考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编4(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编4 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． (97年)设两个随机变量X与Y相互独立且同分布，P(X＝－1)＝P(Y＝－1)＝，P(X＝1)＝P(Y＝1)＝，则下列各式成立的是 【 】
A．P(X－Y)＝
B．P(X＝Y)＝1
C．P(X＋Y＝0)＝
D．P(XY＝1)＝
正确答案：A
解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝ 知识模块：概率论与数理统计
2． (98年)设F1(χ)与F2(χ)分别为随机变量X1与X2的分布函数．为使F(χ)＝a1F1(χ)－bF2(χ)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 【 】
A．
B．
C．
D．
正确答案：A
解析：∵F1(χ)和F2(χ)均为分布函数，∴F1(＋∞)＝F2(＋∞)＝1 要使F(χ)为分布函数，也有F(＋∞)＝1．对该式令χ→＋∞， 即得a－b＝1，只有A符合． 知识模块：概率论与数理统计
3． (99年)设随机变量Xi～(i＝1，2)，且满足P{X1X2＝0}，则P{X1＝X2}等于 【 】
A．0
B．
C．
D．1
正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计
4． (04年)设随机变量X服从正态分布N(0，1)，对给定的α∈(0，1)，数uα满足P{X＞uα}＝α，若P{｜X｜＜χ}＝a则χ等于 【 】
A．
B．
C．
D．
正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计
5． (06年)设随机变量X服从正态分布N(μ1，σ12)，随机变量Y服从正态分布N(μ2，σ22)，且 P{｜X－μ1｜＜1}＞P{｜Y－μ2｜＜1} 则必有 【 】
A．σ1＜σ2．
B．σ1＜σ2．
C．μ1＜μ2．
D．μ1＜μ2．
正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计
6． (08年)设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F(χ)，则Z＝max{X，Y}的分布函数为 【 】
A．F2(χ)
B．F(χ)F(y)
C．1－[1－F(χ)]2
D．[1－F(χ)][1－F(y)]
正确答案：A
解析：Z的分布函数FZ(χ)＝P{Z≤χ)＝P{max(X，Y)≤χ}＝P{X≤χ，Y≤χ}＝P{X≤χ}.P{Y≤χ}＝F2(χ)，故选A． 知识模块：概率论与数理统计
7． (09年)设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布为P{Y＝0}＝P{Y＝1}＝．记FZ(z)为随机变量Z＝Xy的分布函数，则函数FZ(z)的间断点个数为 【 】
A．0．
B．1．
C．2．
D．3．
正确答案：B
解析：FZ(z)＝P(Z≤z)＝P(XY≤z) ＝P{XY≤z｜Y＝0}P{Y＝0}＋P{XY≤z｜Y＝1}P{Y＝1} ＝{0≤z}Y＝0}＋P{X≤z｜Y＝1} 而P{0≤z｜Y＝0}＝P{0≤z}＝ P{X≤z｜Y＝1}＝P{X≤z}＝ 故Fz(z)＝ 在z＜0和z＞0上，Fz(z)显然连续；在z＝0上， 可见Fz(z)只有1个间断点(z＝0处，∵)，故选
B． 知识模块：概率论与数理统计
8． (10年)设随机变量X的分布函数F(χ)＝，则P{X＝1)＝ 【 】
A．0．
B．．
C．－e-1．
D．1－e-1．
正确答案：C
解析：P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝(1－e-1)－－e-1．故选
C． 知识模块：概率论与数理统计
9． (10年) 设f1(χ)为标准正态分布的概率密度，f2(χ)为[－1，3]上均匀分布的概率密度，若 为概率密度，则a，b应满足 【 】
A．2a＋3b＝4．
B．3a＋2b＝4．
C．a＋b＝1．
D．a＋b＝2．
正确答案：A
解析：由题意知： 所以2a＋3b＝4，故选A． 知识模块：概率论与数理统计
填空题
10． (00年)设随机变量X在区间[－1，2]上服从均匀分布，随机变量 则方差DY＝_______．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
11． (02年)设随机变量X和Y的联合概率分布为 则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)＝_______．
正确答案：－0．02
解析：E(X2Y2)＝02×(－1)2×0．07＋02×02×0．18＋02×12×0．15＋12×(－1)2×0．08＋12×02×0．32＋12×12×0．20＝0．28 而关于X的边缘分布律为： 关于Y的边缘分布律为： ∴EX2＝02×0．4＋12×0．6＝0．6，
Ey2＝(－1)2×0．15＋02×0．5＋12×0．35＝0．5 故cov(X2，Y2)＝E(X2Y2)－EX2.EY2＝0．28－0．6×0．5＝－0．02 知识模块：概率论与数理统计
12． (03年)设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z＝X－0．4，则Y与Z的相关系数为_______．
正确答案：0．9 涉及知识点：概率论与数理统计
13． (04年)设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P{X＞}＝_______．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
14． (08年)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X＝EX2}＝_______．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
15． (11年)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)＝_______．
正确答案：μ＋μσ2 涉及知识点：概率论与数理统计
16． (13年)设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(Xe2X)＝_______．
正确答案：2e2 涉及知识点：概率论与数理统计
17． (15年)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY－Y＜0}＝_______．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18． (13年)设(X，Y)是二维随机变量，X的边缘概率密度为fX(χ)＝在给定X＝χ(0＜χ＜1)的条件下Y的条件概率密度为 (Ⅰ)求(X，Y)的概率密度f(χ，y)； (Ⅱ)求Y的边缘概率密度fY(χ)； (Ⅲ)求P{X＞2Y}．
正确答案：(Ⅰ)f(χ，y)＝fX(χ)fY｜X(y｜χ) (Ⅱ)fY(y)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dχ y≤0或y≥1时，fY(y)＝0； 0＜y＜1时，fY(y)＝＝－9y2lny
即fY(y)＝ 涉及知识点：概率论与数理统计
19． (16年)设二维随机变量(X，Y)在区域D＝{(χ，y)｜0＜χ＜1，χ2＜y＜}上服从均匀分布，令 (Ⅰ)写出(X，Y)的概率密度； (Ⅱ)问U与X是否相互独立?并说明理由； (Ⅲ)求Z＝U＋X的分布函数F(z)．
正确答案：(Ⅰ)区域D如图(a)，面积为SD＝，由题意，(X，Y)的概率密度为 (Ⅱ)由题意，P(U≤0)＝P(U＝0)＝P(X＞Y) ＝ D1见图(b) 可见， 故U与X不独立． (Ⅲ)F(z)＝P(Z≤z)＝P(U＋X≤z)＝P(U＋X≤z，U＝0)＋P(U＋X≤z，U＝1)＝P(X≤z，X＞Y)＋P(X≤z－1，X≤Y) 可见，z＜0时，F(z)＝0； z≥2时，P(X≤z，X＞Y)＝P(X＞Y)，P(X≤z－1，X≤Y)＝P(X≤Y) 所以F(z)＝P(X＞Y)＋P(X≤Y)＝1； 0≤z＜1时，由－1≤z－1＜0，知P(X≤z－1，X≤Y)＝0， 而P(X≤z，X＞Y)＝，G2见图(e)． 故F(z)＝z2－z3； 1≤z＜2时，P(X≤z，X＞Y)＝P(X＞Y)＝， 这时0≤z－1＜1，有 P(X≤z－1，X≤Y)＝ G3见图(f)． 所以F(z)＝ 涉
及知识点：概率论与数理统计
20． (87年)已知随机变量X的概率密度为 求随机变量Y＝的数学期望E(Y)．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
21． (89年)已知随机变量(X，Y)的联合密度为 试求：(1)P{X＜Y}；
(2)E(XY)．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
22． (91年)设随机变量(X，Y)在圆域χ2＋y2≤r2上服从联合均匀分布． (1)求(X，Y)的相关系数ρ； (2)问X和Y是否独立?
正确答案：由题意，(X，Y)的联合概率密度为 f(χ，y)＝，若χ2＋y2≤r2(别处为0) 则关于X的边缘密度为fx(χ)＝∫－∞＋∞f(χ，y)dy
当｜χ｜＞r时，fX(χ)＝0； 当｜χ｜≤r时， 完全同理类似，得关于Yy的边缘概率密度为 (1)EX＝ 同理，EY＝0 而E(XY)＝ 以上积分为0可由被积函数为奇函数而积分区间对称且积分是收敛的得到． 于是covc(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)＝0， 故X与Y不独立． 涉及知识点：概率论与数理统计
23． (92年)某设备由三大部件构成．在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0．10，0．20和0．30．设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求E(X)和D(X)．
正确答案：设这三个部件依次为第1、2、3个部件，记Ai＝(第i个部件需调整)，i＝1，2，3．则A1，A2，A3相互独立． 则P(A1)＝0．1，P(A2)＝0．2，P(A3)＝0．3[或P(Ai)＝，i＝1，2，3] Xi＝ 显然，X1，X2，X3相互独立 则E(Xi)＝1.P(Ai)＝，i＝1，2，3．且X＝X1＋X2＋X3 D(Xi)＝E(Xi2)＝[E(Xi)]2＝12.P(Ai)－，i＝1，2，3 故EX＝EX1＋EX2＋EX3＝＝0．6 DX＝＝0．46 涉及知识点：概率论与数理统计
24． (93年)设随机变量X和Y同分布，X的概率密度为 (1)已知事件A＝{X＞a}和B＝{Y＞a}独立，且P{A∪B)＝，求常数a； (2)求的数学期望．
正确答案：(1)(1)由题意，P(A)＝P(B)＝∫a＋∞f(χ)dχ 显然a∈(0，2)．否则，若a≤0，则P(A)＝＝1；若a≥2，则P(A)＝0，都与P(A∪B)＝矛盾． 故P(A)＝P(B)＝ ∴＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)
考研数学三(填空题)高频考点模拟试卷36(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷36 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设口袋中有10只红球和15只白球，每次取一个球，取后不放回，则第二次取得红球的概率为______．
正确答案：
解析：设A1＝{第一次取红球}，A2＝{第一次取白球}，B＝{第二次取红球}，则P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2) 知识模块：概率论与数理统计
2． 四阶行列式的值是______
正确答案：-15
解析：利用行列式的性质：把行列式某一行(列)的各元素乘以同一数后，然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变；上(下)三角形行列式的运算．对已知行列式作变换，则 知识模块：行列式
3． 已知X，Y为随机变量且，设A=｛max(X，Y)≥0｝，B=｛max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0｝，C=｛max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0｝，则P(A)=________，P(B)=________，P(C)=________．
正确答案：
解析：首先要分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，而后应用概率性质计算概率．由于A=｛max(X，Y)≥0｝=｛X，Y至少有一个大于等于0｝=｛X≥0｝∪｛Y≥0｝，故P(A)=P｛X≥0｝+P｛Y≥0｝一P｛X≥0，Y≥0｝=；又｛max(X，Y)＜0｝｛min(X，Y)＜0｝，则B=｛max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0｝=｛max(X，Y)＜0｝=．从而P(B)=．由全集分解式知：A=｛max(X，Y)≥0｝=｛max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0｝+｛max(X，Y)≥0，min(X，Y)≥0｝=C+｛X≥0，Y≥0｝，故P(C)=P(A)一P｛X≥0，Y≥0｝=． 知识模块：概率论与数理统计
4． = ________ ．
正确答案：e6
解析： 知识模块：微积分
5． 已知X，Y为随机变量且P{X≥0，Y≥0}=，P{X≥0}=P{Y≥0}=，设A={max(X，Y)≥0}，B={max(X，Y)＜0，min(x，Y)＜0}，C={max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}，则P(A)=________，P(B)=________，P(C)=________。
考研数学三(填空题)专项练习试卷10(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）专项练习试卷10 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． =__________
正确答案：
解析： 知识模块：微积分
2． 设A=，则(A+3E)一1(A2一9E)=________．
正确答案：
解析：(A+3E)一1(A2一9E)=(A+3E)一1(A+3E)(A一3E)=A一3E= 知识模块：线性代数
3． 交换积分次序：=________.
正确答案： 涉及知识点：多元函数微积分学
4． 设=_____________________。
正确答案：
解析：对已知函数进行恒等变形，即则有所以 知识模块：一元函数微分学
5． 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+ax2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2正定的充分必要条件为________．
正确答案：a≠1 涉及知识点：微积分
6． 曲线y=(x2+x)/(x2-1)渐近线的条数为________.
正确答案：2 涉及知识点：一元函数微分学
7． =__________。
正确答案：+C
解析：令x=tant，则dx=Sec2tdt，故 知识模块：一元函数积分学
8． 设随机变量X的概率密度为f(x)=(一∞＜x＜+∞)，则随机变量X的二阶原点矩为________．
正确答案：
解析：根据题意，即求E(X2)．首先对所给概率密度作变换：对于x(一∞＜x＜+∞)，有 知识模块：概率论与数理统计
9．
正确答案：(x2一1)+C，其中C为任意常数
解析： 知识模块：微积分
10． 抛物线y2=ax(a＞0)与x=1所围图形面积为则a=______．
正确答案：1
解析：y2=ax与x=1所围图形面积 知识模块：微积分
11． 曲线直线x=2及x轴所围的平面图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为______．
正确答案：
解析： 知识模块：一元函数积分学
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷22(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷22 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设X1，…，Xn为相互独立的随机变量，Sn=X1+…+Xn，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1，…Xn
A．有相同的数学期望；
B．有相同的方差；
C．服从同一指数分布；
D．服从同一离散型分布．
正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计
2． 设总体X～N(μ，σ2)．从中抽得简单样本X1，X2，…，Xn．记则Y1～χ2(n)，Y2～χ2(n-1)且
A．Y1、Y2均与独立．
B．Y1、Y2均与不独立．
C．Y1与独立，而Y2未必．
D．Y2与独立，而Y1未必．
正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计
填空题
3． 对随机变量X，Y，已知3X+5Y=11，则X和Y的相关系数为_____．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
4． 设总体X～N(μ，σ2)，从X中抽得容量为16的简单样本，S2为样本方差，则D(S2)=________．
正确答案：χ 涉及知识点：概率论与数理统计
5． 设X～F(n，n)，且P(|X|＜A)=0．3，则=______．(其中A为一常数)．
正确答案：0.7 涉及知识点：概率论与数理统计
6． 设X1，…，Xn是来自总体N(μ，σ2)的简单样本，其中μ、σ2均未知．记，则假设H0：μ=0的t检验使用的统计量t=______．
正确答案： 涉及知识点：概率论与数理统计
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7． 对随机变量X和Y，已知EX=3，EY=一2，DX=9，DY=2，E(XY)=一5．设U=2X—Y一4，求EU，DU．
正确答案：EU=2EX—EY-4=2×3+2—4=4，DU=D(2X—Y一4)=4DX+DY一4cov(X，Y)=4×9+2—4EE(XY)一EX.EY]=36+2—4(一5+3×2)=34． 涉及知识点：概率论与数理统计
考研数学二(概率论与数理统计)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷3 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 关于随机事件{X≤a，Y≤b}与{X＞a，Y＞b}，下列结论正确的是( )
A．为对立事件．
B．为互不相容事件．
C．为相互独立事件．
D．P{X≤a，Y≤b}＞P{X＞a，Y＞b}．
正确答案：B
解析：如图3—1所示，选项(A)、(D)都是不一定成立的．如果{X≤a，Y≤b}与{X＞a，Y＞b}相互独立，则应P{(X≤a，Y≤b)(X＞a，Y＞b)}=0，不一定与P{X≤a，Y≤b}P{X＞a，Y＞b}相等，故(C)不正确．综上，应选
B． 知识模块：概率论与数理统计
2． 设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(X，X)的分布函数G(x，y)为( )
A．F(x，y)．
B．F(y，x)．
C．F(一x，一y)．
D．F(一y，一x)．
正确答案：B
解析：G(x，y)=P{Y≤x，x≤y}=P{x≤y，Y≤x}=F(y，x)． 故应选
B． 知识模块：概率论与数理统计
3． 设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)=，则常数A和B的值依次为( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：C
解析：V(x，y)能够作为分布函数，则需满足 0≤F(x，y)≤1，F(+∞，+∞)=1，F(一∞，一∞)=F(x，一∞)=F(一∞，y)=0，关于x，y单调不减且右连续，故F(+∞，+∞)=Aπ(B+)=1，满足此条件的只有(C)． 知识模块：概率论与数理
统计
4． 设随机变量X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(x)，Z=X+Y，FZ(z)为Z的分布函数，则下列成立的是( )
A．FZ(2z)=2F(z)．
B．FZ(2z)=[r(z)2
C．FZ(2z)≤[F(z)]2．
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷45(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷45 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)＝EXEY，则X与Y
A．相关．
B．不相关．
C．独立．
D．不独立．
正确答案：B
解析：因E(XY)＝EXEY，故Cov(X，Y)＝E(XY)一EXEY＝0，X与Y不相关，应选(B)． 知识模块：概率论与数理统计
2． 将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于
A．一1．
B．0．
C．．
D．1．
正确答案：A
解析：依题意，Y＝n—X，故ρXY＝一1．应选(A)．一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足｜ρXY｜≤1．若Y＝aX＋b，则当a>0时，ρXY＝1，当a－arxcosX，即U＝一V＋，由于U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ＝－1.应选(A)． 知识模块：概率论与数理统计
5． 设随机变量X1，X2，…，Xn(n>1)独立同分布，且方差σ2>0，记，则X1一的相关系数为
A．一1．
B．0．
C．．
D．1．
正确答案：B
解析：由于Xi独立同分布，故DXi＝σ2，，Cov(X1，Xi)＝0(i≠1)，故应选(B)．(注：容易计算D(X1一) 知识模块：概率论与数理统计
6． 设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P{｜X—EX｜≥3｜≤，则一定有
A．DX＝2．
B．P｛｜X—EX｜＜3｝．
C．DX≠2．
D．P｛｜X—EX｜＜3｝≥．
正确答案：D
解析：因事件{｜X—EX｜，即选项(D)正确．进一步分析，满足不等式P{l｜X—EX｜≥3}≤的随机变量，其方差既可能不等于2，亦可以等于2，因此结论(A)与(C)都不能选．比如：X服从参数为P的0—1分布，DX＝pq}＝0．因此(A)不成立．若X服从参数n＝8，P＝0．5的二项分布，则有EX＝4，DX＝2．但是P{｜X—EX｜≥3}＝P{｜X一4｜≥3}P{X＝0}＋P{X＝1}＋P{X＝7}＋P{X＝8}＝．因比(B)也不成立． 知识模块：概率论与数理统计
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷60(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷60 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设随机变量X与Y的联合分布是二维正态分布，X与Y相互独立的充分必要条件是
A．E(X－Y)＝0．
B．D(X—Y)＝0．
C．E(X2－Y2)＝0．
D．E[X(Y－EY)]＝0．
正确答案：D
解析：(X，Y)服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是它们的相关系数ρXY＝0，而对任何两个随机变量X与Y，有 ρXY＝0cov(X，Y)＝0EXY＝EXEY． 而EXY＝EXEY又可以变形为EXY－EXEY＝E[X(Y－EY)]＝0，因此应选
D． 知识模块：概率论与数理统计
2． 设A1，A2是两个随机事件，随机变量Xi＝(i＝1，2)，已知X1与X2不相关，则
A．X1与X2不一定独立．
B．A1与A2一定独立．
C．A1与A2不一定独立．
D．A1与A2一定不独立．
正确答案：B
解析：EXi＝P()－P(Ai)＝1－2P(Ai)，i＝1，2， E(X1X2)＝P{X1＝－1，X2＝－1}－P{X1＝－1，X2＝1}－P{X1＝1，X2＝－1}＋P{X1＝1，X2＝1} ＝P(A1A2)－P(A1)－P(A2)＋P() ＝P(A1A2)－[P(A1)－P(A1A2)]－[P(A2)－P(A1A2)]＋1－P(A1)－P(A2)＋P(A1A2) ＝4P(A1A2)－2P(A1)－2P(A2)＋1，
EX1EX2＝[1－2P(A1)][1－2P(A2)]＝4P(A1)P(A2)－2P(A1)－2P(A2)＋1． 因X1与X2不相关，故E(X1X2)＝EX1EX2． P(A1A2)＝P(A1)P(A2)，即A1与A2相互独立，应选
B． 知识模块：概率论与数理统计
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷50(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷50 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 设A，B为任意两个不相容的事件且P(A)＞0，P(B)＞0，则下列结论正确的是( )．
A．
B．
C．P(AB)=P(A)P(B)
D．P(A—B)=P(A)
正确答案：D
解析：因为A，B不相容，所以P(AB)=0，又P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(A－B)=P(A)，选(D)． 知识模块：概率统计
2． 设X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，令P=P(X≤μ一4)，q=P(Y≥μ+5)，则( )．
A．p＞q
B．p＜q
C．p=q
D．p，q的大小由μ的取值确定
正确答案：C
解析： 知识模块：概率统计
3． 设X为随机变量，E(X)=μ，D(X)=σ2，则对任意常数C有( )．
A．E[(X—C)]2=E[(X一μ)]2
B．E[(X－C)]2≥E[(X—μ)]2
C．E[(X—C)]2=E(X2)一C2
D．E[(X－C)2]＜E[(X一μ)2]
正确答案：B
解析：E[(X-C)2]－E[(X-μ)2]=[E(X2)一2CE(X)+C2]一[E(X2)一2μE(X)+μ2]=C2+2E(X)[E(X)－C]一[E(X)]2=[C—E(X)]2≥0，选(B)． 知识模块：概率统计
4． 设随机变量X～F(m，n)，令P｛X＞Fα(m，n)｝=α(0＜α＜1)，若P(X＜k)=α，则k等于( )．
A．Fα(m，n)
B．F1－α(m，n)
C．
D．
正确答案：B
解析：根据左右分位点的定义，选(B)． 知识模块：概率统计
5． 若事件A1，A2，A3两两独立，则下列结论成立的是( )．
A．A1，A2，A3相互独立
B．两两独立
C．P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)
考研数学三(填空题)高频考点模拟试卷55(题后含答案及解析)
考研数学三（填空题）高频考点模拟试卷55 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1．
正确答案：
解析：应用等价无穷小因子代换。因为 知识模块：微积分
2． 在一长为l的线段上的随机掷两点，使这个线段分成三段，则这三段能构成三角形的概率为_______．
正确答案：
解析：如图1建立坐标系，题目中的线段即线段Ol(图中)，随机掷的两点坐标分别为X和Y，由题意知X与Y独立同分布，均服从区间(0，1)上的均匀分布，(X，Y)的概率密度为 所得到的3段线段长分别为min(X，Y)，｜X—Y｜，l－max(X，Y)，而(这3段能构成三角形}{这3段中任2段长度之和＞}{这3段中任一段长度都＜} 故P{这3段能构成三角形} ＝P{min(X，Y)＜，｜X－Y｜＜，l－max(X，Y)＜} ＝P{min(X，Y)＜，｜X－Y｜＜，l－max(X，Y)＜，X≥Y}＋P{min(X，Y)＜，｜X－Y｜＜，l－max(X，Y)＜，X＜Y} 其中G1与G2见图2中阴影部分． 知识模块：概率论与数理统计
3． 设f(x，y)满足＝2，f(x，0)＝1，f’y(x，0)＝x，则f(x，y)＝______．
正确答案：y2＋xy＋1
解析：由＝2y＋φ1(x)，因为f’y(x，0)＝x，所以φ1(x)＝x，即＝2y＋x， 再由＝2y＋x得f(x，y)＝y2＋xy＋φ2(x)，因为f(x，0)＝1，所以φ2(x)＝1，故f(x，y)＝y2＋xy＋1． 知识模块：微积分
4． 设z＝f(x，y)是由e2yz＋x＋y2＋z＝确定的函数，则＝______．
正确答案：
解析：将代入e2yz＋x＋y2＋z＝中得x＝0，e2yz＋x＋y2＋z＝两边求微分得2e2yz(zdy＋ydz)＋dx＋2ydy＋dz＝0，将x＝，y＝，z＝0代入得 知识模块：微积分
5． 已知X的概率密度f(x)=，aX+b～N(0，1)(a＞0)，则常数A=________，a=________，b=________。
考研数学三(解答题)高频考点模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三（解答题）高频考点模拟试卷3 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 已知y=y(x)由方程．
正确答案：方程两边对自变量x求导，得 涉及知识点：微积分
2． 设，求n及a的值．
正确答案：由此可知n=2，a=-2e2． 涉及知识点：函数、极限、连续
3． 已知矩阵A的伴随矩阵A*=diag(1，1，1，8)，且ABA-1=BA-1+3E，求B
正确答案：由题意可知A-1存在，A*=｜A｜A-1两端取行列式可得｜A*｜=｜A｜4｜A-1｜=｜A｜3， 因为A*=diag(1，1，1，8)，所以｜A｜=8，即｜A｜=2．由ABA-1=BA-1+3E移项并提取公因 式得，(A-E)BA-1=3E，右乘A得(A-E)B=3A，左乘A-1得(E-A-1)B=3E． 且由已求结果｜A｜=2，知 涉及知识点：矩阵
4． 求A的特征值．
正确答案：A+3E就是一个秩为1的矩阵了，于是A=A+3E一3E，就容易求特征值了．的秩为1，因此特征值为0，0，6．A的特征值为一3，一3，3． 涉及知识点：线性代数
5． 已知抛物线y=ax2+bx(其中a＜0，b＞0)在第一象限内与直线x+y=5相切，且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S，问当a，b为何值时，S最大?最大值是多少?
正确答案：由图1—5—3可知，抛物线与z轴交点的横坐标为x1=0 由直线x+y=5与抛物线y=ax2+bx相切可知，它们有唯一的交点，其坐标满足方程将方程①代入方程②得 ax2+(b+1)x一5=0．其判别式必等于零，即△=(b+1)2+20a=0， 因为，当0＜b＜3时，S’(b)＞0；当b＞3时，S’(b)＜0．所以，当b=3时，S(b)取极大值，即最大值．
解析：利用定积分求面积，容易得到其面积是a，b的函数S(a，b)，问题是如何求S(a，b)的最大值．因为抛物线与固定直线相切，所以a与b并非独立变量．利用相切的条件可求出它们之间的函数关系，于是将问题转化为一元函数求最值的问题． 知识模块：微积分
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷26(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷26 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 已知P(A)=p，P(B)=q，且A与B互斥，则A与B恰有一个发生的概率为( )
A．p+q．
B．1-p+q．
C．1+p-q．
D．p+q-2pq．
正确答案：A
解析：A与B恰有一个发生可以表示为，故其概率为，故P(AB)=0，因而
=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)=p+q，故选择A． 知识模块：概率论与数理统计
2． 设A，B相互独立，则下面说法错误的是( )
A．A与相互独立．
B．与B相互独立．
C．
D．A与B一定互斥．
正确答案：D
解析：由于A，B相互独立，因此A与相互独立，从而A、B、C都是正确的说法，故选
D． 知识模块：概率论与数理统计
3． 设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且0＜P(C)＜1，则在下列给定的四对事件中可能不相互独立的是( )
A．
B．
C．
D．
正确答案：B
解析：相互独立的随机事件A1，A2，…，Am中任何一部分事件，包括它们的和、差、积、逆等运算的结果必与其他一部分事件或它们的运算结果都是相互独立的．所以A、C、D三对事件必为相互独立的． 当P(C)＜1，P(AC)>O
时，如果独立，即AC与C也独立，则有 P(AC∩C)=P(AC)P(C)，P(AC)=P(AC∩C)=P(AC)P(C)． 因为P(AC)＞0，等式两边同除以P(AC)得P(C)=1，与题目已知条件矛盾．所以此时AC与C不独立，选
B． 知识模块：概率论与数理统计
4． 已知f1(x)，f2(x)均为随机变量的概率密度函数，则下列函数可以作为概率密度函数的是( )
A．f1(x)+f2(x)．
B．f1(x)f2(x)．