对输入响应

ω n 称为无阻 ζ Φ ( s )称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数，
尼振荡圆频率或自然频率。
7
第二章
测量装置的基本特性
当ζ
= 0 时，
c(t ) = 1 − cos ωn t , t ≥ 0
ω n 称为无阻尼振荡圆频 此时输出将以频率 ω n 做等幅振荡，
率。 当 0 < ζ < 1时，
y
ymax
⒈ 延迟时间
td ：
y (∞ ) y (∞ ) 2
0
0.05 y (∞)
或பைடு நூலகம்
0.02 y (∞)
输出响应第一次达到稳 态值的50%所需的时 间。
t td tr tp ts
2
第二章 测量装置的基本特性 ⒉ 上升时间 t r ： 输出响应第一次达到稳态值y(∞) 所需的时间。或指由稳态值的 10%上升到稳态值的90%所需的 时间。 ⒊ 峰值时间 t p ： 输出响应超过稳态值达到第一个 峰值ymax所需要的时间。
二）实际测试过程对失真的要求
首先： 首先：对输入的信号作前期处理， 对输入的信号作前期处理，即 放大、 放大、滤掉非信号频带内 的噪声并防止工作频率中噪声处在测试装置的共振区内。 在选择装置特性时应根据具体要求， 在选择装置特性时应根据具体要求，分析并权衡幅值失真、 分析并权衡幅值失真、相 位失真对测量的影响来确定对装置特性的要求。
瞬态性能指标只有调节时间。 计算调节时间 t s ： 1− ∆ = 1− e 4T，当∆ = 2时 解之得： ts ≈ 3T，当∆ = 5时
t − s T
C(t)
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.632
斜率=1/T
C(∞)
0.95 0.98
可见，调整时间只与时间常数T有关。
t
1T 2T 3T 4T 5T
C(t)
1+ 1 1−ζ 2
1+ e −ζω n t 1−ζ 2
1−ζ 2
= ∆%
2
Δ=5
∴ ts = −
ln( 1 − ζ
1
× ∆ %)
1− e −ζω n t 1−ζ 2
ζω n
0
1−
t
1 1−ζ 2
ts t's
15
衰减振荡瞬态过程的性能指标 衰减振荡瞬态过程的性能指标
第二章
测量装置的基本特性
y
ymax
t p , t r , t s 表示瞬态过程进行的快
慢，是快速性指标
y (∞ ) y (∞ ) 2
0
0.05 y (∞)
或
0.02 y (∞)
δ %, N 反映瞬态过程的振荡程
度，是振荡性指标。
t td tr tp ts
4
第二章
测量装置的基本特性
一阶系统的瞬态响应
R( s) E (s)
-
22
第二章
测量装置的基本特性
⑷
例如：对于二阶系统，控制
该测试系统 波形失真很小. 的输出波形与输 以取得由于输入而引起的输出不产生失真的较好综合效果。 入信号的波形精 确地一致， 确地一致，只是 幅值放大了A0 倍，在时间上延 迟了t0而已。 而已。这种 情况下， 情况下，认为测 试系统具有不失 真的特性。 真的特性。
C(t)
1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
ζ=0.42 ζ=0.68 ζ=0.8
第一个不连续点 第二个不连续点
ζ=1
2.86
4.38 3.38
5.2
7.04
ωn t
10 12
0
2
4
4.75
6
8
在 ζ = 0.4 ~ 0.8之间，调节时间和超调量都较小。工程上常取
ζ =
1 = 0.707 作为设计依据，称为最佳阻尼常数。 2
T1 T e + 2 e T2 −T1 T1 −T2
1
2
t − T1
t − T2
式中
T1 =
ω n (ζ −
ζ
− 1)
T2 =
1
ω n (ζ +
ζ
2
− 1)
9
第二章
测量装置的基本特性
C(t)
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
ζ=0 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ζ=2 0.9 1.0 1.5 0.1 0.2 0.3
2、将给出该系统对 应的单位脉冲响应 num=[0,0,1]; den=[1,1.6,1]; impulse(num,den)
18
第二章 测量装置的基本特性 [总结] 阻尼系数ζ 是二阶系统的一个重要参数，用它可以间接地判断 一个二阶系统的瞬态品质。在ζ > 1的情况下瞬态特性为单调变化 曲线，无超调和振荡，但 t s长。当ζ ≤ 0 时，输出量作等幅振荡或 发散振荡，系统不能稳定工作。 在欠阻尼 (0 < ζ < 1) 情况下工作时，若 ζ 过小，则超调量大，振 荡次数多，调节时间长，瞬态控制品质差。 注意到 δ % = e
6
第二章
测量装置的基本特性
典型二阶系统的瞬态响应
R( s)
-
2 ωn C (s) s ( s + 2ζω n )
开环传递函数为: 2 ωn G(s) = 2 s + 2ζω n s
2 ω G (s) n 闭环传递函数为: Φ ( s ) = = 2 2 1 + G ( s ) s + 2ζω n s + ω n
当 ζ = 1 时， 当 ζ > 1 时，
− ( ζ − ζ 2 −1 ) ω n t − ( ζ + ζ 2 −1 ) ω n t 1 e e − c (t ) = 1 − 2 2 2 ζ 2 −1 ( ζ − ζ − 1 ) ( ζ + ζ − 1)
c(t) =1+
ω nt
0 2 4 6 8 10 12 可以看出：随着 ζ 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有 衰减的正弦运动，当ζ ≥ 1 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。
10
第二章
测量装置的基本特性
⒈ 当时 ζ = 0 ，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续 的等幅振荡。 ⒉ 当时 0 ≤ ζ ≤ 1 ，称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减 的振荡过程。 ⒊ 当 ζ = 1 时，称为临界阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡 过程。 ⒋ 当 ζ > 1 时，称为过阻尼系统，系统的阶跃响应为非振荡过 程。
ζ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 β=cos-1 ζ 84.26° 78.46° 72.54° 66.42° 60° 53.13° δ% 72.9 52.7 37.23 25.38 16.3 9.84 ζ 0.69 0.7 0.707 0.78 0.8 0.9 36.87° 25.84° 45. 57° 45° β=cos-1 ζ δ% 5 4.6 4.3 2 1.5 0.15
⒈ 上升时间 t r ：
tr =
1
ωd
tg −1 (−
1−ζ 2
ζ
)
⒉ 峰值时间 t p ：
π tp = = 2 ωd ωn 1−ζ
12
π
衰减振荡瞬态过程的性能指标 衰减振荡瞬态过程的性能指标
第二章
测量装置的基本特性
−
⒊ 最大超调量 δ %：
ζπ
1−ζ 2
δ%=e
100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0
11
衰减振荡瞬态过程的性能指标 衰减振荡瞬态过程的性能指标
第二章
测量装置的基本特性
二、典型二阶系统的性能指标及其与系统参数的关系 （一）衰减振荡瞬态过程 (0 < ζ < 1)：
c ( t ) = 1 − e − ζω n t (cos ω d t + sin ω d t ) , 1−ζ 2
ζ
t≥0
⑴ 例如： 例如：振动测试中， 振动测试中，有时只要求了解振动中的频率成分和强度， 有时只要求了解振动中的频率成分和强度， 即:要了解其幅值谱而对相位谱不感兴趣。 要了解其幅值谱而对相位谱不感兴趣。此时就应该关注测试装置 的幅频特性并尽可能保证其不真。 的幅频特性并尽可能保证其不真。 ⑵ 例如： 例如：某些测试中， 某些测试中，要求测得波形的延时时间， 要求测得波形的延时时间，这时就应该对装 置的相频特性严格要求， 置的相频特性严格要求，以减小相位失真引起的测试误差。 以减小相位失真引起的测试误差。 ⑶ 例如： 例如：对一阶系统而言， 对一阶系统而言，时间常数τ 时间常数τ越小， 越小，系统响应越快， 系统响应越快，频 带越宽。 带越宽。故适当控制时间常数τ 故适当控制时间常数τ “越小” 就达到了不失真的要求。
y
如某系统的单位阶跃响 应曲线如图所示：
0
瞬态过程
稳态过程
t
1
第二章
测量装置的基本特性
瞬态过程的性能指标 通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义瞬态过 程的时域性能指标。稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃 响应函数有衰减振荡和单调变化两种。 （一）衰减振荡： 具有衰减振荡的瞬态过程如图所示：
第二章
测量装置的基本特性
测试装置的瞬态过程 系统达到稳态过程之前的过程称为瞬态过程。瞬态分析是 分析瞬态过程中输出响应的各种运动特性。理论上说，只有当 时间趋于无穷大时，才进入稳态过程，但这在工程上显然是无 法进行的。在工程上只讨论输入作用加入一段时间里的瞬态过 程，在这段时间里，反映了主要的瞬态性能指标。
20
第二章
测量装置的基本特性