2015-2016学年云南省昆明市高三(上)10月月考数学试卷(文科)(解析版)

2015-2016学年云南省昆明市高三（上）10月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合M={x|x（x﹣3）＞0}，则∁R M（）A．[0，3]B．（0，3）C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）2．（5分）（2016三亚校级模拟）=（）A．﹣iB．iC．﹣iD．+i3．（5分）（2016三亚校级模拟）设命题p：∀x∈R，2x＞0，则￢p为（）A．∀x∈R，2x＜0B．∀x∈R，2x＜0C．∂x0∈R，2≤0D．∂3x0∈R，2＜04．（5分）（2016三亚校级模拟）已知向量=（﹣1，3），=（1，﹣2），若（2+3）⊥（m﹣），则实数m=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣15．（5分）（2016三亚校级模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．8+4πB．8+2πC．8+πD．8+π6．（5分）（2016三亚校级模拟）设a，b∈N*，记R（a\b）为a除以b所得的余数，执行如图所示的程序框图，若输入a=243，b=45，则输出的值等于（）A．0B．1C．9D．187．（5分）（2016三亚校级模拟）同时掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和为6的概率等于（）A．B．C．D．8．（5分）（2016三亚校级模拟）函数y=cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，与函数y=sin（2x﹣）的图象重合，则φ=（）A．B．C．D．9．（5分）（2016三亚校级模拟）己知A、F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，点D在C上，△AFD是等腰直角三角形，且∠AFD=90°，则C的离心率为（）A．B．C．2D．+110．（5分）（2016三亚校级模拟）己知α∈（0，），cos（）=﹣，则tanα=（）A．B．7C．D．11．（5分）（2016三亚校级模拟）己知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞）B．（3，）C．（﹣∞，]D．（0，3）12．（5分）（2015秋昆明月考）棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与D1B平行的平面截正方体所得截面面积为S，则S的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2016三亚校级模拟）若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为．14．（5分）（2016三亚校级模拟）己知A（2，0），B（0，2），以AB为直径的圆交y 轴于M、N两点，则|MN|=．15．（5分）（2016三亚校级模拟）△ABC中，D是BC的中点，若AB=4，AC=1，∠BAC=60°，则AD=．16．（5分）（2016三亚校级模拟）已知函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=﹣x2+2x，若函数g（x）=f（x）﹣a|x﹣1|在区间[0，4]上有4个零点，则实数a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016三亚校级模拟）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S6=9S3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=1+log2a n，求数列{b n}的前n项和．18．（12分）（2015秋昆明月考）某校为了解学生一次考试后数学、物理两个科目的成绩情况，从中随机抽取了25位考生的成绩进行统计分析．25位考生的数学成绩已经统计在茎叶图中，物理成绩如下：90 71 64 66 72 39 49 46 55 56 85 52 6l80 66 67 78 70 51 65 42 73 77 58 67（Ⅰ）请根据数据在答题卡的茎叶图中完成物理成绩统计；（Ⅱ）请根据数据在答题卡上完成数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图；数学成绩分组[50，60﹚[60，70﹚[70，80﹚[80，90﹚[90，100﹚[100，110﹚[110，120]频数（Ⅲ）设上述样本中第i位考生的数学、物理成绩分别为x i，y i（i=1，2，3，…，25）．通过对样本数据进行初步处理发现：数学、物理成绩具有线性相关关系，得到：=x i=86，=y i=64，（x i﹣）（y i﹣）=4698，（x i﹣）2=5524，≈0.85．求y关于x的线性回归方程，并据此预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩（精确到1分）．附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）（2016三亚校级模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1BC1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，D为A1A的中点．（Ⅰ）求证：平面B1DC⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若∠B1DC=90°，求点A到平面B1DC的距离．20．（12分）（2016三亚校级模拟）抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为l的直线，交E于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2．（1）求点M到E的准线的距离；（2）设E的准线与x轴的交点为P，将直线l绕点F旋转直某一位置得直线l′，l′交E与C，D两点，E上是否存在一点N，满足=？若存在，求直线l′的斜率；若不存在，请说明理由．21．（12分）（2016三亚校级模拟）已知函数f（x）=xlnx+ax2﹣（2a+l）x+1，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a3﹣a﹣，求实数a的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三道题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上第卷选择题区域内把所选的题号涂黑。

注意：所做题目必须与所涂题号一致。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（10分）（2016三亚校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD⊥DC 于D，且AC平分∠DAB，延长DC交AB的延长线于点P．（1）求证：PC2=PAPB；（2）若3AC=4BC，⊙O的直径为7，求线段PC的长．选修4-423．（2016三亚校级模拟）己知曲线C的极坐标方程是ρ2﹣4ρcosθ﹣2psinθ=0．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy．在平面直角坐标系中，直线经过点P（1，2），倾斜角为．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线的参数方程；（2）设直线与曲线C相交于A、B两点，求|PA||PB|的值．选修4-524．（2016三亚校级模拟）设函数f（x）=|x+m|．（1）若不等式f（1）+f（﹣2）≥5成立，求实数m的取值范围；（2）当x≠0时，证明：f（）+f（﹣x）≥2．2015-2016学年云南省昆明市高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合M={x|x（x﹣3）＞0}，则∁R M（）A．[0，3]B．（0，3）C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）【分析】解一元二次不等式，可求出集合M，进而根据集合补集的定义，可得∁R M．【解答】解：∵集合M={x|x（x﹣3）＞0}，由x（x﹣3）＞0，解得x∈（﹣∞，0）∪（3，+∞）又∵全集为R故∁R M=[0，3]．故选：A．【点评】本题考查的知识点是集合的补集运算，其中根据二次函数的图象和性质，解二次不等式求出集合M是解答的关键．2．（5分）（2016三亚校级模拟）=（）A．﹣iB．iC．﹣iD．+i【分析】利用复数的分母实数化，化简求解即可．【解答】解：===i．故选：B．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的分母实数化是解题的关键．3．（5分）（2016三亚校级模拟）设命题p：∀x∈R，2x＞0，则￢p为（）A．∀x∈R，2x＜0B．∀x∈R，2x＜0C．∂x0∈R，2≤0D．∂3x0∈R，2＜0【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定为特称命题，即∂x0∈R，2≤0，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．（5分）（2016三亚校级模拟）已知向量=（﹣1，3），=（1，﹣2），若（2+3）⊥（m﹣），则实数m=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【分析】由已知向量的坐标求出2+3、m﹣的坐标，结合（2+3）⊥（m﹣），由数量积为0列式求得m值．【解答】解：∵=（﹣1，3），=（1，﹣2），∴2+3=（1，0），m﹣=（﹣m﹣1，3m+2），由（2+3）⊥（m﹣），得﹣m﹣1=0，即m=﹣1．故选：D．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的数乘及坐标加减法运算，是基础的计算题．5．（5分）（2016三亚校级模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A．8+4πB．8+2πC．8+πD．8+π【分析】由三视图知几何体为一个正方体和半球形成的组合体，分别计算体积后，相加可得答案．【解答】解：由三视图知几何体为一个正方体和半球形成的组合体，正方体的棱长为2，故体积为8，半球的半径为1，故体积为：，故组合体的体积为：8+，故选：D【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量，考查空间想象能力．6．（5分）（2016三亚校级模拟）设a，b∈N*，记R（a\b）为a除以b所得的余数，执行如图所示的程序框图，若输入a=243，b=45，则输出的值等于（）A．0B．1C．9D．18【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，y的值，当y=0时满足条件y=0，退出循环，输出b的值为9．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=243，b=45y=18，不满足条件y=0，a=45，b=18，y=9不满足条件y=0，a=18，b=9，y=0满足条件y=0，退出循环，输出b的值为9．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a，b，y的值是解题的关键，属于基础题．7．（5分）（2016三亚校级模拟）同时掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和为6的概率等于（）A．B．C．D．【分析】同时掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和的个数为36个，再用列举法求出所得点数之和为6，包含的基本事件个数，由此能求出所得点数之和为6的概率．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，所得点数之和的个数n=6×6=36，所得点数之和为6，包含的基本事件有：（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共有5个，∴所得点数之和为6的概率p=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．8．（5分）（2016三亚校级模拟）函数y=cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，与函数y=sin（2x﹣）的图象重合，则φ=（）A．B．C．D．【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，求得φ的值．【解答】解：函数y=cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后，可得y=cos2（x﹣φ）=cos（2x﹣2φ）=sin（2x﹣2φ+）的图象，根据所得图象与函数y=sin（2x﹣）的图象重合，则﹣2φ+=2kπ﹣，k∈Z，求得φ=，故选：C．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，属于基础题．9．（5分）（2016三亚校级模拟）己知A、F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，点D在C上，△AFD是等腰直角三角形，且∠AFD=90°，则C的离心率为（）A．B．C．2D．+1【分析】由题意，|AF|=|DF|，可得c+a=，即可求出C 的离心率．【解答】解：由题意，|AF|=|DF|∴c+a=，∴e 2﹣e ﹣2=0， ∵e ＞1，∴e=2， 故选：C ．【点评】本题考查双曲线C 的离心率，考查学生的计算能力，比较基础．10．（5分）（2016三亚校级模拟）己知α∈（0，），cos （）=﹣，则tan α=（ ）A ．B ．7C ．D ．【分析】由cos （）=﹣，可得cos α﹣sin α=﹣，两边平方后，利用同角三角函数间的基本关系求出sin α+cos α=，两者联立求出sin α和cos α的值，即可得到tan α的值．【解答】解：由cos （）=﹣，可得cos α﹣sin α=﹣，两边平方化简得1﹣2sin αcos α=即2sin αcos α=，∴1+2sin αcos α=，∴有sin α+cos α=，与cos α﹣sin α=﹣，联立解得sin α=，cos α=，∴tan α==7 故选：B ．【点评】本题的考点是同角三角函数的基本关系，主要考查同角的平方关系及商数关系，关键是求出sin α+cos α=．11．（5分）（2016三亚校级模拟）己知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（）A．（3，+∞）B．（3，）C．（﹣∞，]D．（0，3）【分析】求得f（x）的导数，由题意可得2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根，运用判别式大于0，两根之和大于0，两根之积大于0，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：f（x）=x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）=2x2﹣2x+a，由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根，则△=4﹣8（a﹣3）＞0，x1+x2=1＞0，x1x2=（a﹣3）＞0，解得3＜a＜．故选B．【点评】本题考查导数的几何意义，考查二次方程实根的分布，以及韦达定理的运用，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）（2015秋昆明月考）棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与D1B平行的平面截正方体所得截面面积为S，则S的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]【分析】根据题意，取AA1与CC1的中点M和N，得出四边形MBND1的面积，从而得出与D1B平行的平面截正方体所得截面面积S的取值范围．【解答】解：根据题意，取AA1的中点M，CC1的中点N，连接D1M、MB、BN、ND1，如图所示；则MN⊥BD1，又AB=a，∴MN=a，BD1=a，∴四边形MBND1的面积为=MNBD1=×a×a=a2；∴与D1B平行的平面截正方体所得截面面积S的取值范围是（0，a2）．故选：A．【点评】本题考查了空间中的位置关系的应用问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2016三亚校级模拟）若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为2．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+2y为．由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2故答案为：2．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．（5分）（2016三亚校级模拟）己知A（2，0），B（0，2），以AB为直径的圆交y 轴于M、N两点，则|MN|=2．【分析】求出以AB为直径的圆的方程，即可得出结论．【解答】解：A（2，0），B（0，2），以AB为直径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 x=0时，y=0或2，∴|MN|=2．故答案为：2．【点评】本题考查圆的方程，考查学生的计算能力，比较基础．15．（5分）（2016三亚校级模拟）△ABC中，D是BC的中点，若AB=4，AC=1，∠BAC=60°，则AD=．【分析】利用余弦定理求出BC，再利用平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得结论．【解答】解：∵AB=4，AC=1，∠BAC=60°，∴BC==，∴13+4AD2=2（42+12）∴AD=．故答案为：．【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（5分）（2016三亚校级模拟）已知函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=﹣x2+2x，若函数g（x）=f（x）﹣a|x﹣1|在区间[0，4]上有4个零点，则实数a的取值范围是（0，8﹣4）．【分析】作函数f（x）与y=a|x﹣1|在区间[0，4]上的图象，求导f′（x）=﹣4x+12，从而由导数的几何意义求得．【解答】解：由题意，作函数f（x）与y=a|x﹣1|在区间[0，4]上的图象如下，，当x∈[2，4]时，x﹣2∈[0，2]，f（x）=2f（x﹣2）=﹣2x2+12x﹣16，f′（x）=﹣4x+12，故由导数的几何意义可得，=﹣4x+12，解得，x=1+或x=1﹣，故a=﹣4﹣4+12=8﹣4，或a=﹣4+4+12=8+4（舍去），结合图象可知，实数a的取值范围是（0，8﹣4）；故答案为：（0，8﹣4）．【点评】本题考查了数形结合的思想应用及导数的综合应用．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）（2016三亚校级模拟）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S6=9S3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=1+log2a n，求数列{b n}的前n项和．【分析】（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，运用等比数列的求和公式，求得q=2，再由等比数列的通项公式即可得到；（Ⅱ）运用对数的性质化简b n=n，再由等差数列的求和公式，计算即可得到．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的公比为q，a1=1，S6=9S3，知q≠1，故有=，即（1﹣q3）（1+q3）=9（1﹣q3），即有1+q3=9，即q3=8，解得q=2，则a n=a1q n﹣1=2n﹣1；（Ⅱ）b n=1+log2a n=1+log22n﹣1=1+n﹣1=n，则数列{b n}的前n项和为1+2+…+n=n（1+n）．【点评】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查对数的运算和等差数列的求和公式，属于基础题．18．（12分）（2015秋昆明月考）某校为了解学生一次考试后数学、物理两个科目的成绩情况，从中随机抽取了25位考生的成绩进行统计分析．25位考生的数学成绩已经统计在茎叶图中，物理成绩如下：90 71 64 66 72 39 49 46 55 56 85 52 6l80 66 67 78 70 51 65 42 73 77 58 67（Ⅰ）请根据数据在答题卡的茎叶图中完成物理成绩统计；（Ⅱ）请根据数据在答题卡上完成数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图；数学成绩分组[50，60﹚[60，70﹚[70，80﹚[80，90﹚[90，100﹚[100，110﹚[110，120]频数（Ⅲ）设上述样本中第i位考生的数学、物理成绩分别为x i，y i（i=1，2，3，…，25）．通过对样本数据进行初步处理发现：数学、物理成绩具有线性相关关系，得到：=x i=86，=y i=64，（x i﹣）（y i﹣）=4698，（x i﹣）2=5524，≈0.85．求y关于x的线性回归方程，并据此预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩（精确到1分）．附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【分析】（Ⅰ）根据所给数据，可得物理成绩的茎叶图；（Ⅱ）根据所给数据，可得数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图；（Ⅲ）求出a，b，可得y关于x的线性回归方程，并据此预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩．【解答】解：（Ⅰ）物理成绩的茎叶图如图所示；（Ⅱ）数学成绩的频数分布表；数学成绩分组[50，60﹚[60，70﹚[70，80﹚[80，90﹚[90，100﹚[100，110﹚[110，120]频数 1 2 3 7 6 5 1数学成绩的频率分布直方图（Ⅲ）由已知得b=0.85，a=64﹣0.85×86=﹣9.1，∴y=0.85x﹣9.1，∴x=100时，y=75.9≈76，预测当某考生的数学成绩为100分时，该考生的物理成绩为76分．【点评】本题考查茎叶图、数学成绩的频数分布表及数学成绩的频率分布直方图，考查线性回归方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（12分）（2016三亚校级模拟）如图，三棱柱ABC﹣A1BC1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A⊥底面ABC，D为A1A的中点．（Ⅰ）求证：平面B1DC⊥平面B1BCC1；（Ⅱ）若∠B1DC=90°，求点A到平面B1DC的距离．【分析】（Ⅰ）设E、F分别为线段B1C、BC的中点，连接DE、EF、AF，推导出△A1B1D≌△ACD，DA∥EF，由此能证明平面B1DC⊥平面B1BCC1．（Ⅱ）连接AB1，设DA=x，A到平面B1CD的距离为h，由，能求出点A到平面B1CD的距离．【解答】证明：（Ⅰ）设E、F分别为线段B1C、BC的中点，连接DE、EF、AF，∵A1D=AD，∠DAC=∠DA1B1，A1B1=AC，∴△A1B1D≌△ACD，∴DB1=DC，∴DE=B1C，∵EF∥BB1，DA∥BB1，∴DA∥BB1，∴DA∥EF，DA==EF，∵B1C∩EF=E，∴DE⊥平面B1BCC1，∵DE⊂平面B1DC，∴平面B1DC⊥平面B1BCC1．（Ⅱ）连接AB1，设DA=x，A到平面B1CD的距离为h，则DB1=DC=，B1C=，∵∠B1DC=90°，∴4x2+4=x2+4+x2+4，解得，即，由，得：=，解得h=，∴点A到平面B1CD的距离为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．（12分）（2016三亚校级模拟）抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为l的直线，交E于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2．（1）求点M到E的准线的距离；（2）设E的准线与x轴的交点为P，将直线l绕点F旋转直某一位置得直线l′，l′交E与C，D两点，E上是否存在一点N，满足=？若存在，求直线l′的斜率；若不存在，请说明理由．【分析】（1）先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程，将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减，根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到焦点和准线方程，由斜率公式可得M的横坐标，即可得到所求距离；（2）设出直线l'的方程，代入抛物线方程，运用韦达定理，E上假设存在一点N，满足=，设N（，n），由向量的坐标运算，即可判断是否存在．【解答】解：（1）设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），又因为直线的斜率为1，所以=1，所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，即y1+y2=4，所以p=2，所以抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1．MF的斜率为1，可得M的横坐标为3，即有M（3，2）到准线的距离为3+1=4；（2）由抛物线的准线方程，可得P（﹣1，0），可设直线l'：y=k（x﹣1），设C（x3，y3）、D（x4，y4），将直线l'方程代入抛物线方程，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，即有x3+x4=2+，y3+y4=k（x3+x4﹣2）=，E上假设存在一点N，满足=，设N（，n），则x3+x4+2=+1，y3+y4=n，即有n=，且3+=，即为3+=，无解．故E上不存在一点N，满足=．【点评】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系，向量的坐标运算等基础知识，属于中档题．21．（12分）（2016三亚校级模拟）已知函数f（x）=xlnx+ax2﹣（2a+l）x+1，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a3﹣a﹣，求实数a的取值范围．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；（2）对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a2﹣a﹣，转化为f（x）min≥a2﹣a﹣，多次构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可求函数求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=lnx+1+2ax﹣2a﹣1=lnx+2a（x﹣1），∵a＞0，∴当0＜x＜1时，lnx＜0，2a（x﹣1）＜0，此时f′（x）＜0，函数f（x）在（0，1）上单调递减，当x＞1时，lnx＞0，2a（x﹣1）＞0，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），递减区间是（0，1）；（2）①当0＜a＜1时，由（1）知，f（x）在[a，1）上单调递减，f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴对任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥f（1）=﹣a，∵对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a3﹣a﹣，∴﹣a≥a3﹣a﹣，即a3≤，得a≤，∴当0＜a≤时，对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a3﹣a﹣，②求当a≥1时，[a，+∞）⊆[1，+∞），由（1）得f（x）在[a，+∞）上单调递增，∴对于任意的x∈[a，+∞），有f（x）≥f（a）=alna+a3﹣2a2﹣a+1，∵对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a3﹣a﹣，∴alna+a3﹣2a2﹣a+1≥a3﹣a﹣，即alna﹣2a2+≥0设g（a）=alna﹣2a2+，a≥1，则g′（a）=lna﹣4a+1，设h（a）=lna﹣4a+1，a≥1，则h′（a）=﹣4＜0，∴h（a）在[1，+∞）上单调递减，则当a≥1时，g′（a）=h（a）≤h（1）=﹣3＜0，则g（a）在[1，+∞）上单调递减，∴当a≥1时，g（a）≤g（1）=﹣＜0，此时不等式alna﹣2a2+≥0不成立，综上①②，所求a的取值范围是（0，]．【点评】本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，利用导数和函数的单调性，最值之间的关系是解决本题的关键．考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．请考生在第（22）、（23）、（24）三道题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上第卷选择题区域内把所选的题号涂黑。