考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编16(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编16(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2007年] 设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X，Y的概率密度，则在Y=y的条件下X的条件密度fX|Y(x|y)为( )．A．fX(x)B．fY(y)C．fX(x)fY(y)D．fX(x)／fY(y)正确答案：A解析：解一仅(A)入选．因(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，故X与Y相互独立．设f(X，Y)为(X，Y)的联合概率密度，则f(X，Y)=fX(x)fY(y)．因Y服从正态分布，则对任意y有fY(y)＞0．故解二设(X，Y)服从二维正态分布N(μ1，μ2；σ12，σ22；ρ)，则概率密度为且X～N(μ1，σ12)，Y～N(μ2，σ22)，即又因X，Y不相关，则ρ=0，于是知识模块：概率论与数理统计2．[2009年] 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N(0，1)，Y的概率分布P(Y=0)=P(Y=1)=1／2．记FZ(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函数FZ(z)的间断点的个数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：又X，Y相互独立，故当z＜0时，当z≥0时，综上所述，所以FZ(z)只有一个间断点z=0．仅(B)入选．知识模块：概率论与数理统计3．[2012年] 设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0，1)内的均匀分布，则P{X2+Y2≤1}=( )．A．1／4B．1／2C．π／8D．π／4正确答案：D解析：由题设有因X与Y相互独立，故从而或知识模块：概率论与数理统计4．[2016年] 设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)=( )．A．6B．8C．14D．15正确答案：C解析：解一直接利用命题3．4．1．1(1)求之．由X～N(1，2)得到E(X)=1，D(X)=2；由Y～N(1，4)得到E(Y)=1，D(Y)=4．故D(XY)=D(X)D(Y)+[E(X)]2D(Y)+[E(Y)]2D(X)=2×4+12×4+12×2=14．仅(C)入选．解二利用方差和期望的性质求之．D(XY)=E(XY)2－[E(XY)]2=E(X2Y2)=[E(XY)]2因X，Y相互独立，则E(X2Y2)=E(X2)E(Y2)，而E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3，E(Y2)=D(Y)+[E(Y)]2=1+4=5，即E(X2Y2)=15，又E(XY)=E(X)E(Y)=1×1=1，故D(XY)=E(X2Y2)－[E(XY)]2=15－1=14．仅(C)入选．注：命题3．4．1．1 (1)设随机变量X，Y相互独立，则D(XY)=D(X)D(Y)+[E(X)]2D(Y)+[E(Y)]2D(X)≥D(X)D(Y)；知识模块：概率论与数理统计5．[2008年] 设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则( )．A．P(Y=－2X－1)=1B．P(Y=2X－1)=1C．P(Y=－2X+1)=1D．P(Y=2X+1)=1正确答案：D解析：解一因X～N(0，1)，Y～N(1，4)，故E(X)=0，D(X)=1，E(Y)=1，D(Y)=4．于是有又由ρXY=P(Y=aX+b)=1及命题3．4．2．3(4)得a＞0，故a=2．于是a=2,b=1．仅(D)入选．解二设Y=aX+b(a≠0)．由ρXY=1得a／|a|=1，因而a＞0．排除(A)、(C)．又因E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a·0+b=b=1．排除(B)．仅(D)入选．注：命题3．4．2．3 相关系数的常用性质有(4)当Y 与X有线性关系Y=aX+b(a≠0，b为常数)时，则X和Y的相关系数ρXY=a／|a|．因而当a＞0时，ρXY=1；当a＜0时，ρXY=－1；知识模块：概率论与数理统计6．[2002年] 设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则( )．A．X+Y服从正态分布B．X2+Y2服从χ2分布C．X2和Y2都服从χ2分布D．X2／Y2服从F分布正确答案：C解析：解一因X～N(0，1)，Y～N(0，1)，故X2～χ2(1)，Y2～χ2(1)．仅(C)入选．解二由于(X，Y)的联合分布是否为二维正态分布未知，又不知道X与Y是否相互独立，因而不能确定X+Y服从正态分布．(A)不对．因X与Y是否独立未知，故X2+Y2是否相互独立也未知，所以也不能确定X2+Y2服从χ2分布，也不能确定X2／Y2服从F分布．(B)、(D)也不对．仅(C)入选．知识模块：概率论与数理统计填空题7．[2015年]设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(1，0；1，1；0)，则P{XY－Y＜0)=___________．正确答案：解析：因(X，Y)～N(1，1；0，1；0)，ρ=0，由命题(3．3．5．1(4))知，X，Y相互独立，则P{XY－Y＜0}=P{(X－1)Y＜0} =P{X－1＜0，Y＞0}+P{X －1＞0，Y＜0} =P{X＜1}P{Y＞0}+P{X＞1}P{Y＜0}．因X～N(1，1)，故P{X＜1)=P{X＞1}=因Y～N(0，1)，故所以注：命题3．3．5．1 (4)若X与Y相互独立，则X与Y一定不相关，但反之不成立．只有当X与Y的联合分布为正态分布时，X与Y相互独立与Y不相关ρXY=0．知识模块：概率论与数理统计8．[2005年] 设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则a=__________，b=___________．正确答案：a=0．4，b=0．1解析：解一由知，a+b=0．5．又由事件{X=0)与{X+Y=1}相互独立，有P(X=0，X+Y=1)=P(X=0)P(X+Y=1)，而P(X=0，X+Y=1)=P(X=0，Y=1)=a，P(X=0)=a+0．4，P(X+Y=1)=P(X=0，Y=1)+P(X=1，Y=0)=a+b，故a=(a+0．4)(a+b)=(a+0．4)×0．5．①所以a=0．4，从而b=0．5－a=0．1．解二由解一知a+b=0．5．又由命题3．3．5．2知，秩于是即ab=0．04=0．1×0．4．解二次方程x2－0．5x+0．1×0．4=0，即解(x－0．1)(x－0．4)=0，得x1=0．1，x2=0．4．因而a=0．1或0．4，b=0．4或0．1．为满足独立性，式①应成立．当a=0．1，b=0．4时，式①不成立；当a=0．4，b=0．1时，式①成立．故所求的常数为a=0．4，b=0．1．注：命题3．3．5．2 X与Y相互独立的充分必要条件是联合概率矩阵的秩等于1，这里联合概率矩阵是指由x与y的联合分布律中的概率元素依次所组成的矩阵．知识模块：概率论与数理统计9．[2013年] 设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，则E(Xe2x)=_________．正确答案：2e2解析：解一因X～N(0，1)，故则解二对式①作变量代换x－2=t，则知识模块：概率论与数理统计10．[2011年] 设二维随机变量(X，Y)服从N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)=_____________．正确答案：μ(σ2+μ2)解析：N(X，Y)服从二维正态分布，且其相关系数ρ=0，由命题3．3．5．1(4)知X，Y相互独立．由题设知E(X)=μ，E(Y2)=D(y)+[E(y)]2=σ2+μ2，故E(XY2)=E(X)E(Y2)=μ(σ2+μ2)．注：命题3．3．5．1 (4)若X与Y相互独立，则X与Y一定不相关，但反之不成立．只有当X与Y的联合分布为正态分布时，X与Y相互独立与Y不相关ρXY=0．知识模块：概率论与数理统计11．[2002年] 设随机变量X和y的联合概率分布为则X2和Y2的协方差cov(X2，Y2)=___________．正确答案：－0．02解析：解一由cov(X2，Y2)=E(X2Y2)－E(X2)E(Y2)知，需先求出X2，Y2及X2Y2的分布，然后再求其期望值．可用同一表格法一并解决．A则故E(X2)=0．6，E(Y2)=0．5，E(X2Y2)=0．28，因而cov(X2，Y2)=E(X2Y2)－E(X2)E(Y2)=0．28－0．6×0．5=－0．02．解二利用下述公式求之．设X 的分布律为P(X=xi)=pi(i=1，2，…)，则X的函数g(X)的期望若(X，Y)的联合分布律为P(X=xi，Y=yj)=pij(i，j=1，2，…)，N(X，Y)的函数g(X，Y)的期望由式(3．4．2．1)得到于是不用求出X2Y2的分布，直接由定义求得，即E(X2Y2)=02×(－1)2×0．07+02×02×0．18+02×12×0．15+12×(－1)2×0．08+12×02×0．32+12×12×0．20=0．28．又由联合分布律易求得边缘分布律为由式(3．4．1．1)有E(X2)=02×0．4+12×0．6=0．6，E(Y2)=02×0．5+12×0．5=0．5．故cov(X2，Y2)=E(X2Y2)－E(X2)E(Y2)=0．28－0．6×0．5=－0．02．注：公式知识模块：概率论与数理统计12．[2003年] 设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=X－0．4，则Y和Z的相关系数为_________．正确答案：0．9解析：解一由Z=X－0．4得到D(Z)=D(X－0．4)=D(X)．解二直接利用公式cov(aX+b，cY+d)=accov(X，Y)(a，b，c，d为常数)，得到解三因Z=X－0．4，故D(Z)=D(X－0．4)=D(X)，且E(Z)=E(X－0．4)=E(X)－0．4，所以cov(Y，Z)=E(YZ)－E(Y)E(Z)=E[Y(X－0．4)]－E(Y)E(X－0．4) =E(XY)－0．4E(Y)－E(Y)[E(X)－0．4] =E(XY)－0．4E(Y)－E(X)E(Y)+0．4E(Y) =E(XY)－E(X)E(Y)=cov(X，Y)．因而知识模块：概率论与数理统计13．[2001年] 设随机变量X和Y的数学期望分别为－2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0．5，则根据切比雪夫不等式P(|X+Y|≥6)≤_________．正确答案：1／12解析：由题设有D(X)=1，D(Y)=4．且ρXY=－0．5，E(X)=2，E(Y)=－2，则注意到E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0，由切比雪夫不等式得到P(|X+Y|≥6)=P(|X+Y－0|≥6)=P|X+Y－E(X+Y)|≥6≤D(X+Y)／62，所以P(|X+Y|≥6)≤D(X+Y)／62=3／36=1／12．知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编15(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2002年] 设X1和X2是两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和．f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则( )．A．f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度B．F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数C．F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数D．f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度正确答案：B解析：解一由命题3．2．1．2知，仅(B)入选．解二F1(x)F2(x)=P(X1≤x)P(X2≤x)=P(X1≤x，X2≤x)．取X=max{X1，X2)，并由于P(X1≤x，X2≤x)=P(max{X1，X2)≤x)，则由定义可知，F1(x)F2(x)必为随机变量X=max{X1，X2}的分布函数．仅(B)入选．解三因故(A)不正确．又故(C)错误．取Xi在区间[0，2]上服从均匀分布，则于是有因而(D)也不成立．仅(B)入选．注：命题3．2．1．2 若F1(x)，F2(x)，…，Fn(x)分别是随机变量X1，X2，…，Xn的分布函数，则也是分布函数，且是随机变量max{X1，X2，…，X2)的分布函数．知识模块：概率论与数理统计2．[2011年] 设F1(x)与F2(x)为两个分布函数，其相应的概率密度f1(x)与f2(x)是连续函数，则必为概率密度的是( )．A．f1(x)f2(x)B．2f2(x)F1(x)C．f1(x)F2(x)D．f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)正确答案：D解析：解一因f1(x)，f2(x)，F1(x)，F2(x)分别为随机变量的密度函数与分布函数，故f1(x)≥0，f2(x)≥0，0≤F1(x)≤1，0≤F2(x)≤1，所以f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)≥0．而故f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)为概率密度．仅(D)入选．解二由题设有则f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)=F1’(x)F2(x)+F1(x)F2’(x)=(F1(x)F2(x))’．因F1(x)F2(x)为随机变量max{X1，X2)的分布函数(见命题3．2．1．2)，故其导数f1(x)F2(x)+f2(x)F1(x)必为随机变量max{X1，X2}的概率密度．仅(D)入选．注：命题3．2．1．2 若F1(x)，F2(x)，…，Fn(x)分别是随机变量X1，X2，…，Xn的分布函数，则也是分布函数，且是随机变量max{X1，X2，…，X2)的分布函数．知识模块：概率论与数理统计3．[2018年] 设随机变量X的概率密度f(x)满足f(1+x)=f(1－x)，且则P{X ≤0}=( ).A．0．2B．0．3C．0.4D．0.5正确答案：A解析：因为f(1+x)=f(1－x)，所以f(x)的图形关于x=1对称，因此P(x≤0)=P(x≥2)．又因为所以P(x≤0)+P(x≥2)=2P(x≤0)=1－0．6=0．4，从而P(x≤0)=0．2，故选(A)．知识模块：概率论与数理统计4．[2010年] 设随机变量X的分布函数则P(X=1)=( )．A．0B．1／2C．1／2－e-1D．1－e－1正确答案：C解析：因P(X=1)=P(X≤1)－P(X＜1)=F(1)－F(1－0)，而故P(X=1)=1－e－1－1／2=1／2－e-1．仅(C)入选．知识模块：概率论与数理统计5．[2013年] 设X1，X2，X3是随机变量，且X1～N(0，1)，X2～N(0，22)，X3～N(5，32)，pi=P{－2≤Xi≤2)(i=1，2，3)，则( )．A．p1＞p2＞p3B．p2＞p1＞p3。
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)真题完整版(含答案及解析)
2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x →时，230(1)x t e dt −⎰是7x 的（ ）A.低阶无穷小B.等价无穷小C.高阶无穷小D.同阶但非等价无穷小【答案】C【解析】当0x →时，23670(1)2(1)~2x t x e dt x e x '⎡⎤−=−⎢⎥⎣⎦⎰，即230(1)x t e dt −⎰是7x 的高阶无穷小. 故选C.（2）函数10()1,0x e x f x x x ⎧−≠⎪=⎨⎪=⎩，，在0x =处（ ）A.连续且取极大值B.连续且取极小值C.可导且导数为0D.可导且导数不为0【答案】D.【解析】因为001lim ()lim 1(0)x x x e f x f x →→−===，即()f x 在0x =连续；因为200011()(0)11lim lim lim 002x x x x x e f x f e x x x x x→→→−−−−−===−−，即1(0)2f '=. 故选D.（3）设函数()ln (0)f x ax b x a =−>有2个零点，则ba的取值范围是（ ） A.(,)e +∞ B.(0,)eC.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】A.【解析】令()0b f x a x '=−=得，b x a=. ln 0b b f b b a a ⎛⎫=−< ⎪⎝⎭，则ln 1b a >，即b e a >，故选A.（4）设函数(,)f x y 可微，且2(1,)(1)x f x e x x +=+，22(,)2ln f x x x x =，则(1,1)df =（ ） A.dx dy + B.dx dy − C.dy D.dy −【答案】C.【解析】等式2(1,)(1)x f x e x x +=+两端同时对x 求导可得212(1,)(1,)(1)2(1)x x x f x e e f x e x x x ''+++=+++①等式22(,)2ln f x x x x =两端同时对x 求导可得2212(,)2(,)4ln 2f x x xf x x x x x ''+=+②分别将0,1,0,1x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩代入①②可得1212(1,1)(1,1)1,(1,1)2(1,1)2f f f f ''''+=+=. 联立可得1212(1,1)0,(1,1)1,(1,1)(1,1)(1,1)f f df f dx f dy dy ''''===+=. 故选C.（5）二次型222123122331(,,)()()()f x x x x x x x x x =+++−−的正惯性指数与负惯性指数依次为（ ） A.2,0B.1,1C.2,1D.1,2【答案】B.【解析】22221231223312122313(,,)()()()2222f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++−−=+++， 即011121110⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，故令特征多项式11121(1)(3)011λλλλλλλ−−⎛⎫ ⎪−=−−−=+−= ⎪ ⎪−−⎝⎭|E A |，可得特征值为0,1,3−，即二次型的正惯性指数为1，负惯性指数为1. 故选B.（6）设1234(,,,)αααα为4阶正交矩阵，若矩阵123T T T ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ααα，111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β，k 表示任意常数，则线性方程组=Bx β的通解=X （ ） A.2341k +++αααα B.1342k +++αααα C.1243k +++ααααD.1234k +++αααα【答案】D.【解析】因为1234(,,,)=A αααα为4阶正交矩阵，所以向量组1234,,,αααα是一组标准正交向量组，则()3r =B . 又14243T T T ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭0B ααααα，所以齐次线性方程组=0Bx 的通解为4k α.而1123212331()()11T T T ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++=++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ααααααααβα，故线性方程组=Bx β的通解为1234k =+++x αααα，其中k 为任意常数. 故选D.（7）已知矩阵101211125−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭A ，若下三角可逆矩阵P 和上三角可逆矩阵Q ，使PAQ 为对角矩阵，则,P Q 可以分别为（ ） A.100101010,013001001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.100100210,010321001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭ C.100101210,013321001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭D.100123010,012131001−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C.【解析】101100101100(,)211010013210125001026101−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−→−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭A E101100013210(,)000321−⎛⎫ ⎪→−−= ⎪ ⎪−⎝⎭F P ，则100210321⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭P . 101100013010000000100101010013001001−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭F E Q Λ，即101013001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q . 故选C.（8）设,A B 为随机事件，且0()1P B <<，下列命题中为假命题的是（ ） A.若(|)()P A B P A =，则(|)()P A B P A = B.若(|)()P A B P A >，则(|)()P A B P A > C.若(|)(|)P A B P A B >，则(|)()P A B P A > D.若(|)(|)P A A B P A A B >，则()()P A P B > 【答案】D.【解析】(())()(|)()()()()P A A B P A P A A B P A B P A P B P AB ==+−，(())()()()(|)()()()()()P A A B P AB P B P AB P A A B P A B P A B P A P B P AB −===+−.因为(|)(|)P A A B P A A B >，所以()()()P A P B P AB >−，故选D. （9）设1122(,),(,),,(,)n n X Y X Y X Y 为来自总体221212(,;,;)N μμσσρ的简单随机样本，令12θμμ=−，11n i i X X n ==∑，11ni i Y Y n ==∑，ˆX Y θ=−，则（ ） A.2212ˆˆ(),()E D n σσθθθ+==B.2212122ˆˆ(),()E D n σσρσσθθθ+−==C.2212ˆˆ(),()E D nσσθθθ+≠=D.2212122ˆˆ(),()E D nσσρσσθθθ+−≠=【答案】B.【解析】因为(,)X Y 服从二维正态分布，所以,X Y 均服从二维正态分布，则 X Y −也服从二维正态分布，即12221212ˆ()()()(),2ˆ()()()()cov(,).E E X Y E X E Y D D X Y D X D Y X Y nθμμθσσρσσθ=−=−=−=+−=−=+−= 故选B.（10）设总体X 的概率分布为11{1},{2}{3}24P X P X P X θθ−+======，利用来自总体的样本值1,3,2,2,1,3,1,2可得θ的最大似然估计值为（ ） A.14B.38C.12D.52【答案】A.【解析】似然函数3511()24L θθθ−+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,取对数得11ln ()3ln 5ln 24L θθθ−+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 求导得ln ()315011d L d θθθθ=+=−+，即14θ=.故选A.二、填空题：11-16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上. （11）若cose y =1=.x dy dx=【答案】1sin 2e e【解析】11sinsin 2x dydy e e e dxdx e −⎛=−= ⎝.（12）5.=【答案】6.【解析】2235353311622−+==⎰⎰. （13）设平面区域D由(01)y x x π=≤≤与x 轴围成，则D 绕x 轴旋转所围成的旋转体体积为 . 【答案】4π.【解析】112220001)sin sin 24xx t V x dx x xdx tdt ππππππ======⎰⎰⎰.（14）t y t ∆=的通解为t y = .【答案】*21122y y y t t C =+=−+，C 为任意常数.【解析】*1,(),(1)((1))(1),2y C y at b t a t b t at t ==++++−+=112,,,22at a b t a b ++===−*21122y y y t t C =+=−+，C 为任意常数.（15）多项式12121()211211x x x xf x x x−=−中3x 项的系数为 . 【答案】5−. 【解析】12211211112121()1121211211211112131211211x x xx x x xf x x x x x x x x x x x x−−−−==−−−−−−−. 所以展开式中含3x 项的有33,4x x −−，即3x 项的系数为5−.（16）甲乙两个盒子中各装有2个红球和2个白球，先从甲盒中任取一球，观察颜色后放入乙盒中，再从乙盒中任取一球.令,X Y 分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数，则X 和Y 的相关系数为 .【答案】15.【解析】联合分布律：(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)0101(,)~,~~311311111055102222X Y X Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1111cov(,),,, 20445x X Y DX DY γρ====即. 三、解答题：17—22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）已知101lim[arctan (1||)]x x x xα→++存在，求α的值.【答案】11()e eαπ=−. 【解析】要想极限存在，则左右极限相等，又因为101lim arctan (1||)2x x x e x παα+→⎡⎤++=+⎢⎥⎣⎦. 1011lim arctan (1||)2x x x x e παα−→⎡⎤++=−+⎢⎥⎣⎦，从而122e e ππαα+=−+，11e e απ⎛⎫=− ⎪⎝⎭. （18）（本题满分12分）求函数222(1)(,)2ln ||2x y f x y x x −+=+的极值.【答案】(1,0)−处取极小值2；1(,0)2处取极小值12ln 22−.【解析】2232210,0,x y x x y f x y f x ⎧+−−'==⎪⎪⎨⎪'==⎪⎩即22210,0.x x y y ⎧+−−=⎨=⎩得驻点(1,0)−，1(,0)2.22432(41)3(21),2,1.xx xyyy x x x x y f x y f x f x ⎧+−+−−''=⎪⎪−⎪''=⎨⎪⎪''=⎪⎩驻点(1,0)−处23,?0,1,30,0A B C AC B A ===−=>>， 故(, )f x y 在(1,0)−处取极小值2.驻点1(,0)2处224,0,4,30,0A B C AC B A ===−=>>， 故(, )f x y 在1(,0)2处取极小值12ln 22−. （19）（本题满分12分）设有界区域D 是圆221x y +=和直线y x =以及x 轴在第一象限围成的部分，计算二重积分2()22()x y De x y dxdy +−⎰⎰. 【答案】2111848e e −+.【解析】2221()22(cos sin )224001()cos22x y r Dex y d d e r dr πθθσθθ++−=⎰⎰⎰⎰221(cos sin )224001cos22r d e r dr πθθθθ+=⎰⎰21(cos sin )40cos2u d e udu πθθθθ+=⎰⎰.2211(cos sin )2(cos sin )2401(cos sin )(cos sin )(cos sin )u u ue du ue du θθθθθθθθθθ++=+++⎰⎰2(cos sin )41(cos sin )t te dt θθθθ+=+⎰22(cos sin )(cos sin )24111(cos sin )(cos sin )e e θθθθθθθθ++⎡⎤=−−⎣⎦++.。
考研数学三(微积分)模拟试卷16(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷16(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．曲线的渐近线有( )．A．1条B．2条C．3条D．4条正确答案：B解析：由为水平渐近线，显然该曲线没有斜渐近线，又因为x→1及x→一2时，函数值不趋于无穷大，故共有两条渐近线，应选B．知识模块：微积分2．函数f(x)=x3一3x+k只有一个零点，则k的范围为( )．A．｜k｜＜1B．｜k｜＞1C．｜k｜＞2D．k＜2正确答案：C解析：，令f’(x)=3x2一3=0，得x=±1，f”(x)=6x，由f”(一1)=一6＜0，得x=一1为函数的极大值点，极大值为f(—1)=2+k，由f”(1)=6＞0，得x=1为函数的极小值点，极小值为f(1)=一2+k，因为f(x)=x3一3x+k只有一个零点，所以2+k＜0或一2+k＞0，故｜k｜＞2，选C．知识模块：微积分3．设f(x)在x=0的邻域内有定义，f(0)=1，且，则f(x)在x=0处( )．A．可导，且f’(0)=0B．可导，且f’(0)=一1．C．可导，且f’(0)=2D．不可导正确答案：B解析：知识模块：微积分4．设，则在x=a处( )．A．f(x)在x=a处可导且f’(a)≠0B．f(a)为f(x)的极大值C．f(a)不是f(x)的极值D．f(x)在x=a处不可导正确答案：B解析：由，根据极限的保号性，存在δ＞0，当0＜｜x—a｜＜δ时，有＜0，从而有f(x)＜f(a)，于是f(a)为f(x)的极大值，选B．知识模块：微积分5．设函数f(x)在｜x｜＜δ内有定义且｜(x)｜≤x2，则f(x)在x=0处( )．A．不连续B．连续但不可微C．可微且f’(0)=0D．可微但f’(0)≠0正确答案：C解析：知识模块：微积分6．设f(x)=，其中g(x)为有界函数，则f(x)在x=0处( )．A．极限不存在B．极限存在，但不连续C．连续，但不可导D．可导正确答案：D解析：因为f’+(0)=f’—(0)=0，所以f(x)在x=0处可导，应选D．知识模块：微积分填空题7．设y=x5+5x一tan(x2+1)，则y’=__________．正确答案：5x4+5xln5—2xsec2(x2+1)．解析：y’=5x4+5xln5—2xsec2(x2+1)．知识模块：微积分8．y=，则y’=__________．正确答案：解析：知识模块：微积分9．f(sinx)=cos2x+3x+2，则f’(x)=__________．正确答案：解析：由f(sinx)=cos2x+3x+2，得f(sinx)=1—2sin2x+3x+2，f(x)—1—2x2+3arcsinx+2，f’(x)=一4x+．知识模块：微积分10．y=，则y’=__________．正确答案：解析：知识模块：微积分11．xy=yx，则y’=__________．正确答案：解析：由xy=yx，得ylnx=xlny，两边求导数得知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
历年考研数学三真题及答案解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221x xyx渐近线的条数为（）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（2）设函数2()(1)(2)x x nxf x e e e n…（-），其中n为正整数，则(0)f=（）（A）1(1)(1)!nn（B）(1)(1)!nn（C）1(1)!nn（D）(1)!nn（3）设函数()f t连续，则二次积分22202cos()d f r rdr=（）（A）2224222202()xx xdx x y f x y dy（B）22242202()xx xdx f x y dy（C）2222220214()2xdx x y f x y dyx x（D）22220214()2xdx f x y dyx x（4）已知级数11 (1)sinni nn绝对收敛，21(1)nin条件收敛，则范围为（）（A）0<12（B）12< 1（C）1<32（D）32<<2（5）设12341234110,1,1,1c c c c 其中1234c c c c ，，，为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A ）123，，（B ）124，，（C ）134，，（D ）234，，（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且P-1AP=112，123=P （，，），1223=Q （+，，）则1=QAQ （）（A ）121（B ）112（C ）212（D ）221（7）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从区间（0，1）上的均匀分布，则+22｛1｝（）（A ）14（B ）12（C ）8（D ）4（8）设1234X X X X ，，，为来自总体N 2（1，）（0）的简单随机样本，则统计量1234|+-2|X X X X 的分布（）（A ）N （0，1）（B ）(1)t （C ）2(1)（D ）(1,1)F 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）1cossin 4lim (tan )x xxx（10）设函数ln ,1(),(()),21,1x dy x x f x yf f x dx xx求___________.（11）函数(,)zf x y 满足2201(,)22lim0,(1)x yf x y x y xy则(0,1)dz_______.（12）由曲线4yx和直线yx 及4y x 在第一象限中所围图形的面积为_______.（13）设A 为3阶矩阵，|A|=3，A*为A 的伴随矩阵，若交换A 的第一行与第二行得到矩阵B ，则|BA*|=________.（14）设A,B,C是随机事件，A,C互不相容，11(),(),23P AB P C 则C P （）=_________.解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）计算222cos 4limxxxee x（16）（本题满分10分）计算二重积分xDe xydxdy，其中D 为由曲线1yx yx与所围区域.（17）（本题满分10分）某企业为生产甲、乙两种型号的产品，投入的固定成本为10000（万元），设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别为x(件)和y(件)，且固定两种产品的边际成本分别为20+2x（万元/件）与6+y （万元/件）.1）求生产甲乙两种产品的总成本函数(,)C x y （万元）2）当总产量为50件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本.3）求总产量为50件时且总成本最小时甲产品的边际成本，并解释其经济意义.（18）（本题满分10分）证明：21ln cos1,1 1.12x xx x xx（19）（本题满分10分）已知函数()f x满足方程()()2()0f x f x f x及()()2x f x f x e1）求表达式() f x2）求曲线的拐点22()()xy f x f t dt（20）（本题满分10分）设1001010100100010aaA baa，（I）求|A|（II）已知线性方程组Ax b有无穷多解，求a，并求Ax b的通解.(21)（本题满分10分）已知1010111001Aaa，二次型123(,,)()f x x x x x的秩为2，求实数a的值；求正交变换x=Qy将f化为标准型.（22）（本题满分10分）已知随机变量X,Y 以及XY 的分布律如下表所示：X12P121316Y 0 1 2P131313XY 0 1 2 4P71213112求（1）P(X=2Y); （2）cov(,)XY X Y Y 与.（23）（本题满分10分）设随机变量X和Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，m in(,),=m ax(,).V X Y U X Y 求（1）随机变量V 的概率密度；（2）()E UV .2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷66(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷66(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X的分布函数F(x)=，则F{X=1}=A．0．B．．C．一e-1．D．1一e-1．正确答案：C解析：由P{X=x}=F(x)一F(x一0)，可知P{X=1}=F(1)一F(1一0)=1—e-1一一e-1．故应选C．知识模块：概率论与数理统计2．设离散型随机变量X的概率分布为P{X=i}=cpi，i=1，2，…，其中c ＞0是常数，则A．p=．B．p=．C．p=c+1．D．0＜p＜1的任意实数．正确答案：B解析：排除法：若0＜c＜1，则p=＜0，A不对．因p=c+1＞1，故C不对．若c=1，p==2≠1，D不对．所以选B．知识模块：概率论与数理统计3．假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X，2}的分布函数A．是连续函数．B．至少有两个间断点．C．是阶梯函数．D．恰好有一个间断点．正确答案：D解析：由于Y=min{X，2}=所以Y的分布函数为计算得知FY(y)只在y=2处有一个间断点，应选D．知识模块：概率论与数理统计4．设f(x)是连续型随机变量X的概率密度，则f(x)一定是A．可积函数．B．单调函数．C．连续函数．D．可导函数．正确答案：A解析：根据概率密度的定义，f(x)满足对任何实数x，F(x)=P(X≤x}=∫-∞0f(t)dt，因此f(x)一定是可积函数，但是f(x)可以是分段函数，比如：[a，b]上的均匀分布随机变量X属连续型，而其概率密度f(x)在(一∞，+∞)内不是单调函数，且在x=a，b两点不连续，当然亦不可导，因此不能选B、C、D，应选A．知识模块：概率论与数理统计5．设随机变量X的概率分布为P{X=k}=，k=0，1，2，…，则常数a= A．B．C．D．正确答案：B解析：由泊松分布知，P{X=k}=．当a(e+1)=1即a=时，X～P(1)，故应选B．知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则随σ的增大，概率P{｜X 一μ｜＜σ}应该A．单调增大．B．单调减少．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C解析：若X～N(μ，σ2)，则～N(0，1)，因此P{｜X～μ＜σ}=P{｜｜=Ф(一1)=1一Ф(1)，p2=P{Y≥μ+5}=1—P{Y＜μ+5}=1一=1一Ф(1)，计算得知p1=p2，应选A．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X的密度函数为fX(x)，Y=一2X+3，则Y的密度函数为A．B．C．D．正确答案：B解析：y=—2x+3是x的单调可导函数，其反函数x=h(y)=，根据随机变量函数的公式(2．16)，应选B．知识模块：概率论与数理统计9．设F1(x)与F2(x)分别是随机变量X1与X2的分布函数，为使F(x)=aF1(x)一bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取A．B．C．D．正确答案：A解析：对任何x，为保证F(x)≥a，a与一b均应大于0，又F(+∞)=aF1(+∞)一bF2(+∞)=a一b=1，应选A．知识模块：概率论与数理统计填空题10．设离散型随机变量X的概率函数为P{X=i}=pi+1，i=0，1，则p=___________．正确答案：解析：由于P{X=0}+P{X=1}=p+p2=1，所以p2+p一1=0．解得不合题意，舍去)．知识模块：概率论与数理统计11．设离散型随机变量X的分布函数F(x)=则随机变量｜X｜的分布函数为___________．正确答案：解析：由于分布函数F(x)只在x=一1，0，1处有3个间断点，因此离散型随机变量X与｜X｜的概率分布分别为｜X｜的分布函数F｜X｜(x)为知识模块：概率论与数理统计12．假设X是在区间(0，1)内取值的连续型随机变量，而Y=1—X．已知P{X≤0．29}=0．75，则满足P{Y≤k}=0．25的常数k=___________．正确答案：0．71解析：由于P{Y≤k}}=P{1一X≤k}}=P{X≥1一k}=1一P{X＜1一k}=0．25，可见P{X＜1一k}=1—0．25=0．75．由P{X≤0．29}=0．75，得1一k=0．29，k=0．71．知识模块：概率论与数理统计13．设f(x)=(一∞＜x＜∞)是一概率密度，则k=___________．正确答案：解析：将f(x)=作变换，得将其与正态分布N(1，1／2)的密度比较，可得知识模块：概率论与数理统计14．设随机变量X的概率密度为f(x)=若k满足概率等式P{X≥k}=，则k 的取值范围是___________．正确答案：[1，3]解析：当x＜0时，P{X＜x}=0，P{X≥x}=1；当x＞6时，P{X＜x}=1，P{X≥x}=0．因此满足P｜X≥k}=的k的取值范围是[1，3]．知识模块：概率论与数理统计15．设随机变量X服从正态分布N(μ，1)，已知P{X≤3}=0．975，则P{X ≤一0．92}=___________．正确答案：0．025解析：由P{X≤3}==Ф(3一μ)=0．975，可知3一μ=1．96，μ=1．04．于是P{X≤一0．92}=Ф(一0．92一μ)=Ф(一1．96)=0．025．知识模块：概率论与数理统计16．设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)(σ＞0)，且二次方程y2+4y+X=0无实根的概率为0．5，则μ=___________．正确答案：4解析：设事件A表示方程y2+4y+X=0无实根，依题意P(A)=e{16—4X ＜0}=P{X＞4}=1一=0．5，即=0．5，可知4一μ=0，μ=4．知识模块：概率论与数理统计17．设F(x)是连续型随机变量X的分布函数，常数a＞0，则∫-∞+∞[F(x+a)一F(x)]dz=___________．正确答案：a解析：∫-∞+∞[F(x+a)一F(x)]dx=∫-∞+∞[∫xx+af(y)dy]dx ∫-∞+∞[f(y)∫y—aydx]dy=∫-∞+∞af(y)dy=a．知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(87年)若二事件A和B同时出现的概率P(AB)＝0，则【】A．A和B不相容(互斥)．B．AB是不可能事件．C．AB未必是不可能事件．D．P(A)＝0或P(B)＝0．正确答案：C解析：由P(AB)＝0不能推出AB＝的结论，故A、B均排除．而D明显不对，应选C．知识模块：概率论与数理统计2．(89年)以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为：【】A．“甲种产品滞销，乙种产品畅销”．B．“甲、乙两种产品均畅销”．C．“甲种产品滞销”．D．“甲种产品滞销或乙种产品畅销”．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计3．(90年)议A、B为随机事件，且BA，则下列式子正确的是【】A．P(A＋B)＝P(A)．B．P(AB)＝P(A)．C．P(B｜A)＝P(B)．D．P(B－A)＝P(B)－P(A)．正确答案：A解析：∵AB，∴A＋B＝A，故选A．知识模块：概率论与数理统计4．(91年)设A和B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：【】A．不相容．B．相容．C．P(AB)＝P(A)P(B)．D．P(A－B)＝P(A)．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计5．(92年)设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则【】A．P(C)≤P(A)＋P(B)－1．B．P(C)≥P(A)＋P(B)－1．C．P(C)＝P(AB)．D．P(C)＝P(A∪B)．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计6．(93年)设两事件A与B满足P(B｜A)＝1，则【】A．A是必然事件．B．P(B｜)＝0C．AB．D．AB．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计7．(94年)设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A｜B)＋P()＝1，则事件A和B 【】A．互不相容．B．互相对立．C．不独立．D．独立．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计8．(96年)已知0＜P(B)＜1，且P[(A1＋A2)｜B]＝P(A1｜B)＋P(A2｜B)，则下列选项成立的是【】A．P[(A1＋A2)｜]＝P(A1｜)＋P(A2｜)B．P(A1B＋A2B)＝P(A1B)＋P(A2B)C．P(A1＋A2)＝P(A1｜B)＋P(A2｜B)D．P(B)＝P(A1)P(B｜A1)＋P(A2)P(B｜A2)正确答案：B解析：由已知得，化简得B项正确．知识模块：概率论与数理统计9．(00年)在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电．以E 表示事件“电炉断电”，而T(1)≤T(2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于【】A．{T(1)≥t0}B．{T(2)≥t0}C．{T(3)≥t0}D．{T(4)≥t0}正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题10．(88年)设P(A)＝0．4，P(A∪B)＝0．7，那么(1)若A与B互不相容，则P(B)＝_______；(2)若A与B相互独立，则P(B)＝_______．正确答案：0．3；0．5．解析：由P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) (1)若A、B互不相容，则AB ＝，∴P(AB)＝0，代入上式得0．7＝0．4＋P(B)－0，故P(B)＝0．3 (2)若A、B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，代入得0．7＝0．4＋P(B)－0．4×P(B)，故P(B)＝0．5．知识模块：概率论与数理统计11．(88年)若事件A，B，C满足等式A∪C＝B∪C，则A＝B．该命题是否正确_______．(填正确或不正确)正确答案：不正确涉及知识点：概率论与数理统计12．(90年)一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率为，则该射手的命中率为_______．正确答案：解析：设该射手的命中率为p，则4次射击(独立重复)中命中k次的概率为C4kpk(1－p)4-k．由题意＝P(他至少命中一次)＝1－P(他命中0次)＝1－C40p0(1－p)4-0＝1－(1－p)4 解得p＝知识模块：概率论与数理统计13．(92年)将C，C，E，E，I，N，S这七个字母随机地排成一行，则恰好排成SCIENCE的概率为_______．正确答案：解析：这7个字母排一行共有71种排法(第1位置有7种放法，第2位置有6种放法，余类推，用乘法原则)，这是总样本点个数．而在有利场合下，第1位置有1种放法(1个S)，第2位置有2种放法(2个C中选1个)，同理，第3位置有1种放法(1个D，第4位置有2种放法(2个E中选1个)，后边都是1种选法(即使是C或E，只剩1个了)，故有1×2×1×2×1×1×1＝4种放法，这是有利样本点个数．故所求概率为知识模块：概率论与数理统计14．(07年)在区间(0，1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于的概率为_______．正确答案：解析：设这两个数分别为χ，y，则二维点(χ，y)可能取的点为图4．3中的正方形内部(面积为1)，而符合要求(即题中“两数之差的绝对值＜”)的点集合{(χ，y)：0＜χ＜1，0＜y＜1，｜χ－y｜＜}为图中阴影部分G，而G的面积为1－2×．故所求概率为知识模块：概率论与数理统计15．(12年)设A，B，C是随机事件，A与C互不相容，P(AB)＝，P(C)＝，则P(AB｜)＝_______．正确答案：解析：∵AC＝，∴A，得P(AB)＝P(AB)＝，又P()＝1－P(C)＝，故知识模块：概率论与数理统计16．(16年)设袋中有红、白、黑球各1个，从中有放回地取球，每次取1个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为4的概率为_______．正确答案：解析：用古典概型，4次取球共有34种取法；而“第1次取红球，第2、3次至少取得1白球且未取得黑球，第4次取黑球”共有3种取法：(按顺序)“红红白黑，红白红黑，红白白黑”，故上述事件(引号内的事件)的概率为．而红、白、黑3种颜色排列有31种，故本题所求概率为．知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(03年)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件【】A．A1，A2，A3相互独立．B．A2，A3，A4相互独立．C．A1，A2，A3两两独立．D．A2，A3，A4两两独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．(07年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜P＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【】A．3p(1－p)2．B．6p(1－p)2．C．3p2(1－p)2．D．6p2(1－p)2．正确答案：C解析：P{第4次射击恰好第2次命中目标}＝P{前3次射击恰中1枪，第4次射击命中目标} ＝P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}＝C31p(1－p)2.P＝3p2(1－p)2 知识模块：概率论与数理统计3．(09年)设事件A与事件B互不相容，则【】A．P()＝0．B．P(AB)＝P(A)P(B)．C．P(A)＝1－P(B)．D．P()－1．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计4．(14年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)＝0．5，P(A－B)＝0．3，则P(B－A)＝【】A．0．1B．0．2C．0．3D．0．4正确答案：B解析：∵A与B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)．故0．3＝P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B) ＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)(1－0．5)＝0．5(P(A) 得P(A)＝＝06，P(B－A)＝P(B)－P(AB)＝P(B)－P(A)P(B)＝0．5－0．6×0．5＝0．2．知识模块：概率论与数理统计5．(15年)若A，B为任意两个随机事件，则【】A．P(AB)≤P(A)P(B)．B．P(AB)≥P(A)P(B)．C．P(AB)≤．D．P(AB)≥．正确答案：C解析：由ABA，ABB得P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)，两式相加即得：P(AB)≤．知识模块：概率论与数理统计6．(16年)设A，B为两个随机事件，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，如果P(A｜B)＝1，则【】A．P()＝1．B．P(A｜)＝0．C．P(A∪B)＝1．D．P(B｜A)＝1．正确答案：A解析：由1＝P(A｜B)＝，有P(B)＝P(AB) 于是知识模块：概率论与数理统计7．(90年)设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是：【】A．X－YB．P{X－Y}＝0C．P{X－Y}＝D．P{X＝Y}＝1正确答案：C解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计8．(93年)设随机变量X的密度函数为φ(χ)，且φ(－χ)－φ(χ)，F(χ)为X的分布函数，则对任意实数a，有【】A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχB．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχC．F(－a)＝F(a)D．F(－a)＝2F(a)－1正确答案：B解析：由概率密度的性质和已知，可得故选B．知识模块：概率论与数理统计9．(95年)设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(｜X－μ｜＜σ) 【】A．单调增大．B．单调减小．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C解析：由已知X～N(μ，σ)，得～N(0，1) 故P{｜X－μ｜＜σ}＝＝(1)Ф－Ф(－1) 故选C．知识模块：概率论与数理统计填空题10．(89年)设随机变量X的分布函数为则A＝_______，P{｜X｜＜}＝_______．正确答案：1；解析：∵分布函数是右连续的，故得1＝Asin ∴A＝1 这时，F(χ)在(－∞，＋∞)上都连续，于是知识模块：概率论与数理统计11．(91年)设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______．正确答案：解析：F(χ)为一阶梯状函数，则X可能取的值为F(χ)的跳跃点：－1，1，3．P(X＝－1)＝F(－1)－F(－1－0)＝0．4 P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝0．8－0．4＝0．4 P(X＝3)＝F(3)－F(3－0)＝1－0．8＝0．2 知识模块：概率论与数理统计12．(94年)设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数P{Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，Y～B(3，p)．其中p＝故知识模块：概率论与数理统计13．(00年)设随机变量X的概率密度为若k使得P{X≥k}＝，则k的取值范围是_______．正确答案：[1，3]解析：∵P(X≥k)＝∫k＋∞f(χ)dχ．可见：若k≤0，则P(X≥k)＝1 若0＜k＜1，则P(X≥k)＝若k＞6，则P(X≥k)＝0 若3＜k≤6，则P(X ≥k)＝若1≤k≤3，则P(X≥k)＝综上，可知K∈[1，3]．知识模块：概率论与数理统计14．(05年)从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率分布为而P(Y＝2｜X＝1)＝0，P(Y＝2｜X＝2)＝，P(Y＝2｜X＝3)＝，P(Y＝2｜X＝4)＝，故由全概率公式得知识模块：概率论与数理统计15．(05年)设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X＝0}与{X＋Y＝1}相互独立，则a＝_______，b＝_______．正确答案：0．4；0．1．解析：由题意知0．4＋a＋b＋0．1＝1，∴a＋b＝0．5 而P{X＝0}＝0．4＋a，P{X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＋P{X＝1，Y＝0}＝a＋b＝0．5，P{X ＝0，X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＝a 由P{X＝0，X＋Y＝1)＝P{X＝0)P{X ＋Y＝1} ∴a＝(0．4＋a)0．5，得a＝0．4，从而b＝0．1．知识模块：概率论与数理统计16．(06年)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max(X，Y)≤1}＝_______．正确答案：解析：由题意知X与Y的概率密度均为：则P(X≤1}＝P{Y≤1}＝∫－∞1f(χ)dχ＝故P{max(X，Y)≤1}＝P{X≤1，y≤1}＝P{X≤1}P{y≤1}＝知识模块：概率论与数理统计17．(99年)设随机变量Xij(i＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，Eij＝2，则行列式Y＝的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，P1，…，Pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X～N(0，1)，y～N(1，4)，且相关系数ρXY＝1，则A．P{Y＝－2X－1}＝1B．P{Y＝2X－1}＝1C．P{Y＝－2X＋1}＝1D．P{Y＝2X＋1}＝1正确答案：D解析：如果选项A或C成立，则应ρXY＝1，矛盾；如果选项B成立，那么EY＝2EX－1＝－1，与本题中EY＝1矛盾．只有选项D成立时，ρXY＝1，EY＝2EX＋1＝1，DY＝4DX＝4，符合题意，故选D．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)＝A．6．B．8．C．14．D．15．正确答案：C解析：由题意知：EX＝1，DX＝2，EY＝1，DY＝4，于是E(X2)＝DX＋(EX)2＝2＋12＝3，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝4＋12＝5，注意到X2与y2是独立的，于是D(XY)＝E(XY)2－E[(XY)]2 ＝E(X2Y2)－[EX.EY]2 ＝E(X2).EY2－(EX)2(EY)2 ＝3×5－12×12＝14 故选C．知识模块：概率论与数理统计3．设”个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，DX1＝σ2，，则A．S是σ的无偏估计量．B．S是σ的最大似然估计量．C．S是σ的相合估计量(即一致估计量)．D．S与相互独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计4．设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值＝20(cm)，样本标准差s＝1(cm)，则μ的置信度为0．90的置信区间是A．(20－t0．05(16)，20＋t0．05(16))B．(20－t0．1(16)，20＋t0．1(16))C．(20－t0．05(15)，20＋t0．05(15))D．(20－t0．1(15)，20＋t0．1(15))正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题5．设随机变量X的概率分布为P{X＝－2}＝，P{X＝1}＝a，P(X＝3}＝b．若EX＝0，则DX＝_______．正确答案：解析：由题知：＋a＋b＝1，0＝EX＝(－2)×＋1×a＋3×b＝a＋3b－1 联立得a＝b＝所以DX＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝(－2)2×．知识模块：概率论与数理统计6．设X为随机变量且EX＝μ，DX＝σ2．则由切比雪夫不等式，有P{｜X－μ｜≥3σ}≤_______．正确答案：解析：由题意及切比雪夫不等式，得：P{｜X－μ｜≥3σ}≤．知识模块：概率论与数理统计7．在天平上重复称量一重为a的物品．假设各次称量结果相互独立且服从正态分布N(a，0，2*)．若以表示n次称量结果的算术平均值，则为使n的最小值应不小于自然数_______．P{｜－a｜＜0．1}≥0．95正确答案：16解析：设第i次称量结果为Xi，i＝1，2，…，n．由题意：，且X1，…，Xn独立同分布，X1～N(a，0．22)．由题意得2Ф()－1≥0．95，∴Ф()≥0．075 查表得≥1．96，∴n≥4×(1．96)2＝15．36 故n的最小值应不小于自然数16．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X和Y的数学期望分别为一2和2，方差分别为1和4，而相关系数为－0．5，则根据切比雪夫不等式有P{｜X＋Y｜≥6}≤_______．正确答案：解析：若记ξ＝X＋Y，则Eξ＝EX＋EY＝－2＋2＝0，而Dξ＝D(X ×Y)＝DX＋DY＋2cov(X，Y)＝DX＋DY＋2.ρ(χ，y) ＝1＋4＋2×(－0．5).＝3 其中ρ(χ，y) 知识模块：概率论与数理统计9．设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5．则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为________．正确答案：(4．804，5．196) 涉及知识点：概率论与数理统计10．设由来自正恣总体X～N(μ，0．92)容量为9的简单随机样本，得样本均值＝5．则未知参数μ的置信度为0．95的置信区间是_______．正确答案：(4．412，5．588) 涉及知识点：概率论与数理统计11．设总体X的概率密度为而X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______．正确答案：Xi－1－1解析：知识模块：概率论与数理统计12．设总体X的概率密度为f(χ)＝e－｜χ｜(－∞＜χ＜＋∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2_______．正确答案：2解析：EX＝∫－∞＋∞χf(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ.e｜－χ｜dχ＝0 DX ＝E(X2)－(EX)2＝E(X2)＝∫－∞＋∞χ2f(χ)dχ＝∫－∞＋∞χ2.e｜－χ｜d χ＝∫0＋∞χ2e－χdχ＝2 而E(S2)＝DX，故ES2＝2．知识模块：概率论与数理统计13．设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知．记则假设H0：μ＝0的t检验使用的统计量t＝_______．正确答案：解析：由题意可得：又有～χ2(n－1)，且Q2与相互独立，故由t分布的构成得：当H0成立(即μ＝0)时，成舍～t(n－1)．故填知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
历年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案
【考点】初等函数的连续性
【难易度】★
【详解】
解析：因为 ，又 ，
所以，当 时， ，即 在点 处连续，当 时， ，即 是 的第一类间断点，因此， 在点 处的连续性
与 的取值有关，故选（D）．
（9）设 ，则（）
（A） 是 的极值点，但 不是曲线 的拐点．
（B） 不是 的极值点，但 是曲线 的拐点．
【详解】
解析：由标准正态分布概率密度函数的对称性知， ，于是
即有 ，可见根据定义有 ，故应选（C）.
三、解答题（本题共9小题，满分94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
（15）（共题满分8分）
方法3： 与 等价，经过若干次初等变换变为矩阵的初等变换对矩阵的行列式的影响有：（1） 中某两行（列）互换得 ，则 .
（2） 中某行（列）乘 得 ，则 .
（3） 中某行倍加到另一行得 ，则 .
故当 时， ，虽仍不等于0，但数值大、小、正负要改变，但 ，则 ，故有结论：初等变换后，矩阵的行列式的值要改变，但不改变行列式值的非零性，即若 ，若 .故应选（D）.
（C） 是 的极值点，且 是曲线 的拐点．
（D） 不是 的极值点， 也不是曲线 的拐点．
【答案】（C）
【考点】函数图形的拐点
【难易度】★★
【详解】
解析：方法1： 的图形是一条抛物线，
的图形如图.点 是极小值点；
又在点 左侧邻近曲线是凹的，右侧邻近曲线是凸的，
所以点 是拐点，选 .
方法2：写出 的分段表达式： ,
.但在 上 .
方法2：证明（A）、（B）、（C）正确.
由已知 在 上连续，且 ，则由介值定理，
至少存在一点 ，使得 ；
考研数学三(概率论与数理统计)模拟试卷60(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷60(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设A，B为两个随机事件，其中0＜P(A)＜1，P(B)＞0且P(B｜A)＝P(B｜)，下列结论正确的是( )．A．P(A｜B)＝P(｜B)B．P(A｜B)≠P(｜B)C．P(AB)＝P(A)P(B)D．P(AB)≠P(A)P(B)正确答案：C解析：整理得P(AB)＝P(A)P(B)，选(C)．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量X，Y相互独立，X～U(0，2)，Y～E(1)，则P(X＋Y＞1)等于( )．A．1－B．1一eC．eD．2e正确答案：A解析：由X～U(0，2)，Y～E(1)得再由X，Y相互独立得(X，Y)的联合密度函数为则P(X＋Y＞1)＝1－P(X＋Y≤1)＝1－dxdy 知识模块：概率论与数理统计3．若E(XY)＝E(X)E(Y)，则( )．A．X和Y相互独立B．X2与Y2相互独立C．D(XY)＝D(X)D(Y)D．D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)正确答案：D解析：因为E(XY)＝E(X)E(Y)，所以Cov(X，Y)＝E(XY)－E(X)E(Y)＝0，而D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)＋2Cov(X，Y)，所以D(X＋Y)＝D(X)＋D(Y)，选(D)．知识模块：概率论与数理统计4．以下命题正确的是( )．A．若事件A，B，C两两独立，则三个事件一定相互独立B．设P(A)＞0，P(B)＞0，若A，B独立，则A，B一定互斥C．设P(A)＞0，P(B)＞0，若A，B互斥，则A，B一定独立D．A，B既互斥又相互独立，则P(A)＝0或P(B)＝0正确答案：D解析：当P(A)＞0，P(B)＞0时，事件A，B独立与互斥是不相容的，即若A，B独立，则P(AB)＝P(A)P(B)＞0，则A，B不互斥；若A，B互斥，则P(AB)＝0≠P(A)P(B)，即A，B不独立，又三个事件两两独立不一定相互独立，选(D)．知识模块：概率论与数理统计5．设随机变量X，Y相互独立，它们的分布函数为FX(x)，FY(y)，则Z ＝min(X，Y)的分布函数为( )．A．FZ(z)＝max{FX(z)，FY(z)}B．FZ(z)＝min{FX(z)，FY(z)}C．FZ(z)＝1－[1－FX(z)]［1－FY(z)]D．FZ(z)＝FY(z)正确答案：C解析：FZ(z)＝P(Z≤z)＝P{min(X，Y)≤z}＝1－P{min(X，Y}＞z}＝1－P(X ＞z，Y＞z)＝1－P(X＞z)P(Y＞z)＝1－[1－P(X≤z)][1－P(Y≤z)]＝1－[1－FX(z)][1－FY(z)]，选(C)．知识模块：概率论与数理统计6．设X1，X2，…，Xn是来自正态总体X～N(μ，σ2)的简单随机样本，记则服从t(n～1)分布的随机变量是( )．A．B．C．D．正确答案：D解析：知识模块：概率论与数理统计填空题7．设P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(AB)＝0，P(AC)＝P(BC)＝，则A，B，C都不发生的概率为______．正确答案：解析：A，B，C都不发生的概率为＝1－P(A＋B＋C)，而ABCAB且P(AB)＝0，所以P(ABC)＝0，于是P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)＋P(ABC)＝，故A，B，C都不发生的概率为．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，且E(X－1)(X＋2)]＝8，则λ＝______．正确答案：解析：由随机变量X服从参数为λ的指数分布，得E(X)＝于是E(X2)＝D(X)＋[E(x)]2＝，而E[(X－1)(X＋2)]＝E(X2)＋E(X)－2＝．知识模块：概率论与数理统计9．随机变量X的密度函数为f(x)＝则D(X)＝______．正确答案：解析：E(X)＝∫－∞＋∞xf(x)dx＝∫－10x(1＋x)dx＋∫01x(1－x)dx＝0，E(X2)＝∫－11x2(1－｜x｜)dx＝2∫01x2(1－x)dx＝，则D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝．知识模块：概率论与数理统计10．设常数a∈[0，1]，随机变量X～U[0，1]，Y＝｜X－a｜，则E(XY)＝______．正确答案：解析：E(XY)＝E[X｜X－a｜]＝∫01x｜x－a｜f(x)dx 知识模块：概率论与数理统计11．设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，X10为总体的简单样本，S2为样本方差，则D(S2)＝______．正确答案：解析：知识模块：概率论与数理统计12．设A，B是两个随机事件，P(A｜B)＝0．4，P(B｜A)＝0．4，＝0．7，则P(A＋B)＝______．正确答案：解析：因为P(A｜B)＝0．4，P(B｜A)＝0．4，所以P(A)＝P(B)且P(AB)＝0．4P(A)，解得P(A)＝P(B)＝，于是P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝．知识模块：概率论与数理统计13．设随机变量X的概率密度为fX(x)＝(－∞＜x＜＋∞)，Y＝X2的概率密度为______．正确答案：解析：FY(y)＝P(Y≤y)＝P(X2≤y)当y≤0时，FY(y)＝0；当y＞0时，FY(y)＝P(X2≤y)＝P 知识模块：概率论与数理统计14．设随机变量X～P(λ)，且E[(X－1)(X－2)]＝1，则λ＝______．正确答案：1解析：因为X～P(λ)，所以E(X)＝λ，D(X)＝λ，故E(X2)＝D(X)＋E[(X)]2＝λ2＋λ．由E[(X－1)(X－2)]＝E(X2－3X＋2)＝E(X2)－3E(X)＋2＝λ2＋2λ＋2＝1得λ＝1．知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。