第2章 复习与小结

第2章复习与小结
教学目标：
1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性．
2．理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．
教学重点：
（1）离散型随机变量及其分布列；
（2）条件概率及事件的独立性；
（3）离散型随机变量的期望与方差；
（4）离散型随机变量及其分布列及其两个基本性质．
教学方法：
探析归纳，讲练结合．
教学过程
一、知识梳理
1．随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量X表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，那么这样的变量X叫随机变量，随机变量常用希腊字母X，Y，…表示．如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X可能取得的值为x1，x2，…，x n，取得每一个值的概率为p1，p2，…，p n，则称表
为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．离散型随机变量X的分布列的性质：（1）p i≥0，i＝1，2，3，…
（2）p1＋p2＋p3＋…p n＝1．
一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
3．二点分布．
如果随机变量X 的分布列为：
其中0＜p ＜1，q ＝1－p ，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布． 4．超几何分布：一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有n 件，从所有物品中任取M 件（M ≤N ），这M 件中所含这类物品的件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为P (X ＝m )＝C C C --n n m
M N M
n
N
（0≤m ≤l ，l 为n
和M 中较小的一个）．
我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．
5．条件概率．
一般地，设A ，B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B │A )＝
(|)()
P A B P B ＝
()()
P AB P A 为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．一般把P (B │A )读作“A 发生的条件下B 的概率”．
古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则 P (B │A )＝
()()
P AB P A ＝
()()
n AB n A ．
6．条件概率的性质：条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P (B │A )≤1．如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C │A )＝P (B │A )＋P (C │A ).
7．事件的独立性：设A ，B 为两个事件，如果P (B │A )＝P (B )，则称为事件A 与事件B 相互独立，并把A ，B 这两个事件叫做相互独立事件．
8．独立重复试验：一般地，在相同条件下，重复地做n 次试验称为n 次独立的重复试验．
在n 次的独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：P (X ＝k )＝C k n
p k
(1－p )n －k ，k ＝0，1，2，…，n ，其中p 是一次试验中该事件发生的概率，实际上，C k n
p k (1－p )n －k 正好是二项式[(1－p )＋p ]n 的展开式中的第k ＋1项． 9．二项分布：若将事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率设为 q ＝1－p ，那么在n 次独立的重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝C k n
p k q n －k （其中k ＝0，1，2，…，n )，于是得到X 的分布列：
由于表中的第二行恰好是二项式展开式0
()C -=∑n
n r r n r n r q p p q ＋＝各对应项的值，
则称这样的离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记为X ～B (n ，p )．
10．期望：设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x 1，x 2，…，x n ，这些值对应的概率是p 1，p 2，…，p n ，则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）．
（1）离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平，是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均．
（2）E (X )是一个实数，即X 作为随机变量是可变的，而)(X E 是不变的，它描述X 取值平均状态
（3）数学期望的性质：当随机变量为常数时，E (c )＝c ；当离散型随机变量X ~B (n ，p )时，E (X )＝np ；当离散型随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布时，则E (X )＝
nM N
．
二、典例探析
例1 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，求X 的分布列．
例2 袋中有1只红球和9只白球，每次从袋中任取一球，取后放回，直到取得红球为止，求取球次数X 的分布列．
例3 有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率．
例4 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31
．
1．设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； 2．设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列； 3．求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． 三、课堂练习
1．从甲口袋内摸出1个白球的概率是31
，从乙口袋内摸出1个白球的概率
是
12
，从两个口袋内各摸出1个球，那么5
6
是 ．
①2个球不都是白球的概率；②2个球都不是白球的概率；
③2个球都是白球的概率； ④2个球恰好有一个球是白球的概率． 2．在一段时间内，甲去某地的概率是
14
，乙去此地的概率是1
5
，假定两人
的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是 ．
3．将三颗骰子各掷一次，假设事件A ＝“三个点数都不相同”，B ＝“至少出现一个6点”，则概率P (A │B )等于 ．
4．若X ～B (5，0.1)，那么P (X ≤2)等于 ．四、要点归纳与方法小结
解决离散型随机变量分布列问题时，主要依靠概率的有关概念和运算，其关键是要识别题中的离散型随机变量服从什么分布，像本例中随机变量X 表示遇到红灯次数，而每次遇到红灯是相互独立的，因此这是一个独立重复事件，符合二项分布，即X ～B (n ，p )．分布列能完整地刻画随机变量X 等相应概率的变化情况，在分布列中第一行表示X 的所有可取值，第二行对应的各个值（概率值）必须都是非负实数且满足其和为1．。