第5节 一元二次方程根与系数的关系及根的判别式运用
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-ab，x1x2=ac4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝acb42 ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20 当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根． 类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜23且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝23时，方程有两个相等的实数根；(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞23时，方程没有实数根．说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
2.5.1一元二次方程的根与系数的关系(教案)
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一元二次方程的根与系数的关系》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要解决两个未知数的问题？”（如：两个数字相乘得到一个数，两个数字相加得到另一个数，求这两个数字是多少。）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一元二次方程根与系数的关系的奥秘。
2.5.1一元二次方程的根与系数的关系（教案）
一、教学内容
本节课我们将探讨人教版八年级数学下册第2章第5节“一元二次方程”中的2.5.1节：“一元二次方程的根与系数的关系”。教学内容主要包括以下方面：
（1）理解一元二次方程的根的概念，即方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的解称为方程的根。
（2）掌握根与系数之间的关系，即一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的两根x1、x2与系数a、b、c的关系：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
2.教学难点
（1）理解根与系数之间的关系，特别是对于公式x1+x2=-b/a，x1x2=c/a的理解和运用。
难点解析：学生需要理解并记住这个关系，能熟练地将方程的系数代入公式求解两根之和与两根之积。
（2）在解决实际问题时，如何将问题转化为一元二次方程。
难点解析：学生需要学会从问题中抽象出数学模型，将其转化为方程，再运用根与系数的关系求解。
（3）通过实例分析，让学生学会运用根与系数的关系解决实际问题。
（4）培养学生分析问题、解决问题的能力，以及逻辑推理能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
（1）让学生掌握一元二次方程根与系数的基本关系，培养其数学抽象和逻辑推理能力。
一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用
２０２３年９月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用◉云南省曲靖市马龙区第三中学㊀刘㊀陈㊀㊀摘要:结合五则典例,探讨一元二次方程根的判别式及根与系数的关系在判断三角形的形状㊁求代数式的值㊁构造倍根方程㊁求代数式的最值㊁求参数的值等方面的运用,帮助学生积累数学活动经验,发展学生核心素养．关键词:一元二次方程;判别式;数学活动经验;核心素养㊀㊀一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,可用来判断三角形的形状,求代数式的值,构造倍根方程,求代数式的最值,求参数的值等,这些应用一方面体现了根的判别式及根与系数关系的价值,另一方面也使学生体会到了不同数学知识之间的联系,有利于加深学生对这一部分数学知识的理解与掌握．１判断三角形的形状当一元二次方程的系数或它的两个根是三角形的边长时,一元二次方程和三角形之间就有了联系,利用一元二次方程根的情况可以判断三角形的形状[１]．例１㊀已知әA B C的三边长分别为a,b,c,方程(a＋c)x２＋２b x＋(a－c)＝０是关于x的一元二次方程．(１)当x＝－１时,你能确定әA B C的形状吗?为什么?(２)当方程有两个相等的实根时,你能确定әA B C的形状吗为什么?解析:(１)由题意,把x＝－１代入方程,得a＋c－２b＋a－c＝０,整理得a＝b．因为a,b,c分别为әA B C 三边的长,所以әA B C为等腰三角形．(２)由题意,Δ＝(２b)２－４(a＋c)(a－c)＝０,整得得b２＋c２＝a２．因为a,b,c分别为әA B C三边的长,所以由勾股定理的逆定理,得әA B C为直角三角形．评注:当三角形的三边为一元二次方程的系数时,三角形的形状与一元二次方程根的情况也有了联系,本题设置的两个问题对此做了很好的诠释．２求代数式的值当m,n是一元二次方程a x２＋b x＋c＝０的两个根时,根据韦达定理,得m＋n＝－ba,m n＝c a．根据方程根的定义,得a m２＋b m＋c＝０,a n２＋b n＋c＝０;反之,aʂ０时,当m,n满足等式a m２＋b m＋c＝０,a n２＋b n＋c＝０时,则m,n是一元二次方程a x２＋b x＋c＝０的两个根．例２㊀问题情境:小明在学习中遇到了这样一道题 已知字母a,b满足a２－２a－１＝０,b２－２b－１＝０,且aʂb,试求１a＋１b的值．小明的解答为:因为字母a,b满足的两个方程形式一致,所以a,b可以看作方程x２－２x－１＝０的两根,根据根与系数的关系,得a＋b＝２,a b＝－１,所以１a＋１b＝a＋b a b＝２－１＝－２．根据小明的解答过程,请解决下列问题:(１)已知不互为倒数的两个字母a,b分别满足２a２＋１１a＋１２＝０,１２b２＋１１b＋２＝０,求b a的值．(２)已知x１,x２是方程(m－１)x２＋２m x＋２＝０的两个根,且满足x２x１＋x１x２＋x１＋x２＝２．若a,b,c是әA B C的三边长,且c＝２３,m２＋a２m－８a＝０．m２＋b２m－８b＝０．试求m的值以及әA B C的面积．解析:(１)将１２b２＋１１b＋２＝０两边都除以b２,得２(１b)２＋１１ˑ１b＋１２＝０．又因为２a２＋１１a＋１２＝０,所以a与１b为方程２x２＋１１x＋１２＝０的两根,根据根与系数,得a１b＝６．故ba＝１６．(２)因为x１,x２是方程(m－１)x２＋２m x＋２＝０的两个根,所以x１＋x２＝－２m m－１,x１x２＝２m－１,１６Copyright©博看网. All Rights Reserved.学习指导２０２３年９月下半月㊀㊀㊀m ʂ１．由x ２x １＋x １x ２＋x １＋x ２＝２,整理得m ２－３m ＋２＝０,解得m １＝２,m ２＝１(舍去)．因此可得a ２－４a ＋２＝０,b ２－４b ＋２＝０,则a ,b 为方程x ２－４x ＋２＝０的两根,于是a ＋b ＝４,a b ＝２,所以a ２＋b ２＝(a ＋b )２－２a b ＝１２＝c ２,根据勾股定理的逆定理,得әA B C 为直角三角形,故S әA B C ＝１２a b ＝１．所以m 的值为２,әA B C 的面积为１．评注:本题第(２)小题以m 作为联系的纽带,根据第一个方程中根与系数的关系求出m 的值,然后代入关于a ,b 的方程中消去m ,从而显现出a ,b 的本质,再与勾股定理的逆定理结合,使问题转化为几何问题[２]．３求代数式的最值利用一元二次方程根与系数的关系可以求与两根有关的代数式的值,也可以求代数式的最值．当一元二次方程有实数根时,根的判别式大于或等于０,可以据此求得字母的取值范围,当所求代数式化为含有该字母的代数式时,就可以求得它的最值．例３㊀一元二次方程根与系数的关系反映了一元二次方程两根之和㊁两根之积与系数之间的数量关系,相应的命题被称为韦达定理,根据韦达定理解决下面问题:(１)已知m ,n 是一元二次方程２x ２－３x ＋１＝０的两个根,试计算m ＋n 与m n 的值;(２)如果实数m ,n (m ʂn )分别满足方程m ２－m －１＝０,n ２－n －１＝０,求代数式１m ＋１n的值;(３)设方程２x ２＋４x ＋m ＝０的两个根分别是x １,x ２,你能求出x ２１＋x ２２的最小值吗?解析:(１)由韦达定理,得m ＋n ＝３２,m n ＝１２．(２)因为实数m ,n 满足m ２－m －１＝０,n ２－n －１＝０且m ʂn ,所以m ,n 可看作方程x ２－x －１＝０的两根．根据韦达定理,得m ＋n ＝１,m n ＝－１．故１m ＋１n ＝m ＋nm n ＝－１．(３)因为x １,x ２是方程２x ２＋４x ＋m ＝０的两个根,所以Δ＝４２－４ˑ２ˑm ȡ０,即m ɤ２．根据题意,可得x １＋x ２＝－２,x １x ２＝m ２,则x ２１＋x ２２＝(x １＋x ２)２－２x １x ２＝４－m ．由m ɤ２,得４－m ȡ２,所以x ２１＋x ２２的最小值为２．评注:当a ȡb (b 为常数)时,a 有最小值,且最小值为b ;当a ɤb (b 为常数)时,a 有最大值,且最大值为b ．４探讨代数式的值能否为定值对于与一元二次方程的根有关的代数式的值能否为定值这类问题,应先假设这个代数式的值能为定值,从而建立方程求得字母的值,然后检验这个值能否满足原方程有实根,使原方程有实根的值就是符合题意的值．例４㊀已知关于x 的方程k x ２＋(１－k )x －１＝０．(１)若该方程有两个不等实根,求k 的取值范围．(２)设x １,x ２是方程k x ２＋(１－k )x －１＝０的两个根,记S ＝x ２x １＋x １x ２＋x １＋x ２,试问S 的值能为４吗?若能,求出此时k 的值,并说明理由．解:(１)根据一元二次方程的定义和判别式的意义,得k ʂ０且Δ＝(１－k )２－４k ˑ(－１)＞０,整理,得(１＋k )２＞０,解得k ʂ０且k ʂ－１．(２)根据题意,得x １＋x ２＝－１－k k ,x １x ２＝－１k．假设S ＝x ２１＋x ２２x １x ２＋x １＋x ２＝(x １＋x ２)２－２x １x ２x １x ２＋x １＋x ２＝４,可得(x １＋x ２)２－６x １x ２＋x １x ２(x １＋x ２)＝０,即(１－k )２k２－６(－１k )＋(－１k ) (－１－kk )＝０,整理得k ２＋３k ＋２＝０,解得k １＝－１,k ２＝－２．因为k ʂ０且k ʂ－１,所以当k ＝－２时,S 的值能为４．评注:一元二次方程根与系数的关系是在方程有实根的情况下进行讨论的,所以利用根与系数关系得到的字母的值,一定要看这个值是否在方程有实根时求得的字母取值范围之内．只有在这个取值范围之内的值才是符合题意的值．积累数学活动经验是数学教学的目标之一．以上四种类型有关根的判别式及根与系数关系的应用,有利于学生明白二者之间的依存关系,以及如何利用这两个工具解答相关问题,也有利于学生积累解题经验,促进学生核心素养的发展．参考文献:[１]黄细把．一元二次方程 联姻 三角形[J ]．今日中学生,２０１５(Z ６):２５Ｇ２６．[２]朱亚邦．勾股定理(逆定理)应用的几种场景[J ]．中学生数理化(八年级数学)(配合人教社教材),２０１７(３):１６Ｇ１７．Z ２６Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
一元二次方程根与系数的关系公式有哪些
⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些
韦达定理指出了⼀元⼆次⽅程根与系数的关系，让我们⼀起来了解⼀下吧。
下⾯是由店铺编辑为⼤家整理的“⼀元⼆次⽅程根与系数的关系公式有哪些”，仅供参考，欢迎⼤家阅读本⽂。
⼀元⼆次⽅程根与系数的关系
韦达定理指出：⼀元⼆次⽅程中两根的和等于它的⼀次项系数除以⼆次项系数所得的商的相反数;两根的积等于它的常数项除以⼆次项系数所得的商。
设⼀元⼆次⽅程ax²+bx+c=0中(a，b，c∈R，a≠0)，设此⼀元⼆次⽅程有两根x₁、x₂，有如下关系：
由⼀元⼆次⽅程求根公式如下：
达定理与根的判别式的关系更是密不可分。
⼀元⼆次⽅程的根的判别式为：△=b2-4ac(a，b，c分别为⼀元⼆次⽅程的⼆次项系数，⼀次项系数和常数项)。
根的判别式是判定⽅程是否有实根的充要条件，韦达定理说明了根与系数的关系。
⽆论⽅程有⽆实数根，实系数⼀元⼆次⽅程的根与系数之间适合韦达定理。
判别式与韦达定理的结合，则更有效地说明与判定⼀元⼆次⽅程根的状况和特征。
韦达定理为数学中的⼀元⽅程的研究奠定了基础，对⼀元⽅程的应⽤创造开拓了⼴泛的发展空间。
已知两个根其中的⼀个，就可以代⼊韦达定理的关系式⾥求得另⼀个根，并且还可以⽤另⼀个关系式来检验。
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
一元二次方程根的判别式和根与系数的关系回顾与思考1．一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的情况可由△=b2－4ac来判定：(1)当b2–4ac>0时，方程有实数根，即x1= ，x2= ．当b2–4ac=0时，方程有实数根，即x1=x2= ．当b2–4ac<0时，方程实数根．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根的判别式．(2)一元二次方程根的判别式的应用：①不解方程，判别根的情况，特别是判别含有字母系数的一元二次方程根的情况，可通过配方法把b2–4ac变形为±(m±h)2＋k的形式，由此得出结论，无论m为何值，b2–4ac≥0或b2–4ac<0，从而判定一元二次方程根的情况．一般步骤是：先计算△，再用配方法将△恒等变形，然后判断△的符号，最后得出结论．②根据方程的根的情况，求待定系数的取值范围；③进行有关的证明．(3)关于根的判别式的应用：①对于数字系数方程，可直接计算其判别式的值，然后判断根的情况；②对于字母系数的一元二次方程，若知道方程根的情况，可以确定判别式大于零、等于零还是小于零，从而确定字母的取值范围；③运用配方法，并根据一元二次方程根的判别式可以证明字母系数的一元二次方程的根的有关问题.(4)应用根的判别式须注意以下几点：①要用△，要特别注意二次项系数a≠0这一条件．②认真审题，严格区分条件和结论，譬如是已知△＞0，△≥0还是要证明△＜0．③要证明△≥0或△＜0，需用配方法将△恒等变形为±(m±h)2＋k的形式，从而得到判断．2．一元二次方程的根与系数的关系(1)如果方程ax2＋bx＋c = 0(a≠0)的根是x1和x2，那么x1+x2= ，x1x2= ．特别低，如果方程x2＋px＋q = 0的根是x1和x2，则x1+x2= ，x1x2= ．(2)一元二次方程根与系数关系的应用．①验根．验根是一元二次方程根与系数关系的简单应用，应用时要注意三个问题：一要先把一元二次方程化成标准型，二不要漏除二次项系数a≠0；三还要注意–ba中的符号．②已知方程一根，求另一根．③不解方程，求与根有关的代数式的值．一般步骤：先求出x1+x2，x1x2的值，再将所求代数式用x1+x2，x1x2的代数式表示，然后将x1+x2，x1x2的值代入求值．④已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程：以x1，x2为根的一元二次方程可写成x2－(x1+x2)x+x1x2=0．(3)应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：①根的判别式b2–4ac≥0；②二次项系数a≠0，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.(4)求方程两根所组成的代数式的值，关键在于把所求代数式变形为两根的和与两根的积的形式.(5) 常见的形式：3．二次三项式的因式分解：ax2+bx+c=a(x－x1)(x－x2)．其中x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实数根．【例1】不解方程，判定关于x的方程根的情况(1) 2x2–9x+8=0 (2)9x2+6x+1=0 (3) 16x2+8x= –3 (4)x2=7x+18(5)2x2–(4k+1)x+2k2–1＝0 (6)x2＋(2t＋1)x＋(t–2)2＝0【例2】(1)已知关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k=0有两个实数根，求k的取值范围．(2)若关于x的一元二次方程(a–2)x2–2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．【例3】(1)已知关于x的方程x2–mx+m–2=0，求证：方程有两个不相等的实数根(2)求证：方程(m2＋1)x2–2mx＋(m2＋4)＝0没有实数根．【例4】(1)已知方程x2–5x–6=0的根是x1和x2，求下列式子的值：①(x1–3)(x2–3) ②x12+x22+x1x2③x1x2+x2x1(2)利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，①使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的3倍；②使它的根分别是方程3x2–x–10=0各根的负倒数。
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
b 2 2 Δ一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【学习目标】1．掌握一元二次方程根的判别式的应用．2．掌握一元二次方程的根与系数的关系．【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：－4ac 叫做一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式．通常用符号“”来表示．2．对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），当Δ ＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ ＝0 时，方程有两个相等的实数根；当Δ ＜0 时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于 x 的一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-1 2 ba，x x =1 2 ca4. 如果关于 x 的一元二次方程 x 2＋px ＋q ＝0（a ≠0）的两个根是 x ，x ，12那么 x +x =-p ，x x =q12 1 2【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ ＝b 2－4ac ，而不是指Δ ＝ b 2 4ac ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时 b 2－4ac ≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数 a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b 2－4ac ≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
一元二次方程的判别式及跟与系数的关系
一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系要点一、一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=−40时才有实数根．这里b ac 2−4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=−4确定． 设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=−4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根b x x a12==−2． ③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根． 特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b −±2a 的整数倍，则方程的根为整数根．【例1】（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况： ①x x 27−−1=0 ②()x x 29=43−1 ③x x 2+7+15=0④()mx m x 2−+1+=02（m 为常数）（2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根． （2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2−4+=4++−−∵a b c ++>0，c a b −−<0，故方程没有实根．选A ．【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．【例2】（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21−1+−=04有实根，则k 的取值范围为______． 【解析】（1）≥k 0且≠k 1；【变式2-1】若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ） A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，且k≠0. 则k 的非负整数值为1．【变式2-2】已知关于x 的一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】且m≠1 【解析】因为方程有实数根，所以，解得， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即， ∴ m 的取值范围是且m≠1． 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即，m≠1．【例3】已知：关于x 的方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】.【变式3-1】关于x的一元二次方程()k x 21−2−−1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______．≤k −1<2且k 1≠2， 由题意，得()()k k k k 4+1+41−2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1−2≠0⎩，解得≤k −1<2且k 1≠2；2(1)10m x x −++=54m ≤2(1)10m x x −++=214(1)450m m =−−=−+≥△54m ≤(1)0m −≠54m ≤(1)0m −≠2(1)04kkx k x +++=102k k ≠＞－且【变式3-2】已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根． 【答案与解析】解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：，解得：，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【变式3-2】关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0， 解得：k ＜2且k≠1． 故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.【例4】当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有△≥0，即()()≥a a ab b 22241+−43+4+4+20，得()()a b a 22+2+−1≤0．又因为()()a b a 22+2+−1≥0，所以()()a b a 22+2+−1=0，得a =1，b 1=−2．【变式4-1】已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根，求代数式a a a21−2+1+的值．【解析】由题，一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根， 所以a a 2−3+1=0．所以有a a a 2−2+1=，a a 2+1=3．代入a a a21−2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13−2+1+=+===3．【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．【变式4-2】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【例5】在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2−=02的两个实数根，求△ABC 的周长．【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21⎛⎫−42−=0 ⎪2⎝⎭，∴m 1=−4，m 2=2．若m =−4，原方程化为x x 2−4+4=0， 则x x 12==2，即b c ==2， ∴△ABC 的周长为2+2+3=7． 若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0， 则x x 12==−1，不合题意．当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根， 则m m 19+3+2−=02，则m 22=−5，原方程化为x x 22221−+=055，解得x 1=3，x 27=5， ∴ABC △的周长为7373+3+=55．综上所述，ABC △的周长为7或375． 【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．要点二、一元二次方程的根与系数关系(韦达定理)1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=−，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=−，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=−，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212−++=0． 3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=−40的条件下，我们有如下结论： （1）当ca<0时，方程的两根必一正一负． ①若≥b a −0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba−<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca>0时，方程的两根同正或同负． ①若b a −>0，则此方程的两根均为正根；②若ba−<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．【例6】（1）已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．（2）已知x 1，x 2是方程x x 2−3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12−2⋅−2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12−；⑥x x 2212−；⑦x x 1211−．【解析】（1）−4；（2）()x x x x x x 2222121212+=+−2⋅=3−2⨯1=7， ()()()x x x x x x 121212−2⋅−2=⋅−2++4=1−2⨯3+4=−1， ()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+−⋅=9−1=8，x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1，()()x x x x x x 222121212−=+−4⋅=3−4⨯1=5，∴x x 12−=，∴()()(x x x x x x 22121212−=+−=3⨯=x x x x x x 21121211−−==．【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．【例7】（1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值．（2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24−4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221−2−2的值等于54．【解析】（1）∵方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，∴()()△≥k k k 22=2−3−4−3=21−120得：≤k 74． 由韦达定理得，()x x k x x k 12212+=−2−3⎧⎪⎨⋅=−3⎪⎩． ∵x x x x 121211+=+，∴x xx x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，当x x 12+=0时，k 3−2=0，k 3=2，∵k 37=<24，所以k 3=2符合题意． 当x x 12=1时，k 2−3=1，k =±2，∵k 7≤4，∴k =2舍去．∴k 的值为32或−2． （2）显然a ≠0由()△a a a 2=16−16+4≥0得a <0， 由韦达定理知x x 12+=1，a x x a12+4=4， 所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4−2−2=5−2+=9−2+=−24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215−2−2=4则a a +365=44，∴a =9，这与0a <矛盾， 故不存在a ，使()()x x x x 12215−2⋅−2=4． 【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见，一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．【例8】（1）若m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，则m m n 2+2+−1的值为________．（2）已知a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，则a ab a b 2−+3+的值为__________．（3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________．【解析】（1）∵m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，∴m n +=−1，m m 2+−1=0，则原式()()m m m n 2=+−1++=−1=−1，（2）∵a 是方程x x 2+2−5=0的实数根，∴a a 2+2−5=0，∴a a 2=5−2，∴a ab a b a ab a b a b ab 2−+3+=5−2−+3+=+−+5， ∵a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，∴a b +=−2，ab =−5，∴a ab a b 2−+3+=−2+5+5=8． 故答案为8．（3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=−2016，mn =7；∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7−−1+2016+7++1()()()()m n mn m n =−+1+1=−+++1=−7−2016+1=2008故答案是：2008．【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解．【例9】（1）已知一元二次方程()ax a x a 2+3−2+−1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________．（2）已知二次方程342x x k 2−+−=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．【解析】（1）此方程两实根为,x x 12，由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥，∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3−24−10⎪⎪2−3⎨<0⎪⎪−1⎪>0⎩-≥g ,即a 91<8≤．（2）此方程两实根为,x x 12，由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩，得：∴2()43()k k ⎧⎪−4−⨯−2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪−2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3． 【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类题，要将这种不等的思想传授给孩子．【课后作业】1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22−1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____________． A ．k 1≥4 B ．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 1【解析】B ．2．已知关于x 的一元二次方程x m 2−=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________．3．关于x 的方程()()m x m x 22−4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．【解析】2．由题意可知，原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>−3．又≥≤m m 1−0⇒1， 故≤m 1−<13．3．题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0m 2−4=和m 2−4≠0，两种情形讨论：当m 2−4=0即m =±2时，()m 2+1≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当m 2−4≠0即m ≠±2时，方程有根的条件是： [()]()≥m m m 22=2+1−4−4=8+20∆0，解得m 5≥−2．∴当m 5≥−2且m ≠±2时，方程有实根．综上所述：当m 5≥−2时，方程有实根．4．已知关于x 的方程()x k x k 2−+1+2−2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【解析】（1）()()()≥△k k k 22=+1−42−2=−30，∴无论k 为何值，方程总有实根．（2）当a =3为底，b ，c 为腰时，b c =，∴方程有两个相等的实根，∴∆=0，即()k 2−3=0，k =3，此时方程为x x 2−4+4=0，解x x 12==2，∴ABC △的周长为3+2+2=7，当a =3为腰，则方程有一根为3，将x =3代入方程，得k =4，方程为x x 2−5+6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴ABC △的周长为2+3+3=8，综上所述，ABC △的周长为7或8．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是−2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．【解析】5．设另一根为x ，由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组，解之即得．x 5=2，k =−1． 6．a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2， ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根， ∴≥b ac 2−40， ∴b ac 2−2>0，∴()()△b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2>0∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正． 故有两个负根．故选C ．7．∵α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根， ∴αβ+=−3，αα2+3−7=0， ∴αα2+3=7，∴ααβαααβ22+4+=+3++=7−3=4，故答案为：4．11 8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+−5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则∆≥0，且x x x x 221212+−=16，联立解得m 的值．依题意有：()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=−2+2⎧⎪=−5⎪⎨+−=16⎪⎪∆=4+2−4−5≥0⎩，解得：m =−1或m =−15且m 9≥−4， ∴ m =−1．韦达定理说明了一元n 次方程中根和系数之间的关系。
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第5节 一元二次方程根与系数的关系及根的判别式运用
【学习目标】
1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。
对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；
2.掌握韦达定理及其简单的应用；
3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；
4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。
【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．
【学习重难点】重点：根的判别式、韦达定理及其应用。
难点：韦达定理及其应用。
【学习过程】
模块一 预习反馈
一．知识点
1.一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，反之也成立；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立；
当△＜0时，方程没有实数根．反之也成立；
2.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2， 那么a b x x -=+21，a
c x x =21 (2)如果方程x 2
+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=q
(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．
3.二次三项式的因式分解(公式法)
在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根是
x 1,x 2，那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．
模块二 合作探究
一、例题：
1.关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）
（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根
（C ）没有实数根 （D ）不能确定
2.设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ）
（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3
3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0
4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）
（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0
5．如果x 1，x 2是两个不相等实数，且满足x 12－2x 1＝1，x 22－2x 2＝1，
那么x 1·x 2等于（ ）
（A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－1
6．如果一元二次方程x 2＋4x ＋k 2＝0有两个相等的实数根，那么k ＝
7．如果关于x 的方程2x 2－(4k+1)x ＋2 k 2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范
围是
8．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝
二、练习：
1、 不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）x 2－x=5 (2)9x 2－6 2 +2=0 (3)x 2
－x+2=0
2、 当m= 时，方程x 2+mx+4=0有两个相等的实数根；
当m= 时，方程mx 2+4x+1=0有两个不相等的实数根；
3、 已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的
另一个根是 ；若两根之和为－35
，则m= ，这时方程的两个根为 . 4、 已知3－ 2 是方程x 2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m 的值。
5、 求证：方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。
6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－ 5 和1+ 5 。
7、 设x 1,x 2是方程2x 2+4x －3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：
(1) (x 1+1)(x 2+1) (2)x 2x 1 + x 1x 2
（3）x 12+ x 1x 2+2 x 1
模块三 形成提升
1、 如果x 2－2(m+1)x+m 2+5是一个完全平方式，则m= ;
2、 方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根，则最小的整数m= ;
3、 已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等，则m= ;
4、 设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n ，且3m+2n=20，则k 值为 ;
5、 设方程4x 2－7x+3=0的两根为x 1,x 2，不解方程，求下列各式的值:
(1) x 12+x 22
(2)x 1－x 2 （3）ｘ1 ＋ｘ2
6.求证：不论k 为何实数，关于x 的式子(x －1)(x －2)－k 2都可以分解成两个一次因式的积。
点评：
模块四 小结反思
这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
知识点：
方法：
本节易(混)错点：
【课外作业】
A 层：
1、 不解方程，请判别下列方程根的情况；
(1)2t 2+3t －4=0, ; (2)16x 2+9=24x, ; (3)5(u 2+1)－7u=0, ;
2、 已知方程x 2－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β= , αβ= ;
3、已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212
，则k= ; 4、若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;
5、若方程x 2－(2m －1)x+m 2+1=0有实数根，则m 的取值范围是 ;
6、一元二次方程x 2+px+q=0两个根分别是2+ 3 和2－ 3 ，则p= ,q= ;
7、已知方程3x 2－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是 ，m= ;
8、若方程x 2+mx －1=0的两个实数根互为相反数，那么m 的值是 ;
9、已知p<0,q<0，则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情况是 ;
10、已知关于x 的方程x 2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k 的值;
B 层：
1、 m,n 是关于x 的方程x 2-(2m-1)x+m 2+1=0的两个实数根，则代数式m n = 。
2、m 取什么值时，方程2x 2－(4m+1)x+2m 2
－1=0
（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；
3．设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：
(1)x 12x 2+x 1x 22 (2) 1x 1 －1x 2
4．已知a,b,c 是三角形的三边长，且方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，
求证：这个三角形是正三角形
5.已知关于X 的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝1 α
＋1 β ，求ｓ的取值范围。