全概率公式

全概率公式
在实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑。

全概率公式就是一个运用这样思想去解决复杂问题的有力武器。

一、引例
例1 甲盒中有2只白球，5只红球；乙盒装中有3只白球，4只红球，现从 甲盒中任意取一只球放入乙盒，再从乙盒中任取一只球，求取到白球的概率。

分析：这是一个从未遇到的问题，在这个问题中，包含两个相继进行的随机试验，第一个是从甲盒中任取一只放入乙盒，第二个是从乙盒中任取一只。

第二个随机试验的结果受到第一个结果的影响。

现在的主要问题是不知道从甲盒中取出后放入乙盒中的球是什么颜色。

设{}A 从乙盒中取到白球，现在要求()P A 。

再设1{}B 从甲盒中取出的是白球，
2{}B 从甲盒中取出的是红球。

现在我们来分析12A B B 与，的关系。

12A AB AB 发生当且仅当发生，即1212A AB AB AB AB 。

则
121122()()()()(|)()(|)P A P AB P AB P B P A B P B P A B
245323787856
=⨯+⨯=。

这就是将复杂事件分解为互不相容事件和的分析方法，现将此问题一般化抽象出全概率公式。

一、 全概率公式
定义1 设12,,,n B B B 是样本空间Ω中的一组事件，且满足：
⑴ 互斥性 Φ(;,1,2,
,)i j B B i j i j n =≠=； ⑵ 完全性
1Ωn
i i B 。

则称12,,,n B B B 为Ω的划分。

例1中的12,B B 构成了样本空间的划分，下面我们利用维恩图来看一下例1
的一般情况。

111Ω=n n
n
i i i i i i A A A
B AB AB ======∑ 若()0,(1,2,
)i P B i n 111
()()()()(|)n n n
i i i i i i i P A P AB P AB P B P A B ======∑∑∑
这就是我们抽象出来的全概率公式。

定理1 设A 是样本空间Ω中任意随机事件，12,,
,n B B B 是Ω的一个划分，
且()0,(1,2,)i P B i n ，则 1()()(|)n
i i i P A P B P A B ==∑
全概率公式。

注：⑴ 内涵：全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算。

即运用了“化整为零”的思想处理问题。

我们认真分析定理1中的已知条件后，将所研究事件的试验结果视为A ，而导致事件A 发生的若干不同的假设情况也可以理解为各种原因视为12,,
,n B B B ，而且只有12,,
,n B B B 发生了才有事件A 的发生。

那么全概率公式做出了由因求果
的推断。

（2）关键点：什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式。

合理选择12,,,n B B B ，(),(|)(1,2,,)i i P B P A B i n 易求。

二、 实例
例2 设有两箱同一种商品：第一箱内装50件，其中10件优质品；第二箱内30件，其中18件优质品。

现在随意的打开一箱，然后从箱中随意取出一件，求取到是优质品的概率。

解：设{}A 取到的是优质品，{}1,2)i B i i 打开的是第箱（ 121()()2P B P B 12101183(|),(|)50530
5P A B P A B 直接利用全概率公式： 11222()()(|)()(|)
5P A P B P A B P B P A B。