椭圆弧等误差直线拟合的算法研究

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椭圆弧等误差直线拟合的算法研究与轨迹仿真

中图分类号：６９ＴＧ５文献标识码：Ａ
Ｓｔｄｆａｇｒｔｍｎｄｐｔｉｕａｉｎｂｑａ－ｒｏｕｙｏｌｏｉｈａａｈｓｍｌｔｏｙｅｕｌｅｒｒｍｅｈｄｔｐｏｃｌｉｉａｒｔｅｌｎｅｔｏｏａｐｒａｈｅｌｐｔｃｌａｃｗｉｈｂｅｉＹＵａｇｗｅ，ＺＨＡＯ — ａｇ，ＺＨＡＮＧｉｎＧｕｎ — ｉＹｕｇｎＪａ
（ｃｏｌｆＭｅｈｎｃｌｇｎｅｉｇ，ＳａｄｎｉｅｓｔｆＴｅｈｏｏｙ，Ｚｂ５０９ＳｈｏｃａｉａｏＥｎｉｅｒｎｈｎｏｇＵｎｖｒｉｏｃｎｌｇｙｉｏ２５４，Ｃｈｎ）ｉａ
ＡｂｔａｔＩｒｅｏｃｌｕａｅｔｅｎｄｓｂｑａ — ｒｏｅｈｄｔｐｒａｈｅｌｔｃｌａｃｗｉｈｓｒｃ：ｎｏｄｒｔａｃｌｔｈｏｅｙｅｕｌｅｒｒｍｔｏｏａｐｏｃｌｐｉａｒｔｉｂｅｉｅｅｉｔｒｏａｉｎａｇｒｔｍｓｉｐｏｏｅａｅｎＲｏｌｈｏｅａｄｄｃｏｏ．Ｕ— ｅｌ，ａｎｗｎｅｐｌｔｏｌｏｉｎｈｓｒｐｓｄｂｓｄｏｌＳｔｅｒｍｎｉｈｔｍｙｓｎｈｌｏｉｍｓｈｒｏｓｃｌｕａｅｔｐｂｔｐｉｎｄｏｅｔｒｔｐｒａｈｗｈｔｉｇｔｅａｇｒｔｈ，ｔｅｅｒｒｉａｃｌｔｄｓｅｙｓｅｎｍｏｏｒｍｙｓｃｏｏａｐｏｃａｔｅｐｏｅｕｅｄｍａｄ．ＴｈｏｍｕａｕｅｏｃｌｕａｅｔｅｎｄｏｒｉａｅｉｄｄｃｄＩｄｉｈｒｃｄｒｅｎｓｅｆｒｌｓｄｔａｃｌｔｈｏｅｃｏｄｎｔＳｅｕｅ．ｎａｄ — ｔｎ，ａｇｒｔｍｅｈｏｏｉａｒｃｓｈｗｎａｄｔｅｓｍｕａｉｎｏｎｅｐｌｔｏｓｉｐｅｎｅｉｏｌｏｉｈｔｃｎｌｇｃｌｏｅｓｉｓｏｎｈｉｌｔｆｉｔｒｏａｉｎｉｍｌｍｅｔｄｐｓｏ

椭圆弧等误差直线拟合的算法研究

１Ｘｃ＝：ｚ，
或或１ｙ
。
㈦
（４）
ｙ－ｙｏ＝ｋ（ｘ — ｘ３可得圆心Ｏ到直线ｌ的距离为：
参考文献
［１］于洋，魏娟等．误差直线逼近非圆曲线节点计算新方法［Ｊ］．３２ — ３３．（５）床与自动化加工技术，『２１赵玉刚，宋现春主编．数控技术『Ｍ１．北京：机械工业出版社，２００３．『３１．７．丽萍，孙国防，季绍坤．非圆曲线数控编程的等误差圆弧逼近ｄ＝＝ｌｙｋｘｌ、ｆ／丁（６）法及其实现『Ｊ１．现代制造工程，２００６（１０）：２５ — ２８．于是得到切点Ｃ到直线ＡＢ的距离，即弦ＡＢ的拟合误差为作者简介：于光伟（１９８４一），男，山东青岛平度人，硕士，研究方
引言
图１椭圆弧等误差直线拟合新算法如图１所示，在本节讨论中不妨设椭圆弧ＡＢ夹角／＿ＡＯＢ≤ １８０ｏ。用直线连接曲线的两个端点Ａ、Ｂ，我们称直线ＡＢ为曲线的弦。只要该曲线上的点到弦ＡＢ的最大距离ｈ一小于程序设定的允许误差ｒｅｓ，就可以用直线段ＡＢ来拟合曲线ＡＢ。而当ｈ一大于ｒｅｓ时，就需要用二分法在／＿ＡＯＢ范围内搜索拟合点。１．１拟合误差的求解如图１所示，弦ＡＢ斜率为ｋ，椭圆弧的ＡＢ段为凹凸性一致的单值区间，由罗尔定理可知，在弧ＡＢ上有且仅有一点ｃ，使得过ｃ点的椭圆弧切线斜率与弦ＡＢ斜率相等。设过ｃ点的该切线为１。，则线段ＡＢ拟合椭圆弧ＡＢ的误差为直线ｌ与直线ＡＢ之间的距离。设Ａ点坐标为Ａ（ｘａ，），则直线ＡＢ的方程为：ｙ－ｙ￣ｋ（ｘ — ｘ日）（１）图２椭圆弧等误差直线拟合轨迹仿真由椭圆弧ＡＢ方程ｘ２／ａ２＋ｙ：１，得到椭圆上的点Ｃ（ｘｃ，ｙｃ）处切３结束语线斜率为：等误差法直线逼近椭圆弧的一般解法需要设定误差圆方程后ｋ＝＿ｂ２） √ ｒａ２ｙｃ（２）解高次方程组，确定其唯一解很复杂。本文提出了一种基于罗尔定可求得切点Ｃ的坐标为：理与二分法的插补椭圆弧新算法，其思想是求解弦对应的拟合误差来逐步逼近允许误差，体现了正难则反的逆向思维。该算法避免了，高次方程组的求解，容易控制插补精度，易于实现程序编制求得插补节点的坐标，在数控加工中有较高的应用价值。直线ｌ的方程为：

椭圆边值问题的galerkin法及最小二乘法处理

椭圆边值问题的galerkin法及最小二乘法处理本文主要介绍了椭圆边值问题Galerkin法和最小二乘法处理方法。

文章将从最小二乘法和Galerkin法的基本理论介绍开始，然后讨论椭圆边值问题的Galerkin法和最小二乘法处理，介绍这两种方法的优缺点，并分析椭圆边值问题的两种解决方案的适用性。

最后，提出对本文讨论的椭圆边值问题的Galerkin法和最小二乘法处理方法的建议和未来研究方向。

由于椭圆值问题的几何形状复杂性，解决它的有效方法是用一种有力的数值解决方案。

一般来说，最小二乘法和Galerkin法是被广泛用来解决椭圆边值问题的两种方法。

最小二乘法是一种常见的数值方法，它基于拟合最佳误差平方和，从而使预测函数离真实函数有最小差距。

它通常可以有效地拟合数据，但有时会得到不稳定的近似结果。

Galerkin法是另一种处理椭圆边值问题的有效方法，它将椭圆边值问题的解写成线性的函数组合的形式，以实现对问题的全局拟合。

它使用几何形状函数和拉普拉斯算子，使得可以近似地将椭圆边值问题拟合到一个线性方程组中，从而求出此方程组的解。

为了更准确地处理椭圆边值问题，我们可以结合使用最小二乘法和Galerkin法，即将真实的椭圆边值问题的解写成一个线性方程组，对这个方程组求解，然后用最小二乘法对其进行拟合。

这样可以使方程的解更加准确。

总的来说，最小二乘法的优点在于它简单易用，可以拟合数据，但缺点是拟合结果往往不稳定。

Galerkin法的优点是拟合的解决方案更加准确，但缺点是计算较复杂，消耗较多时间和空间。

为了选择更加合适的方案，要评估椭圆边值问题处理时最小二乘法和Galerkin法的可行性和有效性，并判断出哪种方法更加适合特定问题的处理。

本文讨论的椭圆边值问题的Galerkin法和最小二乘法处理方法各有优势，对椭圆边值问题的解决有较大的帮助，但还有一些可以改进的地方。

首先，在求解椭圆边值问题时，可以考虑使用多种解法，例如有限元法，以求得最优解。

DDA法圆弧插补误差分析及解决办法

析，通过增加终点判别器的方法很好的解决了这个问题。
Abstract: Interpolation is index close process. DDA interpolation is quite a common interpolation way. However, in the actual
此时对应的刀具运动轨迹如图 3 所示。由图 3 可知刀具运动轨迹完全符合题意插补要求。再
向进给结束，在 Y 轴方向
继续，直至 JLY 变为零。才 3
最终插补结束。
总结以上过程，我们在应用 DDA 法插补圆弧 0 时，为了减小或避免误差的出现，我们在插补过程
E′
E
X
4
图3
加一个终点判别器分别判断多轴的插补结束，而不是单纯
4+3=
6
2
5
6<q
7<q
5 6+5= 11-8=
1 3 7+3= 10-8=
4
7
+X
-Y
5-1=4 11>q 3
1 3+1=4 10>q 2
4
3+4=
2+4=
8
1
4
7<q
6<q
4 7+4= 11-8=
4 6+4= 10-8=
9
+X 0
-Y 3
4-1=3 11>q 3
4+1=5 10>q 2
10
停止
在对数控系统输入有限坐标点例如起点终点的情冴下计算机根据线段的特性直线囿弧椭囿等运用一定的算法自动地在有限坐标点之间生成一系列的坐标数据从而自动地对各坐标轴进行脉冲分配完成整个线段的轨迹运行使机床加工出所要求的轮廓曲线

圆弧拟合算法

圆弧拟合算法引言圆弧拟合算法是计算机图形学中的一项重要技术，用于将一系列离散的点数据近似拟合成一个圆弧。

圆弧拟合算法在许多领域中都有广泛应用，例如轨迹规划、CAD 设计、机器人路径规划等。

本文将深入探讨圆弧拟合算法的原理和应用。

算法描述圆弧拟合算法的目标是找到最适合的圆弧来拟合给定的点集。

为了实现这一目标，通常采用最小二乘法来求解。

以下是圆弧拟合算法的步骤：步骤一：数据预处理首先，需要对给定的点集进行预处理，以去除异常值和噪声。

常用的方法是通过距离阈值或角度阈值来筛选数据点。

步骤二：参数初始化在进行圆弧拟合之前，需要初始化一些参数，如圆心坐标和半径。

可以选择一些初始值，然后通过迭代优化的方式不断调整参数。

步骤三：优化拟合根据最小二乘法的原理，可以通过最小化拟合误差来得到最佳的圆弧。

常用的优化方法有迭代法和拟合函数法。

步骤四：误差评估在拟合完成后，需要对拟合结果进行误差评估。

可以计算每个数据点到拟合圆弧的距离，并计算平均误差或最大误差。

应用场景圆弧拟合算法在许多领域中都有广泛应用。

以下是一些典型的应用场景：轨迹规划在机器人运动控制中，圆弧拟合算法可以用于规划机器人的路径。

通过拟合输入点集，可以得到最优的圆弧轨迹，从而实现平滑运动和避免路径突变。

CAD设计在计算机辅助设计（CAD）中，圆弧是常用的几何图形之一。

通过圆弧拟合算法，可以将离散的数据点转换为光滑的圆弧，从而提高设计的精度和美观度。

机器人路径规划在机器人路径规划中，圆弧拟合算法可以用于规划机器人的运动轨迹。

通过拟合输入的路径点，可以得到最优的圆弧路径，并减少机器人的停止时间和能量消耗。

数据处理在数据分析和数据挖掘中，圆弧拟合算法可以用于处理曲线数据。

通过拟合曲线，可以得到曲线的特征，从而进行进一步的分析和挖掘。

算法评价与展望圆弧拟合算法是一个复杂的算法，在实际应用中需要考虑到许多因素，如数据量、噪声情况和计算复杂度等。

因此，算法的性能评价是非常重要的。

基于二分法的曲线等误差圆弧拟合算法及其应用

图 3 曲线最大误差示意图
求解: = | f (x1 ) - kx - B | ) 1 + k2
对给定的拟合控制误差 , 判断与两者间大小。当 < 时本区间讨论结束, 讨论下一个区间。
否则进行下一步: 将区间 [ a, x0 ] 分解为 [ a, x1 ], [ x1, x0 ] 再对每
图 4 基于二分法圆弧拟合的算法流程图
求解: f (x ) = 0 如有解 x0, 可以得到两个独立的单一凸凹性的两个区间 [ a, x0 ], [ x0, b] , 如图 Байду номын сангаас:
图 2 曲线在拐点处分割区间
对曲线图象在区间 [ a, x0 ] ( [ x0, b ] 区间类似 ) 讨论: 做直线 L 过曲线的两端点: y = k! x + B, 其中 k
[ 9] 田富祥, 解文涛. 锥齿轮锻件切边模齿廓曲线二点拟合法 [ J]. 模具工业, 2000( 1): 52- 54.
[ 3] 王琦, 郭非. 圆弧样条逼近为机械零件几何轮廓的自动编程 [ J]. 机械工程学报, 1998( 2) : 20- 25.
[ 4] 蔡永林, 孙卫青, 席光. 一种新的平面曲线圆弧插补节点获取方法 [ J]. 工程图学学报, 2002 ( 1 ): 97 1 03.
基于二分法的曲线等误差圆弧拟合算法及其应用
周晓铭, 陶俊才, 秦海鸥
(南昌大学信息工程学院 , 江西南昌 330031)
摘要: 根据 CN C的加工特点, 提出一种平面轮廓曲线的拟合算法。该算法基于二分法 , 简单可靠且效率相对较
高。切削步长具有沿加工方向的曲率适应性, 并且可以灵活的解决拟合圆弧大于机床允许值的问题。最后给出了

椭球方程拟合 c++

椭球方程拟合 c++（原创版）目录1.椭球方程简介2.椭球方程拟合的应用3.C++编程实现椭球方程拟合4.总结与展望正文1.椭球方程简介椭球方程是一种在计算机图形学和数值分析中广泛应用的方程，主要用于描述椭球体的参数方程。

它可以表示为：Ax + By + Cz = 1其中 A、B、C 为方程的参数，决定了椭球体的形状。

通过调整这些参数，可以得到不同形状的椭球体。

在实际应用中，椭球方程拟合是一种重要的技术，可以用来逼近不规则的三维数据。

2.椭球方程拟合的应用椭球方程拟合在许多领域都有广泛的应用，例如：（1）计算机图形学：椭球方程可以用来表示三维场景中的椭球体，为图形渲染提供准确的参数；（2）数值分析：在数值分析中，椭球方程拟合可以用来逼近不规则的数据集，提高计算精度；（3）机器学习：在机器学习领域，椭球方程拟合可以用来对数据进行特征提取，提高分类和识别的准确性。

3.C++编程实现椭球方程拟合为了实现椭球方程拟合，我们可以使用 C++编程语言。

以下是一个简单的示例：```cpp#include <iostream>#include <cmath>#include <vector>using namespace std;int main() {// 输入数据点的坐标vector<vector<double>> points = {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9},{10, 11, 12}, {13, 14, 15}, {16, 17, 18}};// 计算椭球方程的参数double a = 0.0, b = 0.0, c = 0.0;for (const auto &point : points) {double x = point[0], y = point[1], z = point[2];double dx = x * x, dy = y * y, dz = z * z;double A = dx + dy + dz - 3;double B = 3 * (dx * dy + dy * dz + dz * dx) - 3 * (dx + dy + dz);double C = 3 * (dx * dy * dz - dx * dz - dy * dx);a += A;b += B;c += C;}a /= points.size();b /= points.size();c /= points.size();// 输出椭球方程cout << "椭球方程为：" << a << "x + " << b << "y + " << c << "z = 1" << endl;return 0;}```4.总结与展望本文介绍了椭球方程的简介、应用以及如何使用 C++编程实现椭球方程拟合。

指定椭圆圆心的椭圆拟合

指定椭圆圆心的椭圆拟合1.引言1.1 概述椭圆拟合是一种通过拟合一组散点数据来估计最佳椭圆参数的方法。

它在各个领域中都有广泛的应用，比如计算机视觉、图像处理、测量学和机器学习等。

椭圆作为数学上重要的几何形状之一，具有独特的特性和广泛的应用背景。

与其他几何形状相比，椭圆能够很好地描述一些自然界和人工系统中的真实数据。

本文将重点讨论指定椭圆圆心的椭圆拟合方法。

在传统的椭圆拟合方法中，通常将椭圆的圆心看作是未知的参数，需要通过迭代计算来获得。

然而，在某些应用场景中，我们已经有了对椭圆圆心的先验知识，因此可以将圆心作为已知参数进行椭圆拟合。

这种指定椭圆圆心的椭圆拟合能够更准确地估计椭圆的形状和位置。

在接下来的章节中，我们将首先介绍椭圆的定义和特性，包括其数学表达方式、离心率、焦点等。

然后，我们将详细讨论椭圆拟合的概念和应用，阐述其在不同领域中的意义和作用。

最后，我们将重点讨论指定椭圆圆心的椭圆拟合方法，并分析其优势和适用性。

本文的目标是通过深入探讨指定椭圆圆心的椭圆拟合方法，为读者提供系统的理论基础和实践指导。

通过该方法，我们可以更好地利用已知的先验信息来提高椭圆拟合的准确性和稳定性，为相关领域的研究和应用提供有力的支持。

接下来的章节将按照以下结构进行组织。

首先，我们将介绍椭圆的基本定义和特性，并解释椭圆参数的物理意义。

然后，我们将详细介绍椭圆拟合的概念和应用，包括椭圆拟合的常见算法和评价指标。

最后，我们将重点讨论指定椭圆圆心的椭圆拟合方法，包括优化算法和参数估计技术。

通过深入研究这些内容，读者将能够全面了解指定椭圆圆心的椭圆拟合方法，并能够在实际应用中灵活运用。

总之，本文将以指定椭圆圆心的椭圆拟合为主题，旨在为读者提供全面的理论和实践指导。

希望通过本文的阐述，能够增加读者对椭圆拟合方法的认识和理解，为相关领域的研究和应用提供有益的参考。

在接下来的章节中，我们将详细讨论椭圆的定义和特性，以及椭圆拟合的概念和方法。

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椭圆弧等误差直线拟合的算法研究
为实现椭圆弧的等误差直线拟合，提出了一种基于罗尔定理和二分法的曲线节点计算新算法。

该算法通过二分角度迭代求解弦与对应的弧之间的误差，逐步逼近程序要求的允差。

最后，总结了具体的算法流程并进行了轨迹仿真验证。

标签：等误差拟合；二分法；罗尔定理
引言
本文提出了一种基于罗尔定理与二分法的曲线等误差直线拟合新算法，适用于椭圆弧的拟合节点计算，该算法通过二分角度迭代求解弦与对应的弧之间的误差，逐步逼近程序要求的允差，避免了高次方程组的求解[1][2]，可广泛应用于数控加工。

1 基于罗尔定理与二分法的曲线等误差直线拟合新算法
图1 椭圆弧等误差直线拟合新算法
如图1所示，在本节讨论中不妨设椭圆弧AB夹角∠AOB≤180°。

用直线连接曲线的两个端点A、B，我们称直线AB为曲线的弦。

只要该曲线上的点到弦AB的最大距离hmax小于程序设定的允许误差res，就可以用直线段AB来拟合曲线AB。

而当hmax大于res时，就需要用二分法在∠AOB范围内搜索拟合点F[3]。

1.1 擬合误差的求解
如图1所示，弦AB斜率为k，椭圆弧的AB段为凹凸性一致的单值区间，由罗尔定理可知，在弧AB上有且仅有一点C，使得过C点的椭圆弧切线斜率与弦AB斜率相等。

设过C点的该切线为lc，则线段AB拟合椭圆弧AB的误差为直线lc与直线AB之间的距离。

设A点坐标为A（xa，ya），则直线AB的方程为：
y-ya=k（x-xa）（1）
由椭圆弧AB方程x2/a2+y2/b2=1，得到椭圆上的点C（xc，yc）处切线斜率为：
k=-b2xc/a2yc （2）
可求得切点C的坐标为：
或（3）
直线lc的方程为：
y-yc=k（x-xc）（4）
可得圆心O到直线lc的距离为：
d1= / （5）
圆心O到直线AB的距离为：
d2=|ya-kxa|/ （6）
于是得到切点C到直线AB的距离，即弦AB的拟合误差为
d=d1-d2= （7）
1.2 二分法拟合的过程
设AB为要求拟合的椭圆弧段，A（xa，ya）为起始点，B（xb，yb）为终止点。

在单值拟合区间AB上，弦AB拟合曲线AB的拟合误差hAB往往大于程序设定的允许误差res，这时就需要在∠AOB范围内二分角度迭代求解弦的拟合误差来逐步逼近允许误差res。

二分法应用过程如下：
（1）初始化A点坐标为拟合区间起点坐标（xa，ya），B点坐标为拟合区间终点坐标（xb，yb）。

A点为当前已知拟合点，动点；B为固定点。

（2）将A点赋值给S1点，B点赋值给S2点。

S1，S2点为区间二分迭代时用到的点，为动点。

（3）计算弦AB拟合曲线AB的拟合误差hAB，赋值h=hAB。

（4）比较拟合误差h与允差res的大小：如果h>res，转步骤（5）；如果h>res，则区间终点B作为最终拟合节点，整个拟合过程结束。

（5）二分∠S1OS2，得到与椭圆弧的交点M（xm，ym）。

（6）计算弦AM拟合曲线AM的拟合误差hAM，赋值h=hAM。

（7）比较拟合误差h与允差res的大小：如果h>res，M点赋值给S2；如果h？燮res，M点赋值给S1。

（8）计算|res-h|之值，如果小于或等于指定的误差值，寻找插补点结束，得
到新拟合节点F，转步骤（9）；如果大于指定的误差值，返回步骤（5）继续查找。

（9）F赋值给A点，转步骤（2）。

2 轨迹仿真与应用
基于本文算法，以C++ Builder 6.0为开发工具，编程实现椭圆弧等误差直线拟合的仿真。

当椭圆圆心为（50，60），半轴长a=320，b=180，起始角度？琢=200°，终止角度？茁=300°，拟合方向为顺圆弧，允许误差res=10时，仿真效果见图2。

图2 椭圆弧等误差直线拟合轨迹仿真
3 结束语
等误差法直线逼近椭圆弧的一般解法需要设定误差圆方程后解高次方程组，确定其唯一解很复杂。

本文提出了一种基于罗尔定理与二分法的插补椭圆弧新算法，其思想是求解弦对应的拟合误差来逐步逼近允许误差，体现了正难则反的逆向思维。

该算法避免了高次方程组的求解，容易控制插补精度，易于实现程序编制求得插补节点的坐标，在数控加工中有较高的应用价值。

参考文献
[1]于洋，魏娟等.误差直线逼近非圆曲线节点计算新方法[J].组合机床与自动化加工技术，2005（5）：32-33.
[2]赵玉刚，宋现春主编. 数控技术[M].北京：机械工业出版社，2003.
[3]王丽萍，孙国防，季绍坤.非圆曲线数控编程的等误差圆弧逼近法及其实现[J]. 现代制造工程，2006（10）：25-28.
作者简介：于光伟（1984-），男，山东青岛平度人，硕士，研究方向为机械制造及自动化。