高三数学综合题的解题策略

高三数学综合题的解题策略【解题指津】所谓综合题，是泛指题目本身或在解题过程中，涉及多个知识点和多种数学思想方法、具有较高能力要求的数学题. 在高三复习过程中，夯实解题基本功是十分重要的。

这就要求我们在平时的解题训练中，要教会学生认真领悟数学思想，熟练掌握数学方法，正确应用它们分析问题和解决问题，合理运用概念、公式、法则、定理、定律等，提高思维、运算的准确性，灵活运用数学思想方法进行等价转化，化繁为简，提醒学生多进行解题后的反思与探究, 提高解题能力。

现在，高考数学试题立足于当前中学数学的实际情况、教学条件和学生素质等特点，寓创新意识于其中，着重在试题由知识型向能力型的转化上进行积极的探索和创新。

这些富有时代气息的试题，突出在对“三基”的考查中，增大思考量，减少计算量，较好地考查考生的思维品质、创新能力和学习潜能，使高考与素质教育形成良性互动。

下面，我们从一下几个方面对综合题的解题策略作一些探讨. 一、从条件入手——分析条件，化繁为简，注重隐含条件的挖掘. 二、从结论入手---执果索因,搭好联系条件的桥梁. 三、回到定义和图形中来.四、以简单的、特殊的情况为突破口.五、构造辅助问题(函数、方程、图形……),换一个角度去思考. 六、通过横向沟通和转化,将各数学分支中不同的知识点串联起来. 七、培养整体意识，把握整体结构。

八、连续性问题——承上启下,层层递进,充分利用已得出的结论. 希望大家在解题过程中注意体会。

【综合题精选】1. 已知函数)2||,0,0)(sin()(π<ϕ>ω>ϕ+ω=A x A x f 的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（2,0x ）和（2,30-π+x ）. （I ）求)(x f 的解析式；（II ）用列表作图的方法画出函数y =f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象. 解：（Ⅰ）由已知，易得A =2． ππ3)3(200=-+=x x T ，解得31,6=∴=ωπT ． 把（0，1）代入解析式)3sin(2ϕ+=xy ，得1sin 2=ϕ．又2πϕ<，解得6πϕ=．∴)63sin(2π+=x y 为所求．…………………………………………6分 (Ⅱ)2. 已知函数R x x x x f ∈+=,)(3.（I ）指出)(x f 在定义域R 上的奇偶性与单调性（只须写出结论，无须证明）；（II ）若a .b .c ∈R ，且0,0,0>+>+>+a c c b b a ，试证明：0)()()(>++c f b f a f . 解：（Ⅰ）)(x f 是定义域R 上的奇函数且为增函数．（Ⅱ）由0>+b a 得b a ->．由增函数，得)()(b f a f ->由奇函数，得)()(b f b f -=- ∴0)()(>+b f a f同理可得 0)()(,0)()(>+>+a f c f c f b f 将上三式相加后，得0)()()(>++c f b f a f ．3.统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/小时）的函数解析式可以表示为：y =880312800012+-x x (0<x ≤120).已知甲、乙两地相距100千米。

（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了5.240100=小时, 要耗油()(5.175.28408034012800013升）=⨯+⨯-⨯.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升.(2)当速度为x 千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了,100小时x设耗油量为h(x)升，衣题意得 h(x)=(880312800013+-x x )²)1200(415800128011002＜＜x x x x -+=, h’(x)=233264080800640xx x x -=-(0＜x ≤120＝ 令h’(x)=0，得x=80.当x ∈(0,80)时，h’(x )＜0,h(x)是减函数;当x ∈(80,120)时，h’(x)＞0,h(x)是增函数. ∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25.因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值.答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升. 4.已知11=a ，n n a n S 2= )1(≥n 求n a 及n S ．解：1221)1(----=-=n n n n n a n a n S S a 从而有111-+-=n n a n n a ∵11=a ∴312=a 31423⨯=a 3142534⨯⨯=a 314253645⨯⨯⨯=a∴)1(234)1()1(123)2)(1(+=⨯⨯⋅-+⨯⨯⨯⋅--=n n n n n n n a n ∴122+==n n a n S n n 5.已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大.现有以下两种设计，如图：图①的过水断面为等腰△ABC ，AB =BC ，过水湿周.1BC AB l +=图②的过水断面为等腰梯形AD CD AB ABCD ,,=∥︒=∠60,BAD BC ，过水湿周CD BC AB l ++=2.若ABC ∆与梯形ABCD 的面积都为S ， （I ）分别求21l l 和的最小值；（II ）为使流量最大，给出最佳设计方案.解（Ⅰ）在图①中，设θ=∠ABC ，a BC AB ==．则θsin 212a S =．由于S .a .θsin 皆为正值，可解得S S a 2sin 2≥=θ． 当且仅当1sin =θ，即︒=90θ时取等号． 所以S a l 2221≥=．在图②中，设m CD AB ==，n BC =．︒=∠60BAD 可求得n m AD +=，m n m n S 23)(21⋅++=解得232mm S n -=． S S mm S m m S m n m l 423232233223222=≥+=-+=+=．当且仅当2332m m S =，即334S m =时取等号． （Ⅱ）由于432>，则2l 的最小值小于1l 的最小值． 所以在方案②中当2l 取得最小值时的设计为最佳方案． 6.已知nn n S a a 2311+==-且，求n a 及n S ．解：∵1--=n n n S S a ∴ n n n S S 221=-- ∴12211=---n n n n S S 设nn n S b 2=则{}n b 是公差为1的等差数列 ∴11-+=n b b n又：∵2322111===a S b ∴212+=n S n n ∴12)12(-+=n n n S 当2≥n 时 212)32(--+=-=n n n n n S S a∴⎩⎨⎧⋅+=-22)32(3n n n a )2()1(≥=n n 12)12(-+=n n n S 7.设)1(433221+++⨯+⨯+⨯=n n a n 求证：2)1(2)1(2+<<+n a n n n 证：∵ n n n n =>+2)1( 212)21()1(2+=+<+n n n n∴ 212)1(+<+<n n n n∴ 2)12(31321++++<<++++n a n n∴2)1(2)1(2+<<+n a n n n 8. 如图，平行六面体ABCD －A'B'C'D'中，AC ＝22，BC ＝AA'＝A'C ＝2，∠ABC ＝90°，点O是点A'在底面ABCD 上的射影，且点O 恰好落在AC 上. （1）求侧棱AA'与底面ABCD 所成角的大小；（2）求侧面A'ADD'底面ABCD 所成二面角的正切值； （3）求四棱锥C －A'ADD'的体积. 解：（I ）连O A 1，则⊥O A 1平面ABCD 于O∴AO A 1∠就是侧棱1AA 与底面ABCD 所成的角在AC A 1∆中，22,211===AC C A A A 22222121)22(822AC C A A A ===+=+∴AC A 1∆是等腰直角三角形∴︒=∠451AO A ，即侧棱A A 1与底面ABCD 所成角为45°，（II ）在等腰AC A Rt 1∆中，AC O A ⊥1，∴2211==AC O A ，且O 为AC 中点， ABoCD D' A' B' C'过O 作AD OE ⊥于E ，连E A 1。

∵⊥O A 1平面ABCD 于O ， 由三垂线定理，知AD E A ⊥1，∴∠EO A 1是侧面11ADD A 与底面ABCD 所成二面角的平面角。

∵∠ABC =︒90，22)22(2222=-=-=BC AC AB ，∴底面ABCD 是正方形。

∴OE121=AB 。

在EO A Rt 1∆中，211==∠EOO A EO A tg 。

即所求二面角的正切值为2。

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，,2,1==⊥BC AD AD E A 31)2(222211=+=+=OE O A E A 。

∴32111=⋅=E A AD S ADD A 。

∵AD OE AD E A ⊥⊥,1，∴EO A AD 1平面⊥。

∵11ADD A AD 平面⊂，∴平面EO A ADD A 111平面⊥，它们的交线是E A 1。

过O 作E A OH 1⊥，则11ADD A OH 平面⊥。

3232111=⨯=⋅=E A O A OE OH 。

又∵AC O 是的中点，∴点C 到平面11ADD A 的距离3222==OH h 。

∴324322323131!111=⋅⋅=⋅=-h S V ADD A ADD A C 。

另解：3242431313111111!1111=⋅===---D C B A ABCD ADD A BCC B ADD A C V V V9.已知等差数列的前n 项和为a ，前n 2项和为b ，求前n 3项和．解：由题设 a S n = b S n =2∴a b a a a n n n -=+++++221 而)(2)()(22132|21221n n n n n n n a a a a a a a a a +++=++++++++++从而：)()()(32|212221213n n n n n n n n a a a a a a a a a S +++++++++++=+++)(3)(3221a b a a a n n n -=+++=++10.已知：如图，长方体ABCD —1111D C B A 中，AB =BC =4，81=AA ，E 为1CC 的中点，1O 为下底面正方形的中心.求：（I ）二面角C —AB —1O 的正切值； （II ）异面直线AB 与1EO 所成角的正切值； （III ）三棱锥1O ——ABE 的体积.解：（Ⅰ）取上底面的中心O ，作AB OF ⊥于G ，连1OO 和1FO ． 由长方体的性质，得⊥1OO 平面ABCD ，由三垂线定理， 得AB F O ⊥1，则1OFO ∠为二面角1O AB C --的平面角8,22111====AA OO BC OF ．在OF O Rt 1∆中，411==∠OFOO OFO tg （Ⅱ）取11C B 的中点G ，连G O 1和EG ． 易证明AB G O //1，则G EO 1∠为所求2211==AB G O ．524222=+=EG ．在G EO Rt 1∆中，5211==∠GO EGG EO tg（Ⅲ）连BG ，AG ，由AB G O //1易证明//1G O 平面ABE ．AB S V V V BGE BGE A ABE G ABE O ⋅⋅===∆---31112)444282(2132=⨯+⨯+⨯-=∆BGE S ∴16412311=⋅⋅=-ABE O V11.已知等差数列{n a }的公差为d ，等比数列{n b }的公比为q ，且，0>n b （N n ∈），若)1,0,,1(log log 11≠>∈>-=-a a N n n b b a a a n a n ，求a 的取值.解：由0>n b 得01>b ，0>q由已知，得11111log )(log )1(b q b a d n a a n a -=--+-q n d n a log )1()1(->-∵1≠n ，∴q d a log = 由对数定义得q a d =当0=d ，1=q 时，得0>a ，1≠a ．当0≠d ，1=q 时，得1=a ．这与已知1≠a 相矛盾． 当0≠d ，1≠q 时，得dq a 1=． 综上：当1,0==q d 时，1,0≠>a a 当0≠d ，1=q 时，a 的取值集合为空集 当0≠d ，1≠q 时，dq a 1=12. 已知*)(2142N n a S n n n ∈--=- 求n n a a a 和11,+的关系式及通项公式n a解： 1214121111=⇒--==-a a S a⎪⎩⎪⎨⎧--=--=-+++-2)1(112214214n n n n n na S a S⇒②-①：21112121--+++-+-=n n n n n a a a 即：n n n a a 21211+=+将上式两边同乘以n 2得： 12211+=-+n n n n a a即：12211=--+n n n na a显然：{}n n a 12-是以1为首项，1为公差的AP∴ n n a n n =⋅-+=-1)1(121 ∴ 12-=n n n a13.已知：如图，射线OA 为y =2x (x >0)，射线OB 为y = –2x (x >0)，动点P （x , y ）在AOx ∠的内部，OB PN M OA PM ⊥⊥,于于N ，四边形ONPM 的面积为2..（I ）动点P 的纵坐标y 是其横坐标x 的函数，求这个函数y =f (x )的解析式； （II ）确定y =f (x )的定义域.解：（Ⅰ）设)2,(a a M ，)2,(b b N - )0,0(>>b a ．则a OM 5=，b ON 5=由动点P 在AOx ∠的内部，得x y 20<<．∴5252y x yx PM -=-=，5252y x y x PN +=+= ∴OPM ONP ONPM S S S ∆∆+=四边形 2])()(2[21)]2()2([21)(21=--+=++-=⋅+⋅=y b a x b a y x b y x a PN ON PM OM∴4)()(2=--+y b a x b a ①又a x a y k PM --=-=221，b x by k PN -+==221分别解得52y x a +=，52yx b -=代入①式消去a .b ，并化简得522=-y x ．∵0>y ，∴52-=x y ．（Ⅱ）由P 在AOx ∠内部，得x y 20<<．又垂足N 必须在射线OB 上，否则O .N .P .M 四点不能构成四边形，所以还必须满足条件x y 21<∴⎪⎩⎪⎨⎧<-<-<x x xx 21525022x x 21502<-<⇔31525<<⇔x 所以)(x f y =的定义域为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<31525x x14.解关于x 的不等式：log a (x 2－x －2)＞log a (x －a2)＋1(a ＞0，a ≠1) 解：原不等式等价于)2(log )2(log 2->--ax x x a a ……①1°当1>a 时，①式可化为⎪⎩⎪⎨⎧->-->->--22,02,0222ax x x ax x x从而⎪⎩⎪⎨⎧->-->-,22,022ax x x ax 即⎪⎩⎪⎨⎧+><>10,2a x x ax 或 ∴1+>a x2°当10<<a 时，①式可化为⎪⎩⎪⎨⎧-<-->->--22,02,0222ax x x ax x x 从而⎪⎩⎪⎨⎧-<-->--22,0222ax x x x x 即⎩⎨⎧+<<>-<1021a x x x 或 ∴∈x Φ 综上所述，当1>a 时，原不等式的解集为}1|{+>a x x ；当10<<a 时，不等式的解集为Φ15.在三角形ABC 中，三内角满足A ＋C ＝2B ，cosB 2cosC 1cosA 1-=-，求cos 2CA -的值 解：∵A+C=2B ，∴A+C=120°，B=60° 又∵B C A cos 2cos 1cos 1-=+，∴C A C A cos cos 22cos cos -=+ ∴)]cos()[cos(21222cos 2cos 2C A C A C A C A -++⋅-=-+即)12cos 221(22cos )21(22--+--=-⋅C A C A02232cos 2cos 222=--+-C A C A令t C A =-2cos ，则上式为0223222=-+t t∴223,2221-==t t ∵1|2cos|≤-C A ，∴222cos =-C A16. 已知三点P （5，2）、1F （－6，0）、2F （6，0）. （Ⅰ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P 、1F 、2F 关于直线y ＝x 的对称点分别为P '、'1F 、'2F ，求以'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的标准方程。