临泉县高塘镇中心学校21.2.3.二次函数表达式的确定
《确定二次函数的表达式》导学案
《确定二次函数的表达式》导学案确定二次函数的表达式导学案一、引入部分学习目标：了解二次函数的特点以及确定二次函数的表达式的方法。
思考问题：你对于二次函数有什么了解？二、导入问题问题1：你能给出一个二次函数的例子吗？问题2：二次函数有什么特点？三、概念解释1. 二次函数：二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c 的函数，其中a、b、c为常数。
2.顶点：二次函数的图像是一个开口向上或者向下的抛物线。
抛物线的顶点是图像的最高或者最低点。
3. 轴对称：对于二次函数f(x) = ax² + bx + c，有f(x) = f(-x)成立。
即二次函数的图像关于y轴对称。
四、确定二次函数的表达式的方法1.已知顶点和一点：假设已知二次函数的顶点为（h,k），同时通过顶点外的一点（x₁,y₁），我们可以根据这两个信息确定二次函数的表达式。
思考问题：如果已知顶点为（2,3），通过顶点外的一点（4,4），如何确定二次函数的表达式呢？解答：首先，我们可以通过顶点（2,3）得到二次函数的常数项c。
将顶点的坐标代入二次函数的表达式中，得到3=a(2)²+b(2)+c，即4a＋2b＋c=3然后，将顶点外的一点（4,4）代入二次函数的表达式中，得到4=a(4)²+b(4)+c，即16a＋4b＋c=4现在我们有了两个方程：4a＋2b＋c=316a＋4b＋c=4通过解这个方程组，我们可以得到a、b、c的值，从而确定二次函数的表达式。
2.已知三点思考问题：如果我们已知二次函数通过三个点（1,2），（2,3），（3,4），如何确定二次函数的表达式呢？解答：假设这个二次函数的表达式为f(x) = ax² + bx + c。
将三个点代入二次函数的表达式中，得到以下三个方程：a+b+c=2(1)4a+2b+c=3(2)9a+3b+c=4(3)通过解这个方程组，我们可以得到a、b、c的值，从而确定二次函数的表达式。
确定二次函数的表达式课件
跟踪练习1．已知抛物线的顶点为(1，-3)，且与y 轴交于点(0，1)，求这个二次函数的解析式
解:因为抛物线的顶点为(1，-3)，所以设二此函数的
关系式为y＝a(x－1)2－3，又由于抛物线与y轴交于
点(0，1)，可以得到
1＝a(0－1)2－3
解得
a＝4
所以，所求二次函数的关系式是y＝4(x－1)2－3．
1.通过知识回顾,交流思考,明确待定系数法求二次 函数解析式的方法和步骤; 2.通过例题的学习和跟踪练习的训练,熟练得根据 条件设顶点式.交点式.一般式(恰当的情势)求二次 函数解析式
3.通过一题多变,一题多解等变式训练,培养发散思 维
4.通过典例学习,跟踪训练,综合运用和拓展提升等 环节,学会用数形结合,方程,转化,优选的数学思想 解决数学问题.
1、用待定系数法确定二次函数的关系式的 基本步骤是什么？
设
代
解
写
2、如何选择设法？
①已知三点，设y=ax2+bx+c ②已知顶点，设y=a(x-h)2+k
3、求待定系数时需要几个条件？ 几个待定系数需要几个点
4、体会用到了什么样的数学思想？ ①特殊到一般 ②方程 ③ 数形结合
综合应用
一题多解
例4 已知抛物线的顶点为A(-1，-4)，又知它y与x 轴 的两个交点B、C间的距离为4，求其解析式。
一般式： 例3 求经过有三点 A（-2，-3），B（1，0）， C（2，5）的二次函数的解析式.
三个点设一般式 代入有先后
y
·5 ·C
·
·
·
·
··
-3 –2
–·1 o
B·
1
·
2
x
九年级数学下册2.3确定二次函数的表达式二次函数表达式确定策略素材北师大版(new)
二次函数表达式确定策略确定二次函数表达式是本章的重点内容，学生由于初学二次函数,常常在确定表达式时出现这样那样的错误。
下面举例简述几种常见的确定策略，供大家学习时参考.一、利用二次函数的定义来确定.此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足条件0≠a 且x 的最高次数为2次。
例1.若 1222)(--+=m m x m m y 是二次函数，则此二次函数的表达式是 。
分析：根据题意先求出m 的值,再将m 值代入，即可求出二次函数表达式。
解：由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≠+=--021222m m m m ,解得.3=m 将3=m 代入1222)(--+=m m x m m y 得：212x y =。
二、利用待定系数法来确定。
利用待定系数法确定二次函数表达式，常用的有三种基本形式，如表所示：例2. 已知二次函数的图象的顶点为A （2，-2) ,并且经过B （1,0)、C(3，0),求这条抛物线的表达式。
分析：根据题意，本题可用一般式、顶点式或交点式来解决.解法1：设二次函数表达式为c bx ax y ++=2，将A （2，—2)、B(1，0)、C （3，0)代入，得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=++0390224c b a c b a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==682c b a 。
所以.6822+-=x x y解法2:设二次函数表达式为2)2(2--=x a y ，将B(1，0）代入，得2)21(02--=a ，解得2=a 。
所以2)2(22--=x y ,即.6822+-=x x y解法3：设二次函数表达式为)3)(1(--=x x a y ，将A(2,-2)代入，得：)32)(12(2--=-a ,解得2=a .所以)3)(1(2--=x x y ，即.6822+-=x x y三、利用平移变换来确定.将一个二次函数的图像经过上下左右的平移可得到一个新的抛物线．由于经过平移的图象形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 值不变。
确定二次函数的表达式(经典)
01
解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系
02
设它的函数表达式为: y=ax² (a≠0)
解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c ∵ 图象过B(0,2) ∴ c=2 ∴ y=ax2+bx+2 ∵ 图象过A(2,-4),C(-1,2)两点 ∴ -4=4a+2b+2 2=a-b+2 解得 a=-1,b=-1 ∴ 函数的解析式为： y=-x2-x+2
03
谈谈你的收获
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。
01
〔议一议〕 通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么?
（待定系数法）
你能否总结出上述解题的一般步骤?
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系; 2.设抛物线的表达式; 3.写出相关点的坐标; 4.列方程(或方程组); 5.解方程或方程组,求待定系数; 6.写出函数的表达式;
单击此处添加正文，文字是您思想的提炼，为了演示发布的良好效果，请言简意赅地阐述您的观点。您的内容已经简明扼要，字字珠玑，但信息却千丝万缕、错综复杂，需要用更多的文字来表述；但请您尽可能提炼思想的精髓，否则容易造成观者的阅读压力，适得其反。正如我们都希望改变世界，希望给别人带去光明，但更多时候我们只需要播下一颗种子，自然有微风吹拂，雨露滋养。恰如其分地表达观点，往往事半功倍。当您的内容到达这个限度时，或许已经不纯粹作用于演示，极大可能运用于阅读领域；无论是传播观点、知识分享还是汇报工作，内容的详尽固然重要，但请一定注意信息框架的清晰，这样才能使内容层次分明，页面简洁易读。如果您的内容确实非常重要又难以精简，也请使用分段处理，对内容进行简单的梳理和提炼，这样会使逻辑框架相对清晰。
确定二次函数的表达式(第2课时)同步课件
随堂练习
1.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过（1，－1），（2，－4） 和（0，4）三点，那么a，b，c的值分别是（ D ）
A.a＝－1，b＝－6，c＝4 B.a＝1，b＝－6，c＝－4 C.a＝－1，b＝－6，c＝－4 D.a＝1，b＝－6，c＝4
随堂练习
2.如图，抛物线与x轴交于点（－1，0）和（3，0），
随堂练习
（2）把x=-2代入y=x2-2x-3，得y=5. ∴点D的坐标为（-2，5）. ∵A（3，0），即OA=3，
∴S△AOD=12
×
3×5=来自15 2课堂小结
待定系数法 已知条件 求二次函数解析式 所选方法
①已知三点坐标
用一般式法：y=ax2+bx+c
②已知顶点坐标 或对称轴或最值
③已知抛物线与 x轴的两个交点
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
典例解析
例1:已知二次函数的图象经过(-1,10)，(1,4)，(2,7)三点，求这个二次函 数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标.
解：设二次函数的表达式： y ax2 bx c
10 a b c,
将三点(-1,10)，(1,4)，(2,7)的坐标分别代入表达式，得 4 a b c,
自主合作，探究新知
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个
二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是
y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），
（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0，
a=-1，
a-b+c=0， 解得 b=-4，
c=-3，
21.2.3 二次函数表达式的确定1
*3.二次函数表达式的确定1．通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法；(重点)2．会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．(难点)一、情境导入某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时喷水水平距离为12米，你能写出如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式吗？二、合作探究 探究点：用待定系数法求二次函数解析式【类型一】 用一般式确定二次函数解析式已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的关系式．解析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．解：设这个二次函数的关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝－4，a ＋b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，c ＝－4.∴这个二次函数的关系式为y ＝2x 2＋3x －4.方法总结：当题目给出函数图象上的三个点时，设一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值． 【类型二】 用顶点式确定二次函数解析式已知二次函数的图象顶点坐标是(－2，3)，且过点(－1，5)，求这个二次函数的关系式．解：设二次函数关系式为y ＝a (x ＋h )2＋k ，∵图象顶点是(－2，3)， ∴h ＝2，k ＝3.依题意得5＝a (－1＋2)2＋3，解得a ＝2.∴二次函数的关系式为y ＝2(x ＋2)2＋3＝2x 2＋8x ＋11.方法总结：若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设y ＝a (x ＋h )2＋k .顶点坐标为(－h ，k )，对称轴为x ＝－h ，极值为当x ＝－h 时，y 极值＝k .【类型三】 用交点式确定二次函数解析式已知抛物线与x 轴相交于点A (－1，0)，B (1，0)，且过点M (0，1)，求此函数的解析式．解析：由于已知图象与x 轴的两个交点，所以可设y ＝a (x －x 1)(x －x 2)求解．解：因为点A (－1，0)，B (1，0)是图象与x 轴的交点，所以设二次函数的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －1)．又因为抛物线过点M (0，1)，所以1＝a (0＋1)(0－1)，解得a ＝－1，所以所求抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －1)，即y ＝－x 2＋1.方法总结：此题也可设y ＝a (x ＋h )2＋k ，因为与x 轴交于(－1，0)，(1，0)，故对称轴为y 轴．三、板书设计二次函数表达式的确定⎩⎪⎨⎪⎧设y ＝ax 2＋bx ＋c 设y ＝a （x ＋h ）2＋k 设y ＝a （x －x 1）（x －x 2）教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，体会学习数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣．。
确定二次函数的表达式_教案
确定二次函数的表达式用三种方式表示二次函数【教学目标】一、教学知识点1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同侧面对函数性质进行研究。
3．经历用三种方式表示变量之间二次函数关系的过程，体会三种方式之间的联系与各自不同的特点。
二、能力训练要求1．通过解决用二次函数所表示的问题，培养学生的运用能力。
2．通过对二次函数的三种表示方式的特点进行研究，训练大家的求同求异思维。
三、情感与价值观要求1．通过用二次函数解决实际问题，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，同时激发他们学习数学的兴趣。
2．初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识。
【教学重点】1．能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
2．能够根据二次函数的不同表示方式，从不同的侧面对函数性质进行研究。
【教学难点】能够分析和表示变量之间的二次函数关系，并解决用二次函数所表示的问题。
【教学方法】讨论式学习法。
【教学准备】投影片四张第一张：（记作A）第二张：（记作B）函数的三种表示方式，即表格、表达式、图像法，我们都不陌生，比如在商店的广大家可能注意到了函数的图像在第一象限。
可是我们知道开口向下的抛物线可以到达第四象限和第三象限，这是什么原因呢？至9，而这些点正好都在第一象限，所以图像只能画在第一象限。
不同意。
不是因为列表中自变量的取值的原因，而是由于实际情况。
函数值取何值时，长方形的面积最大？它的最大面积是多少？你是怎样得到的？请你的变化而变化的情况。
的取值范围即是使函数有意义的自变量的取值范围。
请大家互相交流。
应取正数，即取何值时，长方形的面积最大，就是求自变量取何值时，函数有最大值，所化成顶点式。
当的增大而减小，另一边是，设其中较大的一个数为你能分别用函数表示式、表格和图像表示这种变化吗？x的取值范围是什么？）图像的对称轴和顶点坐标分别是什么？的变化而变化的情况？（四）根据以上三种表示方式得到下列问题的解答：（1）因为数可以是正数、负数和零，所以x的取值范围为任何实数。
二次函数表达式的确定方法
二次函数的表达式的确定方法[教学内容]二次函数的表达式的确定方法 [教学目标]1、会利用给定条件求出相应的二次函数表达式。
2、会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，注意常见的三种形式。
[教学重点]确定二次函数的表达式，[教学难点]能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题[前提测评]1.点与函数图像的关系练习：反比例函数xk y =的图像过点（2，3），则k= 2.三元一次方程组的解法练习：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+8795932743z y x z y x z x 解三元一次方程组 3.顶点式的二次函数 练习：二次函数的顶点坐标是5)5(212-+-=x y[教学新知]例：1。
一般式一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A 、B （1，0），且经过点C （2，8）。
求该抛物线的解析式练习：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(0，4)，(1，3)，(－1，4)三点，求抛物线的解析式．2。
双根式：例：一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A 、B （1，0），且经过点C （2，8）。
求该抛物线的解析式练习：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．3。
顶点式例：二次函数顶点坐标为)29,21(--，过（2，8）点，求该物线的解析式练习：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．[运用诊断]1.（10北京24（1））在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = -41-m x 2+45mx +m 2-3m +2 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条抛物线上。
求点B 的坐标；2.（11海淀一模24（1））已知平面直角坐标系xOy 中, 抛物线2(1)y ax a x =-+与直线y kx =的一个公共点为(4,8)A . 求此抛物线和直线的解析式；3.（2011东城一模25（1））如图，已知二次函数y=ax 2+bx +8（a ≠0）的图像与x 轴交于点A （-2，0），B ，与y 轴交于点C ，tan ∠ABC =2．（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；[课后攻固]1.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．2.抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．3.抛物线y＝ax2＋bx＋c过(0，4)，(1，3)，(－1，4)三点，求抛物线的解析式．。
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3、已知二次函数与x轴两交点为（﹣1，0）（5，0）且图象过（0，5），求二次函数的表达式.
分析：由抛物线与x轴两交点可知，选择交点式
解：设y=a(x＋1)(x－5) 把x=0，y=-5带入得 a(0＋1)(0-5)=-5 解得a=1 所以 y=(x＋1)(x－5), =-1,b=-6. 5=a-b， ∴ y=-x2-6x.
{
2．已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时， y有最小
值－1， 求这个二次函数的表达式．
解:∵当x=1时，y有最小值-1，适合用顶点式
∴可设该二次函数的表达式为y=a(x-1)2-1.
又∵该函数图象经过原点， ∴0=a(0-1)2-1，a=1, ∴y=(x-1)2-1=x2-2x.
例2：二次函数的图象过点A(0，5)，B(5，0)两点，它的对称
轴为直线x=3，求二次函数的表达式.
解：∵二次函数的对称轴为直线x=3 ∴二次函数表达式为 y=a(x-3)2+k ∴ 5=a(0-3)2+k， 0=a(5-3)2+k， ∴二次函数的表达式y=(x-3)2-4 即 y=x2-6x+5 解得 a=1， k=-4 顶点式
x2 再将另一点的坐标代入即可求出 a的值．
课后作业
课本P27：
T9
、T14
(2)已知顶点坐标：设二次函数解析式为y=a(x＋h)2+k (a≠0); (3)已知抛物线与x轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0) 可设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0).
讲授新课
用待定系数法求二次函数的解析式
典例精析
例1:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函
21.2 二次函数的图象和性质
*3.二次函数表达式的确定
安徽省临泉县高塘镇中心学校
张矿齐
学习目标
知识与技能：
通过对待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式 的方法；
会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式
过程与方法：
通过探索不同二次函数的形式，能区分二次函数一般式、顶点式、交
点式三种形式的特点和各自具备的条件，掌握用待定系数法求这三种形式 的二次函数
顶点式
例4：已知二次函数与x轴两交点横坐标为1，3，且图象过 （0，-3），求二次函数的表达式. 解： 由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3 ∴ 设y=a(x-1)(x-3). ∵图象经过（0，-3）
∴ a(0-1)(0-3)=-3,
∴a=-1 ∴ y=-(x-1)(x-3), 即 y=-x2+4x-3.
交点式
提示：已知抛物线与x轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0)，可设二 次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)。（注意运算符号）
当堂练习
根据下列已知条件，选择合适的方法求二次函数的表达式： 1.已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8) 和(－1，5)，求这个二次函数的表达式． 解:∵该函数缺少常数项，图象经过点（-2,8）和 （-1,5），
例3 ：已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)，求二次 函数的表达式. 解： ∵顶点是（1，2） ∴设y=a(x-1)2+2， 又 ∵抛物线 过点（2，3） ∴a(2-1)2+2=3，∴a=1 ∴ y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3 提示：三种适合用顶点式的条件 1、已知定点坐标（h,k），2、对称轴方程x=h时，3、当自变 量x去某个值时有最值，优先选用顶点式.
数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式. 解：设所求的二次函数为 y ax 2 bx c , 由题意得：
a b c 10 abc 4 4a 2b c 7
解得，a 2, b 3, c 5
待定系数法
所求的二次函数是 y 2x 2 3x 5
看菜做饭、量体裁衣
(1)已知三点坐标,设二次函数解析式为y=ax2+bx+c (a≠0);
(2)已知顶点坐标：设二次函数解析式为y=a(x＋h)2+k (a≠0);
(3)已知抛物线与x轴两交点坐标为(x1,0),(x2,0) 可设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0).
(1)已知三点坐标,设二次函数解析式为y=ax2+bx+c (a≠0);
情感态度与价值观：
培养学生会根据条件筛选解题方法的能力
导入新课
回顾与思考 1．二次函数关系式有哪几种表达方式？ 一般式： y＝ax2 ＋ bx＋c (a≠0) 顶点式：y ＝ a(x ＋ h)2 ＋ k (a≠0)
交点式：y ＝ a(x －x1 ) (x － x2 ) (a≠0) 2．还记得我们是怎样求一次函数的表达式吗？ 用待定系数法求解．
课堂小结
1.求二次函数y＝ax2 ＋ bx＋c的表达式，关键是求出待定系数 a，b，c的值，由已知条件列出关于a，b，c的方程或方程组，
求出a，b，c，就可以写出二次函数的表达式． 2.当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式y ＝ a(x ＋ h)2 ＋
k，将h、k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a 的值． 3.当给出与x轴的两个交点，可设交点式y ＝ a(x －x1 )(x－x 2 )，