部积分公式：
b
a
udv [uv] vdu
b a a
C.Y.W@SDUWH 2011
b
信号与系统
0 常用数学电路基础（复习）
3
2. 积分上限的函数及其导数（上册第五章P235）
定理1：如果函数 f ( x) 在区间[a, b] 上连续，则积分上限的函数
电容： iC (t ) C d v(t )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
信号与系统的数学基础
信号与系统是一门涉及到信号处理和系统分析的学科，其数学基础主要包括以下几个方面：
1. 微积分：微积分是信号与系统中最基本的数学工具，用于描述信号的变化率和系统的响应。
2. 线性代数：线性代数用于表示信号和系统的线性组合、向量和矩阵等概念，以及求解线性方程组。
3. 概率论与随机过程：概率论和随机过程用于描述信号和系统中的随机现象，如噪声和干扰。
4. 复变函数：复变函数用于描述信号在复数域中的表示和运算，以及系统的复数域分析。
5. 离散数学：离散数学用于描述离散时间信号和系统，如数字信号处理和数字通信系统。
6. 常微分方程和偏微分方程：常微分方程和偏微分方程用于描述连续时间信号和系统的动态行为，如滤波器设计和信号传输。
以上是信号与系统的数学基础的主要方面，这些数学工具在信号与系统的理论分析和实际应用中都起着重要的作用。