2011年春季高考数学真题
2011年高考全国数学试卷(新课标)-文科(含详解答案)
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修I)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．. 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题(1)设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =（MN ）（A ）{}12， （B ）{}23， （C ）{}2，4 （D ）{}1，4 【答案】D【命题意图】本题主要考查集合交并补运算. 【解析】{2,3},(){1,4}U MN MN =∴=(2)函数(0)y x x =≥的反函数为（A ）2()4x y x R =∈ （B ）2(0)4x y x =≥ （C ）24y x =()x R ∈ （D ）24(0)y x x =≥ 【答案】B【命题意图】本题主要考查反函数的求法.【解析】由原函数反解得24y x =,又原函数的值域为0y ≥,所以函数(0)y x x =≥的反函数为2(0)4x y x =≥.(3)设向量,a b 满足||||1a b ==,12a b ⋅=-,则2a b += （A 2 （B 3 （C 5（D 7【答案】B【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法.【解析】2221|2|||44||14()432a b a a b b +=+⋅+=+⨯-+=,所以23a b +=(4)若变量x ，y 满足约束条件63-21x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则=23z x y +的最小值为（A ）17 （B ）14 （C ）5 （D ）3 【答案】C【命题意图】本题主要考查简单的线性规划.【解析】作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线=23z x y +过直线x=1与x-3y=-2的交点（1，1）时取得最小值,所以最小值为5.(5)下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（A ）1a b +＞ （B ）1a b -＞ （C ）22a b ＞ （D ）33a b ＞ 【答案】A【命题意图】本题主要考查充要条件及不等式的性质.【解析】即寻找命题P ,使P a b ⇒>,且a b >推不出P ,逐项验证知可选A.(6)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，224k k S S +-=，则k = （A ）8 （B ）7 （C ）6 （D ）5 【答案】D【命题意图】本题主要考查等差数列的基本公式的应用. 【解析】解法一2(2)(1)(1)[(2)12][12]442422k k k k k k S S k k k +++--=+⨯+⨯-⨯+⨯=+=，解得5k =.解法二: 221[1(1)2](12)4424k k k k S S a a k k k +++-=+=++⨯++⨯=+=，解得5k =.(7)设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13（B ）3 （C ）6 （D ）9 【答案】C【命题意图】本题主要考查三角函数的周期性与三角函数图像变换的关系. 【解析】由题意将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍,得2()3k k Z ππω⨯=∈,解得6k ω=,又0ω>,令1k =,得min 6ω=.(8)已知直二面角l αβ--,点A α∈，AC l ⊥,C 为垂足,B β∈，BD l ⊥,D 为垂足,若2,1AB AC BD ===，则CD = （A ） 2 （B（C （D ）1 【答案】C【命题意图】本题主要考查二面角的平面角及解三角形.【解析】因为l αβ--是直二面角, AC l ⊥,∴AC ⊥平面β,BC ∴=又BD l ⊥,CD ∴=(9) 4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 (A) 12种 (B) 24种 (C) 30种 (D)36种 【答案】B【命题意图】本题主要考查两个原理与排列组合知识，考察考生分析问题的能力.【解析】第一步选出2人选修课程甲有246C =种方法，第二步安排剩余两人从乙、丙中各选1门课程有22⨯种选法，根据分步计数原理，有6424⨯=种选法.(10) 设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x =2(1)x x -,则5()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【答案】A【命题意图】本题主要考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值的方法. 关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值. 【解析】由()f x 是周期为2的奇函数,利用周期性和奇偶性得:5511111()(2)()()2(1)2222222f f f f -=-+=-=-=-⨯⨯-=-(11)设两圆1C 、2C 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离12CC = (A)4 (B)【答案】C【命题意图】本题主要考查圆的方程与两点间的距离公式.【解析】由题意知圆心在直线y=x 上并且在第一象限,设圆心坐标为(,)(0)a a a >,则a =,即210170a a -+=,所以由两点间的距离公式可求出128C C ===.(12)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N .若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π 【答案】D【命题意图】本题主要考查二面角的概念与球的性质.【解析】如图所示,由圆M 的面积为4π知球心O 到圆M 的距离23OM =,在Rt OMN∆中,30OMN ︒∠=, ∴132ON OM ==,故圆N 的半径2213r R ON =-=,∴圆N的面积为213S r ππ==.第Ⅱ卷注意事项：1答题前，考生先在答题卡上用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚，然后贴好条形码。
2011年上海市春季高考数学试卷及答案
2011年上海市春季高考数学试卷一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）函数f（x）=lg（x﹣2）的定义域是．2．（4分）若集合A={x|x≥1}，B={x|x2≤4}，则A∩B=．3．（4分）在△ABC中，tanA=，则sinA=．4．（4分）若行列式=0，则x=．5．（4分）若，，则x=（结果用反三角函数表示）6．（4分）（x+）6的二项展开式的常数项为．7．（4分）两条直线l1：x﹣y+2=0与l2：x﹣y+2=0的夹角的大小是．8．（4分）若S n为等比数列{a n}的前n项的和，8a2+a5=0，则=．9．（4分）若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．10．（4分）若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为．11．（4分）根据如图所示的程序框图，输出结果i=．12．（4分）2011年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为．13．（4分）有一种多面体的饰品，其表面右6个正方形和8个正三角形组成（如图），则AB与CD所成的角的大小是．14．（4分）为求方程x5﹣1=0的虚根，可以把原方程变形为（x﹣1）（x2+ax+1）（x2+bx+1）=0，由此可得原方程的一个虚根为．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）若向量，则下列结论正确的是（）A．B．C． D．16．（5分）f（x）=的图象关于（）A．原点对称B．直线y=x对称C．直线y=﹣x对称 D．y轴对称17．（5分）直线l：y=k（x+）与圆C：x2+y2=1的位置关系是（）A．相交或相切B．相交或相离C．相切D．相交18．（5分）若，，均为单位向量，则=（，）是++=（，）的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）已知向量=（sin2x﹣1，cosx），=（1，2cosx），设函数f（x）=•，求函数f（x）的最小正周期及x∈[0，]时的最大值．20．（14分）某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．21．（14分）已知抛物线F：y2=4x（1）△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为k AB，k BC，k CA，若A的坐标在原点，求k AB﹣k BC+k CA的值；（2）请你给出一个以P（2，1）为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由．22．（16分）定义域为R，且对任意实数x1，x2都满足不等式f（）≤的所有函数f（x）组成的集合记为M，例如，函数f（x）=kx+b∈M．（1）已知函数f（x）=，证明：f（x）∈M；（2）写出一个函数f（x），使得f（x0）∉M，并说明理由；（3）写出一个函数f（x）∈M，使得数列极限=1，=1．23．（18分）对于给定首项x0＞（a＞0），由递推公式x n+1=（x n+）（n ∈N）得到数列{x n}，对于任意的n∈N，都有x n＞，用数列{x n}可以计算的近似值．（1）取x0=5，a=100，计算x1，x2，x3的值（精确到0.01）；归纳出x n，x n+1，的大小关系；（2）当n≥1时，证明：x n﹣x n+1＜（x n﹣1﹣x n）；（3）当x0∈[5，10]时，用数列{x n}计算的近似值，要求|x n﹣x n+1|＜10﹣4，请你估计n，并说明理由．2011年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2011•上海）函数f（x）=lg（x﹣2）的定义域是（2，+∞）．【分析】对数的真数大于0，可得答案．【解答】解：由x﹣2＞0，得x＞2，所以函数的定义域为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．2．（4分）（2011•上海）若集合A={x|x≥1}，B={x|x2≤4}，则A∩B={x|1≤x ≤2} ．【分析】求解二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由A={x|x≥1}，B={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，所以A∩B={x|x≥1}∩{x|﹣2≤x≤2}={x|1≤x≤2}．故答案为{x|1≤x≤2}．3．（4分）（2011•上海）在△ABC中，tanA=，则sinA=．【分析】由题意可得A为锐角，再由tanA==，sin2A+cos2A=1，解方程组求得sinA的值．【解答】解：在△ABC中，tanA=，则A为锐角，再由tanA==，sin2A+cos2A=1，求得sinA=，故答案为．4．（4分）（2011•上海）若行列式=0，则x=1．【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵=0，∴2×2x﹣4=0，即2x=2，∴x=1．故答案为：1．5．（4分）（2011•上海）若，，则x=（结果用反三角函数表示）【分析】利用反正弦函数的定义，由角的范围为，故可直接得到答案．【解答】解：由于，根据反正弦函数的定义可得x=故答案为6．（4分）（2011•上海）（x+）6的二项展开式的常数项为20．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．=•x6﹣r•x﹣r=•x6﹣2r．【解答】解：（x+）6的二项展开式的通项公式为T r+1令6﹣2r=0，求得r=3，故展开式的常数项为=20，故答案为20．7．（4分）（2011•上海）两条直线l1：x﹣y+2=0与l2：x﹣y+2=0的夹角的大小是．【分析】设两条直线的夹角为θ，求得tanθ=||的值，可得tan2θ的值，求得2θ 的值，可得θ的值．【解答】解：由于两条直线l1：x﹣y+2=0与l2：x﹣y+2=0的斜率分别为、1，设两条直线的夹角为θ，则tanθ=||=||==2﹣，∴tan2θ==，∴2θ=，θ=，故答案为．8．（4分）（2011•上海）若S n为等比数列{a n}的前n项的和，8a2+a5=0，则=﹣7．【分析】根据已知的等式变形，利用等比数列的性质求出q3的值，然后分别根据等比数列的通项公式及前n项和公式，即可求出结果．【解答】解：由8a2+a5=0，得到=q3=﹣8===﹣7故答案为：﹣7．9．（4分）（2011•上海）若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是．【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标，可得椭圆C的焦点和顶点坐标，从而可得椭圆C的方程【解答】解：双曲线的顶点和焦点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为（±，0）、（±3，0）∴a=3，c=∴∴椭圆C的方程是故答案为：10．（4分）（2011•上海）若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为2．【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x，y），根据P（x，y）在椭圆上可得到x、y的关系式，表示出|OP|2+|PF|2，再将x、y的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x，y），则有+y2=1，解得y2=1﹣，因为|OP|2+|PF|2=x2+y2+（x+1）2+y2=x2+（x+1）2+2﹣x2=（x+1）2+2，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=﹣1，|OP|2+|PF|2的最小值为2．故答案为：2．11．（4分）（2011•上海）根据如图所示的程序框图，输出结果i=8．【分析】按要求一步步代入循环体，直到符合要求退出循环，即可得到结论．【解答】解：因为i=0，t=76；不满足t≤0，∴t=76﹣10=66，i=0+1=1；不满足t≤0，∴t=66﹣10=56，i=1+1=2；不满足t≤0，∴t=56﹣10=46，i=2+1=3；不满足t≤0，∴t=46﹣10=36，i=3+1=4；不满足t≤0，∴t=36﹣10=26，i=4+1=5；不满足t≤0，∴t=26﹣10=16，i=5+1=6；不满足t≤0，∴t=16﹣10=6，i=6+1=7；不满足t≤0，∴t=6﹣10=﹣4，i=7+1=8；满足t≤0，输出结果i=8．故答案为：8．12．（4分）（2011•上海）2011年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为168．【分析】解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从8所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从8所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，共有C31C22A82=168故答案为：168．13．（4分）（2011•上海）有一种多面体的饰品，其表面右6个正方形和8个正三角形组成（如图），则AB与CD所成的角的大小是．【分析】由图形补出正方体，可得所求的角即为ED与CD所成的角，在△CDE 中，由余弦定理可得答案．【解答】解：该饰品实际上就是正方体的8个顶角被切掉，切线经过正方体每条棱边的中点，如图：可得AB与CD所成的角即为ED与CD所成的角，设正方体的棱长为2，在△CDE中，可得CD=DE=，EC=，由余弦定理可得cos∠CDE==，故∠CDE=，故AB与CD所成的角为故答案为：14．（4分）（2011•上海）为求方程x5﹣1=0的虚根，可以把原方程变形为（x﹣1）（x2+ax+1）（x2+bx+1）=0，由此可得原方程的一个虚根为．【分析】化简方程的左边，比较系数，求出a，b，再求方程的虚根．【解答】解：由题可知（x﹣1）（x2+ax+1）（x2+bx+1）=（x﹣1）[x4+（a+b）x3+（2+ab）x2+（a+b）x+1]比较系数可得，∴∴原方程的一个虚根为，中的一个故答案为：．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）（2011•上海）若向量，则下列结论正确的是（）A．B．C． D．【分析】由给出的两个向量的坐标，求出的坐标，然后直接进行数量积的坐标运算求解．【解答】解：由，则．所以．则．故选C．16．（5分）（2011•上海）f（x）=的图象关于（）A．原点对称B．直线y=x对称C．直线y=﹣x对称 D．y轴对称【分析】先判断函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义进行判断．【解答】解：因为函数的定义域为R，所以定义域关于原点对称．f（x）==，则f（﹣x）=2﹣x﹣2x=﹣（2x﹣2﹣x）=﹣f（x），即函数f（x）为奇函数．故函数f（x）的图象关于原点对称．故选A．17．（5分）（2011•上海）直线l：y=k（x+）与圆C：x2+y2=1的位置关系是（）A．相交或相切B．相交或相离C．相切D．相交【分析】根据点到直线的距离求出圆心到直线的距离d，再根据d与半径r的大小关系，得出结论．【解答】解：由于圆心（0，0），半径等于1，圆心到直线l：y=k（x+）的距离为d===＜＜r=1，故直线和圆相交，故选D．18．（5分）（2011•上海）若，，均为单位向量，则=（，）是++=（，）的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】均为单位向量，若，=（，）不成立；若=（，）可推得，由此可得．【解答】解：均为单位向量，，若，，则=（，）不成立；若均为单位向量，=（，）可推得所以“”是“”的必要不充分条件，故选B三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤．19．（12分）（2011•上海）已知向量=（sin2x﹣1，cosx），=（1，2cosx），设函数f（x）=•，求函数f（x）的最小正周期及x∈[0，]时的最大值．【分析】利用两个向量的数量积公式求得函数f（x）的解析式为sin（2x+），根据x∈[0，]，利用正弦函数的定义域和值域求函数的最大值．【解答】解：∵向量=（sin2x﹣1，cosx），=（1，2cosx），函数f（x）=•=（sin2x﹣1）+2cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+），故函数的周期为=π．∵x∈[0，]，∴≤2x+≤，故当2x+=时，函数取得最大值为．20．（14分）（2011•上海）某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）．现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0.01）．【分析】设出蛋筒冰淇淋的底面半径和高，由圆形蛋皮的周长等于5倍圆锥的底面周长求得圆锥底面半径，进一步求出圆锥的高，然后直接利用表面积公式和体积公式求解．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h．因为，所以r=2．则．则圆锥的表面积S=．体积V=．故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96cm2，体积约为57.80cm3．21．（14分）（2011•上海）已知抛物线F：y2=4x（1）△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为k AB，k BC，k CA，若A的坐标在原点，求k AB﹣k BC+k CA的值；（2）请你给出一个以P（2，1）为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由．【分析】（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），把B、C点左边代入抛物线方程，利用斜率公式计算k AB﹣k BC+k CA的值即可；（2）先研究△PBC，四边形PBCD，五边形PBCDE，再研究n=2k，n=2k﹣1（k∈N，k≥2）边形的情形，最后研究n边形P1P2…Pn（k∈N，k≥3），按由特殊到一般的思路逐步得到结论；【解答】解：（1）设B（x1，y1），C（x2，y2），∵，，∴k AB﹣k BC+k CA=+=﹣+=0；（2）①研究△PBC，k PB﹣k BC+k CP=﹣+=﹣+==1；②研究四边形PBCD，k PB﹣k BC+k CD﹣k DP=﹣+﹣=0；③研究五边形PBCDE，k PB﹣k BC+k CD﹣k DE+k EP=﹣+﹣==1；④研究n=2k边形P1P2…P2k（k∈N，k≥2），其中P1=P，有﹣…+=0，证明：左边=+===0=右边；⑤研究n=2k﹣1边形P1P2…P2k﹣1（k∈N，k≥2），其中P1=P，有+﹣…+（﹣1）2k﹣2=1，证明：左边=+===1=右边；⑥研究n边形P1P2…Pn（k∈N，k≥3），其中P1=P，有+﹣…+（﹣1）n﹣1=，证明：左边=+（﹣1）n﹣1=[1+（﹣1）n﹣1]==右边．22．（16分）（2011•上海）定义域为R，且对任意实数x1，x2都满足不等式f（）≤的所有函数f（x）组成的集合记为M，例如，函数f（x）=kx+b ∈M．（1）已知函数f（x）=，证明：f（x）∈M；（2）写出一个函数f（x），使得f（x0）∉M，并说明理由；（3）写出一个函数f（x）∈M，使得数列极限=1，=1．【分析】（1）分类讨论，验证f（）≤成立，即可得到结论；（2）利用条件，构造函数f（x）=﹣x2，f（x）∉M，再取值验证即可；（3）利用条件，构造函数f（x）=满足f（x）∈M，验证条件即可．【解答】解：（1）证明：由题意，当x1≤x2≤0或0≤x1≤x2时，f（）≤成立设x1≤0≤x2，且＜0，∵﹣f（）==0∴f（）≤成立设x1≤0≤x2，且≥0，∵﹣f（）==0∴f（）≤成立∴综上所述，f（x）∈M；（2）如函数f（x）=﹣x2，f（x）∉M取x1=﹣1，x2=1，则=﹣1，f（）=0此时f（）≤不成立；（3）f（x）=满足f（x）∈M，且==1，==1．23．（18分）（2011•上海）对于给定首项x0＞（a＞0），由递推公式x n+1=（x n+）（n∈N）得到数列{x n}，对于任意的n∈N，都有x n＞，用数列{x n}可以计算的近似值．（1）取x0=5，a=100，计算x1，x2，x3的值（精确到0.01）；归纳出x n，x n+1，的大小关系；（2）当n≥1时，证明：x n﹣x n+1＜（x n﹣1﹣x n）；（3）当x0∈[5，10]时，用数列{x n}计算的近似值，要求|x n﹣x n+1|＜10﹣4，请你估计n，并说明理由．【分析】（1）利用数列递推式，代入计算，即可得到结论，同时可猜想结论；（2）作差，利用条件，证明其大于0，即可得到结论；（3）由题意，只要，由此可估计n的值．【解答】（1）解：∵x0=5，a=100，x n+1=（x n+）∴x1=（5+）≈4.74同理可得x2≈4.67，x3≈4.65猜想x n＞x n+1；（2）证明：x n﹣x n+1﹣（x n﹣1﹣x n）==∵；∴x n﹣x n+1==＞0∴x n＞x n+1∴；（3）解：由（2）知＜…＜由题意，只要，即2n＞104（x0﹣x1）∵∴n＞=15.1∴n=16．。
2011年高考数学试题及答案(全国卷文数2套)
2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•新课标）已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．（5分）（2011•新课标）复数＝（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i3．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝2x3B．y＝|x|+1C．y＝﹣x2+4D．y＝2﹣|x|4．（5分）（2011•新课标）椭圆＝1的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）（2011•新课标）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120B．720C．1440D．50406．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．9．（5分）（2011•新课标）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18B．24C．36D．4810．（5分）（2011•新课标）在下列区间中，函数f（x）＝e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）11．（5分）（2011•新课标）设函数，则f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称B．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称C．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称D．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称12．（5分）（2011•新课标）已知函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）＝x2，那么函数y＝f（x）的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•新课标）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k＝．14．（5分）（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为．15．（5分）（2011•新课标）△ABC中，∠B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为．16．（5分）（2011•新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•新课标）已知等比数列{a n}中，a1＝，公比q＝．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n＝（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB ＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD（Ⅱ）设PD＝AD＝1，求棱锥D﹣PBC的高．19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．20．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a＝0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）＝+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn ＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．23．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．24．（2011•新课标）设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•新课标）已知集合M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，P＝M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【分析】利用集合的交集的定义求出集合P；利用集合的子集的个数公式求出P的子集个数．【解答】解：∵M＝{0，1，2，3，4}，N＝{1，3，5}，∴P＝M∩N＝{1，3}∴P的子集共有22＝4故选：B．【点评】本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n个元素，则其子集的个数是2n．2．（5分）（2011•新课标）复数＝（）A．2﹣i B．1﹣2i C．﹣2+i D．﹣1+2i【分析】将分子、分母同时乘以1+2i，再利用多项式的乘法展开，将i2用﹣1代替即可．【解答】解：＝﹣2+i故选：C．【点评】本题考查复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数．3．（5分）（2011•新课标）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y＝2x3B．y＝|x|+1C．y＝﹣x2+4D．y＝2﹣|x|【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．【解答】解：对于A．y＝2x3，由f（﹣x）＝﹣2x3＝﹣f（x），为奇函数，故排除A；对于B．y＝|x|+1，由f（﹣x）＝|﹣x|+1＝f（x），为偶函数，当x＞0时，y＝x+1，是增函数，故B正确；对于C．y＝﹣x2+4，有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，但x＞0时为减函数，故排除C；对于D．y＝2﹣|x|，有f（﹣x）＝f（x），是偶函数，当x＞0时，y＝2﹣x，为减函数，故排除D．故选：B．【点评】本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，注意定义的运用，以及函数的定义域，属于基础题和易错题．4．（5分）（2011•新课标）椭圆＝1的离心率为（）A．B．C．D．【分析】根据椭圆的方程，可得a、b的值，结合椭圆的性质，可得c的值，有椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据椭圆的方程＝1，可得a＝4，b＝2，则c＝＝2；则椭圆的离心率为e＝＝，故选：D．【点评】本题考查椭圆的基本性质：a2＝b2+c2，以及离心率的计算公式，注意与双曲线的对应性质的区分．5．（5分）（2011•新课标）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（）A．120B．720C．1440D．5040【分析】执行程序框图，写出每次循环p，k的值，当k＜N不成立时输出p的值即可．【解答】解：执行程序框图，有N＝6，k＝1，p＝1P＝1，k＜N成立，有k＝2P＝2，k＜N成立，有k＝3P＝6，k＜N成立，有k＝4P＝24，k＜N成立，有k＝5P＝120，k＜N成立，有k＝6P＝720，k＜N不成立，输出p的值为720．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．6．（5分）（2011•新课标）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是3×3＝9种结果，满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组，由于共有三个小组，则有3种结果，根据古典概型概率公式得到P＝，故选：A．【点评】本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，题目使用列举法来得到试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，出现这种问题一定是一个必得分题目．7．（5分）（2011•新课标）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，由已知直线的斜率得到tanθ的值，然后根据同角三角函数间的基本关系求出cosθ的平方，然后根据二倍角的余弦函数公式把所求的式子化简后，把cosθ的平方代入即可求出值．【解答】解：根据题意可知：tanθ＝2，所以cos2θ＝＝＝，则cos2θ＝2cos2θ﹣1＝2×﹣1＝﹣．故选：B．【点评】此题考查学生掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题．8．（5分）（2011•新课标）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（）A．B．C．D．【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，故选：D．【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．9．（5分）（2011•新课标）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（）A．18B．24C．36D．48【分析】首先设抛物线的解析式y2＝2px（p＞0），写出次抛物线的焦点、对称轴以及准线，然后根据通径|AB|＝2p，求出p，△ABP的面积是|AB|与DP乘积一半．【解答】解：设抛物线的解析式为y2＝2px（p＞0），则焦点为F（，0），对称轴为x轴，准线为x＝﹣∵直线l经过抛物线的焦点，A、B是l与C的交点，又∵AB⊥x轴∴|AB|＝2p＝12∴p＝6又∵点P在准线上∴DP＝（+||）＝p＝6＝（DP•AB）＝×6×12＝36∴S△ABP故选：C．【点评】本题主要考查抛物线焦点、对称轴、准线以及焦点弦的特点；关于直线和圆锥曲线的关系问题一般采取数形结合法．10．（5分）（2011•新课标）在下列区间中，函数f（x）＝e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，）【分析】根据导函数判断函数f（x）＝e x+4x﹣3单调递增，运用零点判定定理，判定区间．【解答】解：∵函数f（x）＝e x+4x﹣3∴f′（x）＝e x+4当x＞0时，f′（x）＝e x+4＞0∴函数f（x）＝e x+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为f（0）＝e0﹣3＝﹣2＜0f（）＝﹣1＞0f（）＝﹣2＝﹣＜0∵f（）•f（）＜0，∴函数f（x）＝e x+4x﹣3的零点所在的区间为（，）故选：A．【点评】本题考察了函数零点的判断方法，借助导数，函数值，属于中档题．11．（5分）（2011•新课标）设函数，则f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称B．y＝f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x＝对称C．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称D．y＝f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x＝对称【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y＝f（x）在（0，）单调性，即可得到答案．【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+）+cos（2x+）＝sin（2x+）＝cos2x．由于y＝cos2x的对称轴为x＝kπ（k∈Z），所以y＝cos2x的对称轴方程是：x＝（k∈Z），所以A，C错误；y＝cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ（k∈Z），即（k∈Z），函数y＝f（x）在（0，）单调递减，所以B错误，D正确．故选：D．【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的性质：对称性、单调性，考查计算能力，常考题型．12．（5分）（2011•新课标）已知函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）＝x2，那么函数y＝f（x）的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有（）A．10个B．9个C．8个D．1个【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计算函数值估算即可．【解答】解：作出两个函数的图象如上∵函数y＝f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数∴函数y＝f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y＝|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当x＝1时y＝0；x＝10时y＝1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选：A．【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•新课标）已知a与b为两个垂直的单位向量，k为实数，若向量+与向量k﹣垂直，则k＝1．【分析】利用向量垂直的充要条件：数量积为0；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程，求出k值．【解答】解：∵∴∵垂直∴即∴k＝1故答案为：1【点评】本题考查向量垂直的充要条件、考查向量模的性质：向量模的平方等于向量的平方．14．（5分）（2011•新课标）若变量x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最小值为﹣6．【分析】在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，把目标函数z＝x+2y变化为y＝﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，求出两条直线的交点坐标，代入目标函数得到最小值．【解答】解：在坐标系中画出约束条件的可行域，得到的图形是一个平行四边形，目标函数z＝x+2y，变化为y＝﹣x+，当直线沿着y轴向上移动时，z的值随着增大，当直线过A点时，z取到最小值，由y＝x﹣9与2x+y＝3的交点得到A（4，﹣5）∴z＝4+2（﹣5）＝﹣6故答案为：﹣6．【点评】本题考查线性规划问题，考查根据不等式组画出可行域，在可行域中，找出满足条件的点，把点的坐标代入，求出最值．15．（5分）（2011•新课标）△ABC中，∠B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC的面积为．【分析】先利用余弦定理和已知条件求得BC，进而利用三角形面积公式求得答案．【解答】解：由余弦定理可知cos B＝＝﹣，求得BC＝﹣8或3（舍负）∴△ABC的面积为•AB•BC•sin B＝×5×3×＝故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．在求三角形面积过程中，利用两边和夹角来求解是常用的方法．16．（5分）（2011•新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为．【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体积较小者的高与体积较大者的高的比值．【解答】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64π，圆锥的底面积为：12π，圆锥的底面半径为：2；由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形由此可以求得球心到圆锥底面的距离是，所以圆锥体积较小者的高为：4﹣2＝2，同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2＝6；所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：．故答案为：【点评】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型．三、解答题（共8小题，满分70分）17．（12分）（2011•新课标）已知等比数列{a n}中，a1＝，公比q＝．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n＝（Ⅱ）设b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．【分析】（I）根据数列{a n}是等比数列，a1＝，公比q＝，求出通项公式a n和前n项和S n，然后经过运算即可证明．（II）根据数列{a n}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b n}的通项公式．【解答】证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1＝，q＝∴a n＝×＝，S n＝又∵＝＝S n∴S n＝（II）∵a n＝∴b n＝log3a1+log3a2+…+log3a n＝﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣n log33）＝﹣（1+2+…+n）＝﹣∴数列{b n}的通项公式为：b n＝﹣【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．18．（12分）（2011•新课标）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形．∠DAB ＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD（Ⅱ）设PD＝AD＝1，求棱锥D﹣PBC的高．【分析】（Ⅰ）因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；（II）要求棱锥D﹣PBC的高．只需证BC⊥平面PBD，然后得平面PBC⊥平面PBD，作DE⊥PB于E，则DE⊥平面PBC，利用勾股定理可求得DE的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝，从而BD2+AD2＝AB2，故BD⊥AD又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD，由于PD于AD相交，所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．（II）解：作DE⊥PB于E，已知PD⊥底面ABCD，则PD⊥BC，由（I）知，BD⊥AD，又BC∥AD，∴BC⊥BD．故BC⊥平面PBD，BC⊥DE，则DE⊥平面PBC．由题设知PD＝1，则BD＝，PB＝2．根据DE•PB＝PD•BD，得DE＝，即棱锥D﹣PBC的高为．【点评】此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力．19．（12分）（2011•新课标）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数82042228B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数412423210（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【分析】（1）由试验结果先求出用A配方生产的产品中优质品的频率和用B配方生产的产品中优质品的频率，由此能分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率．（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．由此能求出用B配方生产的产品平均一件的利润．【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96．用B配方生产的产品平均一件的利润为×[4×（﹣2）+54×2+42×4]＝2.68（元）．【点评】本题考查产品的优质品率的求法，考查产品平均一件的利润的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频数分布表的合理运用．20．（12分）（2011•新课标）在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a＝0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【分析】（Ⅰ）法一：写出曲线与坐标轴的交点坐标，利用圆心的几何特征设出圆心坐标，构造关于圆心坐标的方程，通过解方程确定出圆心坐标，进而算出半径，写出圆的方程；法二：可设出圆的一般式方程，利用曲线与方程的对应关系，根据同一性直接求出参数，（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a＝0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB 建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y＝x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线x＝3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2＝（2）2+t2，解得t＝1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2＝9．法二：圆x2+y2+Dx+Ey+F＝0x＝0，y＝1有1+E+F＝0y＝0，x2﹣6x+1＝0与x2+Dx+F＝0是同一方程，故有D＝﹣6，F＝1，E＝﹣2，即圆方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1＝0（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程2x2+（2a﹣8）x+a2﹣2a+1＝0，由已知可得判别式△＝56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到x1+x2＝4﹣a，x1x2＝①，由于OA⊥OB可得x1x2+y1y2＝0，又y1＝x1+a，y2＝x2+a，所以可得2x1x2+a（x1+x2）+a2＝0②由①②可得a＝﹣1，满足△＝56﹣16a﹣4a2＞0．故a＝﹣1．【点评】本题考查圆的方程的求解，考查学生的待定系数法，考查学生的方程思想，直线与圆的相交问题的解决方法和设而不求的思想，考查垂直问题的解决思想，考查学生分析问题解决问题的能力，属于直线与圆的方程的基本题型．21．（12分）（2011•新课标）已知函数f（x）＝+，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3＝0．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞．【分析】（I）据切点在切线上，求出切点坐标；求出导函数；利用导函数在切点处的值为切线的斜率及切点在曲线上，列出方程组，求出a，b的值．（II）构造新函数，求出导函数，通过研究导函数的符号判断出函数的单调性，求出函数的最值，证得不等式．【解答】解：（I）．由于直线x+2y﹣3＝0的斜率为﹣，且过点（1，1）所以解得a＝1，b＝1（II）由（I）知f（x）＝所以考虑函数，则所以当x≠1时，h′（x）＜0而h（1）＝0，当x∈（0，1）时，h（x）＞0可得；当从而当x＞0且x≠1时，【点评】本题考查导函数的几何意义：在切点处的导数值为切线的斜率、考查通过判断导函数的符号求出函数的单调性；通过求函数的最值证明不等式恒成立．22．（10分）（2011•新课标）如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn ＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【分析】（I）做出辅助线，根据所给的AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2﹣14x+mn＝0的两个根，得到比例式，根据比例式得到三角形相似，根据相似三角形的对应角相等，得到结论．（II）根据所给的条件做出方程的两个根，即得到两条线段的长度，取CE的中点G，DB 的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH，根据四点共圆得到半径的大小．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE＝∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m＝4，n＝6时，方程x2﹣14x+mn＝0的两根为x1＝2，x2＝12．故AD＝2，AB＝12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF＝AG＝5，DF＝（12﹣2）＝5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为5【点评】本题考查圆周角定理，考查与圆有关的比例线段，考查一元二次方程的解，考查四点共圆的判断和性质，本题是一个几何证明的综合题．23．（2011•新课标）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程；（II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|＝|ρ2﹣ρ1|求出所求．【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，所以即从而C2的参数方程为（α为参数）（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ．射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin．所以|AB|＝|ρ2﹣ρ1|＝．【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．24．（2011•新课标）设函数f（x）＝|x﹣a|+3x，其中a＞0．（Ⅰ）当a＝1时，求不等式f（x）≥3x+2的解集（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集为{x|x≤﹣1}，求a的值．【分析】（Ⅰ）当a＝1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．直接求出不等式f（x）≥3x+2的解集即可．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0分x≥a和x≤a推出等价不等式组，分别求解，然后求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）≥3x+2可化为|x﹣1|≥2．由此可得x≥3或x≤﹣1．故不等式f（x）≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤﹣1}．（Ⅱ）由f（x）≤0得|x﹣a|+3x≤0此不等式化为不等式组或即或因为a＞0，所以不等式组的解集为{x|x}由题设可得﹣＝﹣1，故a＝2【点评】本题是中档题，考查绝对值不等式的解法，注意分类讨论思想的应用，考查计算能力，常考题型．2011年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2011•大纲版）设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则∁U（M∩N）＝（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}2．（5分）（2011•大纲版）函数y＝（x≥0）的反函数为（）A．y＝（x∈R）B．y＝（x≥0）C．y＝4x2（x∈R）D．y＝4x2（x≥0）3．（5分）（2011•大纲版）设向量、满足||＝||＝1，•＝﹣，|+2|＝（）A．.B．C．、D．.4．（5分）（2011•大纲版）若变量x、y满足约束条件，则z＝2x+3y的最小值为（）A．17B．14C．5D．35．（5分）（2011•大纲版）下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1B．a＞b﹣1C．a2＞b2D．a3＞b36．（5分）（2011•大纲版）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k+2﹣S k＝24，则k＝（）A．8B．7C．6D．57．（5分）（2011•大纲版）设函数f（x）＝cosωx（ω＞0），将y＝f（x）的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于（）A．B．3C．6D．98．（5分）（2011•大纲版）已知直二面角α﹣l﹣β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD ⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝（）A．2B．C．D．19．（5分）（2011•大纲版）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有（）A ．12种B ．24种C ．30种D ．36种10．（5分）（2011•大纲版）设f （x ）是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f （x ）＝2x （1﹣x ），则＝（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．11．（5分）（2011•大纲版）设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离|C 1C 2|＝（）A ．4B ．C ．8D ．12．（5分）（2011•大纲版）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为（）A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2011•大纲版）（1﹣x ）10的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为：．14．（5分）（2011•大纲版）已知a ∈（π，），tan α＝2，则cos α＝．15．（5分）（2011•大纲版）已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角的余弦值为．16．（5分）（2011•大纲版）已知F 1、F 2分别为双曲线C ：的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为（2，0），AM 为∠F 1AF 2的平分线，则|AF 2|＝．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2011•大纲版）设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2＝6，6a 1+a 3＝30，求a n 和S n ．18．（12分）（2011•大纲版）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a sin A +c sin C ﹣a sin C ＝b sin B ，（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若A ＝75°，b ＝2，求a ，c ．19．（12分）（2011•大纲版）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．（Ⅰ）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；（Ⅱ）求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．20．（12分）（2011•大纲版）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小．21．（12分）（2011•大纲版）已知函数f（x）＝x3+3ax2+（3﹣6a）x+12a﹣4（a∈R）（Ⅰ）证明：曲线y＝f（x）在x＝0处的切线过点（2，2）；（Ⅱ）若f（x）在x＝x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围．22．（12分）（2011•大纲版）已知O为坐标原点，F为椭圆C：在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为﹣的直线l与C交于A、B两点，点P满足．（Ⅰ）证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．。
春季高考数学数列历年真题
春季⾼考数学数列历年真题v1.0 可编辑可修改⼀、单项选择题1、（2003）已知数列{an }是等差数列，如果a1=2，a4=-6则前4项的和S4是（）A -8B -12C -2D 42、（2004年）在?ABC中，若∠A、∠B、∠C成等差数列，且BC=2，BA=1，则AC 等于（）A332B 1C 3D 73、（2004）在洗⾐机的洗⾐桶内⽤清⽔洗⾐服，如果每次能洗去污垢的32，则要使存留在⾐服上的污垢不超过最初⾐服上的2℅，该洗⾐机⾄少要清洗的次数是（）A 2 B 3 C 4 D 5 4、（2005年）在等差数列{an }中，若a1+a12=10，则a2+a3+ a10A 10B 20C 30D 405、（2005年）在等⽐数列{an }中，a2=2,a5=54,则公⽐q=（）A 2B 3C 9D 276、（2006年）若数列的前n项和Sn =3n n-2,则这个数列的第⼆项a2等于（）A 4B 6C 8D 107、（2007）为了治理沙漠，某农场要在沙漠上栽种植被，计划第⼀年栽种15公顷，以后每⼀年⽐上⼀年多栽种4公顷，那么10年后该农场栽种植被的公顷数是（）A 510B 330C 186D 518、（2007年）如果a,b,c成等⽐数列，那么函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点个数是（）A 09、（2007年）⼩王同学利⽤在职业学校学习的知识，设计了⼀个⽤计算机进⾏数字变换的游戏，只要游戏者输⼊任意三个数a1，a2，a3，计算机就会按照规则：a1+2a2- a3，a2+ 3a3,5a3进⾏处理并输出相应的三个数，若游戏者输⼊三个数后，计算机输出了29,50,55三个数，则输⼊的三个数依次是（）A 6,10,11B 6,17,11C 10,17,11D 6,24,1110、（2008年）在等差数列{an}中，若a2+a5=19，则a=20，则该数列的前9项和是（）A 26B 100C 126D 15511、（2009年）在等差数列{an}中，若a1+a8=15，则S8等于（）A 40B 60C 80D 24012、（2009年）甲、⼄两国家2008年的国内⽣产总值分别为a（亿元）和4a(亿元)，甲国家计划2028年的国内⽣产总值超过⼄国，假设⼄国的年平均增长率为，那么甲v1.0 可编辑可修改国的年平均增长率最少应为（）A ℅B ℅C ℅D ℅13、（2009年）如果三个实数a,b,c成等⽐数列，那么函数y=ax2+bx+c与y=ax+b在同⼀坐标系中的图像可能是（）14、（2010年）已知2，m，8构成等差数列，则实数m的值是（）A 4B 4或-4C 10D 515、（2010年）已知数列的前n项和Sn =n n+2,则第⼆项a2的值是（）A 2B 4C 6D 816、（2011年）如果三个正数a,b,c成等⽐数列，那么lga,lgb,lgc（）A.成等差数列但不成等⽐数列B.成等⽐数列但不成等差数列C.成等差数列且成等⽐数列D.既不成等差数列也不成等⽐数列17、（2011年）已知等差数列{a n}，a3=5,a7=13，则该数列前10项的和为（）。
2011年普通高等学校招生全国统一考试数学卷山东.理含详解
2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在自己的答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：柱体的体积公式：v sh =，其中s 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高. 圆柱的侧面积公式：s cl =，其中c 是圆柱的底面周长，是圆柱的母线长.球的体积公式V=34R 3π, 其中R 是球的半径.球的表面积公式：S=4πR 2,其中R 是球的半径.用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221ˆˆˆ,ni ii n i i x y nx ybay bx x nx==-⋅==--∑∑ . 如果事件A B 、互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.第1卷（共60分）一、选择题：本大题共l2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合 M ={x|x 2+x-6<0}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =（A ）[1,2) （B ）[1,2] （C ）( 2,3] （D ）[2,3]（2）复数z=22ii-+(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为： （A ）0 （B ）3（C ）1 （D ）3 (4)不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（A ）[-5,7] (B)[-4,6] (C)(-∞,-5]∪[7，+∞) （D ）(-∞，-4]∪[6,+∞) （5）对于函数y=f （x ），x ∈R ，“y=|f(x)|的图像关于y 轴”是“y=f （x ）是奇函数”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=（A ）3 （B ）2 （C ）32 （D ）23（7）某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（A ）63.6万元 （B ）65.5万元 （C ）67.7万元 （D ）72.0万元（8）已知双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C ：x 2+y 2-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（A ）22154x y -= （B ）22145x y -= （C ）221x y 36-= （D ）221x y 63-= （9）函数2sin 2xy x =-的图象大致是（10）已知f （x ）是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f （x ）=x 3-x ，则函数y=f （x ）的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为 （A ）6（B ）7（C ）8（D ）9（11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是（A ）3 （B ）2（C ）1 （D ）0（12）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)，且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知点C(c ，o),D(d ，O) (c ，d∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，则下面说法正确的是（A ）C 可能是线段AB 的中点 （B ）D 可能是线段AB 的中点（C ）C ，D 可能同时在线段AB 上（D ）C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.（13）执行右图所示的程序框图，输入2l =，m=3，n=5，则输出的y 的值是 .(14)若6x ⎛- ⎝⎭展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .（15）设函数()2xf x x =+（x ＞0），观察：()()12xf x f x x ==+f 2 (x)=f(f 1（x ）)= 34xx +f 3 (x)=f(f 2（x ）)= 78xx +f 4 (x)=f(f 3（x ）)= 1516xx +……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f m （x ）=f （f m-1（x ））= .（16）已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分. （17）（本小题满分12分）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知cos A-2cosC 2c-a=cos B b.（Ⅰ）求sin sin CA的值； （Ⅱ）若cosB=14，b=2, 求△ABC 的面积S.（18）（本小题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。
2011年高考 理数 试题及答案(全国卷)
绝密★启用前2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题上作答无效．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数z ＝1+i ，z 为z 的共轭复数，则z z -z -1＝（A ）-2i （B ）-i （C ）i （D ）2i（2）函数y ＝x ≥0）的反函数为（A ）y ＝24x （x ∈R ） （B ）y ＝24x （x ≥0）（C ）y ＝24x （x ∈R ） （D ）y ＝24x （x ≥0） （3）下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是（A ）a >b +1 （B ）a >b -1 （C ）2a >2b （D ）3a >3b（4）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差d = 2, 224k k S S +-=,则k = (A ) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 (5) 设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13 （B ）3 （C ）6 （D ）9（6）已知直二面角α –ι- β, 点A ∈α ，AC ⊥ ι ,C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ ι，D 为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于（ ）（A 3（B ）3(C)3(D) 1(7) 某中学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（ ）（A ）4种 (B) 10种 (C) 18种 (D)20种（8）曲线21xy e -=+在点（0,2）处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）1（9）设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()f x 2(1)x x =-，则5()2f -=（A ）12- （B ）14- （C ）14 （D ）12 （10）已知抛物线C:2y=4x 的焦点为F ，直线y=2x-4与C 交于A,B 两点，则cos(A) 54(B)53(C).—53(D) —54（11）已知平面α截一球面得圆M,过圆心M 且与 成60 二面角的平面β截该球面得N 。
上海市普通高等学校2011年高三春季招生考试(数学)
上海市普通高等学校 2011年高三春季招生考试数 学 试 题考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定区域内贴上条形码．2．本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分． 1．函数)2lg(-=x y 的定义域为__________________。
2．若集合}4|{},1|{2≤≥=x x B x x A ，则B A ⋂=_____________。
3．在△ABC 中，32tan =A ，则A sin =_______________。
4．若行列式02142=x ，则x =____________。
5．若]2,2[,31sin ππ-∈=x x ，则x =____________。
（结果用反三角函数表示） 6．6)1(xx +的二项展开式的常数项为_______。
7．两条直线023:1=+-y x l 与02:2=+-y x l 的夹角的大小是________。
8．若n S 为等比数列}{n a 的前n 项的和，0852=+a a ，则36S S =_________________。
9．若椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线14522=-y x 的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是_____________。
10．若点O 和点F 分别为椭圆1222=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则22||||PF OP +的最小值为___________。
11．根据如图所示的程序框图，输出结果i =___________。
12．2011年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为____________。
13．有一中多面体的饰品，其表面右6个正方形和8各正三角形组成（如图），AB 与CD 所成的角的大小是_______________。
2011-2021上海春考试卷
2011年上海市春季高考数学试卷2011.01一. 填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分） 1. 函数lg(2)y x 的定义域是2. 若集合{|1}A x x ，2{|4}B x x ，则A B3. 在△ABC中，若tan 3A，则sin A 4. 若行列式24012x，则x 5. 若1sin 3x，[,]22x ，则x （结果用反三角函数表示） 6. 61()x x的二项展开式的常数项为7.两条直线1:20l x 与2:20l x y 夹角的大小是 8. 若n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a ，则63S S 9. 若椭圆C 焦点和顶点分别是双曲线22154x y 的顶点和焦点，则椭圆C 的方程是10. 若点O 和点F 分别为椭圆2212x y 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则22||||OP PF的最小值为11. 根据如图所示的程序框图，输出结果i 12. 2011年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么录取方法的种数为 13. 有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8 个正三角形组成（如图），AB 与CD 所成角的大小 是14. 为求解方程510x 的虚根，可以把原方程 变形为432(1)(1)0x x x x x ，再变形为22(1)(1)(1)0x x ax x bx ，由此可得原方程的一个虚根为二. 选择题（本大题共4题，每15. 若向量(2,0)a，(1,1b A. 1a b B. 16. 函数41()2x xf x 的图象关A. 原点对称 B. 直线17. 直线1:()2l y k x 与圆A. 相交或相切 18. 若1a 、2a 、3a 均为单位向A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件三. 解答题（本大题共5题，共19. 向量(sin 21,cos )a x x正周期及[0,]2x时的最大值20. 某甜品店制作一种蛋筒冰激径为10cm 的圆形蛋皮等分成求该蛋筒冰激凌的表面积和体题，每题5分，共20分）(1,1)，则下列结论正确的是（ ）||||a b C. ()a b b图象关于（ ） y x 对称 C. 直线y x 对称 22:1C x y 的位置关系为（ ）B. 相交或相离C. 相切单位向量，则133a是123a a aB. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件 12+14+14+16+18=74分）os ，(1,2cos )b x ，设函数()f x a b ，求函数最大值. 筒冰激凌，上部分是半球形，下半部分呈圆锥形（如分成5个扇形，用一个蛋皮围成圆锥的侧面（蛋皮厚度积和体积.（精确到0.01） D. a ∥b D. y 轴对称 D. 相交的（ ） 求函数()f x 的最小 （如图），现把半厚度忽略不计），21. 已知抛物线2:4F x y .（1）△ABC 的三个顶点在抛物线F 上，记△ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线的斜率分别为AB k 、BC k 、CA k ，若点A 在坐标原点，求AB BC CA k k k 的值；（2）请你给出一个以(2,1)P 为顶点，且其余各顶点均为抛物线F 上的动点的多边形，写出 多边形各边所在直线的斜率之间的关系式，并说明理由. 说明：第（2）题将根据结论的一般性程度给与不同的评分.22. 定义域为R ，且对任意实数1x 、2x 都满足不等式1212()()(22x x f x f x f 的所有 函数()f x 组成的集合记为M ，例如()f x kx b M .（1）已知函数0()102x x f x x x，证明：()f x M ； （2）写出一个函数()f x ，使得()f x M ，并说明理由；（3）写出一个函数()f x M ，使得数列极限2()lim1n f n n，()lim 1n f n n.23.对于给定首项0x 0a ），由递推式11(2n n x x *n N ）得到数列{}n x ，且对于任意的*n N，都有n x，用数列{}n x的近似值.（1）取05x ，100a ，计算1x 、2x 、3x 的值（精确到0.01）， 并且归纳出n x 、1n x 的大小关系； （2）当1n 时，证明：111()2n n n n x x x x； （3）当0[5,10]x 时，用数列{}n x41||10n n x x ， 请你估计n ，并说明理由.2012年上海市春季高考数学试卷2012.01一. 填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1. 已知集合{1,2,}A k ，{2,5}B ，若{1,2,3,5}A B ，则k2.函数y的定义域为3. 抛物线28y x 的焦点坐标为4. 若复数z 满足i 1i z （i 为虚数单位），则z5. 函数()sin(2)4f x x的最小正周期为6. 方程1420x x 的解为7. 若52345012345(21)x a a x a x a x a x a x ，则012345a a a a a a8. 若(2)()()x x m f x x为奇函数，则实数m9. 函数224log log y x x（[2,4]x ）的最大值 10. 若复数z满足|i|z （i 为虚数单位），则z 在复平面内所对应的图形的面积为11. 某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志 愿者中，男、女都有的概率为 （结果用数值表示）12. 若不等式210x kx k 对(1,2)x 恒成立，则实数k 的取值范围是 13. 已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令n b *n N ，2012n ）， 当k b 是数列{}n b 的最大项时，k 14. 若矩阵11122122a a a a满足：11a 、12a 、21a 、22{1,1}a ，且111221220a a a a ，则这样的互 不相等的矩阵共有 个二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15. 已知椭圆221:1124x y C ，222:1168x y C，则（ ） A. 1C 与2C 顶点相同 B. 1C 与2C 长轴长相同 C. 1C 与2C 短轴长相同 D. 1C 与2C 焦距相等16. 记函数()y f x 的反函数为1()y f x ，如果函数()y f x 的图像过点(1,0)，那么函数1()1y f x 的图像过点（ ）A. (0,0)B. (0,2)C. (1,1)D. (2,0) 17. 已知空间三条直线l 、m 、n ，若l 与m 异面，且l 与n 异面，则（ ） A. m 与n 异面 B. m 与n 相交C. m 与n 平行D. m 与n 异面、相交、平行均有可能18. 设O 为△ABC 所在平面上一点，若实数x 、y 、z 满足0xOA yOB zOC（2220x y z ），则“0xyz ”是“点O 在△ABC 的边所在直线上”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件三. 解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分） 19. 如图，正四棱柱1111ABCD A B C D 的底面边长为1，高为2，M 为线段AB 的中点，求：（1）三棱锥1C MBC 的体积； （2）异面直线CD 与1MC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）20. 某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米. （忽略内、外环线长度差异）（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环 线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千 米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间 之差不超过1分钟，问：内、外环线应名投入几列列车运行？21. 已知双曲线221:14y C x .（1）求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；（2）直线:l y x m 分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点，当3OA OB时，求实数m 的值.22. 已知数列{}n a 、{}n b 、{}n c 满足11()()n n n n n a a b b c （*n N ）. （1）设36n c n ，{}n a 是公差为3的等差数列，当11b 时，求2b 、3b 的值； （2）设3n c n ，28n a n n ，求正整数k ，使得一切*n N 均有n k b b ；（3）设2nn c n ，1(1)2nn a ，当11b 时，求数列{}n b 的通项公式.23. 定义向量(,)OM a b的“相伴函数”为()sin cos f x a x b x ；函数()sin cos f x a x b x 的“相伴向量”为(,)OM a b（其中O 为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S . （1）设()3sin()4sin 2g x x x，求证：()g x S ；（2）已知()cos()2cos h x x x ，且()h x S ，求其“相伴向量”的模；（3）已知(,)M a b （0b ）为圆22:(2)1C x y 上一点，向量OM的“相伴函数”()f x 在0x x 处取得最大值，当点M 在圆C 上运动时，求0tan 2x 的取值范围.2013年上海市春季高考数学试卷2013.01一. 填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 函数2log (2)y x 的定义域是 2. 方程28x 的解是3. 抛物线28y x 的准线方程是4. 函数2sin y x 的最小正周期是5. 已知向量(1 )a k ，，(9 6)b k，，若a ∥b ，则实数k6. 函数4sin 3cos y x x 的最大值是7. 复数23i （i 是虚数单位）的模是8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，若5a ，8c ，60B ， 则b9. 在如图所示的正方体1111ABCD A B C D 中， 异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为 10. 从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参 加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的 概率为 （结果用数值表示）11. 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n S 12. 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623 ，所以36的所有正约数之 和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91 （， 参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 展开式为ad bc 的行列式是（ ）A. a b d cB. a c b dC. a d b cD. b a d c14. 设1()f x 为函数()f x）A. 1(2)2fB. 1(2)4fC. 1(4)2fD. 1(4)4f 15. 直线2310x y 的一个方向向量是（ ）A. (2,3)B. (2,3)C. (3,2)D. (3,2)16. 函数12()f x x的大致图像是（ ）A. B. C. D.17. 如果0a b ，那么下列不等式成立的是（ ） A.11a b B. 2ab b C. 2ab a D. 11a b18. 若复数1z 、2z 满足12z z ，则1z 、2z 在复数平面上对应的点1Z 、2Z （ ） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y x 对称 19. 10(1)x 的二项展开式中的一项是（ ）A. 45xB. 290xC. 3120xD. 4252x 20. 既是偶函数又在区间(0 ) ，上单调递减的函数是（ ）A. sin y xB. cos y xC. sin 2y xD. cos 2y x 21. 若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ） A. 1:2 B. 1:4 C. 1:8 D. 1:16 22. 设全集U R ，下列集合运算结果为R 的是（ ）A. U Z NB. U N NC. ()U UD. {0}U 23. 已知a 、b 、c R ，“240b ac ”是“函数2()f x ax bx c 的图像恒在x 轴 上方”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要 24. 已知A 、B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N ，若2MN AN NB，其中 为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线三. 解答题（本大题共7题，共7+7+8+13+12+13+18=78分） 25. 如图，正三棱锥111ABC A B C 中，16AA ，异面直线1BC 与1AA 所成角的大小为6，求该三棱柱的体积.26. 如图，某校有一块形如直角三角形ABC 的空地，其中B 为直角，AB 长40米，BC 长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B 为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积.27. 已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n ，数列{}n b 满足2n a n b ，求12lim n n b b b（）.28. 已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1,0)F 、2(1,0)F ，短轴的两个端点分别为1B 、2B . （1）若△112F B B 为等边三角形，求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的短轴长为2，过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且11F P F Q，求直线l 的方程.29. 已知抛物线2:4C y x 的焦点为F .（1）点A 、P 满足2AP FA，当点A 在抛物线C 上运动时，求动点P 的轨迹方程；（2）在x 轴上是否存在点Q ，使得点Q 关于直线2y x 的对称点在抛物线C 上？如果存在，求所有满足条件的点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由.30. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记1n n n P AP ，*n N .（1）若31arctan 3，求点A 的坐标；（2）若点A 的坐标为(0，求n 的最大值及相应n 的值.31. 已知真命题：“函数()y f x 的图像关于点(,)P a b 成中心对称图形”的充要条件为“函 数()y f x a b 是奇函数”.（1）将函数32()3g x x x 的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像 对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标； （2）求函数22()log 4xh x x图像对称中心的坐标； （3）已知命题：“函数 ()y f x 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数()y f x a b 是偶函数”，判断该命题的真假，如果是真命题， 请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真 命题（不必证明）.2014年上海市春季高考数学试卷2014.01一. 填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 若416x ，则x2. 计算：i(1i) （i 为虚数单位）3. 1、1、2、2、5这五个数的中位数是4. 若函数3()f x x a 为奇函数，则实数a5. 点(0,0)O 到直线40x y 的距离是6. 函数11y x的反函数为 7. 已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，则该数列的前n 项和n S 8. 已知1cos 3，则cos 2 9. 已知a 、b R ，若1a b ，则ab 的最大值是10. 在10件产品中，有3件次品，从中随机取出5件，则恰含1件次品的概率是 （结果用数值表示）11. 某货船在O 处看灯塔M 在北偏东30°方向，它以每小时18海里的速度向正北方向航 行，经过40分钟到达B 处，看到灯塔M 在北偏东75°方向，此时货船到灯塔M 的距离为 海里 12. 已知函数2()1x f x x与()1g x mx m 的图像相交于A 、B 两点，若动点P 满足 ||2PA PB，则P 的轨迹方程为二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 两条异面直线所成的角的范围是（ ）A. (0,)2B. (0,]2C. [0,)2D. [0,]214. 复数2i （i 为虚数单位）的共轭复数为（ ）A. 2iB. 2iC. 2iD. 12i 15. 如图是下列函数中某个函数的部分图像， 则该函数是（ ）A. sin y xB. sin 2y xC. cos y xD. cos 2y x16. 在4(1)x 的二项展开式中，2x 项的系数为（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 1 17. 下列函数中，在R 上为增函数的是（ ）A. 2y xB. ||y xC. sin y xD. 3y x 18.cos sin sin cos（ ） A. cos 2 B. sin 2 C. 1 D. 1 19. 设0x 为函数()22x f x x 的零点，则0x （ ）A. (2,1)B. (1,0)C. (0,1)D. (1,2) 20. 若a b ，c R ，则下列不等式中恒成立的是（ ） A.11a b B. 22a b C. ||||a c b c D. 2211a bc c 21. 若两个球的体积之比为8:27，则它们的表面积之比为（ ）A. 2:3B. 4:9C. 8:27D. 22. 已知数列{}n a 是以q 为公比的等比数列，若2n n b a ，则数列{}n b 是（ ） A. 以q 为公比的等比数列 B. 以q 为公比的等比数列 C. 以2q 为公比的等比数列 D. 以2q 为公比的等比数列23. 若点P 的坐标为(,)a b ，曲线C 的方程为(,)0F x y ，则“(,)0F a b ”是“点P 在 曲线C 上”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件 24. 如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB 、CD是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 中点， 已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点 的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的 距离为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 4三. 解答题（本大题共8题，共8+8+8+10+10+10+12+12=78分）30. 已知直角三角形ABC 的两直角边AC 、BC 的边长分别为b 、a ，如图，过AC 边的n 等分点i A 作AC 边的垂线i d ，过BC 边的n 等分点i B 和顶点A 作直线i l ，记i d 与i l 的交点 为i P （1,2,,1i n ），是否存在一条圆锥曲线，对任意的正整数2n ，点i P （1,2,,1i n ）都在这条曲线上？说明理由.31. 某人造卫星在地球赤道平面绕地球飞行，甲、乙两个监测点分别位于赤道上东经131° 和147°，在某时刻测得甲监测点到卫星的距离为1537.45千米，乙监测点到卫星的距离为 887.64千米，假设地球赤道是一个半径为6378千米的圆，求此时卫星所在位置的高度（结 果精确到0.01千米）和经度（结果精确到0.01°）.32. 如果存在非零常数c ，对于函数()y f x 定义域R 上的任意x ，都有()()f x c f x 成 立，那么称函数为“Z 函数”.（1）求证：若()y f x （x R ）是单调函数，则它是“Z 函数”； （2）若函数32()g x ax bx 是“Z 函数”，求实数a 、b 满足的条件.2015年上海市春季高考数学试卷2015.01一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1. 设全集为{1,2,3}U ，{1,2}A ，若集合则U A2. 计算：1ii（其中i 为虚数单位） 3. 函数sin(24y x的最小正周期为4. 计算：223lim 2n n n n5. 以(2,6)为圆心，1为半径的圆的标准方程为6. 已知向量(1,3)a ，(,1)b m，若a b ，则m7. 函数224y x x ，[0,2]x 的值域为 8. 若线性方程组的增广矩阵为0201a b，解为21x y ，则a b 9. 方程lg(21)lg 1x x 的解集为 10. 在921()x x的二项展开式中，常数项的值为 11. 用数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 （结果用数值表示） 12. 已知点(1,0)A ，直线:1l x ，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ， 若动点M 满足22122C M C C C A，则M 的轨迹方程为二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 若0a b ，则下列不等式恒成立的是（ ） A.11a bB. a bC. 22a bD. 33a b 14. 函数2(1)y x x 的反函数为（ ）A. y (1)xB. y (1)xC. y (0)xD. y (0)x 15. 不等式2301xx 的解集为（ ）A. 3(,4B. 2(,3C. 2(,(1,)3D. 2(,1)316. 下列函数中，是奇函数且在(0,) 上单调递增的为（ ） A. 2y x B. 13y x C. 1y x D. 12y x17. 直线3450x y 的倾斜角为（ ） A. 3arctan4 B. 3arctan 4 C. 4arctan 3 D. 4arctan 318. 底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（ ）A. 2B.C.23D. 319. 以(3,0) 和(3,0)为焦点，长轴长为8的椭圆方程为（ ）A. 2211625x yB. 221167x yC. 2212516x yD. 221716x y20. 在复平面上，满足|1||i |z z （i 为虚数单位）的复数z 对应的点的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 圆 C. 线段 D. 直线21. 若无穷等差数列{}n a 的首项10a ，公差0d ，{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A. n S 单调递减 B. n S 单调递增 C. n S 有最大值 D. n S 有最小值 22. 已知0a ，0b ，若4a b ，则（ ）A. 22a b 有最小值B. 有最小值C.11a b 有最大值 D. 有最大值23. 组合数122m m m nn n C C C (2,,)n m m n *N 恒等于（ ） A. 2m n C B. 12m n C C. 1m n C D. 11m n C24. 设集合21{|10}P x x ax ，22{|20}P x x ax ，21{|0}Q x x x b ， 22{|20}Q x x x b ，其中,a b R ，下列说法正确的是（ ）A.对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B. 对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，在正四棱柱中1111ABCD A B C D ，1AB ，1D B 和平面ABCD 所成的角的大小为arctan 4，求该四棱柱的表面积.26. 已知a 为实数，函数24()x ax f x x是奇函数，求()f x 在(0,) 上的最小值及取到最小值时所对应的x 的值.27. 某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30 方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B 在船的什么方向（精确到1 ）？28. 已知点1F 、2F 依次为双曲线2222:1x y C a b(,0)a b 的左右焦点，126F F ，1(0,)B b ，2(0,)B b .（1）若a ，以(3,4)d为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB，求实数b 的取值范围.29. 已知函数2()|22|x f x ()x R . （1）解不等式()2f x ；（2）数列{}n a 满足()n a f n ()n *N ，n S 为{}n a 的前n 项和，对任意的4n ，不等式12n n S ka恒成立，求实数k 的取值范围.附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）1. 对于集合A 、B ，“A B ”是“A B A B ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件2. 对于任意实数a 、b ，2()a b kab 均成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. {4,0} B. [4,0] C. (,0] D. (,4][0,)3. 已知数列{}n a 满足413n n n n a a a a ()n *N ，那么（ ） A. {}n a 是等差数列 B. 21{}n a 是等差数列 C. 2{}n a 是等差数列 D. 3{}n a 是等差数列二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）4. 关于x 的实系数一元二次方程220x px 的两个虚数根为1z 、2z ，若1z 、2z 在复平 面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为5. 已知圆心为O ，半径为1的圆上有三点A 、B 、C ，若7580OA OB OC，则 ||BC6. 函数()f x 与()g x 的图像拼成如图所示“Z ”字形 折线段ABOCD ，不含(0,1)A ，(1,1)B ，(0,0)O ，(1,1)C ，(0,1)D 五个点，若()f x 的图像关于原点对称的图形即为()g x 的图像，则其中一个函数 的解析式可以为三. 解答题（本大题12分）7. 对于函数()f x 、()g x ，若存在函数()h x ，使得()()()f x g x h x ，则称()f x 是()g x 的“()h x 关联函数”.（1）已知()sin f x x ，()cos g x x ，是否存在定义域为R 的函数()h x ，使得()f x 是()g x 的“()h x 关联函数”？若存在，写出()h x 的解析式；若不存在，说明理由；（2）已知函数()f x 、()g x 的定义域为[1,) ，当[,1)x n n ()n N 时，()f x12sin1n xn，若存在函数1()h x 及2()h x ，使得()f x 是()g x 的“1()h x 关联函数”，且()g x 是()f x 的“2()h x 关联函数”，求方程()0g x 的解.2016年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷2016.01一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i （i 为虚数单位）的实部是 2. 若2log (1)3x ，则x 3. 直线1y x 与直线2y 的夹角为 4.函数()f x的定义域为5. 三阶行列式135400121中，元素5的代数余子式的值为 6. 函数1()f x a x的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a 7. 在△ABC 中，若30A ，45B，BC ，则AC8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 （结果用数值表示） 9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13，则{}n a 的各项和为 10. 若2i （i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程250x ax 的一个虚根，则a11. 函数221y x x 在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围 是12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆22650x y x 上的两个动点，且满足||AB ，则||OA OB的最小值为二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0 且tan 0 的角 属于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（ ） A.B. 43C. 2D. 415. 在6(1)x 的二项展开式中，2x 项的系数为（ ） A. 2 B. 6 C. 15 D. 2016. 幂函数2y x 的大致图像是（ ）A. B. C. D.17. 已知向量(1,0)a ，(1,2)b，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ）A. 1B. 2C. (1,0)D. (0,2) 18. 设直线l 与平面 平行，直线m 在平面 上，那么（ ） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直19. 用数学归纳法证明等式2123...22n n n ()n *N 的第（ii ）步中，假设n k 时原等式成立，那么在1n k 时，需要证明的等式为（ ） A. 22123...22(1)22(1)(1)k k k k k k B. 2123...22(1)2(1)(1)k k k kC. 22123...2(21)2(1)22(1)(1)k k k k k k kD. 2123...2(21)2(1)2(1)(1)k k k k k20. 关于双曲线221164x y 与221164y x 的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ）A. 焦距相等，渐近线相同B. 焦距相等，渐近线不相同C. 焦距不相等，渐近线相同D. 焦距不相等，渐近线不相同21. 设函数()y f x 的定义域为R ，则“(0)0f ”是“()y f x 为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 22. 下列关于实数a 、b 的不等式中，不恒成立的是（ ） A. 222a b ab B. 222a b abC. 2()2a b ab D. 2()2a b ab 23. 设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e ，2122b x e y e，有结论：① 若12210x y x y ，则a ∥b ；② 若12120x x y y ，则a b；关于以上两个结论，正确的判断是（ ）A. ①成立，②不成立B. ①不成立，②成立C. ①成立，②成立D. ①不成立，②不成立24. 对于椭圆22(,)22:1a b x y C a b (,0,)a b a b ，若点00(,)x y 满足2200221x y a b，则称该点在椭圆(,)a b C 内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ）A. 三角形及其内部B. 矩形及其内部C. 圆及其内部D. 椭圆及其内部三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C 的体积为，底面边长为3，求异面直线1BC 与AC 所成的角的大小.26. 已知函数()sin f x x x ，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得 最大值时x 的值.27. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的 轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处，已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射 镜的顶点O 的距离.28. 已知数列{}n a 是公差为2的等差数列. （1）若1a 、3a 、4a 成等比数列，求1a 的值；（2）设119a ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足11b ，11(2n n n b b ，记12n n n n c S b ()n *N ，求数列{}n c 的最小值0n c .（即0n n c c 对任意n *N 成立）29. 对于函数()f x 与()g x ，记集合{|()()}f g D x f x g x . （1）设()2||f x x ，()3g x x ，求f g D ；（2）设1()1f x x ，21()(313x x f x a ，()0h x ，如果12f h f h D D R ，求实 数a 的取值范围.附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）1. 若函数()sin()f x x 是偶函数，则 的一个值是（ ） A. 0 B.2C.D. 22. 在复平面上，满足|1|4z 的复数z 所对应的点的轨迹是（ ） A. 两个点 B. 一条线段 C. 两条直线 D. 一个圆3. 已知函数()f x 的图像是折线段ABCDE ，如图，其中(1,2)A 、(2,1)B 、(3,2)C 、 (4,1)D 、(5,2)E ，若直线y kx b (,)k b R 与()f x 的图像恰有4个不同的公共点， 则k 的取值范围是（ ）A. (1,0)(0,1)B. 11(,)33 C. (0,1] D. 1[0,3二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）4. 椭圆221259x y 的长半轴的长为 5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30 ，则该圆锥的侧面积为 6. 小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天 下过雨时，记1k a ，当第k 天没下过雨时，记1k a (131)k ；他用数列{}n b 记录该 地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记1k b ，当预报第k 天 没有雨时，记1k b (131)k ；记录完毕后，小明计算出1122333131...a b a b a b a b25 ，那么该月气象台预报准确的总天数为三. 解答题（本大题12分）7. 对于数列{}n a 与{}n b ，若对数列{}n c 的每一项k c ，均有k k c a 或k k c b ，则称数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”.（1）设数列{}n a 与{}n b 的前三项分别为11a ，23a ，35a ，11b ，22b ，33b ， 若数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求所有可能的有序数组123(,,)c c c ； （2）已知数列{}n a 、{}n c 均为等差数列，{}n a 的公差为1，首项为正整数t ，{}n c 的前 10项和为30 ，前20项和为260 ，若存在唯一的数列{}n b ，使得{}n c 是{}n a 与{}n b 的 一个“并数列”，求t 的值所构成的集合.2017年上海市春季高考数学试卷2017.01一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 设集合{1,2,3}A ，集合{3,4}B ，则A B 2. 不等式|1|3x 的解集为3. 若复数z 满足2136i z （i 是虚数单位），则z4. 若1cos 3，则sin()25. 若关于x 、y 的方程组2436x y x ay无解，则实数a6. 若等差数列{}n a 的前5项的和为25，则15a a7. 若P 、Q 是圆222440x y x y 上的动点，则||PQ 的最大值为 8. 已知数列{}n a 的通项公式为3n n a ，则123limnn na a a a a9. 若2()n x x 的二项展开式的各项系数之和为729，则该展开式中常数项的值为10. 设椭圆2212x y 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在该椭圆上，则使得△12F F P 是等腰三角形的点P 的个数是11. 设1a 、2a 、…、6a 为1、2、3、4、5、6的一个排列，则满足1234||||a a a a56||3a a 的不同排列的个数为12. 设a 、b R ，若函数()af x x b x在区间(1,2)上有两个不同的零点，则(1)f 的取 值范围为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 函数2()(1)f x x 的单调递增区间是（ ）A. [0,)B. [1,)C. (,0]D. (,1] 14. 设a R ，“0a ”是“10a”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 15. 过正方体中心的平面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ） A. 三角形 B. 长方形 C. 对角线不相等的菱形 D. 六边形16. 如图所示，正八边形12345678A A A A A A A A 的边长为2，若P 为该正八边形边上的动点，则131A A A P的取值范围为（ ）A. [0,8B. [C. [8D. [8三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，长方体1111ABCD A B C D 中，2AB BC ，13AA . （1）求四棱锥1A ABCD 的体积； （2）求异面直线1AC 与1DD 所成角的大小.18. 设a R ，函数2()21x xaf x . （1）求a 的值，使得()f x 为奇函数； （2）若2()2a f x 对任意x R 成立，求a 的取值范围.19. 某景区欲建造两条圆形观景步道1M 、2M （宽度忽略不计），如图所示，已知AB AC ，60AB AC AD （单位：米），要求圆1M 与AB 、AD 分别相切于点B 、D ，圆2M 与AC 、AD 分别相切于点C 、D .（1）若60BAD ，求圆1M 、2M 的半径；（结果精确到0.1米）（2）若观景步道1M 与2M 的造价分别为每米0.8千元与每米0.9千元，如何设计圆1M 、2M 的大小，使总造价最低？最低总造价是多少？（结果精确到0.1千元）20. 已知双曲线222:1y x b(0)b ，直线:l y kx m (0)km ，l 与 交于P 、Q 两点，P 为P 关于y 轴的对称点，直线P Q 与y 轴交于点(0,)N n .（1）若点(2,0)是 的一个焦点，求 的渐近线方程；（2）若1b ，点P 的坐标为(1,0) ，且32NP P Q，求k 的值；（3）若2m ，求n 关于b 的表达式.21. 已知函数21()log 1xf x x. （1）解方程()1f x ；（2）设(1,1)x ，(1,)a ，证明：1(1,1)ax a x ，且11(()(ax f f x f a x a；（3）设数列{}n x 中，1(1,1)x ，1131(1)3n nn nx x x ，n *N ，求1x 的取值范围， 使得3n x x 对任意n *N 成立.2018年上海市春季高考数学试卷2018.01一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 不等式||1x 的解集为 2. 计算：31lim2n n n3. 设集合{|02}A x x ，{|11}B x x ，则A B4. 若复数1i z （i 是虚数单位），则2z z5. 已知{}n a 是等差数列，若2810a a ，则357a a a6. 已知平面上动点P 到两个定点(1,0)和(1,0) 的距离之和等于4，则动点P 的轨迹方程 为7. 如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，3AB ，4BC ，15AA ，O 是11A C 的中点，则三棱锥11A A OB 的体积为（第7题） （第12题）8. 某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生 甲必须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 （结果用数值表示） 9. 设a R ，若292(x x 与92(a x x的二项展开式中的常数项相等，则a 10. 设m R ，若z 是关于x 的方程2210x mx m 的一个虚根，则||z 的取值范围是11. 设0a ，函数()2(1)sin()f x x x ax ，(0,1)x ，若函数21y x 与()y f x 的 图像有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是12. 如图，正方形ABCD 的边长为20米，圆O 的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P 、 Q 分别在线段AD 、CB 上，若线段PQ 与圆O 有公共点，则称点Q 在点P 的“盲区”中， 已知点P 以1.5米/秒的速度从A 出发向D 移动，同时，点Q 以1米/秒的速度从C 出发向B 移动，则在点P 从A 移动到D 的过程中，点Q 在点P 的盲区中的时长约为 秒 （精确到0.1）二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）A. 2y xB. 13y xC. 12y x D. 3y x14. 如图，在直三棱柱111ABC A B C 的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 415. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，“{}n a 是递增数列”是“{}n S 是递增数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件16. 已知A 、B 为平面上的两个定点，且||2AB，该平面上的动线段PQ 的端点P 、Q ，满足||5AP ，6AP AB ，2AQ AP，则动线段PQ 所形成图形的面积为（ ）A. 36B. 60C. 72D. 108三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知cos y x . （1）若1()3f，且[0,] ，求()3f的值； （2）求函数(2)2()y f x f x 的最小值.18. 已知a R ，双曲线222:1x y a.（1）若点(2,1)在 上，求 的焦点坐标；（2）若1a ，直线1y kx 与 相交于A 、B 两点，且线段AB 中点的横坐标为1，求实数k 的值.19. 利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB 于C ，3AB 米， 4.5OC 米. （1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC 平行于圆锥的母线SD ，AB 、DE 是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）.（图1） （图2） （图3）20. 设0a ，函数1()12xf x a. （1）若1a ，求()f x 的反函数1()f x ；（2）求函数()()y f x f x 的最大值（用a 表示）； （3）设()()(1)g x f x f x ，若对任意(,0]x ，()(0)g x g 恒成立，求a 取值范围.。