信号与系统 §1.3 信号的基本运算
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《信号与系统教学课件》§1.3信号的运算
信号加法运算的应用
02
CHAPTER
信号的减法运算
信号减法运算的定义
信号减法运算是指将两个信号对应时间点的值相减，得到一个新的信号。
信号减法运算可以用数学表达式表示为：y(t) = x1(t) - x2(t)。
信号减法运算满足交换律和结合律，即x1(t) - x2(t) = x2(t) - x1(t)，以及(x1(t) - x2(t)) - x3(t) = x1(t) - (x2(t) + x3(t))。
信号减法运算的应用
03
CHAPTER
信号的乘法运算
01
02
04
信号乘法运算的定义
信号乘法运算是指两个信号的对应时间点的值相乘，得到一个新的信号。
信号乘法运算适用于时间域和频率域两种情况。
在时间域中，信号乘法运算可以用于实现信号的幅度调整和波形变换。
在频率域中，信号乘法运算可以用于实现信号的频谱分析和调制解调等操作。
信号积分运算的应用
05
CHAPTER
信号的微分运算
信号微分运算的定义
信号微分运算是指对信号进行求导的过程，即对信号的每个时间点上的值进行求导，得到一个新的信号。
在信号处理中，信号的微分运算常用于提取信号的突变点和边缘信息，以及分析信号的波形变化趋势。
信号微分运算的性质
信号微分运算具有线性性质，即对于两个信号的加法或乘法运算，其微分运算结果等于各自微分运算结果的加法或乘法运算。
在实际应用中，信号加法运算可以用于组合多个信号、增强信号强度、合成新的信号等。
03
信号加法运算满足线性性质，即对于任意常数$k$，有$k(a+b)=ka+kb$。
线性性质
信号与系统 §1.3 信号的基本运算
号的加法和乘法
sint
sint
t sin8t
t sin8t
t sint sin8t
t
sint sin8t
t
t
▲ ■ 第 3页
二、信号的时间变换
1.信号的反转 2.信号的平移 3.信号的展缩（尺度变换） 4.混合运算举例
▲
■
第 7页
3.信号的尺度变换 (横坐标展缩）
将 f (t) → f (a t) ， 称为对信号f (t)的尺度变换。 若a >1 ，则波形沿横坐标压缩；若0< a < 1 ，则扩展 。 f (2 t ) 如 1 t → 2t 压缩
f(t) 1 -2 o 2 t
-1 o 1
1 -4 o 4 t
t
f (0.5 t )
▲
■
第 4页
1. 信号反转(反折)
将 f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称为对信号f (· ) 的反转或反折。 从图形上看是将f (· )以纵坐标为轴反转180o。如
f t 1
2
t→-t
1
f t 1 1 O
O
t
2
t
▲
■
第 5页
2.信号的平移
将 f (t) → f (t – t0) ， f (t) → f (t + t0)称为对信号f (· )的 平移或移位。若t0 >0，则将f (t-t0)右移； f(t +t0)左移。 如 f (t-1)
o
1 2 4 6 t
压缩，得f (2t – 4)
f (-2t -4) 1 -3 -1 o t
反转，得f (– 2t – 4)
sint
sint
t sin8t
t sin8t
t sint sin8t
t
sint sin8t
t
t
▲ ■ 第 3页
二、信号的时间变换
1.信号的反转 2.信号的平移 3.信号的展缩（尺度变换） 4.混合运算举例
▲
■
第 7页
3.信号的尺度变换 (横坐标展缩）
将 f (t) → f (a t) ， 称为对信号f (t)的尺度变换。 若a >1 ，则波形沿横坐标压缩；若0< a < 1 ，则扩展 。 f (2 t ) 如 1 t → 2t 压缩
f(t) 1 -2 o 2 t
-1 o 1
1 -4 o 4 t
t
f (0.5 t )
▲
■
第 4页
1. 信号反转(反折)
将 f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称为对信号f (· ) 的反转或反折。 从图形上看是将f (· )以纵坐标为轴反转180o。如
f t 1
2
t→-t
1
f t 1 1 O
O
t
2
t
▲
■
第 5页
2.信号的平移
将 f (t) → f (t – t0) ， f (t) → f (t + t0)称为对信号f (· )的 平移或移位。若t0 >0，则将f (t-t0)右移； f(t +t0)左移。 如 f (t-1)
o
1 2 4 6 t
压缩，得f (2t – 4)
f (-2t -4) 1 -3 -1 o t
反转，得f (– 2t – 4)
信号与系统基础及应用第1章 信号与系统基础知识
1 xe (t) 2 [x(t) x(t)]
1 xo (t) 2 [x(t) x(t)]
2.信号分解为基本信号的有限项之和 xa (t) t[u(t) u(t 1)] [u(t 1) u(t 2)]
xa (t) tu(t) (t 1)u(t 1) u(t 2)
t
2
Gτ t
1
O
2
t
2
⦿其他函数只要乘以门函数，就只剩下门内的部分。
3.符号函数(Signum)
1,t 0 sgn(t) 1,t 0
sgnt
O
t
sgn(t) u(t) u(t) 2u(t) 1
u(t) 1 [sgn(t) 1] 2
1.3.1 信号的相加和相乘
1
0 1
0
1
信号的和
0
1
信号的积
0
1.3.2 信号的微分与积分
积分 原信号 微分
1.3.3 信号的平移、翻转与展缩
时移
右移
左移
展缩
x(t) t[u(t) u(t 1)] [u(t 1) u(t 2)] x(2t) 2t[u(t) u(t 0.5)] [u(t 0.5) u(t 1)] x( t ) t [u(t) u(t 2)] [u(t 2) u(t 4)]
《信号与系统基础及应用》
• 第1章 信号与系统基础知识 • 第2章 连续时间信号分析 • 第3章 连续时间系统分析 • 第4章 离散时间信号分析 • 第5章 离散时间系统分析 • 第6章 离散傅里叶变换及应用 • 第7章 数字滤波器设计
第1章 信号与系统基础知识
第一章 信号与系统概论(2)
−2t − 2t −∞
+∞
∫ (1 − x )δ (x )dx = ∫ δ (x )dx = u (t )
t t −∞ −∞
( t ∈ [t , t ]) ( t ∉ [t , t ])
1 2 1 2
6. 符号函数
定义
1 sgn(t) = 0 −1
(t > 0) (t = 0) (t < 0)
sgn(t) 1 0 -1
可用阶跃信号表示
sg ( t) = 2u(t) −1 n
信号的因果和反因果分解
任意信号 f (t ) 有因果反因果分解
at
1.指数信号
实际上，经常遇到的是因果指数衰减信号 因果指数衰减信号
2.正弦信号
正弦信号和余弦信号统称为正弦信号，一 般可表示为： f t = K sin ωt + φ 其中 K 为振幅， 是角频率，φ 称为初 2π 1 = 相位。正弦信号的周期 T = ， ω f 其中 f 是频率。 与指数信号相似，正弦信号对时间的微分 或积分仍是正弦信号
∫
t
−∞
δ (τ ) d τ = u ( t )
d dt
u (t ) = δ (t )
∫
+∞ −∞
δ ( t − t 0 ) f ( t ) dt =
∞ −∞
=
∫
f ( t 0 )δ ( t − t 0 ) dt = f ( t 0 )
相乘
f (t )δ (t − t0 ) = f (t0 )δ (t − t0 )
冲激函数的检零性质
当冲激函数应用于非线性函数时，具有 应用于非线性函数时， 应用于非线性函数时 检测其零点，并反映其导数的性质。 检测其零点，并反映其导数的性质 由于函数在其零点 t i ，i=1, 2, …, n 有 f t i = 0 ，使得在其零点领域，有
+∞
∫ (1 − x )δ (x )dx = ∫ δ (x )dx = u (t )
t t −∞ −∞
( t ∈ [t , t ]) ( t ∉ [t , t ])
1 2 1 2
6. 符号函数
定义
1 sgn(t) = 0 −1
(t > 0) (t = 0) (t < 0)
sgn(t) 1 0 -1
可用阶跃信号表示
sg ( t) = 2u(t) −1 n
信号的因果和反因果分解
任意信号 f (t ) 有因果反因果分解
at
1.指数信号
实际上，经常遇到的是因果指数衰减信号 因果指数衰减信号
2.正弦信号
正弦信号和余弦信号统称为正弦信号，一 般可表示为： f t = K sin ωt + φ 其中 K 为振幅， 是角频率，φ 称为初 2π 1 = 相位。正弦信号的周期 T = ， ω f 其中 f 是频率。 与指数信号相似，正弦信号对时间的微分 或积分仍是正弦信号
∫
t
−∞
δ (τ ) d τ = u ( t )
d dt
u (t ) = δ (t )
∫
+∞ −∞
δ ( t − t 0 ) f ( t ) dt =
∞ −∞
=
∫
f ( t 0 )δ ( t − t 0 ) dt = f ( t 0 )
相乘
f (t )δ (t − t0 ) = f (t0 )δ (t − t0 )
冲激函数的检零性质
当冲激函数应用于非线性函数时，具有 应用于非线性函数时， 应用于非线性函数时 检测其零点，并反映其导数的性质。 检测其零点，并反映其导数的性质 由于函数在其零点 t i ，i=1, 2, …, n 有 f t i = 0 ，使得在其零点领域，有
信号与系统第二讲
若 H[C1 f1(t ) + C2 f2 (t )] = C1H[ f1(t )] + C2H[ f2 (t )] 是线性系统,否则是非线性系统 否则是非线性系统。 则系统 H[•]是线性系统 否则是非线性系统。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。 注意：外加激励与系统非零状态单独处理。
25
二．时变系统与时不变系统
∫
r (t ) r (t ) r (t )
r(t ) = ∫ e(t )dt
−∞
t
τ
T
r ( t ) = e( t −τ ) r ( t ) = e( t −T )
18
二．系统的定义和表示
系统：具有特定功能的总体， 系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变换 处理器。 器、处理器。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统模型：系统物理特性的数学抽象。 系统的表示： 系统的表示： 数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 数学表达式：系统物理特性的数学抽象。 系统图：形象地表示其功能。 系统图：形象地表示其功能。
5
1.3 信号的运算与变换
信号的代数运算 信号的微分与积分 信号的反褶 信号的时移 信号的尺度变换 信号的分解
6
1.3.1 信号的代数运算
信号的加减运算： f ( t ) = f 1 ( t ) ± f 2 ( t ) 注意要在对应的时间上进行加减运算。
1 t1 1 0 -1
7
0
t2 相加
t1
2 1 0 -1 t2
绪论
第一章 信号与系统概论
1.1 信号的描述与分类 1.2 基本典型信号 1.3 信号的运算与变换 1.4 系统
1
冲激函数的性质
延迟的冲激函数
信号与系统实验_信号的基本运算单元
信号与系统实验_信号的基本运算单元学号：2 姓名：实验⼀信号的基本运算单元⼀、实验⽬的1.掌握信号与系统中基本运算单元的构成；2.掌握基本运算单元的特点；3.掌握对基本运算单元的测试⽅法；⼆、预备知识1.学习“信号的运算”⼀节；2．复习matlab软件的使⽤⽅法。
三、实验原理在“信号与系统”中，最常⽤的信号运算单元有：减法器、加法器、倍乘器、反相器、积分器、微分器等，通过这些基本运算单元可以构建⼗分复杂的信号处理系统。
因⽽，基本运算单元是“信号与系统”的基础。
四、实验内容1、⽤matlab编写两个正弦信号（⼀个⾼频，⼀个低频）相加，相减，相乘。
绘出频谱图，并说明意义clc,clearsyms t w;N = 6724;t =0:0.01:(N-1)/100;W =t*100/N;%产⽣⾼频以及低频信号并进⾏运算f1 = 4/8*sin(10^4*t);f2 = 4/10*sin(t+pi/5);f3 = f1+f2;f4 = f1-f2;f5 = f1.*f2;%进⾏傅⾥叶变换F1w = abs(fft(f1,N))*2/N;F2w = abs(fft(f2,N))*2/N;F3w = abs(fft(f3,N))*2/N;F4w = abs(fft(f4,N))*2/N;F5w = abs(fft(f5,N))*2/N;%%绘图%f1学号：2 姓名：subplot(5,2,1),plot(t,f1);title('f1');subplot(5,2,2),plot(W,F1w); title('F1w');%f2subplot(5,2,3),plot(t,f2);title('f2');subplot(5,2,4),plot(W,F2w); title('F2ww');%f3subplot(5,2,5),plot(t,f3);title('f3=f1+f2');subplot(5,2,6),plot(W,F3w); title('F3w');%f4subplot(5,2,7),plot(t,f4);title('f4=f1-f2');subplot(5,2,8),plot(W,F4w); title('F4w');%f5subplot(5,2,9),plot(t,f5);title('f5=f1*f2');subplot(5,2,10),plot(W,F5w); title('F5ww');学号：2 姓名：解释：两个正弦信号的相加、相减、相乘，周期为两正弦信号周期的最⼩公倍数，包络线是低频正弦信号的分量，⾼频信号主要影响包络线内信号的频率，相加、相乘和相减幅值、相位都会发⽣改变。
信号与系统全套课件
解答
f (t)
f (t 5)
1
时移
1
1 O 1 t 尺度 变换
f (3t)
6 5 4
t 尺度 O 变换
f (3t 5)
1 t
1O 1
33
时移
1 t
2 4 3
1.4.2 信号的变换
平移、展缩、反折相结合举例
例 已知f (t)如图所示，画出 f(-2t-4)。 解答
右移4，得f (t–4)
反转，得f (-2t–4)
1.4.2 信号的变换
2.信号的平移
将 f (t) → f (t–t0) ，称为对信号f (t)的右移
f (t) → f
其中，t0 >0
如
(t +t0)， 称为对信号f t → t–1右移
(t)的左移
f (t-1)
1
f (t) 1
o1 2 t
o1 t
t → t+1左移
雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。
1.2.2 信号的分类
1. 确定信号和随机信号
•确定性信号 可用确定的时间函数表示的信号。
对于指定的某一时刻t，有确定的函数值f(t)。
•随机信号
取值具有不确定性的信号。 如：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。
•伪随机信号 貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。
1.2.2 信号的分类
f (t)
2
1
4
－ 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3
t
－1
－2
f (t) 2 1 － 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3 4 t
(a)
(b)
图5 确定性信号与随机信号
《信号与系统教学课件》§1.3信号的运算
信号的基本运算
1 线性运算
2 平移运算
信号的线性运算是指对信号进行加法和数乘操作， 结果仍然是信号。
平移运算改变信号在时间或空间上的位置，通过 延时或提前来实现。
3 缩放运算
4 对称运算
缩放运算改变信号的振幅或幅度范围，通过增大 或减小信号的幅度来实现。
对称运算改变信号的对称性，通过翻转信号使其 与原信号一致。
线性运算
加法运算
信号的加法运算是指两个信号相加，对应位置的值相加 得到新的信号。
乘法运算
信号的乘法运算是指两个信号相乘，对应位置的值相乘 得到新的信号。
平移运算
1
正向平移
信号的正向平移是将信号向右或向上移动一定距离。
2
负向平移
信号的负向平移是将信号向左或向下移动一定距离。来自3平移运算的应用
平移运算常用于时域信号分析中，可以改变信号的起始时间或位置。
缩放运算
放大运算
信号的放大运算是指增加信号的幅度，使其振幅或幅 度范围增加。
缩小运算
信号的缩小运算是指减小信号的幅度，使其振幅或幅 度范围减小。
对称运算
1 水平对称
水平对称是指将信号沿垂直轴进行翻转，左右对称。
2 垂直对称
垂直对称是指将信号沿水平轴进行翻转，上下对称。
《信号与系统教学课件》 §1.3信号的运算
信号的定义、分类和基本运算是了解信号与系统的重要基础。本节课将介绍 信号的不同运算方式，包括线性运算、平移运算、缩放运算和对称运算。
信号的定义
什么是信号？
信号是随时间、空间或其它独立变量的变化而变化的 量，描述了某种信息或现象的特征。
信号的类型
常见的信号类型包括连续信号和离散信号，它们在时 间或空间上的变化特性不同。
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例1 平移与反转相结合
例2 平移与尺度变换相结合 例3 平移、反转、尺度变换相结合，正逆运算。
可以看出： 混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要
注意一切变换都是相对 t 而言。
通常，对正向运算，先平移，后反转和展缩不易 出错；对逆运算，反之。
▲
■
第9页
§1.3 信号的基本运算
两信号相加或相乘 信号的时间变换
➢ 反转 ➢ 平移 ➢ 尺度变换 信号的微分和积分
■
第1页
一、信号的加法和乘法
同一瞬时两信号对应值相加（相乘）。
sint
sint
t
t
sin8t sin8t 源自tsint sin8t
t
sint sin8t
t
t
▲
■
第2页
加法和乘法
•信号 f1 和信号 f2 的加法和乘法等于 同一瞬间信号的瞬时值相加或相乘
所构成的信号。
f (•) f1 • f2 •
f (•) f1 • f2 •
▲
■
第3页
离散序列相加、乘
例：已知序列
2, k 1
f1 (k )
3 , 6 ,
k k
0 1
0, k其他
2, f1 (k) f2 (k) 86,,
4, 0,
k 1 k 0 k 1 k 2 k其他
3, k 0
f2
如
f (2 t )
t → 2t 压缩
1
f(t)
1
-1 o 1
t
-2 o
2 t t → 0.5t 扩展
f (0.5 t ) 1
-4
o
4t
对于离散信号，由于 f (a k) 仅在为a k 为整数时才有意义， 进行尺 度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。
▲
■
第8页
4. 混合运算举例 f t f at b f at b a
f t
1
t→-t
f t
1
2
O 1t
1 O
2t
没有可实现此功能的实际器件。数字信号处理中可 以实现此概念，例如堆栈中的“后进先出”。
▲
■
第6页
2.信号的平移
将 f (t) → f (t – t0) ， f (k) → f (k – k0)称为对信号f (·)
的平移或移位。若t0 (或k0) >0，则将f (·)右移；否则左
移。
f (t-1)
如
1
t → t – 1右移
f (t) 1
o1 2 t
o1 t
t → t + 1左移
f (t+1) 1
-1 o t
雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。
▲
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第7页
3.信号的展缩(尺度变换）
将 f (t) → f (a t) ， 称为对信号f (t)的尺度变换。
若a >1 ，则波形沿横坐标压缩；若0< a < 1 ，则扩展 。
(k)
2 , 4 ,
k k
1 2
0 , k其他
9 , k 0 f1(k) f2 (k) 12, k 1
0 , k其他
▲
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二、信号的时间变换
1.信号的反转 2.信号的平移 3.信号的展缩（尺度变换） 4.混合运算举例
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1. 信号反转
将 f (t) → f (– t) ， f (k) → f (– k) 称为对信号f (·) 的反转或反折。 从图形上看是将f (·)以纵坐标为轴反转180o。如