第2章(2.3)二元确知信号最佳接收机

2.3白噪声中确知信号的最佳接收 2.
3.1二元确知信号最佳接收机的结构
一．问题的引出
()
y t =y }
(0,)
T P 最小等概
性能
信号形式
1122()()
E s t E s t --
最佳接收准则：最大似然函数准则——分析问题的出发点。

讨论：
12(2.3.2)
e s P s ⎫
⎬⎭
最佳结构--根据最佳准则导出(含判决规则)--本节
最佳性能最小下一节最佳信号形式(由性能公式导出1.2.--=?
3.,)--
二． 最佳接收机的结构
最大似然函数准则： 121
2
(|)
(|)s s p s p s >
<
y y
对似然函数1,2(|)i i p =y s 进行处理——分解成一维连乘积形式。

处理方法：波形取样正交法
在(0,)T 区间对()n t 、()y t 取样，得N 个样值。

注：这里的抽样可以用基
上的投影取代。

实际上抽样也是一种基上的投影，时分基函数，但是可能不是最小的基。

2~(0,)k n N σ 统计独立 2~(,),1,
2,k i k y N s i σ
= 统计独立
{}k n 的相关函数：[]00()()()22
n k k m n n n m E n n m S f φδ+==
↔= 2
2
0(0)2n k n E n σφ⎡⎤∴===⎣⎦， 1,0()0,0m m m δ=⎧=⎨≠⎩
以抽样函数作为基向量构成N 维信号空间
y 在此空间中各投影分量{}k y 为统计独立分量。

∴似然函数1
(|)(|)N
i k i k p s p y s ==∏y
22
1
()2N
k ik k y s σ=⎡⎤-=
-⎢⎥⎣⎦
221()exp 2N
N k ik k y s σ=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑
[]2
1exp ()()N
T
i y t s t dt n
⎡⎤
=--⎢⎥⎣⎦
⎰
或
201exp ()()N i y t s t n ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦
代入ML 准则，得
[][]2
2
120
01
2()()()()T
T
s s y t s t dt
y t s t dt <
-->
⎰
⎰
或用向量表示：
2
2
1
21
2
s s <
-->
y s y s
ML 准则的意义：在N 维空间中，在1s 、2s 等概条件下，接收信号被判为1s 或2s ，将取决于接收信号向量y 与1s 、2s 的距离。

符合我们的常识。

将积分式展开得：
1
12
120
02
()()()()22
T
T s s E E y t s t dt y t s t dt >-
-<⎰
⎰ 判决规则 当12E E =时，则有
1
120
02
()()()()T
T s s y t s t dt
y t s t dt ><⎰
⎰ 12()
E E =判决规则
由此可得出二元确知信号最佳接收机的结构
12
(y
t
当12E E =时，可简化为：
2(y t 相关器实现最佳接收机
(y t 匹配滤波器实现最佳接收机
匹配滤波器等效于一个相关器
[证明] 匹配滤波器等效于一个相关器
()
s t (0,)
T 0
()()()t
u t h t y d τττ
=-⎰MF
()0
()()()()()t t u t h t y d s T t y d ττττττ=
-=--⎰⎰
当t T =时，0
()()()T u T s y d τττ=⎰
结论： 在t T =时刻，相关器和匹配滤波器输出相等，所以两者等价。

因此，有两种最佳接收机结构。

抽样判决时刻：0t t T ==时， 0max γ=，e P 最小 0t t T =≠时，
0max γ<，e P ↑。

2.3.2 二元确知信号最佳接收机的性能及最佳信号形式设二元数字信号传输系统
}
2
(0,)
σ
e
P
（等概）
(0,)T
“0”
“1”
1
2
s
s
→
→
1
(|)
p x s
2
(|)
p x s
b
v
1
A
2
A
βα
x 121212
12
12
12
()(|)()(|)
()()
()()
(|)
e
b bopt
e
P P s P s s P s P s s
P s P s
P s P s
V V
P P s s
αβ
β
⎧⎪
⎨
⎪⎩
=+
=⋅+⋅
=
=
==
等概
当
最佳判决门限
时,
1
2
AWGN
(|)
(|)
b
b
v
v
p x s dx
p x s dx
α
β
∞
-∞
=
=
⎰
⎰
相同信道条件,似然函数分布对称
根据判决规则
1
12
12
00
2
()()()()
22
T T
s
s
E E
y t s t dt y t s t dt
>
--
<
⎰⎰
根据发
2
s情况，求
e
P
β→
此时，
2
()()()
y t s t n t
=+
⊕
(s t
)
()
y t
代入判决规则得错判条件（判为
1
s）
[][]
12
2122
00
()()()()()()
22
T T
E E
s t n t s t dt s t n t s t dt
+->+-
⎰⎰
整理上式，
[]2
1212122
00
1
()()()()()()()
2
T T
n t s t s t dt E E s t s t s t dt
⎡⎤
->---
⎣⎦
⎰⎰
其中，2
11
()
T
E s t dt
=⎰，2
22
()
T
E s t dt
=⎰
因此，错判条件为
[][]2
121200()
1()()()()()2T
T b
n t s t s t dt s t s t dt ζ->-⎰⎰
高斯变量 即
b ζ>
求ζ的数字特征： [][]1
2
()()()()0T
E E n t s t s t dt ζ=-=⎰
[]{}[]2
2212120
()()()()()()T
T
D D n t s t s t dt s t s t dt ζσζσ==-=-⎰⎰
[]2
1200()()2
T
n
s t s t dt n b =-=⎰
故，0~(0,)N n b ζ
则错误概率为，
2
22
211()e r 22x t e b
P P b e
dx dt ζ
σζ-
∞
∞-⎛⎫⎛⎫⎪=>=
==⎪⎭
1
e r
f 2= 其中，[]21212120011()()2()()22T T b s t s t dt E E s t s t dt ⎡⎤=
-=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰
12212
E E ⎡⎤=+-⎣⎦ 式中，1E 和2E 分别为1()s t 和2()s t 的能量。

且令
12()()T
s t s t dt ρ=
为波形相关系数
当 12E E E ==时，(1)b E ρ=- 则
1
erfc Q 2e P =
=
二元确知信号的最佳形式
10
-10-100
~0
0 0 ,e E
P n ρρρρρ<⎧⎪
=⎨⎪>⎩
波形相反正交波形有一定相似性当
一定时
所以，当1ρ=-时，e P 最小，系统性能最佳。

因此，在基带传输系统中，双极性信号形式最佳 在数字调制系统中，PSK 信号形式最佳。

当1ρ=时（两信号相同），11
erfc(0)22
e P == 为最大。

说明：
(1) 当不等概率时，12()()P s P s ≠，e P 比等概时略有下降（性能好一些） (2) 对M 元最佳接收讨论略。

将在下一节非白噪声条件下讨论。