04第四章运动学基础

s
M
(＋)
s 250t 5t 1 375
2
第四章 运动学基础
第三节 点运动的自然表示法
【解】 飞机的速度
O r a
(－) M0
ds v 250 10t dt
飞机的切向加速度和法向加速度
dv a 10 dt v2 1 an (250 10t ) 2 1500
| |1于是
2 sin 2 sin 2 d 1 lim | | lim lim ( ) t 0 S t 0 t 0 S S dS 2
第四章 运动学基础
第三节 点运动的自然表示法
五.点的加速度
★ 法向加速度
1 lim | | t 0 S
三、自然轴系 2、自然轴系的概念
自然轴系与笛卡 儿坐标系的区别 自然轴系 、 n 、 b 的方向随动点位置的变 动而变动， 单位矢量、 n、b的方向不断变化。 笛卡儿坐标系为固定坐 标系，单位矢量i、j、k 为定矢。
第四章 运动学基础
第三节 点运动的自然表示法
四、点的速度
v lim r t 0 t r S lim ( ) t 0 S t lim
S S( t )
第四章 运动学基础
第三节 点运动的自然表示法
三、自然轴系 1、密切面的概念 由于动点附近 的微小弧段可以可 以近似的看成为一 条在密切面内的平 面曲线，因此对平 面曲线而言，密切 面就是此时该曲线 所在的平面。
第四章 运动学基础
第三节 点运动的自然表示法
三、自然轴系 2、自然轴系的概念
第四章 运动学基础
第三节 点运动的自然表示法
例4-3 曲柄连杆机构中曲柄OA和连杆AB的长度分别为r
和l。且l>r，角=w t，其中w是常量。滑块B可沿轴Ox作往复 运动，试求滑块B的运动方程，速度和加速度。
【解】 考虑滑块 B 在任意位置，由几何关系得滑块 B 的坐标
r x r cos w t l 1 sin 2 w t l
一、运动方程
选O为原点 ， 当动 点运动时，则矢径 r 的 大小及方向均随时间而 变，矢径端点所抽绘的 曲线就是动点的轨迹。 矢径的运动方程为
r OM r ( t )
点所经过的路径称 为点的运动轨迹。
第四章 运动学基础
第一节 点运动的矢量表示法
二、点的速度 在从t 时刻到t +Δt 时刻这一段时间间隔内， 位移
dv a dt d2r 2 dt
a axi a y j az k
a ax a y az
2 2 2
dv a dt
an
v2

第四章 运动学基础
第三节 点运动的自然表示法
小结
1、矢量法适用于理论推导；
2、自然法适用于点的运动轨迹已知时；
3、直角坐标法为最常用的方法。
★ 切向加速度
a
——表示速度大小的变化
dv d 2 S a 2 dt dt
★ 法向加速度 a n ——表示速度方向的变化
d S 2 an v v lim v lim ( ) v lim t 0 t t 0 S t t 0 S dt
d v 2 2 an v v lim n t 0 S dt
dv v2 a a an n dt
| a | a a a , arctan an
2 2 n
第四章 运动学基础
第三节 点运动的自然表示法
矢径法 运动 方程
直角坐标法
运 动 学

点的运动 刚体的运动
曲线运动 平面曲线运动
直线运动
刚体的平动 刚体的定轴运动 刚体的平面运动 刚体的定点运动 刚体的一般运动
空间曲线运动

刚体的基本运动
第一节 点运动的矢量表示法 第二节 点运动的直角坐标法 第三节 点运动的自然表示法 第四节 刚体的平动 第五节 刚体的定轴转动
y
A B x
2
O

C
l
第四章 运动学基础
第三节 点运动的自然表示法
【解】 将φ=ωt 代入上式得
x OC CB r cos l 2 r 2 sin 2 r 2 2 r cos l 1 ( ) sin l
点的运动的两类问题
1、已知运动方程（或某些运动条件，建立运动方程），
然后求其它量。
——微分法
2、已知速度方程（或加速度方程），求运动方程。
——积分法
第四章 运动学基础
第三节 点运动的自然表示法
L A l B O vt M x
例4-1 一人在路灯下由
灯柱起以匀速 v 沿直线背离 灯柱行走。设人高AB=l，灯 高 OL=h ， 试 求 头 顶 影 子 M 的速度和加速度。
v vx i v y j vz k
v v x v y vz
2 2 2
第四章 运动学基础
第二节 点运动的直角坐标法
三、点的加速度
dv a axi a y j az k dt dv y dv x dv z i j k dt dt dt d 2x d2y d 2z 2 i 2 j 2 k dt dt dt
v
a
速度矢端曲线
加速度方向沿速度矢端 曲线的切线。
第一节 点运动的矢量表示法 第二节 点运动的直角坐标法 第三节 点运动的自然表示法 第四节 刚体的平动 第五节 刚体的定轴转动
第六节 定轴转动的矢量表示法
第四章 运动学基础
第二节 点运动的直角坐标法
一、运动方程
r xi yj zk
半径r=1500m的圆弧作机动飞行，其中s以m计，t以s计，当 t=5s时，试求飞机在轨迹上的位置M及其速度和加速度。
【解】 因已知飞机沿圆弧轨迹 的运动方程，宜用自然法求解。 取M0为弧坐标 s 的原点，s 的 正负方向如图所示。 当t = 5 s时，飞机的位 置M可由弧坐标确定
O r
(－) M0
六、运动学中与位置相关的重要概念——参考体 参考体：描述物体的运动之前被选作参照物的物体。
参考系：将所取参考体经抽象化处理，以坐标系出现。
七、基本要求 1、能选用合适的方法描述点的运动和刚体的基本运 动。能熟练的计算速度和加速度、角速度和角加速度； 2、能正确的分析刚体的平面运动，能熟练地确定速 度瞬值，计算刚体角速度，熟练的选用不同的方法求平面 图形上各点的速度和角速度; 3、正确地选择动点和动系，应用合成运动的方法求 点的速度和加速度。
an
M
v0
s
(＋)
v
aτ
飞机的全加速度 a 为
2 a a2 an 60.8 m / s 2
代入 t = 5s得
v 300m / s a 10 m / s 2 , an 60 m / s 2
a tan 0.166, 9.5 an
第四章 运动学基础
第三节 点运动的自然表示法
第六节 定轴转动的矢量表示法
第一节 点运动的矢量表示法 第二节 点运动的直角坐标法 第三节 点运动的自然表示法 第四节 刚体的平动 第五节 刚体的定轴转动
第六节 定轴转动的矢量表示法
第四章 运动学基础
第一节 点运动的矢量表示法
第四章 运动学基础
第一节 点运动的矢量表示法
第四章 运动学基础
第一节 点运动的矢量表示法
第六节 定轴转动的矢量表示法
第四章 运动学基础
第三节 点运动的自然表示法
一、弧坐标与自然法 当点的运动轨迹已知时，可沿点的轨迹曲线建立一条曲 线坐标轴，任选一点O为原点，并规定原点O的一侧弧长为 正，动点M到原点O的弧长S=OM称为弧坐标，用弧坐标来描 述点的运动的方法称作自然坐标法，也称自然法。 二、运动方程 弧坐标S是代数量，是 关于时间t的连续函数，称 作运动方程，即
x x( t ), y y( t ),z z( t )
自然法
r r( t )
dv v dt
s s( t )
ds v dt
v vxi v y j vz k
速度
vx
dx dt
,v y
2
dy dt
2
,vz
2
dz dt
v vx v y vz
加 速 度
r MM r ( t t ) r ( t )
平均速度
瞬时速度
r v* t
Δ r dr r t Δ t dt 0
v lim
Δ
方向沿轨迹的切线。
第四章 运动学基础
第一节 点运动的矢量表示法
曲线运动中速度沿轨迹切线，指向前进的方向。
第四章 运动学基础
第一节 点运动的矢量表示法
三、加速度
在从t 时刻到t +Δt 时刻 这一段时间间隔内
速度变化量
M
v
a
v
v v ( t t ) v ( t )
平均加速度
v
M
v a* t
v第四章 运动学基础来自第一节 点运动的矢量表示法
三、加速度
加速度
M
Δ v dv a lim 2 r Δ t 0 Δ t dt dt d 2r
x x(t ), y y (t ), z z (t )
v
消去参数 t 后，可得到 F(x,y,z)=0 形式的轨迹方程。 二、点的速度 dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt
vx cos(v , i ) v vy cos(v , j ) v vz cos(v , k ) v