等差数列常用性质
等差数列的性质
教学内容【知识结构】1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=[或=n a d m n a m )(-+]等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得：d a a =-12即：d a a +=12d a a =-23即：d a d a a 2123+=+=d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=……由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--=则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=nm a a nm --3.有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d=11--n a a n ③ d=mn a a mn --4.等差中项：定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项性质：在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+【例题精讲】例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 解：⑴由35285,81-=-=-==d a n=20，得49)3()120(820-=-⨯-+=a ⑵由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项例2 在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求1a ,d ,n a a ,20 解法一：∵105=a ，3112=a ，则⎩⎨⎧=+=+311110411d a d a ⇒⎩⎨⎧=-=321d a∴53)1(1-=-+=n d n a a n5519120=+=d a a解法二：∵3710317512=⇒+=⇒+=d d d a a∴5581220=+=d a a 3)12(12-=-+=n d n a a n小结：第二通项公式 d m n a a m n )(-+=例3设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，判断数列{a n }是否是等差数列？ 解法一：a n =⎩⎨⎧≥-==⇒⎩⎨⎧≥-=-)2( 12)1( 1)2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ∴a n =2n －1（n ∈N ） 又a n +1－a n =2为常数∴{a n }是等差数列解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。
等差数列常用性质
合作探究：问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？由定义得A-a =b -A ，即：2ba A +=反之，若2ba A +=，则A-a =b -A 由此可可得：,,2b a ba A ⇔+=成等差数列 也就是说，A =2ba +是a ,A ,b 成等差数列的充要条件 问题2：在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n的数列的图象，这个图象有什么特点？（2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说说等差数列q pn a n +=的图象与一次函数y=px+q 的图象之间有什么关系？定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+即 m+n=p+q ⇒q p n ma a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )例1在等差数列{na }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a . 分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……例2 等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来例3已知数列{n a }的通项公式为q pn a n+=，其中p,q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定{n a }是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看)1(1>--n a a n n是不是一个与n 无关的常数。
常见等差数列求和公式
常见等差数列求和公式常见等差数列求和公式是数学中非常重要且常用的公式之一。
它能够帮助我们快速准确地求解等差数列的和，而不需要一个一个地相加。
本文将围绕这一公式展开讨论，探讨其原理和应用。
一、等差数列的定义和性质等差数列是指数列中的任意两个相邻项之差都相等的数列。
换句话说，等差数列中每一项与它前面一项的差都是相同的常数，这个常数称为公差。
等差数列的性质包括：1. 等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。
2. 等差数列的前n项和公式：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示前n项的和。
二、等差数列求和公式的推导要理解等差数列求和公式的推导过程，首先需要明确等差数列的通项公式。
通项公式告诉我们，等差数列中的每一项都可以表示为首项与公差的线性函数。
因此，我们可以将等差数列的前n项和表示为一个关于n的二次函数。
假设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn。
根据等差数列的通项公式，我们可以将等差数列的第n项表示为an = a1 + (n-1)d。
将这个式子代入前n项和的公式中，得到Sn = (a1 + (a1+ (n-1)d)) * n / 2，化简后可得Sn = n(a1 + an) / 2。
三、等差数列求和公式的应用等差数列求和公式在数学中有着广泛的应用。
它可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和，从而解决一些实际问题。
以下是一些应用实例：1. 求解等差数列的和：假设有一个等差数列，首项为3，公差为4，求前10项的和。
根据等差数列求和公式，我们可以得到Sn = 10(3 + (3 + 9*4)) / 2 = 270。
2. 求解等差数列中某几项的和：假设有一个等差数列，首项为2，公差为3，求第4项到第8项的和。
根据等差数列求和公式，我们可以得到Sn = 5(2 + (2 + 7*3)) / 2 = 85。
3. 求解等差数列中的未知量：假设有一个等差数列，前n项的和为S，首项为a1，公差为d，求第n项。
等差数列的概念与性质
等差数列的概念与性质等差数列是数学中常见且重要的数列之一。
它是由一系列数字按照相同公差递增或递减而形成的。
本文将介绍等差数列的概念、性质及其在数学和实际生活中的应用。
一、概念等差数列指的是一个数列，其每一项与前一项之差都相等。
公差（d）是其中相邻两项之差。
如果一个等差数列的首项为a₁，公差为d，则数列的通项公式可表示为：aₙ = a₁ + (n-1) * d其中，aₙ为第n项。
二、性质1. 公差与项数的关系：对于等差数列，任意相邻两项之差都等于公差。
所以，如果已知等差数列的首项和末项，以及项数，则可以求得公差的值。
公差（d）可以表示为：d = (aₙ - a₁) / (n - 1)2. 求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式来计算。
对于一个等差数列的前n项和（Sₙ），其计算公式为：Sₙ = (n/2) * (a₁ + aₙ)3. 通项公式的推导：根据等差数列的性质，可以通过推导得出通项公式。
首先，我们知道第n项与首项之间的差距是(n-1)倍的公差，即aₙ = a₁ + (n-1) * d。
经过整理后，可以得到通项公式。
三、应用等差数列在数学和实际生活中有广泛的应用。
1. 数学中的应用：等差数列是数学中重要的概念，并在其他数学领域中得到应用。
例如，在数列和级数中，等差数列的求和公式能够准确计算出前n项的和。
此外，在微积分中，等差数列和等差级数的概念与计算也起到重要的作用。
2. 实际生活中的应用：等差数列在实际生活中的应用较为广泛。
例如，通过分析连续几年的销售数据，可以判断某个产品的销售趋势是否呈现等差数列的规律。
通过识别这样的规律，商家可以对产品定价、库存管理等方面做出更准确的决策。
此外，等差数列还可以应用于金融领域，例如利率的计算、投资回报预测等。
总结：等差数列是数学中的重要概念，其性质包括公差与项数的关系、求和公式以及通项公式的推导。
在数学中，等差数列的应用涉及到数列与级数、微积分等方面。
等差数列的性质2
(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.
a4+a7=28 ①
解 ①、 ② 得 又 a4a7=187 ② ，
解： a4+a5+a6+a7=56
a4= 17
a7= 11
或
a4= 11 a7= 17
∴d= _2或2, 从而a14= _3或31
练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5， -3a +2，则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2
{an＋bn}，{an－bn}，仍是等差数列，且公差分别为： d1＋d2，d1－d2
等差数列的其它性质：
(2)若{an}、{bn}分别是公差为 d1、d2 的等差数列，则下 列{pan＋qbn}(p、q 是常数)是公差为 pd1＋qd2 的等差数列． 3． {an}的公差为 d， 则 d>0⇔{an}为 递增 数列； d<0⇔{an} 为 递减 数列；d＝0⇔{an}为 常 数列．
【方法总结】
等差数列性质较多，利用数列性质
解题，方法灵活，计算简化，应多加思考，培养学生的 发散思维能力．
a2 变式练习 4 数列{an}满足 a1＝ 2a， an＋ 1＝ 2a－ (n an 1 ∈ N )，其中 a 是不为零的常数，令 bn＝ . an － a
*
(1)数列{bn}构成什么数列？并证明你的结论； (2)求数列{an}的通项公式．
[解析] a3＋ a6＋ a9＋ „＋ a99＝ (a1＋ 2d)＋ (a4＋ 2d)＋ (a7＋ 2d) ＋ „„＋ (a97＋2d)＝(a1＋a4＋a7＋„＋a97)＋2d×33＝50＋(－4)×33＝－82.
等差数列与等比数列的概念
等差数列与等比数列的概念等差数列和等比数列是数学中常见的数列类型，它们分别以等差和等比的方式来排列数值。
在本文中，我们将深入探讨等差数列和等比数列的概念、性质以及其在数学和实际生活中的应用。
一、等差数列的概念与性质等差数列是指一个序列，其中每一项与前一项的差都相等。
具体来说，如果一个数列满足每一项与前一项的差都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列常用字母$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$来表示，其中$a_1$为首项，$a_n$为末项，差值常用字母$d$来表示。
等差数列的常规表示形式为：$a_1, a_1+d, a_1+2d, ..., a_1+(n-1)d$，其中$n$为数列的项数。
利用这个规律，我们可以轻松求得等差数列中的任意一项。
等差数列的性质主要包括以下几点：1. 公差：等差数列每一项之差的值称为公差，记作$d$。
公差可以通过任意两个相邻项的差求得。
2. 通项公式：等差数列的通项公式表示第$n$项的计算方式，通常使用$a_n = a_1 + (n-1)d$来表示。
3. 首项与末项：首项是等差数列的第一项，记作$a_1$，末项是等差数列的最后一项，记作$a_n$。
4. 求和公式：等差数列的前$n$项和可以通过求和公式来计算，常用形式为$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$。
二、等比数列的概念与性质等比数列是指一个序列，其中每一项与前一项的比值都相等。
具体来说，如果一个数列满足每一项与前一项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。
等比数列常用字母$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$来表示，其中$a_1$为首项，$a_n$为末项，比值常用字母$q$来表示。
等比数列的常规表示形式为：$a_1, a_1q, a_1q^2, ..., a_1q^{n-1}$，其中$n$为数列的项数。
根据这个规律，我们可以轻松求得等比数列中的任意一项。
等比数列的性质主要包括以下几点：1. 公比：等比数列每一项之比的值称为公比，记作$q$。
等差等比数列的性质总结
等差等比数列的性质总结一、等差数列1、等差数列的定义等差数列（Arithmetic Progression）是指任意两项之差相等的数列。
即：a1, a2 , a3 , a4 ,..., an 构成的数列，其中，a2 - a1 = a3 -a2 = ... ... = an - an−1，又称为等差数列或等差级数，可简记为“等差”或“等差故”。
2、等差数列的性质（1）每一项减去第一项，得到的差为等差数列的公差。
（2）等差数列的每一项都可表示为第一项加上相应的公差乘以第几位：an = a1 + (n-1)d（3）由公式可以推出：等差数列的和∑an = a1 + an其中n是等差数列的项数，d为公差。
（4）等差数列平方之和的求法：∑n²an = a1² + (n + 1)an² + 2[∑(n - 1)an]其中n为等差数列的项数，d为公差。
（5）等差数列的反序列若 a1, a2 , a3 , a4 ,... , an 构成的等差数列，则相反数列为an, an–1, an–2, an–3,... , a1二、等比数列1、等比数列的定义等比数列（Geometric Progression）也叫指数数列，是指任意两项之比相等的数列。
即：a1, a2 , a3, a4 ,... , an 构成的数列，其中，a2/ a1 = a3/ a2 = ... ... = an/ an−1，又称为等比数列或等比级数，可简记为“等比”或“等比故”。
2、等比数列的性质（1）每一项减去第一项，得到的差为等比数列的公比。
（2）等比数列的每一项都可表示为第一项乘以相应的公比的幂次：。
等差数列通项公式与性质
等差数列是指在数列中，任意两项的差都是一个常数的数列。
等差数列通项公式是指可以用来计算等差数列中任意一项的公式。
等差数列通项公式为：
a(n) = a1 + (n-1)d
其中，a(n) 表示数列的第n 项，a1 表示数列的第一项，d 表示数列的公差。
例如，对于数列2, 5, 8, 11, …，a1 = 2，d = 3，则第5 项为a(5) = 2 + (5-1)3 = 11。
等差数列具有以下性质：
等差数列的公差d 是所有项之差的常数。
等差数列的和可以用公式Sn = (n/2)(a1+an) 求得。
等差数列的平方和可以用公式S(n) = (n/3)(a1^2 + an^2 + (n-1)d^2) 求得。
等差数列的等比数列是指对于每一项a(n)，都有a(n+1) / a(n) = q (q 为常数)。
等差数列的等比数列的通项公式为a(n) = a1 * q^(n-1)。
希望这些信息对你有帮助。
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合作探究：
问题1：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？ 由定义得A-a =b -A ，即：
2b a A += 反之，若2
b a A +=
，则A-a =b -A 由此可可得：,,2b a b a A ⇔+=成等差数列 也就是说，A =2
b a +是a ,A ,b 成等差数列地充要条件 问题2：在直角坐标系中，画出通项公式为53-=n a n 地数列地图象，这个图象有什么特点？
（2）在同一直角坐标系中，画出函数y=3x-5地图象，你发现了什么？据此说说等差数列q pn a n
+=地图象与一次函数y=px+q 地图象之间有什么关系？定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 地等差中项
性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+
即 m+n=p+q ⇒q p n m
a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 例1在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a ,
9a . 分析：要求一个数列地某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中地至少一项和公差，或者知道这个数列地任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手……例2 等差数列{n a }中，1a +3a +5a =－12, 且 1a ·3a ·5a =80. 求通项 n a 分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项地问题而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来例3已知数列{n a }地通项公式为q pn a n +=，其中p,q 为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？
分析：判定{n a }是不是等差数列，可以利用等差数列地定义，也就是看)1(1>--n a a n n
是不是一个与n 无关地常数.
等差数列地常用性质：
1.若数列{a n }是公差为d 地等差数列：
(1)d>0时，{a n }是
；d<0时，{a n }是 ；d=0时，{a n }是 ； (2)d= = = （m ，n ∈N +）
(3)通项公式地推广：a n =a m + d （m ，n ∈N +）.
精讲点评： 111111(1)(1)2()2,
(1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：
弥补、拓展与提升：
推论：若m+n=2k ，则a m +a n = ;
自然语言叙述为: ;推论:12132n n n a a a a a a --+=+=+=⋅⋅⋅
自然语言叙述为: .2、若{a n }为等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是 ，公差为 ;
3、若{a n }，{b n }都是等差数列，则{pa n +qb n }（p 、q 为常数）也是 ;如：若{a n }与{b n }都是等差数列，则{a n +b n }，{ a n -b n }也是等差数列；再如：若{a n }是等差数列，则数列{λa n +b}也是等差数列（λ，b 是常数）
4、a m ，a m+k ，a m+2k ，a m+3k ，…，成 ，公差为 ;课堂总结：1．,,2
b a b a A ⇔+=成等差数列 2．在等差数列中， m+n=p+q ⇒q p n m
a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 3．若数列{n a }地通项公式为q pn a n +=地形式，p,q 为常数，则此数列为等差数列. 课后巩固
一.选择题
1、在等差数列{a n }中，a 1+3a 8+a 15=120，则3a 9-a 11=（ ）
A 、6
B 、12
C 、24
D 、48
2、在等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=80，则a 2+a 8=（ ）
A 、8
B 、16
C 、32
D 、64
3、若{a n }为等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9=（ ）A 、39 B 、20 C 、11 D 、33
4、设{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2+b 2=100，则a 37+b 37=（ ）A 、0 B 、37 C 、100 D 、-37
5、已知等差数列{a n }地前三项依次为a-1，a+1，2a+3，则此数列地第n 项a n 等于
A、2n-5
B、2n-3
C、2n-1
D、2n+1
二．填空题
6、在数列{a n}中，a1，a12是方程x2-2x-5=0地两根，若{a n}是等差数列，则a5+a8= .
7、已知{a n}为等差数列，且其公差为d，则{a2n-1}地公差为.
8、在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，则这个数列为.
9、等差数列{a n}中，a15=33，a25=66，则a35=
10、在等差数列{a n}中，已知a m+n=A，a m-n=B，则a m= .
三．解答题
11、已知a，b，lg6，2lg 2+lg 3为等差数列，求a、b地值.
12、设各项均为正数地无穷数列{a n}和{b n}满足：对任意n∈N*，都有2b n=a n+a n+1且a2n+1=b n b n+1.
b}是等差数列；
（1）求证：{
n
（2）设a1=1，a2=2，求{a n}和{b n}地通项公式.
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