D21-6格林公式及其应用习题课

2 2 L
其中 L是x 2 y 2 2 y上从(0,0)到(1,1)的一段有向弧 . y 2 解 P ( x , y ) 1 2 xy y ,
Q( x , y ) ( x y ) .
2
(1,1)
Q P 2( x y ) . x y
L L1 x O (1,0)
Q y x P 2 当x 0时恒成立, 2 2 x ( x y ) y
2 2
xdy ydx 存在函数u( x , y ), 使得du 2 2 . x y
在右半平面取点(1,0), 从(1,0)到 ( x , y )积分,
xdy ydx u( x , y ) 2 2 x y AB BC
故
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 y ( y) x2 y.
从而( y) 0, ( y) C,
x2 y 2 所求通解为 C c. 2
２． 用直接凑全微分的方法.
2x y2 3 x2 例2 求方程 3 dx dy 0 的通解. 4 y y P 6 x Q 解 因为 4 , 是全微分方程, y x y 1 2x 3 x2 将左端重新组合 2 dy ( 3 dx 4 dy ) y y y
1 x2 1 x2 d( ) d( 3 ) d( 3 ), y y y y
1 x 原方程的通解为 3 C . y y
2
在右半平面这个单连通 区域内, 上式成立的充要 Q P 条件是 . x y
将P ( x, y ), Q( x, y )代入上式得4 x( x y ) (1 ) 0,
2
2
从而得 1 .
为了求得u( x , y ), 在右半平面内取 (1,0) ( x ,0) ( x , y )的折线积分路径, 得
3.
开区域G 是一个单连通域. P Q 如果D是复连通域,即使 y x , 曲线积分也不一定与路径无关。
O
B
4. 函数 P ( x , y ), Q( x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数.
A
L不包围原点
L包围原点
注意以上的结果与L的形状无关。
例1
计算积分 (1 2 xy y )dx ( x y ) dy ,
y xdy ydx d( ) x x2
全微分式
2. 判别定理 定理3. 设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通域D内具有一阶 连续偏导数，则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在D内为某一函数 全微分 Q P 在D内恒成立. x y
3.全微分求积
当Pdx+Qdy为全微分式时， 求其原函数u(x,y)的过程.
练习 证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值

(3,4)
(1,2)
(6 xy 2 y 3 )dx (6 x 2 y 3xy 2 )dy
解； P 12 xy 3 y 2 Q 曲线积分与路径无关。 y x 可沿折线积分 (3,4) 2 3 2 2 (6 xy y ) dx (6 x y 3 xy ) dy
u( x , y )
x ( x, y) ( 1, 0 )
2 xydx x 2dy x4 y2
y 2
y
( x, y)
2x 0 x 4 dx 4 dy C 2 1 x 0 0 x y O y arctan 2 C (C为任意常数 ). x
(1,0)
如图取 M 0 SM 为积分路径,得
u( x , y ) Q( x0 , y )dy P ( x , y )dx
y0 x0
y
x
M 0 ( x0 , y0 )
R( x , y0 )
O
x
2 2 xy dx x ydy 在整个坐标平面内是某个函 例2 验证: 数u的全微分，并求u P Q 2 2 2 xy P xy , Q x y y x xy 2dx x 2 ydy 在整个坐标面上是某个函数 u ( x, y ) 的全微分
y y0
u( x , y ) P ( x , y )dx Q( x0 , y )dy
Q( x , y )dy P ( x , y0 )dx
y0 x0 x
C;
例1 求解方程xy dx x ydy 0。
2 2
P Q 2 xy P xy , Q x y 这是全微分方程. y x
( 0,0 )
(1 2 xy y 2 )dx ( x y )2 dy (1 2 xy y 2 )dx ( x y )2 dy
1 2

1
( 1 ,1 )
( 1, 0 )
L L1 x O (1,0)
7 4 1 dx [(1 y ) ]dy 1 . 0 0 3 3
u( x , y )
( x, y)
( x0 , y0 )
x
Pdx Qdy 与路径无关，可选平行于坐
标轴的折线作为积分路径.
如图取 M 0 RM 为积分路径,得
u( x , y )
x0
P ( x , y0 )dx Q( x , y )dy
y0
y
y
S ( x0 , y )
M ( x, y)
2 2
取 x0 0, y0 0, 有
u ( x, y )
0
( x, y )
(0,0 )
xy 2 dx x 2 ydy
y 0
0dx x 2 ydy
x y 2 方程的通解为 x2 y 2
2
2 2
x
C.
2 2 求解方程 xy d x x ydy 0。 例1
x
练习 验证
xdy ydx x y
2 2
在右半平面 ( x 0)内, 是某个函
数的全微分, 求出一个这样的函数 , 并计算曲线积 ( 3 , 3 ) xdy ydx 分 . 2 2 (1,0 ) x y y x 解 P ( x, y) 2 Q( x , y ) 2 2, 2, x y x y
(1,2)
(6 x 22 23 )dx
1
3
(6 32 y 3 3 y 2 )dy
2
4
5
二、二元函数的全微分求积
原函数
1. 原函数:如果存在一个函数u(x,y)，使得 全微分式 du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy 例如
d ( xy ) ydx xdy
曲线积分与路径无关, 选取特殊路径简化积分. L1 : (0,0) (1,0) (1,1)的有向折线段.
2 2 ( 1 2 xy y ) d x ( x y ) dy L
(1 2 xy y 2 )dx ( x y )2 dy
L1
y
(1,1)

( 1, 0 )
xy 2dx x 2 ydy du ( x, y)
2 2 x y 2 0dx x ydy 0 0 2 2 2 x y 原函数可以相差一个常数 u ( x, y ) C 2
u ( x, y )
( x, y )
(0,0 )
xy dx x ydy
2 2
y
注：起点可以任选， 一般选原点
否则与路径有关.
2、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 Pd x Qd y 0 .
L
在D 内
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y
L
与路径无关, 只与起止点有关.
(3)
即
在 D 内是某一函数
的全微分,
d u( x , y ) P d x Q d y P Q (4) 在 D 内每一点都有 . y x
P Q 注意:1.常用 ,来判断曲线积分与路径无关; y x
2.当曲线积分与路径无关时，常选择最简 路径——平行于坐标轴的直线段组成的折线 作为积分路径;
解2:还可用下面的方法来求解全微分方程
设要求方程的通解为u( x, y) c, 因为函数 u 满足
故
x2 y 2 u xy dx ( y ) 其中 ( y)是y的待定函数. 2
2
u xy 2 , x
u u 2 由此得 x y ( y ). 又 u 必须满足 x 2 y, y y
xdy ydx xdy ydx 2 2 2 2 x y x y AB BC x 0 y x 2 dx 2 dy 2 1 x 0 0 x y
y
C ( x, y)
O
A(1,0) B( x ,0)x
y y arctan arctan . x0 x
du( x , y ) xdx ydy , 所以原方程是全微分方程.
P Q . 全微分方程 y x
全微分方程的解法:
设全微分方程为P ( x , y )dx Q( x , y )dy 0，
1．应用曲线积分与路径无关．
P Q 因为 ， y x
x x0
y
则全微分方程的通解为
( 3,3)
y
(1,0)
( 3 ,3)
xdy ydx y arctan 2 2 x ( 1, 0 ) x y
π . 3
或
y (1, y) ( x, y)
dy 0 1 y2