第三章非平稳序列的随机分析-课件
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SAS系统和数据分析非平稳序列的随机分析
第四十二课 非平稳序列的随机分析20世纪70年代，G. P. Box 和G. M. Jenkins 发表了专著《时间序列分析：预测和控制》，对平稳时间序列数据，提出了自回归滑动平均模型ARIMA ，以及一整套的建模、估计、检验和控制方法。
使时间序列分析广泛地运用成为可能。
为了纪念Box 和Jenkins 对时间序列发展的特殊贡献，现在人们也常把ARIMA 模型称为Box-Jenkins 模型。
当我们拟合一个时间序列时，先通过差分法或适当的变换使非平稳序列化成为平稳序列，我们再要考虑的是参数化和记忆特征的有效性，用这种参数方法拟合序列为某种特定的结构，只用很少量的参数，使参数的有效估计成为可能。
相对于一个序列的过去值，可用传统的Box 和Jenkins 方法建模。
实际上，Box-Jenkins 模型主要是运用于单变量、同方差场合的线性模型。
随着对时间序列应用的深入研究，发现还存在着许多局限性。
所以近20年来，统计学家纷纷转向多变量、异方差和非线性场合的时间序列分析方法的研究，并取得突破性的进展，其中Engle 和Granger 一起获得2003年诺贝尔经济学奖。
在异方差场合，Robert F.Engle 在1982年提出了自回归条件异方差ARCH 模型，以及在ARCH 模型上衍生出的一系列拓展模型。
在多变量场合，70年代末，G. E. P. Box 教授和刁锦寰教授在处理洛山矶的环境数据时，提出了干预分析和异常值检验方法。
1987年，C.Granger 提出了协整（co-integration ）理论，在多变量时间序列建模过程中“变量是平稳的”不再是必须条件了，而只要求它们的某种组合是平稳的。
非线性时间序列分析也有重大发展，汤家豪教授等在1980年左右提出了利用分段线性化构造门限自回归模型。
一、 ARIMA 模型随着对时间序列分析方法的深入研究，人们发现非平稳序列的确定性因素分解方法（如季节模型、趋势模型、移动平均、指数平滑等）存在一些问题，它只能提取显著的确定性信息，对随机性信息浪费严重，同时也无法对确定性因素之间的关系进行分析。
《时间序列分析》讲义 第三章 平稳时间序列分析
k
1 k1 2 k2，k
2
自相关系数
自相关系数的定义
k
k 0
平稳AR(p)模型的自相关系数递推公式
k 1k 1 2 k 2 p k p
常用AR模型自相关系数递推公式
AR(1)模型 k 1k , k 0
AR(2)模型
1,
k
1
1 2
1k1 2 k2
k 0 k 1 k2
自回归系数多项式
(B) 11B 2B2 pBp
特征方程
中心化AR(p)模型
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
可以看成p阶常系数非齐次线性差分方程
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
它对应的齐次方程的特征方程为
p 1 p1 p1 p 0
1 12
协方差函数
在平稳AR(p)模型两边同乘xt-k，再求期望
E(xt xtk ) 1E(xt1xtk ) p E(xt p xtk ) E(t xtk )
根据
E( t xtk ) 0 ,k 1
得协方差函数的递推公式
k 1 k1 2 k 2 p k p
例题
例3.3 求平稳AR(1)模型的协方差
12
2 2
,
0,
k 0 k 1
k 2 k 3
偏自相关系数
滞后k偏自相关系数由Yule-Walker方程 确定
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
齐次线性差分方程
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p 0
齐次线性差分方程的解
特征方程
p a1p1 a2p2 ap 0
特征方程的根称为特征根，记作1,2,…,p
时间序列分析讲义
• 推荐软件——SAS
– 在SAS系统中有一个专门进行计量经济与时间序列分析 的模块：SAS/ETS。SAS/ETS编程语言简洁，输出功能强 大，分析结果精确，是进行时间序列分析与预测的理 想的软件
– 由于SAS系统具有全球一流的数据仓库功能，因此在进 行海量数据的时间序列分析时它具有其它统计软件无 可比拟的优势
例2.3自相关图
时间序列分析讲义
例2.4时序图
时间序列分析讲义
例2.4 自相关图
时间序列分析讲义
例2.5时序图
时间序列分析讲义
例2.5自相关图
时间序列分析讲义
• 例2.3时序为非平稳的，有趋势； • 例2.4时序非平稳性，有趋势 • 例2.5时序是一个平稳的
时间序列分析讲义
非平稳性序列的平稳化
时间序列分析讲义
2020/11/16
时间序列分析讲义
第一章 时间序列分析基本概 念
时间序列分析讲义
第一章 时间序列分析基本概念
1.1 时间序列的定义
• 随机序列:按时间顺序排列的一组随机变量
• 观察值序列:随机序列的 个有序观察值，称之为 序列长度为 的观察值序列
• 随机序列和观察值序列的关系
– 观察值序列是随机序列的一个实现 – 我们研究的目的是想揭示随机时序的性质 – 实现的手段都是通过观察值序列的性质进行推断
满足下列条件的随机序列称为白噪声序列，也称 为纯随机序列：
注1：白噪声序列也是平稳时间序列中的特例. 注2：由于白噪声序列不同时刻的值相互独立，那么 这样的序列数值不能对于将来进行推断与预测，所以 白噪声是不能建立模型的。 时序图1.3符合白噪声序列特征
时间序列分析讲义
若满足时间序列满足: 称该时间序列是周期为T的时间序列.
– 在SAS系统中有一个专门进行计量经济与时间序列分析 的模块：SAS/ETS。SAS/ETS编程语言简洁，输出功能强 大，分析结果精确，是进行时间序列分析与预测的理 想的软件
– 由于SAS系统具有全球一流的数据仓库功能，因此在进 行海量数据的时间序列分析时它具有其它统计软件无 可比拟的优势
例2.3自相关图
时间序列分析讲义
例2.4时序图
时间序列分析讲义
例2.4 自相关图
时间序列分析讲义
例2.5时序图
时间序列分析讲义
例2.5自相关图
时间序列分析讲义
• 例2.3时序为非平稳的，有趋势； • 例2.4时序非平稳性，有趋势 • 例2.5时序是一个平稳的
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非平稳性序列的平稳化
时间序列分析讲义
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时间序列分析讲义
第一章 时间序列分析基本概 念
时间序列分析讲义
第一章 时间序列分析基本概念
1.1 时间序列的定义
• 随机序列:按时间顺序排列的一组随机变量
• 观察值序列:随机序列的 个有序观察值，称之为 序列长度为 的观察值序列
• 随机序列和观察值序列的关系
– 观察值序列是随机序列的一个实现 – 我们研究的目的是想揭示随机时序的性质 – 实现的手段都是通过观察值序列的性质进行推断
满足下列条件的随机序列称为白噪声序列，也称 为纯随机序列：
注1：白噪声序列也是平稳时间序列中的特例. 注2：由于白噪声序列不同时刻的值相互独立，那么 这样的序列数值不能对于将来进行推断与预测，所以 白噪声是不能建立模型的。 时序图1.3符合白噪声序列特征
时间序列分析讲义
若满足时间序列满足: 称该时间序列是周期为T的时间序列.
(6)141非平稳时间序列的概念讲解
(14.1.2)
(14.1.2)式表明yt的均值不随时间的变化而变化。
为了求出yt的方差，我们将(14.1.1)式进行一系列的迭代：
yt = yt-1 +来自ut= yt-2 + ut-1+ ut
= yt-3 + ut-2+ ut-1+ ut
= y0+ u1+ u2+…+ ut
y0 ui
§14.1 非平稳时间序列基本概念
时间序列的非平稳性，是指时间序列的统计规律随
着时间的位移而发生变化，即生成变量时间序列数
据的随机过程的统计特征随时间变化而变化。只要
宽平稳的三个条件不全满足，则该时间序列便是非
平稳的。当时间序列是非平稳的时候，如果仍然应
用OLS进行回归，将导致虚假的结果或者称为伪回归。
△yt = yt–yt-1 = ut
稳的。
（14.1.5）
（14.1.5）式表明随机游走序列的一阶差分式是平
2.带漂移项的随机游走（random walk with drift）序列 带漂移项的随机游走序列由下式确定： yt = μ+ yt-1 + ut （14.1.6）
式中μ为非零常数，称之为“漂移项”，ut为白噪声序列。
3. 带趋势项的随机游走序列 随机游走序列(14.1.1) 和（14.1.6）是比较简单的 非平稳序列，它们是
yt = μ + β t + yt-1 + ut
(14.1.11)
的特例。 (14.1.11) 式称为带趋势项的随机游走序
列，容易证明，该时间序列也是非平稳时间序列。
由（14.1.11)有
μ所以被称之为“漂移项”，是因为（14.1.6）的一阶差
非平稳时序计量经济学EVIEWS建模课件
进行数据可视化分析。
丰富的模型估计方法
EViews提供了多种回归分析、时间序 列分析和计量经济学模型估计方法， 满足用户不同需求。
自动化的统计检验
EViews能够自动进行各种统计检验， 如单位根检验、协整检验等，帮助用 户快速验证模型的有效性。
EViews的基本操作界面
菜单栏
包含文件、编辑、视图、图表等常用菜单选项，方便用户进行基本操作。
EViews中的模型选择与估计
模型选择
根据数据特征和经济学理论，选择合适的非 平稳时序计量经济学模型，如ARIMA、 SARIMA、VAR等。
参数估计
利用EViews软件提供的工具，对选定的模型进行参 数估计，包括自回归系数、差分阶数、移动平均系 数等。
模型适用性检验
通过残差分析、ACF图、PACF图等手段， 检验模型是否符合数据特征，判断模型是否 合适。
THANKS
感谢观看
描述性统计分析
提供各种描述性统计指标，帮助用户了解数 据的基本特征和分布情况。
高级统计分析
支持回归分析、时间序列分析、计量经济学 等多种高级统计分析方法。
03
CATALOGUE
非平稳时序计量经济学模型构建
ARIMA模型及其扩展
ARIMA模型
自回归积分滑动平均模型，通过差分 将非平稳时序转化为平稳时序，再利 用ARMA模型进行拟合。
EViews中的模型检验与诊断
平稳性检验
利用ADF检验、PP检验等方法， 对原始序列和残差序列进行平稳 性检验，确保模型适用于非平稳
时序数据。
残差诊断
通过计算残差的ACF图、PACF图 、QQ图等，诊断模型的残差是否 符合白噪声假设，判断模型是否合 适。
丰富的模型估计方法
EViews提供了多种回归分析、时间序 列分析和计量经济学模型估计方法， 满足用户不同需求。
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模型选择
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参数估计
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模型适用性检验
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高级统计分析
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非平稳时序计量经济学模型构建
ARIMA模型及其扩展
ARIMA模型
自回归积分滑动平均模型，通过差分 将非平稳时序转化为平稳时序，再利 用ARMA模型进行拟合。
EViews中的模型检验与诊断
平稳性检验
利用ADF检验、PP检验等方法， 对原始序列和残差序列进行平稳 性检验，确保模型适用于非平稳
时序数据。
残差诊断
通过计算残差的ACF图、PACF图 、QQ图等，诊断模型的残差是否 符合白噪声假设，判断模型是否合 适。
平稳性和非平稳时间序列分析
19
五、误差修正模型（Error correction 误差修正模型 model, ECM） 误差修正模型是有协积关系的一阶单积 时间序列 I (1) 之间，包含一个反映长期均 衡对短期波动影响的“误差修正机制” 的，特定形式的差分方程模型。
20
两个一阶单积的非平稳时间序列 I (1) 之间的回 归可能导致虚假回归。运用差分变换虽然可以 克服时间序列非平稳的问题，但差分变换会使 得经济变量关系的长期信息丧失，还会导致回 归模型误差序列相关性，从而使得回归分析失 效或降低价值。 采用由简单的自回归分布滞后模型ARDL(1,1) 导出的误差修正模型，则可以克服这些问题， 不仅能够保留变量关系的长期动态信息，而且 还能够保证回归分析的有效性。
6
1、基本的DF检验方法 （1）检验时间序列{ Yt }是否属于最基本的 单位根过程，也就是随机游走过程 Yt = Yt −1 + ε t ，其中 ε t 为白噪声过程。 （2）检验思路 首先 Yt 服从如下的自回归模型 Yt = δYt −1 + ε t
7
如果其中 δ = 1 ，或者变换成如下的回归 模型 ∆Yt = λYt −1 + ε t 中的 λ = 0 ，那么时间序列{ Yt }就是最基 本的单位根过程 Yt = Yt −1 + ε t ，肯定是非平 稳的。 对上述差分模型中的显著性检验，就是 检验时间序列是否存在上述单位根问题。
9
2、扩展迪基-富勒检验（ADF） 随机游走过程只是最简单的一种单位根 过程，许多非平稳时间序列包含更复杂 的单位根过程，包含常数项、趋势项和 高阶差分项等。 为了使迪基-富勒检验适用单位根过程的 检验，必须作适当的扩展。
10
扩展的方法是分别采用下列模型：
五、误差修正模型（Error correction 误差修正模型 model, ECM） 误差修正模型是有协积关系的一阶单积 时间序列 I (1) 之间，包含一个反映长期均 衡对短期波动影响的“误差修正机制” 的，特定形式的差分方程模型。
20
两个一阶单积的非平稳时间序列 I (1) 之间的回 归可能导致虚假回归。运用差分变换虽然可以 克服时间序列非平稳的问题，但差分变换会使 得经济变量关系的长期信息丧失，还会导致回 归模型误差序列相关性，从而使得回归分析失 效或降低价值。 采用由简单的自回归分布滞后模型ARDL(1,1) 导出的误差修正模型，则可以克服这些问题， 不仅能够保留变量关系的长期动态信息，而且 还能够保证回归分析的有效性。
6
1、基本的DF检验方法 （1）检验时间序列{ Yt }是否属于最基本的 单位根过程，也就是随机游走过程 Yt = Yt −1 + ε t ，其中 ε t 为白噪声过程。 （2）检验思路 首先 Yt 服从如下的自回归模型 Yt = δYt −1 + ε t
7
如果其中 δ = 1 ，或者变换成如下的回归 模型 ∆Yt = λYt −1 + ε t 中的 λ = 0 ，那么时间序列{ Yt }就是最基 本的单位根过程 Yt = Yt −1 + ε t ，肯定是非平 稳的。 对上述差分模型中的显著性检验，就是 检验时间序列是否存在上述单位根问题。
9
2、扩展迪基-富勒检验（ADF） 随机游走过程只是最简单的一种单位根 过程，许多非平稳时间序列包含更复杂 的单位根过程，包含常数项、趋势项和 高阶差分项等。 为了使迪基-富勒检验适用单位根过程的 检验，必须作适当的扩展。
10
扩展的方法是分别采用下列模型：
平稳性和非平稳时间序列分析
进行了d次差分才变为平稳序列。这种经 过d次差分才平稳的时间序列，称为d阶
“单积”（Integrated）的，并记I为(d) 。
14
四、时间序列的协积性 （一）定义 如果一组时间序列都 X1, , X n 是同阶单积
的（I (d) ），并且存在向量 (1, , n )
使加权组合1X1 n X n 为平稳序列 （I (0)），则称这组时间序列为“协积的”
（Cointegrated），其中 (1, , n ) 称为
“协积向量”。
15
具有协积性的非平稳序列各自的非平稳 趋势和波动有相互抵消的作用，因此虽 然非平稳本身有导致回归分析失效的影 响，但如果模型中的几个非平稳时间序 列具有协积性，回归分析仍然可以是有 效的，不需要担心非平稳性会造成问题。
16
11
不少非平稳时间序列作差分变换得到的差分序 列都是平稳序列。对于这种非平稳时间序列的 差分序列，基于平稳数据的计量分析就是有效 的。
由于时间序列的差分序列与时间序列本身包含 许多一致的信息，差分与原变量之间常常可以 相互转换，因此利用差分数据进行计量分析也 是有意义的。
并不是所有非平稳时间序列的差分序列都是平 稳的。利用差分数据进行分析之前，必须对差 分序列进行平稳性检验。检验的方法是把单位 根检验用于时间序列的差分序列。
Yt Yt1 t ，其中 t 为白噪声过程。
（2）检验思路 首先 Yt 服从如下的自回归模型
Yt Yt 1 t
6
如果其中 1 ，或者变换成如下的回归 模型 Yt Yt 1 t
中的 0 ，那么时间序列{Yt }就是最基
本的单位根过程 Yt Yt1 t ，肯定是非平 稳的。 对上述差分模型中的显著性检验，就是 检验时间序列是否存在上述单位根问题。
“单积”（Integrated）的，并记I为(d) 。
14
四、时间序列的协积性 （一）定义 如果一组时间序列都 X1, , X n 是同阶单积
的（I (d) ），并且存在向量 (1, , n )
使加权组合1X1 n X n 为平稳序列 （I (0)），则称这组时间序列为“协积的”
（Cointegrated），其中 (1, , n ) 称为
“协积向量”。
15
具有协积性的非平稳序列各自的非平稳 趋势和波动有相互抵消的作用，因此虽 然非平稳本身有导致回归分析失效的影 响，但如果模型中的几个非平稳时间序 列具有协积性，回归分析仍然可以是有 效的，不需要担心非平稳性会造成问题。
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不少非平稳时间序列作差分变换得到的差分序 列都是平稳序列。对于这种非平稳时间序列的 差分序列，基于平稳数据的计量分析就是有效 的。
由于时间序列的差分序列与时间序列本身包含 许多一致的信息，差分与原变量之间常常可以 相互转换，因此利用差分数据进行计量分析也 是有意义的。
并不是所有非平稳时间序列的差分序列都是平 稳的。利用差分数据进行分析之前，必须对差 分序列进行平稳性检验。检验的方法是把单位 根检验用于时间序列的差分序列。
Yt Yt1 t ，其中 t 为白噪声过程。
（2）检验思路 首先 Yt 服从如下的自回归模型
Yt Yt 1 t
6
如果其中 1 ，或者变换成如下的回归 模型 Yt Yt 1 t
中的 0 ，那么时间序列{Yt }就是最基
本的单位根过程 Yt Yt1 t ，肯定是非平 稳的。 对上述差分模型中的显著性检验，就是 检验时间序列是否存在上述单位根问题。
非平稳时间序列
a ln a b ln b
Tt a bct
－
Tt eabct
－
Tt
1 a bct
－
变换后模型 Tt a bt ct2
Tt a bt － － －
参数估计方法
线性最小二乘估计
线性最小二乘估计
迭代法 迭代法 迭代法
X-11过程
简介
X-11过程是美国国情调查局编制的时间序列季节调 整过程。它的基本原理就是时间序列的确定性因 素分解方法。
a0 an1
an1i ai
a0ai an1ian1
i 0,1,2,, n 2
依次类推，直到只剩下三个元素
当且仅当满足下面三个条件时，序列才是平稳的。
（1） 1 2 3 n 1
（2） 1 2 3 (1)nn 1
该法始于上世纪二三十年代，那时不存在合适的分析 模型；在历史数据基础上只能有效表达一段有限长度 时间序列的发展变化规律，一旦加入更多数据，模型 就不具有很好的解释性。由于以上原因，在X-11过程 中普遍采用移动平均的方法：用多次短期中心移动平 均消除随机波动，用周期移动平均消除趋势，用交易 周期移动平均消除交易日影响。在整个过程中总共要 用到11次移动平均，所以称为X-11过程。
例：判断上面序列的平稳性 解：N1＝6，N2＝4，r＝8，
显著性水平＝0.05，查表得rL＝2，rU＝9， 所以用游程检验法判断该序列是平稳的。
二、非平稳序列的确定性分析
1、确定性因素分解 ①传统的因素分解
长期趋势 循环波动 季节性变化 随机波动
②现在的因素分解
长期趋势波动 季节性变化 随机波动
Tt a bct
－
Tt eabct
－
Tt
1 a bct
－
变换后模型 Tt a bt ct2
Tt a bt － － －
参数估计方法
线性最小二乘估计
线性最小二乘估计
迭代法 迭代法 迭代法
X-11过程
简介
X-11过程是美国国情调查局编制的时间序列季节调 整过程。它的基本原理就是时间序列的确定性因 素分解方法。
a0 an1
an1i ai
a0ai an1ian1
i 0,1,2,, n 2
依次类推，直到只剩下三个元素
当且仅当满足下面三个条件时，序列才是平稳的。
（1） 1 2 3 n 1
（2） 1 2 3 (1)nn 1
该法始于上世纪二三十年代，那时不存在合适的分析 模型；在历史数据基础上只能有效表达一段有限长度 时间序列的发展变化规律，一旦加入更多数据，模型 就不具有很好的解释性。由于以上原因，在X-11过程 中普遍采用移动平均的方法：用多次短期中心移动平 均消除随机波动，用周期移动平均消除趋势，用交易 周期移动平均消除交易日影响。在整个过程中总共要 用到11次移动平均，所以称为X-11过程。
例：判断上面序列的平稳性 解：N1＝6，N2＝4，r＝8，
显著性水平＝0.05，查表得rL＝2，rU＝9， 所以用游程检验法判断该序列是平稳的。
二、非平稳序列的确定性分析
1、确定性因素分解 ①传统的因素分解
长期趋势 循环波动 季节性变化 随机波动
②现在的因素分解
长期趋势波动 季节性变化 随机波动
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P=0 ARIMA(P,d,q)=IMA(d,q)
q=0 ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)
d=1,P=q=0 ARIMA(P,d,q)=random walk model
ARIMA模型建模步骤
获
得 观 察 值 序
平稳性 检验
N
Y 运算
拟合
ARMA 模型
(1B )xt 10.26B 6 1 0 3 .33 3B 5 4t97
模型检验
模型显著 参数显著
季节模型
简单季节模型 乘积季节模型
简单季节模型
简单季节模型是指序列中的季节效应和 其它效应之间是加法关系
xt St Tt It
简单季节模型通过简单的趋势差分、季 节差分之后序列即可转化为平稳，它的 模型结构通常如下
差分运算的实质是使用自回归的方式提 取确定性信息
d
dxt (1B)dxt (1)iC d ixti i0
差分方式的选择
序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分 就可以实现趋势平稳
序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶 或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的 影响
对于蕴含着固定周期的序列进行步长为 周期长度的差分运算，通常可以较好地 提取周期信息
差分后序列自相关图
差分后序列偏自相关图
模型拟合
定阶
ARIMA((1,4),(1,4),0)
参数估计
(1 B )1 ( B 4)xt 1 0 .44B 1 7 0 .2 48 6B 4 1t 32
模型检验
残差白噪声检验
参数显著性检验
延迟 阶数
2统 计量
P值
待估 t 统
参数 计量
例3.1
【例3.1】1964年——1999年中国纱年产 量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。 对该序列进行一阶差分运算
xt xt xt1
考察差分运算对该序列线性趋势信息的提 取作用
差分前后时序图
原序列时序图
差分后序列时序图
例3.2
尝试提取1950年——1999年北京市民用 车辆拥有量序列的确定性信息
例3.6
对1952年——1988年中国农业实际国民 收入指数序列建模
一阶差分序列时序图
一阶差分序列自相关图
一阶差分后序列白噪声检验
延迟阶数 6 12 18
2 统计量 13.33 18.33 24.66
P值 0.0178 0.1060 0.1344
拟合ARMA模型
偏自相关图
建模
定阶
例3.6续：对中国农业实际国民收入指 数序列做为期10年的预测
疏系数模型
ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关 最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的 模型，通常它包含p+q个独立的未知系
数：1, ,p,1, ,q
如果该模型中有部分自相关系数j,1 j p 或部分移动平滑系数 k,1kq为零，即原 模型中有部分系数省缺了，那么该模型 称为疏系数模型。
ARIMA(0,1,1)
参数估计
(1 B )xt4 .99 ( 6 1 0 6 .710B )7 t 66
Va(rt)56.48763
模型检验
模型显著 参数显著
ARIMA模型预测
原则
最小均方误差预测原理
Green函数递推公式
1 1 1 2 11 2 2
j 1j1 pdjpd j
第三章非平稳序列的随机分析
精品
本章结构
差分运算 ARIMA模型 Auto-Regressive模型 异方差的性质 方差齐性变化 条件异方差模型
3.1 差分运算
差分运算的实质 差分方式的选择 过差分
差分运算的实质
差分方法是一种非常简便、有效的确定 性信息提取方法
Cramer分解定理在理论上保证了适当阶 数的差分一定可以充分提取确定性信息
ARIMA模型结构 ARIMA模型性质 ARIMA模型建模 ARIMA模型预测 疏系数模型 季节模型
ARIMA模型结构
使用场合
差分平稳序列拟合
模型结构
E((Bt))d0x， t Va((B r)t)t2,E(ts)0,st Esxt 0,st
ARIMA 模型族
d=0 ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)
如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简 记为 A( R p 1 , ( ,I p m ) M d ,( , q 1 , ,q A n ))
例3.8
对1917年－1975年美国23岁妇女每万人 生育率序列建模
一阶差分
自相关图
偏自相关图
建模
定阶
ARIMA((1,4),1,0)
参数估计
Ddxt ((BB))t
例3.9
拟合1962——1991年德国工人季度失业率序列
差分平稳
对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节 效应的影响，差分后序列的时序图如下
白噪声检验
延迟阶数 6 12 18
2 统计量 43.84 51.71 54.48
P值 <0.0001 <0.0001 <0.0001
差分后序列时序图
一阶差分
二阶差分
例3.3
差分运算提取1962年1月——1975年12月平均 每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息
差分后序列时序图
一阶差分
1阶－12步差分
过差分
足够多次的差分运算可以充分地提取原 序列中的非平稳确定性信息
但过度的差分会造成有用信息的浪费
例3.4
假设序列如下
P值
6
2.09 0.7191 1
12 10.99 0.3584 4
3.48 <0.0001 -3.41 <0.0001
拟合效果图
乘积季节模型
疏系数模型类型
如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系 数模型可以简记为 AR (p 1 (,I ,M p m )d ,q A )
p1,,pm为非零自相关系数的阶数
如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏 系数模型可以简记为 AR (p ,d I,(q M 1 , ,q n A )) q1,,qn 为非零移动平均系数的阶数
xt 01tat
考察一阶差分后序列和二阶差分序列 的平稳性与方差
比较
一阶差分
平稳
xt xt xt1
1 at at1 方差小
二阶差分（过差分）
平稳
2xt xt xt1 at 2at1at2
方差大
Va( rxt)Va(art at1)
22
Va(r2xt)Va(atr2at1at2)
62
3.2 ARIMA模型
q=0 ARIMA(P,d,q)=ARI(p,d)
d=1,P=q=0 ARIMA(P,d,q)=random walk model
ARIMA模型建模步骤
获
得 观 察 值 序
平稳性 检验
N
Y 运算
拟合
ARMA 模型
(1B )xt 10.26B 6 1 0 3 .33 3B 5 4t97
模型检验
模型显著 参数显著
季节模型
简单季节模型 乘积季节模型
简单季节模型
简单季节模型是指序列中的季节效应和 其它效应之间是加法关系
xt St Tt It
简单季节模型通过简单的趋势差分、季 节差分之后序列即可转化为平稳，它的 模型结构通常如下
差分运算的实质是使用自回归的方式提 取确定性信息
d
dxt (1B)dxt (1)iC d ixti i0
差分方式的选择
序列蕴含着显著的线性趋势，一阶差分 就可以实现趋势平稳
序列蕴含着曲线趋势，通常低阶（二阶 或三阶）差分就可以提取出曲线趋势的 影响
对于蕴含着固定周期的序列进行步长为 周期长度的差分运算，通常可以较好地 提取周期信息
差分后序列自相关图
差分后序列偏自相关图
模型拟合
定阶
ARIMA((1,4),(1,4),0)
参数估计
(1 B )1 ( B 4)xt 1 0 .44B 1 7 0 .2 48 6B 4 1t 32
模型检验
残差白噪声检验
参数显著性检验
延迟 阶数
2统 计量
P值
待估 t 统
参数 计量
例3.1
【例3.1】1964年——1999年中国纱年产 量序列蕴含着一个近似线性的递增趋势。 对该序列进行一阶差分运算
xt xt xt1
考察差分运算对该序列线性趋势信息的提 取作用
差分前后时序图
原序列时序图
差分后序列时序图
例3.2
尝试提取1950年——1999年北京市民用 车辆拥有量序列的确定性信息
例3.6
对1952年——1988年中国农业实际国民 收入指数序列建模
一阶差分序列时序图
一阶差分序列自相关图
一阶差分后序列白噪声检验
延迟阶数 6 12 18
2 统计量 13.33 18.33 24.66
P值 0.0178 0.1060 0.1344
拟合ARMA模型
偏自相关图
建模
定阶
例3.6续：对中国农业实际国民收入指 数序列做为期10年的预测
疏系数模型
ARIMA(p,d,q)模型是指d阶差分后自相关 最高阶数为p，移动平均最高阶数为q的 模型，通常它包含p+q个独立的未知系
数：1, ,p,1, ,q
如果该模型中有部分自相关系数j,1 j p 或部分移动平滑系数 k,1kq为零，即原 模型中有部分系数省缺了，那么该模型 称为疏系数模型。
ARIMA(0,1,1)
参数估计
(1 B )xt4 .99 ( 6 1 0 6 .710B )7 t 66
Va(rt)56.48763
模型检验
模型显著 参数显著
ARIMA模型预测
原则
最小均方误差预测原理
Green函数递推公式
1 1 1 2 11 2 2
j 1j1 pdjpd j
第三章非平稳序列的随机分析
精品
本章结构
差分运算 ARIMA模型 Auto-Regressive模型 异方差的性质 方差齐性变化 条件异方差模型
3.1 差分运算
差分运算的实质 差分方式的选择 过差分
差分运算的实质
差分方法是一种非常简便、有效的确定 性信息提取方法
Cramer分解定理在理论上保证了适当阶 数的差分一定可以充分提取确定性信息
ARIMA模型结构 ARIMA模型性质 ARIMA模型建模 ARIMA模型预测 疏系数模型 季节模型
ARIMA模型结构
使用场合
差分平稳序列拟合
模型结构
E((Bt))d0x， t Va((B r)t)t2,E(ts)0,st Esxt 0,st
ARIMA 模型族
d=0 ARIMA(p,d,q)=ARMA(p,q)
如果自相关和移动平滑部分都有省缺，可以简 记为 A( R p 1 , ( ,I p m ) M d ,( , q 1 , ,q A n ))
例3.8
对1917年－1975年美国23岁妇女每万人 生育率序列建模
一阶差分
自相关图
偏自相关图
建模
定阶
ARIMA((1,4),1,0)
参数估计
Ddxt ((BB))t
例3.9
拟合1962——1991年德国工人季度失业率序列
差分平稳
对原序列作一阶差分消除趋势，再作4步差分消除季节 效应的影响，差分后序列的时序图如下
白噪声检验
延迟阶数 6 12 18
2 统计量 43.84 51.71 54.48
P值 <0.0001 <0.0001 <0.0001
差分后序列时序图
一阶差分
二阶差分
例3.3
差分运算提取1962年1月——1975年12月平均 每头奶牛的月产奶量序列中的确定性信息
差分后序列时序图
一阶差分
1阶－12步差分
过差分
足够多次的差分运算可以充分地提取原 序列中的非平稳确定性信息
但过度的差分会造成有用信息的浪费
例3.4
假设序列如下
P值
6
2.09 0.7191 1
12 10.99 0.3584 4
3.48 <0.0001 -3.41 <0.0001
拟合效果图
乘积季节模型
疏系数模型类型
如果只是自相关部分有省缺系数，那么该疏系 数模型可以简记为 AR (p 1 (,I ,M p m )d ,q A )
p1,,pm为非零自相关系数的阶数
如果只是移动平滑部分有省缺系数，那么该疏 系数模型可以简记为 AR (p ,d I,(q M 1 , ,q n A )) q1,,qn 为非零移动平均系数的阶数
xt 01tat
考察一阶差分后序列和二阶差分序列 的平稳性与方差
比较
一阶差分
平稳
xt xt xt1
1 at at1 方差小
二阶差分（过差分）
平稳
2xt xt xt1 at 2at1at2
方差大
Va( rxt)Va(art at1)
22
Va(r2xt)Va(atr2at1at2)
62
3.2 ARIMA模型