8_第五章_非平稳时间序列的随机分析(I)_ARIMA
时间序列分析第五章非平稳序列的随机分析
考察差分运算对该序列线性趋势信息的提 取作用
2020/3/12
时间序列分析
差分前后时序图
原序列时序图
差分后序列时序图
2020/3/12
时间序列分析
例5.2
尝试提取1950年——1999年北京市民用 车辆拥有量序列的确定性信息
2020/3/12
时间序列分析
Green函数递推公式
1 1 1 2 1 1 2 2
j 1 j1 pd j pd j
t
2
,
E(
t
s
)
0,
s
t
Exs t 0,s t
2020/3/12
时间序列分析
ARIMA 模型族
d=0 ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)
P=0 ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)
q=0 ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)
d=1,P=q=0 ARIMA(P,d,q)=random walk model
差分后序列时序图
一阶差分
二阶差分
2020/3/12
时间序列分析
例5.3
差分运算提取1962年1月——1975年12月平均 每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息
2020/3/12
时间序列分析
差分后差分
2020/3/12
时间序列分析
过差分
足够多次的差分运算可以充分地提取原 序列中的非平稳确定性信息
2020/3/12
时间序列分析
随机游走模型( random walk)
模型结构
时间序列分析 第五章-非平稳序列的随机分析
图（1）考虑对该序列进行1阶差分运算，同时考察差分序列的平稳性，在原程序基础上添加相关命令，程序修改如下：图（2）时序图显示差分后序列difx没有明显的非平稳特征。
（2）“identify var=x(1);”，使用该命令可以识别差分后序列的平稳性。
纯随机性和适当的拟合图（6）普通最小二乘估计结果图（8）最终拟合模型输出结果图（9）拟合效果图图（12）带有延迟因变量的回归模型拟合效果图5.8.3拟合GARCH模型SAS系统中AUTOREG过程功能非常强大，不仅可以提供上述的分析功能，还可以提供异方差性检验乃至条件异方差模型建模。
以临时数据集example5_3数据为例，介绍GARCH模型的拟合，相关命令如下：data example5_3;input x@@;t=_n_;cards;10.77 13.30 16.64 19.54 18.97 20.52 24.3623.51 27.16 30.80 31.84 31.63 32.68 34.9033.85 33.09 35.46 35.32 39.94 37.47 35.2433.03 32.67 35.20 32.36 32.34 38.45 38.1732.14 39.70 49.42 47.86 48.34 62.50 63.5667.61 64.59 66.17 67.50 76.12 79.31 78.8581.34 87.06 86.41 93.20 82.95 72.96 61.1061.27 71.58 88.34 98.70 97.31 97.17 91.1780.20 85.12 81.40 70.87 57.75 52.35 67.5087.95 85.46 84.55 98.16 102.42 113.02 119.95122.37 126.96 122.79 127.96 139.20 141.05 140.87137.08 145.53 145.59 134.36 122.54 106.92 97.23110.39 132.40 152.30 154.91 152.69 162.67 160.31142.57 146.54 153.83 141.81 157.83 161.79 142.07139.43 140.92 154.61 172.33 191.78 199.27 197.57189.29 181.49 166.84 154.28 150.12 165.17 170.32;proc gplot data=example5_3;plot x*t=1;symbol1c=black i=join v=start;proc autoreg data=example5_3;model x=t/nlag=5dwprob archtest;model x=t/nlag=2noint garch=(p=1,q=1);output out=out p=p residual=residual lcl=lcl ucl=ucl cev=cev;data out;set out;l95=-1.96*sqrt(51.42515);u95=1.96*sqrt(51.42515);Lcl_GARCH=-1.96*sqrt(cev);Ucl_GARCH=1.96*sqrt(cev);Lcl_p=p-1.96*sqrt(cev);Ucl_p=p+1.96*sqrt(cev);proc gplot data=out;plot residual*t=2 l95*t=3 Lcl_GARCH*t=4 u95*t=3 Ucl_GARCH*t=4/overlay; plot x*t=5 lcl*t=3 LCL_p*t=4 ucl*t=3 UCL_p*t=4/overlay;symbol2c=green i=needle v=none;symbol3v=black i=join c=none w=2l=2;symbol4c=red i=join v=none;symbol5c=green i=join v=none;run;该序列输出时序图如图（13）所示。
时间序列分析中的非平稳信号分析方法研究
时间序列分析中的非平稳信号分析方法研究时间序列分析是统计学中的领域，用来研究一组与时间有关的数据。
时间序列分析非常重要，因为它可以帮助研究者预测机器人，股市和其他急于观察的数据。
但是，有时候我们会遇到一些非平稳的信号，导致预测分析非常困难。
在这种情况下，对非平稳信号的分析方法成为了非常重要的研究领域。
I. 什么是非平稳信号？平稳信号是指时间序列中平均值和方差都不随时间而变化的信号。
在这种情况下，我们可以使用平稳信号的统计模型进行分析和预测。
但是，在现实生活中，出现非平稳信号的情况是普遍存在的。
例如，物价、股票价格等往往都呈现出随时间变化的趋势性和季节性。
II. 非平稳信号的特点非平稳信号是指时间序列中均值，方差或者两者都在变化的信号。
与平稳信号不同，非平稳信号的各种统计量都会随时间的推移而变化，因此在真实的数据应用过程中非常常见。
1. 缺乏稳定性：不同时间点的数据存在着不同的特征，可以说非平稳序列在统计特征上表现出的一种不稳定性。
2. 时间相关性：非平稳时间序列中的不同时间点可能不是独立的，也就是说以前的一个时间点可能会对后续的时间点产生影响，这种影响通常以趋势的形式呈现。
3. 不存在平稳的统计模型：由于非平稳信号缺乏稳定性，所以不存在平稳的统计模型，要研究非平稳信号需要寻找其他方法。
III. 非平稳信号分析方法在研究非平稳信号的过程中，最常用的方法包括：时间序列分解、差分方法、ARIMA和ARCH模型等。
1. 时间序列分解时间序列分解是将非平稳信号分解为一些成分，例如趋势、周期和随机元素。
这种方法可以使我们更好地理解信号的变化过程和对不同成分的影响。
时间序列分解同时也对信号的去除趋势和季节成分非常有用。
2. 差分方法差分方法是通过对时间序列之间差异的计算，将其转化为平稳时间序列，从而避免非平稳信号带来的影响，使得时间序列分析得以进行。
这种方法适用于不太具有周期性的时序数据。
3. ARIMA模型ARIMA模型是最常用的时间序列分析方法之一。
【2019年整理】时间序列分析--第五章非平稳序列的随机分析
尝试提取1950年——1999年北京市民用 车辆拥有量序列的确定性信息
4/8/2019
时间序列分析
差分后序列时序图
一阶差分
二阶差分
4/8/2019
时间序列分析
例5.3
差分运算提取1962年1月——1975年12月平均 每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息
4/8/2019
时间序列分析
差分后序列时序图
4/8/2019
时间序列分析
差分方式的选择
序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分 就可以实现趋势平稳 序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶 或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的 影响 对于蕴含着固定周期的序列进行步长为 周期长度的差分运算，通常可以较好地 提取周期信息
时间序列分析
4/8/2019
例5.1
时间序列分析
ARIMA模型建模步骤
获 得 观 察 值 序 列 平稳性 检验 N 差分 运算 Y 白噪声 检验 N 拟合 ARMA 模型
时间序列分析
Y
分 析 结 束
4/8/2019
例5.6
对1952年——1988年中国农业实际国民 收入指数序列建模
4/8/2019
时间序列分析
一阶差分序列时序图
第五章
非平稳序列的随机分析
4/8/2019
时间序列分析
本章结构
差分运算 ARIMA模型 Auto-Regressive模型 异方差的性质 方差齐性变化 条件异方差模型
4/8/2019
时间序列分析
5.1 差分运算
差分运算的实质 差分方式的选择 过差分
时间序列分析--第五章非平稳序列的随机分析
50
乘积季节模型
使用场合
序列的季节效应、长期趋势效应和随机波动之间有着复 杂地相互关联性，简单的季节模型不能充分地提取其中 的相关关系
构造原理
短期相关性用低阶ARMA(p,q)模型提取
季节相关性用以周期步长S为单位的ARMA(P,Q)模型提取
假设短期相关和季节效应之间具有乘积关系，模型结构
3
差分运算的实质
差分方法是一种非常简便、有效的确定 性信息提取方法
Cramer分解定理在理论上保证了适当阶 数的差分一定可以充分提取确定性信息
差分运算的实质是使用自回归的方式提 取确定性信息
d
d xt (1 B)d xt (1)i Cdi xti i0
5/10/2019
模型中有部分系数省缺了，那么该模型 称为疏系数模型。
5/10/2019
课件
34
疏系数模型类型
如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系 数模型可以简记为ARIMA(( p1,, pm ), d, q)
p1,, pm 为非零自相关系数的阶数
如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏 系数模型可以简记为 ARIMA( p, d, (q1,, qn ))
26
建模
定阶
ARIMA(0,1,1)
参数估计
(1 B)xt 4.99661 (1 0.70766 B) t
Var(t ) 56.48763
模型检验
模型显著 参数显著
5/10/2019
课件
27
ARIMA模型预测
原则
最小均方误差预测原理
Green函数递推公式
一阶差分
非平稳时间序列解析
动态乘子的比较
趋势平稳过程 动态乘子:
xt t+( B) t
xt s t
2 趋势平稳过程满足 j 0 j , 所以
xt s lims 0. t
单整序列
差分一次变为平稳过程，记为I(1) 平稳过程记为I(0) 如果差分n-1次不平稳，差分n次平稳，称 为n阶单整的，记为I(n)
趋势平稳过程和单位根过程比较
预测比较
H 0 : xt xt 1 t H1 : xt t ( xt 1 t ) t ,| | 1
包含一个确定性趋势和一个随机趋势
单位根过程
满足下面表达式的过程成为单位根过程
(1 B) xt t 1 t 1
其中
(B) t
(1) 0, j 0 2 j , (u ) 0根在单位圆外.
单位根过程对时间序列的增量进行刻画，增 量平稳，但水平变量不平稳。
2.方差有界并且不随时间变化,是常数. 称为方差齐性
平稳ARMA模型, 可表示为
xt t 1 t 1
,
i 0
| i |
t WN (0, )
2
此类模型的特点 3. 长期预测趋于无条件均值 4. 预测误差的方差有界
序列分解
xt l t l 1 t l 1 et (l )
预测误差
l 1 t 1 l t l 1 t 1 ˆt (l ) x
预测值
ˆ (l ) E ( xt l xt , xt 1 , ) x Var ( xt l xt , xt 1 , ) Var[et (l )]
时间序列分析-第五章非平稳序列的随机分析
xt xt xt1
考察差分运算对该序列线性趋势信息的提 取作用
2020/1/4
时间序列分析
差分前后时序图
原序列时序图
差分后序列时序图
2020/1/4
时间序列分析
例5.2
第五章
非平稳序列的随机分析
2020/1/4
时间序列分析
本章结构
差分运算 ARIMA模型 Auto-Regressive模型 异方差的性质 方差齐性变化 条件异方差模型
2020/1/4
时间序列分析
5.1 差分运算
差分运算的实质 差分方式的选择 过差分
2020/1/4
时间序列分析
差分运算的实质
差分方法是一种非常简便、有效的确定 性信息提取方法
Cramer分解定理在理论上保证了适当阶 数的差分一定可以充分提取确定性信息
差分运算的实质是使用自回归的方式提 取确定性信息
d
d xt (1 B)d xt (1)i Cdi xti i0
尝试提取1950年——1999年北京市民用 车辆拥有量序列的确定性信息
2020/1/4
时间序列分析
差分后序列时序图
一阶差分
二阶差分
2020/1/4
时间序列分析
例5.3
差分运算提取1962年1月——1975年12月平均 每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息
2020/1/4
时间序列分析
2020/1/4
时间序列分析
ARIMA模型的平稳性
ARIMA(p,d,q) 模 型 例5.5
第五章 非平稳序列的随机分析041019123931
第五章 非平稳序列的随机分析非平稳序列的确定性因素分解方法（第四章）的优点为原理简单、操作简便、易于解释等，因此在宏观经济管理与预测领域有着广泛的应用。
缺点主要有：(1)确定性因素分解方法只能提取强劲的确定性信息，对随机性信息浪费严重。
(2)确定性因素分解方法把所有序列的变化都归结为四大因素的综合影响，却始终无法提供明确、有效的方法判断各大因素之间确切的作用关系。
这些问题导致确定性因素分解方法不能允分提取观察值序列中的有效信息，导致模型拟合精度通常不够理想。
随机时序分析方法发展的必要性：弥补确定性因素分解方法的不足，为人们提供更加丰富、更加精确的时序分析工具。
5.1 差分运算5.1.1 差分运算的实质拿到观察值序列之后，无论是采用确定性时序分析方法还是随机时序分析方法，分析的第一步都是要通过有效的手段提取序列中所蕴含的确定性信息。
确定性信息的提取方法非常多，前面我们介绍过的构造季节指数、拟合长期趋势模型、移动平均、指数平滑等诸多方法都是确定性信息提取方法。
但是它们对确定性信息的提取都不够充分。
Cox 和Jenkins 在Time Series Analysis Forecasting and Control 一书中特别强调差分方法的使用，他们使用大量的案例分析证明差分方法是一种非常简便、有效的确定性信息提取方法。
而Cramer 分解定理则在理论上保证了适当阶数的差分一定可以充分提取确定性信息。
根据Cramer 分解定理，方差齐性非平稳序列都可以分解为如下形式：式中，为零均值白噪声序列。
{}t a 离散序列的d 阶差分就相当于连续变量的d 阶求导，显然，在Cramer 分解定理的保证下，d 阶差分就可以将中蕴含的d 次（关于时间的）确定性信息充分提取。
（如何证明？）{}t a展开1阶差分，有等价于这意味着1阶差分实质上就是一个自回归过程，它是用延迟一期的历史数据作为自变{}1-t x量来解释当期序列值的变动状况，差分序列度量的是l 阶自回归过程中产生{}t x {}t x ∇{}t x 的随机误差的大小。
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0 1960
1970
1980
1990
差分后的序列，可以看出已经消除了线性趋势，呈现平稳的随机波动
dif 60
50
40
30
20
10
0
-10
-20
-30
-40 1960
1970
1980
1990
2000
注意，差分后的序列样本少了一个(为什么？)
思考：为什么 1 阶差分可以消除线性趋势？
(2) 序列含有曲线趋势，通常低阶（2 阶或者 3 阶）的差分就可以消除趋势项 【例 5.2】1950-1999 年北京市民用车辆拥有量序列 原始时间序列，有曲线趋势
15
0.21892 |
16
0.00855 |
17
0.05496 |
18
0.01825 |
.
|***********
|
. **|
.
|
.
|*
.
|
. *****|
.
|
.
|*** .
|
. ****|
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|
.
|*
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|
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|**** .
|
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|*
.
|
. *****|
.
|
.
|*
.
|
.
|*
.
|
. *|
.
|
. ***|
.
|
5.1.2 差分方式的选择
(1) 序列蕴含着线性趋势，则 1 阶差分就可以实现趋势平稳 【例 5.1】1964 年-1999 年中国纱年产量 data a; input year sha; dif=dif(sha); cards; 数据; proc gplot; plot sha*year dif*year; symbol v=star c=red i=join; run; 原始时间序列，可以看出是非平稳的，有近似线性趋势
1
0.53778 |
2
-0.11474 |
3
0.03912 |
4
-0.27003 |
5
0.16219 |
6
-0.17787 |
7
0.03051 |
8
0.21004 |
9
0.02902 |
10
-0.25795 |
11
0.04421 |
12
0.04346 |
13
-0.03857 |
14
-0.15591 |
可以看出序列仅仅具有强烈的短期自相关性，所以可以认为 1 阶差分后的序列平稳。
2. 对差分后的序列进行白噪声检验，结果如下
Autocorrelation Check for White Noise
To
Chi-
Pr >
Lag
Square
DF
ChiSq --------------------Autocorrelations--------------------
1950
1955
1960
1965
1970 time
1975
1980
1985
1990
对原始序列做 1 阶差分，差分后的序列见下图，可以看出差分后的序列基本上在常值附近波 动，为更进一步的考察期平稳性，观察其 ACF 图像
30
20
10
0
-10
-20
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990
12
18.33
12 0.1060 -0.148
0.091
0.166 -0.012 -0.031 -0.045
18
24.66 18 0.1344 -0.084 -0.101 -0.061 0.027 0.165 0.200
Partial Autocorrelations
Lag Correlation -1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
6 -9.245185
7 -11.564313
8
7.108735
9 12.965116
10 -0.909105
11 -2.455085
12 -3.501852
13 -6.583063
14 -7.883765
15 -4.783310
16
2.087515
17 12.894776
18 15.631250
1.00000 | 0.53778 | 0.20765 | 0.09022 | -.14228 | -.10119 | -.11817 | -.14781 | 0.09086 | 0.16571 | -.01162 | -.03138 | -.04476 | -.08414 | -.10076 | -.06114 | 0.02668 | 0.16481 | 0.19979 |
|********************|
.
|***********
|
.
|**** .
|
.
|**
.
|
. ***|
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**|
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. ***|
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|**
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|*** .
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*|
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|
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*|
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|
.
|*
.
|
.
|*** .
|
.
|**** .
|
Std Error
1950
1960
1970
1980
1990
2000
year
2 阶差分后的序列，可以看出不再含有确定性的趋势了
dif2 60 50 40 30 20 10 0
-10 -20 -30 -40
1950
1960
1970
year
1980
1990
2000
(3) 蕴含固定周期的序列 对蕴含固定周期的序列，可以进行步长为周期长度的差分运算
5.2.2 ARIMA 模型的性质
(1) 平稳性 对于
模型：
如果我们记
显然，
的根有 个在单位圆外，有 个在单位圆上，因此 不平稳；
(2) 方差 当 时，不仅均值非平稳，序列方差也非平稳了，以最简单的随机漫步模型为例
容易计算 ；
但是
为常数；
5.2.3 ARIMA 建模
(1) ARIMA 模型建模的步骤 获得观察值序列
Average, ARIMA),简记为
模型；
这个模型也可以简记为
特别的，
当 时，即为
模型
当 时，可以简记为
模型
当 时，可以简记为
模型
当
时，则上述模型即为
该模型称为随机漫步或者随机游走(Random Walk)模型，该模型是有效市场理论(Efficient Market Theory, EMT)的核心，经济学家普遍认为投机价格的走势类似于随机漫步.
对上述差分后的序列做 12 步(周期长为 12)的周期差分，提取季节波动
dif1_12 40
30
20
10
0
-10
-20
-30 1962 1962 1963 1963 1964 1964 1965 1965 1966 1966 1967 1967 1968 1968 1969 1969 1970 1970 1971 1971 1972 1972 1973 1973 1974 1974 1975 1975 1976 time
； 过差分使得方差增大，没有必要；
5.2 ARIMA 模型简介
许多非平稳的序列经过适当差分后会显示出平稳序列的性质，我们称这个非平稳序列为差分
平稳序列。对差分平稳序列可以使用
模型建模。
5.1.1 ARIMA 模型定义
具 有 如 下 结 构 的 模 型 称 为 求 和 自 回 归 滑 动 平 均 模 型 (Autoregressive Integrated Moving
第五章 非平稳时间序列的随机分析(I)
ARIMA 建模
确定性因素分解法
优点：原理简单，操作简便，易于解释，主要应用与宏观经济分析与预测； 缺点：只能提取强劲的确定性信息
5.1 差分运算
5.1.1 差分的定义及其实质
这等价于
当期的序列值等于前一期的序列值加上一个波动(差分)，一个特殊的 1 阶自回归过程(单 位根) 适当的差分可以消除序列中蕴含的趋势性和周期性；
2.08638
2.39
0.0223
0
-0.70766
0.12683
-5.58
<.0001
1
Constant Estimate
4.996611
Variance Estimate
56.48743
Std Error Estimate 7.515812
AIC
249.3305
SBC
252.4976
Number of Residuals
ARMA 建模
N
平稳性检验 Y
白噪声检验
Y 建模结束
N
差分运算
以具体的例子来说明 【例 5.6】1952 年至 1988 年中国农业实际国民收入指数序列 1. 原始时间序列，可以看出序列具有明显的趋势，为典型的非平稳序列