2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(9)
2020届全国2卷高考仿真数学试题(理科)答案详解
12020年普通高校招生全国(II 卷)统一考试高考仿真数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数(3)Z i i =+对应的点的坐标为（ ）..A (1,3) .B (3,1) .C (1,3)- .D ()3,1 -2. 设集合{}{},2,0,3|,5A x x a B =>=-,若集合A B I 有且仅有2个元素,则实数a 的取值范围为（ ）..A [)0,3 .B ()3, +∞ .C [)0,+∞ .D [)2,3 -3.在等差数列{}n a 中，若2103,9a a ==，则6a =（ ）..A 8 .B 6 .C 12 .D 104.已知向量(,1),(2,3)a x b ==r r ，若()a b b -⊥r r r，则x 的值为（ ）..A 2 .B 32 .C 5 .D 65. 已知命题11:2p a >，命题:q x R ∀∈，210ax ax -+>，则p 成立是q 成立的（ ）..A 必要不充分条件 .B 充分不必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件6．“仁义礼智信”为儒家“五常”美德，这“五常”贯穿于中华伦理的发展中。
由孔子提出“仁、义、礼”,又由孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.现将“仁义礼智信”排成一排,“礼”排在第1位,且“智信”不相邻的概率为（ ）..A 110 .B 15 .C 910 .D 2527．已知F 是抛物线2:4x C y =的焦点，点P 在曲线C 上，O 为坐标原点，若23OP OF =，则POF ∆的面积为（ ）..A 27 .B 7 .C 22 .D 28.已如定义在R 上的函数f (x )的周期为5，且()[]()()1,2,03,0,2xx f x f x x ⎧⎛⎫∈-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-∈⎩，则()()84f f +-=（ ）..A 12 .B 134.C 7 .D 1149.函数()34sin x f x x =+的图像大致是（ ）..A .B .C .D10.把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1]，②()g x 的一个对称轴是12x π=，③()g x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭， ④()g x 存在两条互相垂直的切线，其中正确的是（ ）..A ①② .B ①③.C ③④.D ②④11.已知椭圆222:15x y C b +=的焦点在x 轴上，离心率为25，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()0,1P 满足PM PN ⊥，则PM NM uuu r uuurg 的取值范围（ ）.3.A 250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.B 250,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ .C 25,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭ .D 25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12.已知正三棱柱111ABC ABC -中，16AB AA ==,用一个平面截此棱柱，与侧棱111,,AA BB CC 分别交于三点E F G 、、，若EFG ∆为直角三角形，则EFG ∆的面积的最小值为（ ）.A .B .C 9 .D 18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为________．14.已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且32z x y =-的最小值为________．15.已知数列{}n a 中，且满足11a =，当2n ≥时，1n n a a n -=+，若18n a n λλ-=-，对n N *∈恒成立，则实数λ的取值范围________．16.点A 在曲线:()ln 2C f x x =上，过A 作x 轴垂线l ，设l 与曲线2:()3D g x x x =-交于点B .点P 在x 轴上，且2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r,我们称点A 为曲线C 上的“平衡点”，则曲线C 上的“平衡点”的个数为________．三、解答题：共70分。
2020年高考数学模拟卷(全国Ⅱ卷理科)
2020年高考数学模拟卷（全国Ⅱ卷理科）时间：120分钟满分：150分命卷人：* 审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合,,则( )A. B.C. D.2. 若复数满足,则( )A. B.C. D.3. 从中任取一个,则直线被圆截得的弦长大于的概率为( )A. B.C. D.4. 《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作,在《算经》中有一题:某女子善于织布,一天比一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布尺,天共织布尺,则该女子织布每天增加( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺5. 某兴趣小组合作用纸片制作了一个封闭的手工制品,并将其绘制成如图所示的三视图,其中侧视图中的圆的半径为,则制作该手工制品所需材料最少为( )A. B.C. D.6. 从某中学抽取名学生进行阅读调查,发现每年读短篇文章量都在篇至篇之间,频率分布直方图如图所示,则对这名学生的阅读量判断正确的为( )A. 的值为B. 平均数约为C. 中位数大约为D. 众数约为7. 已知的展开式中各项系数之和为,则该展开式的常数项是( )A. B.C. D.8. 已知双曲线的中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,且双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为( )A. B.C. 或D. 或9. 已知正项数列为等比数列,为其前项和,且有,,则第2019项的个位数为( )A. 1B. 2C. 8D. 910. 已知函数 的图象在处的切线与直线 垂直.执行如图所示的程序框图,若输出的 的值为 ,则判断框中 的值可以为( )A.B.C.D.11. 已知函数在上至少存在两个不同的 满足 ,且函数 在上具有单调性, 和 分别为函数 图象的一个对称中心和一条对称轴,则下列命题中正确的是A. 函数 图象的两条相邻对称轴之间的距离为B. 函数 图象关于直线对称 C. 函数 图象关于点对称 D. 函数 在上是单调递减函数12. 已知函数 在上恒有 ,其中 为函数 的导数,若 为锐角三角形的两个内角,则（ ）A.B. C. D.二、填空题（每小题5分,共20分）13. 设满足约束条件,若目标函数的最大值与最小值之和为,则__________.14. 若向量满足，，则向量在方向上投影的最小值为__________.15. 在三棱锥中,,若平面平面,则三棱锥外接球的表面积为__________.16. 直线与抛物线交于,两点,为轴上的一点，满足,则点的坐标为__________.三、解答题（每小题12分,共60分）17. 在中,内角,,所对的边分别为,,.已知.求的值及角的取值范围.18. 如图,在平面多边形中,,,,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且,连接. (1)求证:平面平面; (2)求平面与平面所成二面角的余弦值.19. 某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度,在某年的连续6个月内,月份 和关注人数 (单位:百) 数据做了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)由散点图看出,可用线性回归模百元)与调查人数满足函数关系,求材料费用的最小值,并预测此时的调查人数; (3)现从这6个月中,随机抽取3个月份,试根据(1)中的回归方程,预测关注人数不低于1600人的月份个数分布列与数学期望. 参考公式:相关系数,若,则与的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合与的关系.回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为,.20. 已知椭圆左、右焦点分别为、,上顶点为，离心率为. (1)求的方程; (2)直线与相切于点,直线过点经点被直线反射得反射光线.问:直线是否经过轴上一个定点?若经过,求出该点的坐标;若不经过,说明理由.21. 已知函数 . (1)讨论函数 的单调性; (2)当 时,令函数 ,当 时,恒有 ,求实数 的取值范围.四、选做题（每小题10分,共20分）22A. 选修4-4:在直角坐标系 中,直线 的参数方程为( 为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 的普通方程; (2)已知 ,直线 与曲线 交于 , 两点,求的最大值.22B. 已知函数. (1)求不等式 的解集; (2)设函数,若存在 使 成立,求实数 的取值范围.2019年高考数学押题卷（全国Ⅱ卷理科）答案和解析第1题： 【答案】B【解析】由得,,即,由,得,所以,所以,所以.第2题： 【答案】C 【解析】由,得,所以,所以.第3题： 【答案】A【解析】所给圆的圆心为坐标原点,半径为,当弦长大于时,圆心到直线的距离小于,即,所以,故所求概率.第4题： 【答案】B【解析】本题可以转为等差数列问题:已知首项,前项的和,求公差. 由等差数列的前项公式可得,,解得.第5题： 【答案】D【解析】由三视图可知,该手工制品是由两部分构成,每一部分都是相同圆锥的四分之一,且圆锥的底面半径为,高为,故母线长为,故每部分的表面积为,故两部分表面积为.第6题： 【答案】C【解析】由,解得,故A 错; 由A 可知,,所以平均数为,故B 错误; 居民月用电量在的频率为:, 居民月用电量在的频率为:, ∴这户居民月用电量的中位数大约为,故C 正确; 由频率分布直方图可知,众数大约为,故D 错误.第7题： 【答案】D【解析】令,则有,所以,又展开式的通项为，令,则的展开式中含项的系数为,令,则的展开式中常数项为,故展开式的常数项为.第8题：【答案】D【解析】当双曲线的焦点在轴上时,设的方程为,则其渐近方程为,所以,所以,所以;当双曲线的焦点在轴上时,设C 的方程为,则其渐近方程为,所以,所以所以，所以.第9题：【答案】C【解析】由,得,即,又>0,所以=180,从而,由,得,即,所以,所以,又,所以,代入,得,所以，故其个位数为8.第10题： 【答案】B【解析】,则的图象在处的切线斜率,由于切线与直线垂直,则有,则,所以,所以,所以,由于输出的的值为,故总共循环了次,此时,故的值可以为.第11题： 【答案】D【解析】由于函数在上具有单调性,所以,即,所以,又由于函数在上至少存在两个不同的满足,所以,即,所以,故有,又和分别为函数图象的一个对称中心和一条对称轴,所以,,所以,,所以,故,又为函数图象的一个对称中心,所以,,所以,,又,所以,所以.由于函数的周期为,所以相邻两条对称轴之间的距离为,故A 错误;,且,故B,C 错误;由于函数的单调递减区间为,,当时,得其中的一个单调递减区间为,而,故D 正确.第12题：【答案】B 【解析】令,则,由于,且,所以,故函数在单调递增.又为锐角三角形的两个内角,则,所以,即,所以,即,所以.第13题：【答案】【解析】满足约束条件的可行域如下图:由,得,由,得,将目标函数化为,由图可知,当直线经过点时目标函数取得最小值,所以;当直线经过点B 时目标函数取得最大值,所以,所以有=,解得.第14题：【答案】 【解析】,所以,又向量在方向上投影为,当且仅当“”时取等号.第15题：【答案】【解析】取的中点,的中点,连接,因为,所以是以为斜边的直角三角形,从而点为外接圆的圆心,又,所以是以为斜边的直角三角形,从而点为外接圆的圆心,又因为,所以,又平面平面,且平面平面,所以平面,所以点为三棱锥外接球的球心,所以外接球的半径,故外接球的表面积.第16题：【答案】 【解析】设,,,把代入抛物线方程得,由可得， 所以,,因为,即, 即,所以,即,由于,所以,故.第17题：【答案】见解析【解析】(1)∵, ∴,即, ∴, ∴. 如图,过点作,为垂足.在中,,由题意可知,,所以有,从而,又因为,所以或,又,所以,即角的取值范围为.第18题：【答案】见解析【解析】(1)在中,设,由余弦定理得,, ∴, ∴,即, 又∵, ∴平面, 又∵平面, ∴, 又∵, ∴平面, 又∵平面, ∴平面平面; (2)由(1)可知,直线两两垂直,故以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示:设, 则,,,从而,设为平面的一个法向量. 则,即令,则, 由(1)可知,轴平面,故平面的一个法向量, ∴,即平面与平面所成二面角的余弦值为.第19题：【答案】见解析【解析】(1), ∴, 又∵,, ∴相关系数, 由于关于的相关系数, 这说明关于的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合与的关系; 又,且, ∴, ∴回归方程为(2),即调查材料最低成本为1800元,此时,所以; (3)可能的取值为0,1,2,3, 且;;;. 所以的分布列为所以.第20题：【答案】见解析 【解析】(1)设,由题意得,,又,所以有,故的方程为. (2)当直线的斜率为0时,则直线与相切于短轴的一个顶点,由椭圆的对称性可知,直线经过轴上的点. 当直线斜率存在时,设其方程为,将代入得,,整理得,,从而,所以,即,所以. 设关于直线的对称点为,则有,解得,即. 所以. 又, 所以,即,,三点共线,所以直线经过点.当直线斜率不存在时,直线即为轴,也经过点. 综上,直线经过轴上一个定点.第21题：【答案】见解析【解析】(1). ①当时,在上,,函数f(x)单调递减;在上,,函数f(x)单调递增; ②当时,在上,,函数f(x)单调递增;在上,,函数单调递减. 综上,当时,递减区间为,递增区间为;当时,递增区间为,递减区间为. (2), ∵,∴, 当时,由于,所以,即, 当时,由于,所以,即, 当时,, 综上,当时,函数单调递增, 所以由可得,即, 等价于,即, 令,, 则, 由,且,得, 当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减. 所以, 所以,即A 的取值范围为.第22A 题：【答案】见解析【解析】(1)∵, ∴, ∴,即. (2)将直线的参数方程(为参数)代入的普通方程,得, 则,所以, 所以,即的最大值为.第22B 题：【答案】见解析上,原不等式的解集为. (2)由得, 又, 所以,即,解得, 所以的取值范围为.。
数列小题大做-备战高考数学冲刺横向强化精练精讲(解析版)
数列小题大做一、单选题1．（2021·吉林省实验模拟预测（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若73a =，4516a a +=，则10S =（ ）A ．60B ．80C ．90D ．100【答案】A 【分析】由题意，利用等差数列通项公式将两式化为基本量1,a d 的关系式，计算1,a d ，然后代入等差数列前n 项和公式计算. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，所以7163a a d =+=，4512716+=+=a a a d ，联立得,1a 15d 2==-，所以101091015(2)602⨯=⨯+⨯-=S . 故选：A2．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】A 【分析】根据题目条件可得2S ，42S S -，64S S -成等比数列，从而求出641S S -=，进一步求出答案. 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=， ∴641167S S =+=+=. 故选：A.3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为2,4,8,---时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B ． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．4．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．5．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（ ） A ．2n –1 B ．2–21–n C ．2–2n –1 D ．21–n –1【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式，可以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩， 所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n nn n n S a ---==-.故选：B. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算，考查了等比数列前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C 【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列， 设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S . 【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=， 设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分 别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块， 所以322729n n n n S S S S -=-+， 即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+ 即29729n =，解得9n =， 所以32727(9927)34022n S S +⨯===.故选：C 【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.7．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列{}n a 满足)111,N 1nn na a n a *+=∈+.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．100332S << B ．10034S << C ．100942S <<D ．100952S << 【答案】A 【分析】 显然可知，10032S >，利用倒数法得到21111124n n n n a a a a +⎛⎫==-⎪⎪⎭，再放缩可得112n n a a +<，由累加法可得24(1)n a n ≥+，进而由11n n na a +=+113n n a n a n ++≤+，然后利用累乘法求得6(1)(2)n a n n ≤++，最后根据裂项相消法即可得到1003S <，从而得解．【详解】 因为)111,N 1nn n a a n a *+==∈+，所以0n a >，10032S >． 由2111111241n n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⇒==-⎪⎪+⎭ 21111122n n n n a a a a ++⎛⎫∴<⎪⎪⎭112n n a a +<11122nn n a -+≤+=，当且仅当1n =时取等号，12412(1)3111n n n n n n a n a a a n n a n ++∴≥∴=≤=+++++ 113n n a n a n ++∴≤+， 由累乘法可得6(1)(2)n a n n ≤++，当且仅当1n =时取等号，由裂项求和法得：所以10011111111116632334451011022102S ⎛⎫⎛⎫≤-+-+-++-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即100332S <<． 故选：A ． 【点睛】1,n n a a +24(1)n a n ≥+，由题目条件可知要证100S 小于某数，从而通过局部放缩得到1,n n a a +的不等关系，改变不等式的方向得到6(1)(2)n a n n ≤++，最后由裂项相消法求得1003S <．8．（2021年北京市高考数学试题）已知{}n a 是各项均为整数的递增数列，且13a ≥，若12100n a a a ++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】C 【分析】使数列首项、递增幅度均最小，结合等差数列的通项及求和公式求得n 可能的最大值，然后构造数列满足条件，即得到n 的最大值． 【详解】若要使n 尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小， 不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n 项和为，则，，所以11n ≤. 对于，，取数列各项为(1,2,10)n =⋯，1125a =,则1211100a a a ++⋅⋅⋅+=， 所以n 的最大值为11． 故选：C ．9．（2020年北京市高考数学试卷）在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）．A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】B 【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项. 【详解】由题意可知，等差数列的公差511925151a a d --+===--，则其通项公式为：()()11912211n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， 注意到123456701a a a a a a a <<<<<<=<<，且由50T <可知()06,i T i i N <≥∈，由()117,ii i T a i i N T -=>≥∈可知数列{}n T 不存在最小项， 由于1234569,7,5,3,1,1a a a a a a =-=-=-=-=-=，故数列{}n T 中的正项只有有限项：263T =，46315945T =⨯=. 故数列{}n T 中存在最大项，且最大项为4T . 故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题.10．（2021·四川·内江市教育科学研究所一模（文））已知函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，数列{}n a 为等差数列．若20a >，则()1f a +()()23f a f a +的值（ ） A ．恒为0 B ．恒为正数C ．恒为负数D ．可正可负【答案】C 【分析】根据函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，得到()00f =，0x >时，()0f x <，0x <时，()0f x >求解.【详解】因为函数()f x 是R 上单调递减的奇函数，所以()00f =，当0x >时，()0f x <，当0x <时，()0f x >， 因为数列{}n a 为等差数列，且20a >， 所以()20f a <，13220a a a +=>， 则13a a >-，所以()()13f a f a <-，即()()130f a f a +<， 所以()1f a +()()230f a f a +<， 故选：C11．（2019年浙江省高考数学试卷）设,a b ∈R ，数列{}n a 中，211,n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则A ．当101,102b a =>B ．当101,104b a =>C ．当102,10b a =->D ．当104,10b a =->【答案】A 【分析】若数列{}n a 为常数列，101a a a ==，则只需使10a ≤，选项的结论就会不成立.将每个选项的b 的取值代入方程20x x b -+=，看其是否有小于等于10的解.选项B 、C 、D 均有小于10的解，故选项B 、C 、D 错误.而选项A 对应的方程没有解，又根据不等式性质，以及基本不等式，可证得A 选项正确. 【详解】若数列{}n a 为常数列，则1n a a a ==，由21n n a a b +=+，可设方程20x x b -+= 选项A ：12b =时，2112n n a a +=+，2102x x -+=， 1210∆=-=-<，故此时{}n a 不为常数列，222112n n n n a a a +=+=+≥， 且2211122a a =+≥，792a a ∴≥≥21091610a a >≥>，故选项A 正确； 选项B ：14b =时，2114n n a a +=+，2104x x -+=，则该方程的解为12x =， 即当12a =时，数列{}n a 为常数列，12n a =， 则101102a =<，故选项B 错误； 选项C ：2b =-时，212n n a a +=-，220x x --=该方程的解为1x =-或2，即当1a =-或2时，数列{}n a 为常数列，1n a =-或2，同样不满足1010a >，则选项C 也错误；选项D ：4b =-时，214n n a a +=-，240x x --=该方程的解为117x ±=同理可知，此时的常数列{}n a 也不能使1010a >， 则选项D 错误. 故选：A. 【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.12．（2021·河南·南阳中学高三阶段练习（文））数列{}n a 的通项cos sin 33n n n a n n ππ22⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其前n 项和为n S ，则S 18为（ ）A ．173B ．174C ．175D ．176【答案】B 【分析】化简n a 可得22cos3n n a n π=，讨论n 取不同值时n a 的通项公式，并项求和. 【详解】22222cos sin cos sin cos33333n n n n n n a n n n n πππππ22⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当3n k =()k N *∈ 时，()233k a k =；31n k =-()k N *∈时，()231312k k a --=-；32n k =-()k N *∈时，()232322k k a --=-()()()223212333231592223k k kk k a a a k k ----++-=-+=-所以()()18166530912669174222S +⨯=+++-⨯=⨯-= 故选：B二、填空题13．（2020年浙江省高考数学试卷）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是________． 【答案】10 【分析】根据通项公式可求出数列{}n a 的前三项，即可求出． 【详解】 因为()12n n n a +=，所以1231,3,6a a a ===． 即312313610S a a a =++=++=． 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题．14．（2020年江苏省高考数学试卷）设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______． 【答案】4 【分析】结合等差数列和等比数列前n 项和公式的特点，分别求得{}{},n n a b 的公差和公比，由此求得d q +. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，根据题意1q ≠. 等差数列{}n a 的前n 项和公式为()2111222n n n d d P na d n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭， 等比数列{}n b 的前n 项和公式为()1111111n n n b q b bQ q qq q-==-+---， 依题意n n n S P Q =+，即22111212211nn b b d d n n n a n q q q ⎛⎫-+-=+--+ ⎪--⎝⎭， 通过对比系数可知111212211dd a q b q⎧=⎪⎪⎪-=-⎪⎨⎪=⎪⎪=-⎪-⎩⇒112021d a q b =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，故4d q +=.故答案为：4 【点睛】11本小题主要考查等差数列和等比数列的前n 项和公式，属于中档题.15．（2021·陕西商洛·模拟预测（理））已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，且236,14S S ==，则数列2211log log nn a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前2021项和为___________. 【答案】20212022【分析】根据等比数列的通项公式及前n 项和公式得到方程组，求出1a 和q ，即可得到n a ，从而得到2211log log n n a a +⋅，再利用裂项相消法求和即可； 【详解】解：因233212118,6a S S a q S a a q =-===+=，所以211143a q a a q =+，所以23440q q --=，得2q 或23-（舍去），所以12a =，故2n n a =. 因为2211111log log (1)1n n a a n n n n +==-⋅++， 所以20211111112021112232021202220222022T =-+-++-=-=. 故答案为：2021202216．（2021·上海嘉定·一模）已知集合{}*21,A x x n n ==-∈N ，{}*2,n B x x n ==∈N ，将A B 中的所有元素按从小到大的顺序排列构成一个数列{}n a ，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使得1000n S >成立的最小的n 的值为_____________.【答案】36【分析】由题可得2n 为数列{}n a 的12n n -+项，且利用分组求和可得1112422n n n n S --++=+-，通过计算即得.【详解】由题意，对于数列{}n a 的项2n ，其前面的项1，3，5，…，21n A -∈，共有12n -项，232,2,2,,2n B ⋅⋅⋅∈，共有n 项，所以2n 为数列{}n a 的12n n -+项，且()()()()112112211221221222422n n n n n n S ---++⎡⎤=⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-++++=+-⎣⎦.可算得612638-+=（项），3864a =，381150S =，试卷第12页，共12页因为3763a =，3661a =，3559a =，所以371086S =，361023S =，35962S =， 因此所求n 的最小值为36.故答案为：36.13。
精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线 找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数 ，点 和 是函数 图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合 ，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位， ，则 （）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 ，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性排除选项 ；利用 排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
因为
又因为 ，
所以 ，即函数 为偶函数，故排除 ；
又因为 ，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
高考数学模拟试卷(理科)(九)(解析版)
吉林省实验中学高考数学模拟试卷（理科）（九）一、选择题：（本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|1＜x＜4}, 集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}, 则A∩（∁R B）=（）A．（1, 4）B．（3, 4）C．（1, 3）D．（1, 2）∪（3, 4）2．已知命题p：∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0, 则￢p是（）A．∃x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜03．若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位）, 则z为（）A．3+5iB．3﹣5iC．﹣3+5iD．﹣3﹣5i4．已知{a n}是等差数列, 公差d不为零, 前n项和是S n, 若a3, a4, a8成等比数列, 则（）A．a1d＞0, dS4＞0B．a1d＜0, dS4＜0C．a1d＞0, dS4＜0D．a1d＜0, dS4＞05．已知x, y满足约束条件, 若z=ax+y的最大值为4, 则a=（）A．3B．2C．﹣2D．﹣36．阅读如图所示的程序图, 运行相应的程序输出的结果s=（）A．1B．4C．9D．167．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况, 抽出了一个容量为n的样本, 其频率分布直方图如图所示, 其中支出在[50, 60）元的同学有30人, 则n的值为（）A．100B．1000C．90D．9008．关于正态曲线性质的叙述：①曲线关于直线x=μ对称, 这个曲线在x轴上方；②曲线关于直线x=σ对称, 这个曲线只有当x∈（﹣3σ, 3σ）时才在x轴上方；③曲线关于y轴对称, 因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；④曲线在x=μ时处于最高点, 由这一点向左右两边延伸时, 曲线逐渐降低；⑤曲线的对称轴由μ确定, 曲线的形状由σ确定；⑥σ越大, 曲线越“矮胖”, σ越小, 曲线越“高瘦”．上述说法正确的是（）A．①④⑤⑥B．②④⑤C．③④⑤⑥D．①⑤⑥9．节日前夕, 小李在家门前的树上挂了两串彩灯, 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立, 且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮, 那么这两串彩灯同时通电后, 它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．10．抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．11．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示, 则此几何体的体积等于______cm2．（）A．16B．18C．24D．2612．函数f（x）=﹣cosx在[0, +∞）内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点二、填空题：（本大题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．已知向量夹角为45°, 且, 则=．14．（1+x）8（1+y）4的展开式中x2y2的系数是．15．sinxdx=．16．已知半球内有一内接正方体, 则这个半球的表面积与正方体的表面积之比是．三、解答题：（本大题共5小题, 共70分．解答应写出说明文字, 证明过程或演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中, 已知向量=（, ﹣）, =（sinx, cosx）, x∈（0, ）．（1）若⊥, 求tanx的值；（2）若与的夹角为, 求x的值．18．在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手（1至5号）登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望．19．如图, 在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中, AB⊥AC, AB=AC=2, AA1=4, 点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．20．如图, 点P（0, ﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点, C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径, l1, l2是过点P且互相垂直的两条直线, 其中l1交圆C2于A、B两点, l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．21．设x1, x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=﹣1, x2=2, 求函数f（x）的解析式；（2）若, 求b的最大值．（3）若x1＜x＜x2, 且x2=a, g（x）=f'（x）﹣a（x﹣x1）, 求证：．请考生在第22, 23, 24三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图, △ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE, 求∠BAC的大小．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中, 直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位, 且以原点O为极点, 以x轴正半轴为极轴）中, 圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B, 若点P的坐标为（3, ）, 求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．例3．设a＞0, b＞0, 解关于x的不等式：|ax﹣2|≥bx．吉林省实验中学高考数学模拟试卷（理科）（九）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|1＜x＜4}, 集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}, 则A∩（∁R B）=（）A．（1, 4）B．（3, 4）C．（1, 3）D．（1, 2）∪（3, 4）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由题意, 可先解一元二次不等式, 化简集合B, 再求出B的补集, 再由交的运算规则解出A∩（∁R B）即可得出正确选项【解答】解：由题意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}, 故∁R B={x|x＜﹣1或x＞3},又集合A={x|1＜x＜4},∴A∩（∁R B）=（3, 4）故选B2．已知命题p：∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0, 则￢p是（）A．∃x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0【考点】命题的否定．【分析】由题意, 命题p是一个全称命题, 把条件中的全称量词改为存在量词, 结论的否定作结论即可得到它的否定, 由此规则写出其否定, 对照选项即可得出正确选项【解答】解：命题p：∀x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题, 其否定是一个特称命题,故¬p：∃x1, x2∈R, （f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选：C．3．若复数z满足z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位）, 则z为（）A．3+5iB．3﹣5iC．﹣3+5iD．﹣3﹣5i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】等式两边同乘2+i, 然后化简求出z即可．【解答】解：因为z（2﹣i）=11+7i（i为虚数单位）,所以z（2﹣i）（2+i）=（11+7i）（2+i）,即5z=15+25i,z=3+5i．故选A．4．已知{a n}是等差数列, 公差d不为零, 前n项和是S n, 若a3, a4, a8成等比数列, 则（）A．a1d＞0, dS4＞0B．a1d＜0, dS4＜0C．a1d＞0, dS4＜0D．a1d＜0, dS4＞0【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由a3, a4, a8成等比数列, 得到首项和公差的关系, 即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1, 则a3=a1+2d, a4=a1+3d, a8=a1+7d,由a3, a4, a8成等比数列, 得, 整理得：．∵d≠0, ∴,∴,=＜0．故选：B．5．已知x, y满足约束条件, 若z=ax+y的最大值为4, 则a=（）A．3B．2C．﹣2D．﹣3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域, 利用目标函数的几何意义, 利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2, 0）, B（1, 1）,若z=ax+y过A时取得最大值为4, 则2a=4, 解得a=2,此时, 目标函数为z=2x+y,即y=﹣2x+z,平移直线y=﹣2x+z, 当直线经过A（2, 0）时, 截距最大, 此时z最大为4, 满足条件,若z=ax+y过B时取得最大值为4, 则a+1=4, 解得a=3,此时, 目标函数为z=3x+y,即y=﹣3x+z,平移直线y=﹣3x+z, 当直线经过A（2, 0）时, 截距最大, 此时z最大为6, 不满足条件,故a=2,故选：B6．阅读如图所示的程序图, 运行相应的程序输出的结果s=（）A．1B．4C．9D．16【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序, 依次写出每次循环得到的n, s, a的值, 当n=3时, 不满足条件n＜3, 退出循环, 输出s的值为9．【解答】解：模拟执行程序框图, 可得a=1, s=0, n=1s=1, a=3满足条件n＜3, n=2, s=4, a=5满足条件n＜3, n=3, s=9, a=7不满足条件n＜3, 退出循环, 输出s的值为9,故选：C．7．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况, 抽出了一个容量为n的样本, 其频率分布直方图如图所示, 其中支出在[50, 60）元的同学有30人, 则n的值为（）A．100B．1000C．90D．900【考点】用样本的频率分布估计总体分布．【分析】根据频率直方图的意义, 由前三个小组的频率可得样本在[50, 60）元的频率, 计算可得样本容量．【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和=（0.01+0.024+0.036）×10=0.7,∴支出在[50, 60）元的频率为1﹣0.7=0.3,∴n的值=；故选A．8．关于正态曲线性质的叙述：①曲线关于直线x=μ对称, 这个曲线在x轴上方；②曲线关于直线x=σ对称, 这个曲线只有当x∈（﹣3σ, 3σ）时才在x轴上方；③曲线关于y轴对称, 因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；④曲线在x=μ时处于最高点, 由这一点向左右两边延伸时, 曲线逐渐降低；⑤曲线的对称轴由μ确定, 曲线的形状由σ确定；⑥σ越大, 曲线越“矮胖”, σ越小, 曲线越“高瘦”．上述说法正确的是（）A．①④⑤⑥B．②④⑤C．③④⑤⑥D．①⑤⑥【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据正态曲线的性质, 分析选项, 即可得出结论．【解答】解：根据正态曲线的性质, 曲线关于直线x=μ对称, 当x∈（﹣∞, +∞）时, 正态曲线全在x轴上方, 故①正确, ②不正确；只有当μ=0时, 正态曲线才关于y轴对称, 故③不正确；曲线关于直线x=μ对称, 曲线在x=μ时处于最高点, 由这一点向左右两边延伸时, 曲线逐渐降低, 故④正确；曲线的对称轴由μ确定, 曲线的形状由σ确定；σ越大, 曲线越“矮胖”, σ越小, 曲线越“高瘦”．故⑤⑥正确．故选：A．9．节日前夕, 小李在家门前的树上挂了两串彩灯, 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立, 且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮, 那么这两串彩灯同时通电后, 它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x, y, 由题意可得0≤x≤4, 0≤y≤4, 要满足条件须|x﹣y|≤2, 作出其对应的平面区域, 由几何概型可得答案．【解答】解：设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x, y,由题意可得0≤x≤4, 0≤y≤4,它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒, 则|x﹣y|≤2,由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比,由图可知所求的概率为：=故选C10．抛物线y2=4x的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A．B．C．1D．【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】根据抛物线的标准方程, 算出抛物线的焦点F（1, 0）．由双曲线标准方程, 算出它的渐近线方程为y=±x, 化成一般式得：, 再用点到直线的距离公式即可算出所求距离．【解答】解：∵抛物线方程为y2=4x∴2p=4, 可得=1, 抛物线的焦点F（1, 0）又∵双曲线的方程为∴a2=1且b2=3, 可得a=1且b=,双曲线的渐近线方程为y=±, 即y=±x,化成一般式得：．因此, 抛物线y2=4x的焦点到双曲线渐近线的距离为d==故选：B11．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示, 则此几何体的体积等于______cm2．（）A．16B．18C．24D．26【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图得出该几何体是直三棱柱, 去掉一个底面相同的三棱锥, 求出它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图得：该几何体是底面为直角三角形, 高为5的直三棱柱,去掉一个底面为相同的直角三角形, 高为3的三棱锥,∴该几何体的体积为：V几何体=V三棱柱﹣V三棱锥=×4×3×5﹣××4×3×3=24故选：C．12．函数f（x）=﹣cosx在[0, +∞）内（）A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据余弦函数的最大值为1, 可知函数在[π, +∞）上为正值, 在此区间上函数没有零点, 问题转化为讨论函数在区间[0, π）上的零点的求解, 利用导数讨论单调性即可．【解答】解：f′（x）=+sinx①当x∈[0．π）时, ＞0且sinx＞0, 故f′（x）＞0∴函数在[0, π）上为单调增取x=＜0, 而＞0可得函数在区间（0, π）有唯一零点②当x≥π时, ＞1且cosx≤1故函数在区间[π, +∞）上恒为正值, 没有零点综上所述, 函数在区间[0, +∞）上有唯一零点二、填空题：（本大题共4小题, 每小题5分, 共20分）13．已知向量夹角为45°, 且, 则=3．【考点】平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由已知可得, =, 代入|2|====可求【解答】解：∵, =1∴=∴|2|====解得故答案为：314．（1+x）8（1+y）4的展开式中x2y2的系数是168．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据（1+x）8和（1+y）4的展开式的通项公式可得x2y2的系数．【解答】解：根据（1+x）8和（1+y）4的展开式的通项公式可得, x2y2的系数为C82•C42=168, 故答案为：16815．sinxdx=0．【考点】定积分．【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：sinxdx=﹣cosx|=0,故答案为：016．已知半球内有一内接正方体, 则这个半球的表面积与正方体的表面积之比是3π：4．【考点】球的体积和表面积．【分析】将半球补成整个的球, 同时把原半球的内接正方体再补接一同样的正方体, 构成的长方体刚好是这个球的内接长方体, 那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径．【解答】解：将半球补成整个的球, 同时把原半球的内接正方体再补接一同样的正方体, 构成的长方体刚好是这个球的内接长方体, 那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径．设原正方体棱长为a, 球的半径是R, 则根据长方体的对角线性质, 得（2R）2=a2+a2+（2a）2, 即4R2=6a2, ∴R=\frac{\sqrt{6}}{2}a从而S半球的表面积=3πR2=πa2, S正方体=6a2,因此S半球的表面积：S正方体=3π：4,故答案为：3π：4．三、解答题：（本大题共5小题, 共70分．解答应写出说明文字, 证明过程或演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中, 已知向量=（, ﹣）, =（sinx, cosx）, x∈（0, ）．（1）若⊥, 求tanx的值；（2）若与的夹角为, 求x的值．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）若⊥, 则•=0, 结合三角函数的关系式即可求tanx的值；（2）若与的夹角为, 利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值．【解答】解：（1）若⊥,则•=（, ﹣）•（sinx, cosx）=sinx﹣cosx=0,即sinx=cosxsinx=cosx, 即tanx=1；（2）∵||=, ||==1, •=（, ﹣）•（sinx, cosx）=sinx﹣cosx,∴若与的夹角为,则•=||•||cos=,即sinx﹣cosx=,则sin（x﹣）=,∵x∈（0, ）．∴x﹣∈（﹣, ）．则x﹣=即x=+=．18．在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手（1至5号）登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手．（Ⅰ）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（I）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”, 观众甲选中3号歌手的概率为, 观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=, 利用互斥事件的概率公式,即可求得结论；（II）由题意, X可取0, 1, 2, 3, 求出相应的概率, 即可得到X的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示：“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”,观众甲选中3号歌手的概率为, 观众乙未选中3号歌手的概率为1﹣=,∴P（A）=,∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为；（Ⅱ）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 则X可取0, 1, 2, 3．观众甲选中3号歌手的概率为, 观众乙选中3号歌手的概率为,当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时, 这时X=0, P（X=0）=（1﹣）（1﹣）2=,当观众甲、乙、丙只有一人选中3号歌手时, 这时X=1,P（X=1）=（1﹣）2+（1﹣）（1﹣）+（1﹣）（1﹣）=,当观众甲、乙、丙只有二人选中3号歌手时, 这时X=2,P（X=2）=•（1﹣）+（1﹣）•+（1﹣）=,当观众甲、乙、丙都选中3号歌手时, 这时X=3,P（X=3）=•（）2=,X的分布列如下：X 0 1 2 3P∴数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．19．如图, 在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中, AB⊥AC, AB=AC=2, AA1=4, 点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz, 利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量, 利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值, 再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz,则由题意知A（0, 0, 0）, B（2, 0, 0）, C（0, 2, 0）,A1（0, 0, 4）, D（1, 1, 0）, C1（0, 2, 4）,∴, =（1, ﹣1, ﹣4）,∴cos＜＞===,∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量,设平面ADC1的法向量为,∵,∴, 取z=1, 得y=﹣2, x=2,∴平面ADC1的法向量为,设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ,∴cosθ=|cos＜＞|=||=,∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．20．如图, 点P（0, ﹣1）是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的一个顶点, C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径, l1, l2是过点P且互相垂直的两条直线, 其中l1交圆C2于A、B两点, l2交椭圆C1于另一点D．（1）求椭圆C1的方程；（2）求△ABD面积的最大值时直线l1的方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可得b=1, 2a=4, 即可得到椭圆的方程；（2）设A（x1, y1）, B（x2, y2）, D（x0, y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在, 设为k, 则直线l1的方程为y=kx﹣1．利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心O到直线l1的距离和弦长|AB|, 又l2⊥l1, 可得直线l2的方程为x+kx+k=0, 与椭圆的方程联立即可得到点D的横坐标, 即可得出|PD|, 即可得到三角形ABD的面积, 利用基本不等式的性质即可得出其最大值, 即得到k的值．【解答】解：（1）由题意可得b=1, 2a=4, 即a=2．∴椭圆C1的方程为；（2）设A（x1, y1）, B（x2, y2）, D（x0, y0）．由题意可知：直线l1的斜率存在, 设为k, 则直线l1的方程为y=kx﹣1．又圆的圆心O（0, 0）到直线l1的距离d=．∴|AB|==．又l2⊥l1, 故直线l2的方程为x+ky+k=0, 联立, 消去y得到（4+k2）x2+8kx=0, 解得,∴|PD|=．∴三角形ABD的面积S△==,令4+k2=t＞4, 则k2=t﹣4,f（t）===,∴S△=, 当且仅, 即, 当时取等号,故所求直线l1的方程为．21．设x1, x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=﹣1, x2=2, 求函数f（x）的解析式；（2）若, 求b的最大值．（3）若x1＜x＜x2, 且x2=a, g（x）=f'（x）﹣a（x﹣x1）, 求证：．【考点】函数在某点取得极值的条件；函数解析式的求解及常用方法；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】（1）求导函数, 根据x1=﹣1, x2=2是函数f（x）的两个极值点, 即可求得函数f（x）的解析式；（2）根据x1, x2是函数f（x）的两个极值点, 可知x1, x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根, 从而, 利用, 可得b2=3a2（6﹣a）, 令h（a）=3a2（6﹣a）, 利用导数, 即可求得b的最大值；（3）根据x1, x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根, 可得f'（x）=3a（x﹣x1）（x﹣x2）, 根据, 可得, 进而有=, 利用配方法即可得出结论．【解答】解：（1）求导函数, 可得f′（x）=3ax2+2bx﹣a2,∵x1=﹣1, x2=2是函数f（x）的两个极值点,∴f'（﹣1）=0, f'（2）=0,∴3a﹣2b﹣a2=0, 12a+4b﹣a2=0,解得a=6, b=﹣9．∴f（x）=6x3﹣9x2﹣36x．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）∵x1, x2是函数f（x）的两个极值点, ∴f'（x1）=f'（x2）=0．∴x1, x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根, 故有△=4b2+12a3＞0对一切a＞0, b∈R恒成立．∴,∵a＞0, ∴x1•x2＜0,∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣由得,∴b2=3a2（6﹣a）．∵b2≥0, ∴3a2（6﹣a）≥0, ∴0＜a≤6．令h（a）=3a2（6﹣a）, 则h′（a）=36a﹣9a2．当0＜a＜4时, h′（a）＞0, ∴h（a）在（0, 4）内是增函数；当4＜a＜6时, h′（a）＜0, ∴h（a）在（0, 4）内是减函数；∴当a=4时, h（a）是极大值为96,∴h （a）在（0, 6）上的最大值是96, ∴b的最大值是．…（3）∵x1, x2是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根．∴f'（x）=3a（x﹣x1）（x﹣x2）∵, ∴∴…∵x1＜x＜x2,∴═=﹣3a请考生在第22, 23, 24三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图, △ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．（1）证明：△ABE∽△ADC；（2）若△ABC的面积S=AD•AE, 求∠BAC的大小．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（1）要判断两个三角形相似, 可以根据三角形相似判定定理进行证明, 但注意观察已知条件中给出的是角的关系, 故采用判定定理1更合适, 故需要再找到一组对应角相等, 由圆周角定理, 易得满足条件的角．（2）根据（1）的结论, 我们可得三角形对应对成比例, 由此我们可以将△ABC的面积转化为S=AB•AC, 再结合三角形面积公式, 不难得到∠BAC的大小．【解答】证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD,可得∠BAE=∠CAD因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角,所以∠AEB=∠ACD故△ABE∽△ADC．解：（2）因为△ABE∽△ADC,所以,即AB•AC=AD•AE．又S=AB•ACsin∠BAC,且S=AD•AE,故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．则sin∠BAC=1,又∠BAC为三角形内角,所以∠BAC=90°．[选修4-4：坐标系与参数方程]24．例3．设a＞0, b＞0, 解关于x的不等式：|ax﹣2|≥bx．【考点】绝对值不等式．【分析】首先分析题目由a＞0, b＞0, 解关于x的不等式：|ax﹣2|≥bx, 去绝对值号得到ax﹣2≥bx或ax﹣2≤﹣bx, 对于不等式ax﹣2≤﹣bx, 可直接解得．对于不等式ax﹣2≥bx, 需要分别讨论当a＞b＞0时, 当a=b＞0时, 当0＜a＜b时的解集, 然后取它们的并集即得到答案．【解答】解：原不等式|ax﹣2|≥bx可化为ax﹣2≥bx或ax﹣2≤﹣bx,（1）对于不等式ax﹣2≤﹣bx, 即（a+b）x≤2 因为a＞0, b＞0即：．（2）对于不等式ax﹣2≥bx, 即（a﹣b）x≥2①当a＞b＞0时, 由①得, ∴此时, 原不等式解为：或；当a=b＞0时, 由①得x∈ϕ, ∴此时, 原不等式解为：；当0＜a＜b时, 由①得, ∴此时, 原不等式解为：．综上可得, 当a＞b＞0时, 原不等式解集为,当0＜a≤b时, 原不等式解集为．23．在直角坐标系xOy中, 直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位, 且以原点O为极点, 以x轴正半轴为极轴）中, 圆C的方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B, 若点P的坐标为（3, ）, 求|PA|+|PB|．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由⊙C的方程可得：, 利用极坐标化为直角坐标的公式x=ρcosθ, y=ρsinθ即可得出．．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得到关于t的一元二次方程, 即可得到根与系数的关系, 根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的方程可得：, 化为．（II）把直线l的参数方程（t为参数）代入⊙C的方程得=0, 化为．∴．（t1t2=4＞0）．根据参数的意义可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．[选修4-5：不等式选讲]。
2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(10)
2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（10）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|x＜5}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜5}B．{x|x＞1}1−tiC．{2，3，4}D．{1，2，3，4，5} 2．（5分）已知i为虚数单位，若复数z=1+i在复平面内对应的点在第四象限，则t的取值范围为（）A．[﹣1，1]B．（﹣1，1）C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）内单调递增的为（）A．y＝x4+2xC．y＝2x﹣2x﹣B．y＝2|x|D．y=log1|x|−124．（5分）如图，已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线与双曲线C相交于A，B两点，若△F1AB为等边三角形，则该双曲线的离心率是（）A．√3B．√33C．√2D．√55．（5分）已知a＞0且a≠1，b＞0，则log a b＞0是ab＞1的（）A．充分而不必要条件C．充要条件B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为（）A ．28B ．56C ．84D ．1207．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位相同），记该几何体的体积为V ，则V ＝（）A ．2432B ．243C ．7292D ．7298．（5分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数g （x ）＝A cos （φx +ω）图象的一个对称中心可能为（）A ．(−，0)52B ．(，0)16C ．(−，0)12D ．(−11，0)69．（5分）下列函数中，最小值为4的是（）A ．f （x ）＝3x +4×3x ﹣B ．f （x ）＝lgx +log x 10D ．f(x)=cosx +4cosxC ．f(x)=x +4x10．（5分）楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为（）A ．10B ．15C ．20D ．2411．（5分）焦点为F 的抛物线C ：y 2＝8x 的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当|MA||MF|取得最大值时，直线MA 的方程为（）B ．y ＝x +2D ．y ＝﹣2x +2A ．y ＝x +2或y ＝﹣x ﹣2C ．y ＝2x +2或y ＝﹣2x +212．（5分）定义在R 内的函数f （x ）满足f （x +2）＝2f （x ），且当x ∈[2，4）时，f （x ）=−x 2+4x ，2≤x ≤3{x 2+2g （x ）＝ax +1，对∀x 1∈[﹣2，0），∃x 2∈[﹣2，1]，使得g （x 2）＝f，3＜x ＜4x （x 1），则实数a 的取值范围为（）11A ．（﹣∞，−8]∪[，+∞）811B ．[−4，0）∪（0，]8C ．（0，8]D ．（﹣∞，−4]∪[，+∞）811二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知a =(1，λ)，b =(2，1)，若向量2a +b 与c =(8，6)共线，则a 在b 方向上的投影为．4x −y −5≤014．（5分）已知实数x ，y 满足{2x +y −4≥0，则目标函数2x +y 的最大值为，目2x −2y +5≥0标函数4x 2+y 2的最小值为．15．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b tan B +b tan A ＝﹣2c tan B ，且a ＝8，△ABC 的面积为4√3，则b +c 的值为．16．（5分）已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A ﹣BCD 的外接球，BC ＝3，AB ＝2√3，点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是．→→→→→→→三．解答题（共5小题）17．已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n的展开式中x的系数恰好是数列{a n}的前n项和Sn．（1）求数列{an}的通项公式；2n（2）数列{bn}满足bn=a n，记数列{bn}的前n项和为T n，求证：T n＜1．a(2−1)(2n+1−1)a18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AC为正三角形，M为棱P A的中点，AB⊥AC，AC=2BC，平面P AB⊥平面P AC（1）求证：平面ABC⊥平面P AC；（2）若Q是棱AB上一点，PQ与平面ABC所成角的正弦值为﹣A的正弦值．√21，求二面角Q﹣MC7119．2017年存节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸到2个红球，则打6折；若摸到1个红球，则打7折；若没摸到红球，则不打折．方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算．x2y240 20．已知椭圆C：2+2=1(a＞b＞0)的长轴长为6，且椭圆C与圆M：(x−2)2+y2=9a b的公共弦长为4√10．3（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）作斜率为k （k ＞0）的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）＝2lnx ﹣2mx +x 2（m ＞0）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当m ≥3√2时，若函数f （x ）的导函数f ′（x ）的图象与x 轴交于A ，B 两点，其横2坐标分别为x 1，x 2（x 1＜x 2），线段AB 的中点的横坐标为x 0，且x 1，x 2恰为函数h （x ）＝lnx ﹣cx 2﹣bx的零点．求证（x 1﹣x 2）h '（x 0）≥−3+ln 2．四．解答题（共1小题）x =4+2t22．已知直线l 的参数方程为{（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半√2y =2t轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点．（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求△ABP 的面积的最大值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +1|．（1）求函数f （x ）的值域M ；（2）若a ∈M ，试比较|a ﹣1|+|a +1|，32a√22，−2a 的大小．272020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（10）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，则A ∩B ＝（）A ．{x |1＜x ＜5}B ．{x |x ＞1}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【解答】解：∵集合A ＝{x ∈N |x ＞1}，B ＝{x |x ＜5}，∴A ∩B ＝{x ∈N |1＜x ＜5}＝{2，3，4}．故选：C ．2．（5分）已知i 为虚数单位，若复数z =1+i 在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（）A ．[﹣1，1]【解答】解：复数z =B ．（﹣1，1）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（1，+∞）1−ti 1−ti(1−ti)(1−i)1−tt+1==−i ．1+i (1+i)(1−i)221−t＞02z 在复平面内对应的点在第四象限，∴{t+1，解得﹣1＜t ＜1．−＜02则实数t 的取值范围为（﹣1，1）．故选：B ．3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）内单调递增的为（）A ．y ＝x 4+2xC ．y ＝2x ﹣2x ﹣B ．y ＝2|x |D ．y =log 1|x|−12【解答】解：对于A ，不是偶函数，不合题意；对于B ，x ＜0时，函数递减，不合题意；对于C ，函数是奇函数，在（﹣∞，0）内单调递减，不合题意，对于D ，函数是偶函数，x ＜0时，y ＝﹣log 2（﹣x ）﹣1，是增函数，符合题意，故选：D ．4．（5分）如图，已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，若△F 1AB 为等边三角形，则该双曲线的离心率是（）A ．√3B ．√33x 2a 2C ．√2−y 2b 2D ．√5【解答】解：由于F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线右支于A ，B 两点，且△F 1AB 为等边三角形，b 2a则由对称可得，∠BF 1A ＝60°，可得：又c ＝a +b ，解得e =√3．故选：A ．2222c =√3，3e 2−12e =√335．（5分）已知a ＞0且a ≠1，b ＞0，则log a b ＞0是ab ＞1的（）A ．充分而不必要条件C ．充要条件B ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：a ＞0且a ≠1，b ＞0，则log a b ＞0，若0＜a ＜1，则log a b ＞log a 1，即0＜b ＜1，即0＜ab ＜1，若a ＞1，则log a b ＞log a 1，即b ＞1，即ab ＞1，若ab ＞1，则a ＞1，b ＞1，或0＜a ＜1，b ＞1，或a ＞1或0＜a ＜1，都能满足ab ＞1，已知a ＞0且a ≠1，b ＞0，则log a b ＞0是ab ＞1的既不充分也不必要条件，故选：D ．6．（5分）程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用．卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S 为（）A．28B．56C．84D．120【解答】解：模拟程序的运行，可得i＝0，n＝0，S＝0执行循环体，i＝1，n＝1，S＝1不满足条件i≥7，执行循环体，i＝2，n＝3，S＝4不满足条件i≥7，执行循环体，i＝3，n＝6，S＝10不满足条件i≥7，执行循环体，i＝4，n＝10，S＝20不满足条件i≥7，执行循环体，i＝5，n＝15，S＝35不满足条件i≥7，执行循环体，i＝6，n＝21，S＝56不满足条件i≥7，执行循环体，i＝7，n＝28，S＝84满足条件i≥7，退出循环，输出S的值为84．故选：C．7．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位相同），记该几何体的体积为V，则V＝（）A．2432B．243C．7292D．729【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥P﹣ABCD，图中正方体的棱长为9，则V PABCD=3×9×9×9=243．故选：B．8．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数g（x）＝A cos（φx+ω）图象的一个对称中心可能为（）1A．(2，0)5B．(6，0)1C．(2，0)1D．(6，0)11【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，可得A ＝2√3，2πω=2（6+2），∴ω=．π83π，∴（f x ）＝2√3sin4π8再根据函数的图象经过点（6，0），结合图象可得•6+φ＝0，∴φ=−（x −4）．8π3π则函数g （x ）＝A cos （φx +ω）＝2√3cos （−4x +8）＝2√3cos （x −8）4图象的一个对称中心可能（−2，0），故选：C ．9．（5分）下列函数中，最小值为4的是（）A ．f （x ）＝3x +4×3x﹣3ππ3ππ1B ．f （x ）＝lgx +log x 10D ．f(x)=cosx +cosx4C ．f(x)=x +x4【解答】解：运用基本不等式对各选项考察如下：对于A 选项：f （x ）＝3x +4×3x ≥2√3x ⋅4×3−x =4，﹣当且仅当x ＝log32时，取得最小值4，故符合题意；对于B 选项：f （x ）＝lgx +log x 10，只有当x ∈（1，+∞）时，lgx ，log x 10才为正数，才能运用基本不等式得，lgx +log x 10≥2，故不合题意；对于C 选项：f （x ）＝x +x ，理由同上，只有x ＞0时，f （x ）min ＝4，故不合题意；对于D 选项：f(x)=cosx +cosx 不合题意，有两点不符，其一，“正数”这一条件缺失，其二：即使“正数”条件具备，也无法取“＝”，故不合题意；故选：A ．10．（5分）楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为（）A ．10B ．15C ．20D ．24443【解答】解：把需要关的灯插入到亮的6盏灯排成一列中除了两端的空中，故有C 5=10种，故选：A ．11．（5分）焦点为F 的抛物线C ：y 2＝8x 的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当|MA||MF|取得最大值时，直线MA的方程为（）B．y＝x+2D．y＝﹣2x+2|MA||MF|A．y＝x+2或y＝﹣x﹣2C．y＝2x+2或y＝﹣2x+2【解答】解：过M做MP与准线垂足，垂足为P，则1cos∠MAF=丨MA丨丨MP丨=1cos∠AMP=，则当|MA||MF|取得最大值，则∠MAF必须取得最大值，此时AM与抛物线相切，y=k(x+2)设切线方程为y＝k（x+2），则{2，ky2﹣8y+16k＝0，y=8x△＝64﹣64k2＝0，k2＝1，则k±1，则直线方程y＝x+2或y＝﹣x﹣2，故选：A．12．（5分）定义在R内的函数f（x）满足f（x+2）＝2f（x），且当x∈[2，4）时，f（x）=−x2+4x，2≤x≤3{x2+2g（x）＝ax+1，对∀x1∈[﹣2，0），∃x2∈[﹣2，1]，使得g（x2）＝f ，3＜x＜4x（x1），则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，−8]∪[，+∞）811B．[−4，0）∪（0，]811C．（0，8]D．（﹣∞，−4]∪[，+∞）811−x 2+4x ，2≤x ≤3【解答】解：当x ∈[2，4）时，f （x ）={x 2+2，，3＜x ＜4x 可得f （x ）在[2，3]上单调递减，在（3，4）上单调递增，∴f （x ）在[2，3]上的值域为[3，4]，在（3，4）上的值域为（113，），299∴f （x ）在[2，4）上的值域为[3，），2∵f （x +2）＝2f （x ），∴f （x ）=2f （x +2）=4f （x +4），∴f （x ）在[﹣2，0）上的值域为[，），483911当a ＞0时，g （x ）为增函数，g （x ）＝ax +1在[﹣2，1]上的值域为[﹣2a +1，a +1]，3≥−2a +114∴{9，解得a ≥8；≤a +18当a ＜0时，g （x ）为减函数，g （x ）在[﹣2，1]上的值域为[﹣a +1，2a +1]，3≥a +114∴{，解得a ≤−；94≤−2a +18当a ＝0时，g （x ）为常数函数，值域为{1}，不符合题意；综上，a 的范围是a ≥8或a ≤−4．故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知a =(1，λ)，b =(2，1)，若向量2a +b 与c =(8，6)共线，则a 在b 方向上的投影为3√5．5→→→→→→→→→11【解答】解：2a +b =（4，2λ+1），∵2a +b 与c =(8，6)共线，∴2λ+1＝3，即λ＝1．→→→∴a ⋅b =2+λ＝3，∴a 在b 方向上的投影为|a |•cos ＜a ，b ＞=3√5．5→→→→→→→→→a⋅b |b |→=33√5=5．√5故答案为：4x −y −5≤014．（5分）已知实数x ，y 满足{2x +y −4≥0，则目标函数2x +y 的最大值为10，目2x −2y +5≥0标函数4x 2+y 2的最小值为8．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z ＝2x +y 得y ＝﹣2x +z ，平移直线y ＝﹣2x +z ，由图象可知当直线y ＝﹣2x +z 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +z 的截距最大，此时z 最大．5由{4x −y −5=052x −2y +5=0，解得{x =y =25，即A （2，5），代入目标函数z ＝2x +y 得z ＝2×52+5＝5+5＝10．即目标函数z ＝2x +y 的最大值为10．设4x 2+y 2＝m ，则m ＞0，即y 2m+x 2m =1，表示焦点在y 轴的椭圆，4要使m 最小，则只需要椭圆和直线BC ：2x +y ﹣4＝0，相切即可，由2x +y ﹣4＝0得y ＝﹣2x +4代入4x 2+y 2＝m ，得4x 2+（﹣2x +4）2＝m ，即8x 2﹣16x +16﹣m ＝0，则判别式△＝162﹣4×8（16﹣m ）＝0，得8＝16﹣m ，则m ＝8，即目标函数4x 2+y 2的最小值为8，故答案为：10，8．15．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b tan B +b tan A ＝﹣2c tan B ，且a ＝8，△ABC 的面积为4√3，则b +c 的值为4√5．【解答】解：∵在△ABC 中b tan B +b tan A ＝﹣2c tan B ，∴由正弦定理可得sin B （tan A +tan B ）＝﹣2sin C tan B ，∴sin B （tan A +tan B ）＝﹣2sin C •sinB cosB，∴cos B （tan A +tan B ）＝﹣2sin C ，∴cos B （∴cos B •∴cos B •sinA cosA+sinB cosB）＝﹣2sin C ，=−2sin C ，sinAcosB+cosAsinBcosAcosB sin(A+B)1sinC cosA2πcosAcosB==−2sin C ，解得cos A =−2，A =3；∵a ＝8，由余弦定理可得：64＝b 2+c 2+bc ＝（b +c ）2﹣bc ，①∵△ABC 的面积为4√3=bc sin A =∴联立①②可得：b +c ＝4√5．故答案为：4√5．16．（5分）已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A ﹣BCD 的外接球，BC ＝3，AB ＝2√3，点E 在线段BD 上，且BD ＝3BE ，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是[2π，4π]．【解答】解：如图，设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，121√3×bc ，可得：bc ＝16，②22则O1D=3sin600×2=3，AO1=√AD2−DO12=3，3√在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，∵BD＝3BE，∴DE＝2在△DEO1中，O1E=√3+4−2×√3×2×cos300=1∴OE=√O1E2+OO12=√2过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为√22−(√2)2=√2，最小面积为2π．当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故答案为[2π，4π]三．解答题（共5小题）17．已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n的展开式中x的系数恰好是数列{a n}的前n项和Sn．（1）求数列{an}的通项公式；2n（2）数列{bn}满足bn=a n，记数列{bn}的前n项和为T n，求证：T n＜1．a(2−1)(2n+1−1)23n11【解答】（1）解：（1+x）+（1+x）+（1+x）+…+（1+x）的展开式中x的系数为C1+C2+ 1211211C3+⋯+Cn=C2+C2+C3+⋯+Cn=Cn+1=2n2+2n，a11即Sn=2n2+2n，所以当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n．当n＝1时，a1＝1也适合上式．11所以数列{an}的通项公式为a n＝n．211（2）证明：bn=n=−，nn+1n+1(2−1)(2−1)2−12−1n所以Tn=1−+−+⋯+所以Tn＜1．131317111−n+1=1−n+1，2−12−12−1n18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△P AC为正三角形，M为棱P A的中点，AB⊥AC，AC=2BC，平面P AB⊥平面P AC（1）求证：平面ABC⊥平面P AC；（2）若Q是棱AB上一点，PQ与平面ABC所成角的正弦值为﹣A的正弦值．√21，求二面角Q﹣MC71【解答】（1）证明：因为△P AC为正三角形，M为棱P A的中点，所以CM⊥P A，又平面P AB⊥平面P AC，且平面P AB∩平面P AC＝P A，所以CM⊥平面P AB，所以CM⊥AB，又AB⊥AC，且AC∩CM＝C，所以AB⊥平面P AC，又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面P AC．（2）作AC中点O，连OP，由（1）及OP⊥AC可知OP⊥平面ABC以O为坐标原点，OA，OP分别为x，z轴，过O且平行于AB的方向为y轴，如图，建立空间直角坐标系．设AC ＝2则√3O(0，0，0)，P(0，0，√3)，A(1，0，0)，C(−1，0，0))，B(1，2√3，0)，→→→，M(2，0，12设AQ ⊥λAB ，则Q(1，2√3λ，0)，PQ =(1，2√3λ，−√3)，设平面ABC 的法向量为n 1=（0，0，1），因为PQ 与平面ABC 所成角的正弦值为|n 1⋅PQ|→→→→→√217所以|n 1||PQ|=√21√21√31，即=，解得λ=277√12λ24即Q 为AB 的中点，则Q(1，√3，0)，→设平面QMC 的法向量为n 2→(x ，y ，z)⋅(2，√3，0)=0n 2⋅CQ =0=（x ，y ，z ），则{→→，即{，√33(x ，y ，z)⋅(2，0，2)=0n 2⋅CM =0→2x√3y =0{，3x √3z =0取n 2=(√3，−2，−3)，设平面AMC 的法向量为n 3，则n 3=（0，1，0）则二面角Q ﹣MC ﹣A 的余弦值为cos θ=−故sin θ=2．19．2017年存节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到3个红球，享受免单优惠；若摸到2个√3→→→→→|n 2||n 3|n 2⋅n 3→→=，12红球，则打6折；若摸到1个红球，则打7折；若没摸到红球，则不打折．方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元．（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；（2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算．【解答】解：（1）选择方案一，若享受到免单优惠，则需要摸出3个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则P(A)=C 3C 1033=120，1所以两位顾客均享受到免单的概率为P =P(A)⋅P(A)=1；14400（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0，600，700，1000；C C 17计算P(X =0)=3=120，P(X =600)=337=40，C 10C 10C 3321P(X =700)=C 3C 7C 10312C 7217=，P(X =1000)=3=，4024C 103故X 的分布列为：X P1011206007721700214071000740124所以E(X)=0×120+600×40+700×40+1000×24=7646（元）；若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z 元，则Z ＝1000﹣200Y ，由已知可得Y ～B(3，339)，故E(Y)=3×=，101010所以E （Z ）＝E （1000﹣200Y ）＝1000﹣200E （Y ）＝820（元），因为E （X ）＜E （Z ），所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算．20．已知椭圆C ：的公共弦长为x 2y 240+2=1(a ＞b ＞0)的长轴长为6，且椭圆C 与圆M ：(x −2)2+y 2=92a b 4√10．3（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，2）作斜率为k （k ＞0）的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a ＝6，所以a ＝3，4√1040由椭圆C 与圆M ：(x −2)+y =9的公共弦长为，恰为圆M 的直径，322可得椭圆C 经过点（2，±解得b ＝2√2，所以椭圆C 的方程为x 292√10440），所以+2=1，399b +y 28=1；（Ⅱ）直线l 的解析式设为y ＝kx +2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 的中点为E （x 0，y 0）．假设存在点D （m ，0），使得△ADB 为以AB 为底边的等腰三角形，则DE ⊥AB ．联立y ＝kx +2和8x 2+9y 2＝72，得（8+9k 2）x 2+36kx ﹣36＝0，故x 1+x 2=−所以x 0=−36k 8+9k 18k8+9k2，2，y 0＝kx 0+2=168+9k 2，因为DE ⊥AB ，所以k DE =−k ，即16−18k−m(8+9k 2)−2k8+9k21=−，k1所以m ==8−2，9k+8k8当k ＞0时，9k +k ≥2√9k ⋅k =12√2，所以−12≤m ＜0．综上所述，在x 轴上存在满足题目条件的点E ，且点D 的横坐标的取值范围为−12≤m ＜0．21．已知函数f （x ）＝2lnx ﹣2mx +x 2（m ＞0）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）当m ≥2时，若函数f （x ）的导函数f ′（x ）的图象与x 轴交于A ，B 两点，其横√2√23√2坐标分别为x 1，x 2（x 1＜x 2），线段AB 的中点的横坐标为x 0，且x 1，x 2恰为函数h （x ）＝lnx ﹣cx 2﹣bx 的零点．求证（x 1﹣x 2）h '（x 0）≥−3+ln 2．2(x 2−mx+1)【解答】解：（1）由于（f x ）＝2lnx ﹣2mx +x 的定义域为（0，+∞），f ′(x)=．x22对于方程x 2﹣mx +1＝0，其判别式△＝m 2﹣4．当m 2﹣4≤0，即0＜m ≤2时，f '（x ）≥0恒成立，故f （x ）在（0，+∞）内单调递增．m±√m 2−4当m ﹣4＞0，即m ＞2，方程x ﹣mx +1＝0恰有两个不相等是实根x =，222m−√m 2−4m+√m 2−4令f '（x ）＞0，得0＜x ＜或x ＞，此时f （x ）单调递增；22令f '（x ）＜0，得m−√m 2−42＜x ＜m+√m 2−42，此时f （x ）单调递减．综上所述，当0＜m ≤2时，f （x ）在（0，+∞）内单调递增；m−√m 2−4m+√m 2−4当m ＞2时，f （x ）在(，)内单调递减，22m−√m 2−4m+√m 2−4在(0，)，(，+∞)内单调递增．22（2）证明：由（1）知，f ′(x)=2(x 2−mx+1)，x所以f '（x ）的两根x 1，x 2即为方程x 2﹣mx +1＝0的两根．因为m ≥3√2，所以△＝m 2﹣4＞0，x 1+x 2＝m ，x 1x 2＝1．2又因为x 1，x 2为h （x ）＝lnx ﹣cx 2﹣bx 的零点，22所以lnx 1−cx 1−bx 1=0，lnx 2−c 2−bx 2=0，两式相减得ln x 1−c(x 1−x 2)(x 1+x 2x 2)−b(x 1−x 2)=0，得b =ln x 1x 1−x 22x =c(x 1+x 2)．而′(x)=11−2cx −b ，x 所以（x 1﹣x 2）h '（x 0）=(x 1−x 2)(x −2cx 0−b)=(x 1−x 2)[ln x 1．22(x 1−x 2)x 22−c(x 1+x 2)−+c(x 1+x 2)]=−ln 1=2⋅x 1+x 2x 1−x 2x 1+x 2x 2ln x 1x x 1x 2−1−x 1+1x 2x 令x 1x 222=t(0＜t ＜1)，由(x 1+x 2)2=m 2得x 1+x 2+2x 1x 2=m 2，因为x 1x 2＝1，两边同时除以x 1x 2，得t +t +2=m 2，1因为m ≥3√21511，故t +≥，解得0＜t ≤或t ≥2，所以0＜t ≤．2t 2222t−1−(t−1)设G(t)=2⋅t+1−lnt ，所以G ′(t)=2＜0，t(t+1)则y ＝G （t ）在(0，2]上是减函数，所以G(t)min =G()=−+ln2，即y ＝（x 1﹣x 2）h '（x 0）的最小值为−3+ln2．所以(x 1−x 2)ℎ′(x 0)≥−+ln2．四．解答题（共1小题）x =4+2t 22．已知直线l 的参数方程为{（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半√2y =t 2√211223223轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，直线l 与圆C 交于A ，B 两点．（1）求圆C 的直角坐标方程及弦AB 的长；（2）动点P 在圆C 上（不与A ，B 重合），试求△ABP 的面积的最大值．【解答】解：（1）由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x 2+y 2﹣4x ＝0，所以圆C 的直角坐标方程为（x ﹣2）2+y 2＝4．将直线l 的参数方程代入圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝4，并整理得t 2+2√2t =0，解得t 1＝0，t 2=−2√2．所以直线l 被圆C 截得的弦长为|t 1−t 2|=2√2．（2）直线l 的普通方程为x ﹣y ﹣4＝0．x =2+2cosθ圆C 的参数方程为{（θ为参数），y =2sinθ可设曲线C 上的动点P （2+2cos θ，2sin θ），则点P 到直线l 的距离d =π4|2+2cosθ−2sinθ−4|π=|2cos(θ+4)−√2|，√2当cos(θ+)=−1时，d 取最大值，且d 的最大值为2+√2．所以S △ABP ≤2×2√2×(2+√2)=2+2√2，即△ABP 的面积的最大值为2+2√2．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +1|．1（1）求函数f （x ）的值域M ；（2）若a ∈M ，试比较|a ﹣1|+|a +1|，32a ，−2a 的大小．27−3x ，x ＜−11【解答】解：（1）f(x)=2−x ，−1≤x ≤2，3x ，x ＞1{2根据函数f （x ）的单调性可知，当x =2时，f(x)min =f(2)=2．所以函数f （x ）的值域M =[，+∞)．（2）因为a ∈M ，所以a ≥，所以0＜因为|a ﹣1|+|a +1|＝a ﹣1+a +1＝2a ≥3，所以|a −1|+|a +1|＞因为33，2a 2a 323≤1．2a 321132a −(−2a)=23274a 2−7a+3=(a−1)(4a−3)2a ，又由a ≥，知a ﹣1＞0，4a ﹣3＞0，所以所以(a−1)(4a−3)2a 372＞0，2a ＞−2a ，37所以|a ﹣1|+|a +1|＞2a ＞2−2a ．。
2020高考数学(理科)全国二卷高考模拟试卷(9)
2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（9）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝[1，2]，B ＝{x ∈Z |x 2﹣2x ﹣3＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[1，2]B ．（﹣1，3）C ．{1}D ．{1，2}2．（5分）复数m （3+i ）﹣（2+i ）在复平面内对应的点在第四象限，则m 的取值范围是（ ） A ．.[23，1)B ．.(23，1)C ．.(23，1]D ．[23，1]3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的是（ ） A ．y ＝x 3 B ．y ＝2﹣|x |C ．y ＝﹣x 2+1D ．y ＝|x |+14．（5分）双曲线x 24−y 2＝1的离心率为（ ）A ．12B ．√22C ．√32D ．√525．（5分）“m ＜14”是“关于x 的方程x 2+x +m ＝0有实数解”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要6．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：√3≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A ．12B ．24C ．36D ．487．（5分）若某圆锥的主视图是顶角为120°的等腰三角形，若该圆锥的侧面积等于4√3π，则其母线长为（ ） A ．1B ．2C ．√2D ．2√28．（5分）函数y ＝cos （π2−x ），x ∈[﹣π，π2]的单调性是（ ） A ．在[﹣π，−π2]上是减函数，在[−π2，π2]上是增函数B ．在[﹣π，0]上是减函数，在[0，π2]上是增函数C ．在[﹣π，−π2]上是增函数，在[−π2，π2]上是减函数D ．在[﹣π，0]上是增函数，在[0，π2]上是减函数9．（5分）利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的有（ ）个 （1）y ＝x +4x ≥2√x ⋅4x =4（2）y ＝sin x +3sinx ≥2√sinx ⋅3sinx =2√3（x ∈（0，π2）（3）y ＝lgx +4log x 10＞2√lgx ⋅4log x 10=4 （4）y ＝3x +43x ≥2√3x ⋅43x =4． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．（5分）本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种11．（5分）过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，若MF →=4FN →，则直线l 的斜率为（ ） A ．±32B ．±23C ．±34D ．±4312．（5分）已知f （x ）是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f （x ）＝2x 3﹣x ，则函数y ＝f （x ）在[0，6]上的图象与x 轴交点个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知平面向量a →，b →满足|a →|=√3，|b →|＝2，a →⋅b →=−3，则|a →+2b →|＝ ．14．（5分）已知实数x ，y 满足{2x −y ≤0x −3y +5≥0x ≥0y ≥0，则z =(14)x ⋅(12)y 的最小值为 ．15．（5分）设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知a sin A ＝2b cos A cos C +2c cos A cos B ，则tan A ＝ ．16．（5分）已知三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝AC ＝3，BD ＝CD =√2，且BD ⊥CD ，若点A 在平面BCD 内的投影恰好为点D ，则此三棱锥外接球的表面积为 ． 三．解答题（共5小题）17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n S n ﹣2S n 2． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在正数k ，使（1+S 1）（1+S 2）…（1+S n ）≥k √2n +1对一切正整数n 都成立？若存在，求k 的取值范围，若不存在，请说明理由．18．已知C 是以AB 为直径的圆周上一点，∠ABC =π3，P A ⊥平面ABC ． （1）求证：平面P AC ⊥平面PBC ；（2）若异面直线PB 与AC 所成的为π3，求二面角C ﹣PB ﹣A 的余弦值．19．编号为1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ． （1）求随机变量ξ的概率分布； （2）求随机变量ξ的数学期望和方差． 20．已知椭圆x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点． （1）求椭圆的离心率；（2）过点T 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，M ，N 都在x 轴上方，并且M 在N ，T 之间，且NF ＝2MF ．①记△NFM ，△NF A 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2；②若原点O 到直线TMN 的距离为20√4141，求椭圆方程．21．设a ，b ∈R ，函数f （x ）＝lnx ﹣ax ，g(x)=b x．（Ⅰ）若f （x ）＝lnx ﹣ax 与g(x)=bx 有公共点P （1，m ），且在P 点处切线相同，求该切线方程；（Ⅱ）若函数f （x ）有极值但无零点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当a ＞0，b ＝1时，求F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在区间[1，2]的最小值． 四．解答题（共1小题）22．在直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M 的极坐标为(3√2，π4)，圆C 的参数方程为{x =1+2cosαy =2sinα（α为参数）．（1）直线l 过M 且与圆C 相切，求直线l 的极坐标方程；（2）过点P （0，m ）且斜率为√3的直线l '与圆C 交于A ，B 两点，若|P A |•|PB |＝6，求实数m 的值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x +m |+|2x ﹣1|．（1）当m ＝﹣1时，求不等式f （x ）≤2的解集；（2）若f （x ）≤|2x +1|的解集包含[34，2]，求m 的取值范围．2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（9）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝[1，2]，B ＝{x ∈Z |x 2﹣2x ﹣3＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．[1，2]B ．（﹣1，3）C ．{1}D ．{1，2}【解答】解：∵集合A ＝[1，2]，B ＝{x ∈Z |x 2﹣2x ﹣3＜0}＝{x ∈Z |﹣1＜x ＜3}＝{0，1，2}， ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：D ．2．（5分）复数m （3+i ）﹣（2+i ）在复平面内对应的点在第四象限，则m 的取值范围是（ ） A ．.[23，1)B ．.(23，1)C ．.(23，1]D ．[23，1]【解答】解：m （3+i ）﹣（2+i ）＝（3m ﹣2）+（m ﹣1）i 在复平面内对应的点（3m ﹣2，m ﹣1）在第四象限， 则{3m −2＞0m −1＜0，解得23＜m ＜1．故选：B ．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的是（ ） A ．y ＝x 3B ．y ＝2﹣|x |C ．y ＝﹣x 2+1D ．y ＝|x |+1【解答】解：对于A ，函数是奇函数，不合题意；对于B ，x ＞0时，y ＝2﹣x ，在（0，+∞）递减，不合题意；对于C ，函数在（0，+∞）递减，不合题意；对于D ，x ＞0时，y ＝x +1，递增，且函数是偶函数，符合题意； 故选：D ． 4．（5分）双曲线x 24−y 2＝1的离心率为（ ）A ．12B ．√22C ．√32D ．√52【解答】解：根据题意，双曲线的标准方程为：x 24−y 2＝1，则其a =√4=2，b ＝1， 故c =√a 2+b 2=√5，则其离心率e=ca=√52；故选：D．5．（5分）“m＜14”是“关于x的方程x2+x+m＝0有实数解”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有实数解，则△＝1﹣4m≥0，解得m≤1 4，∴“m＜14”是“关于x的一元二次方程x2+x+m＝0有实数解”的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：√3≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12B．24C．36D．48【解答】解：模拟执行程序，可得：n＝6，S＝3sin60°=3√3 2，不满足条件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B ．7．（5分）若某圆锥的主视图是顶角为120°的等腰三角形，若该圆锥的侧面积等于4√3π，则其母线长为（ ） A ．1B ．2C ．√2D ．2√2【解答】解：如图，∠APB ＝120°， 设圆锥母线长为2a ，则底面圆的半径为√3a ， 则该圆锥的侧面积等于12×2a ×2√3a ⋅π=4√3π，解得a =√2，∴母线长为2√2， 故选：D ．8．（5分）函数y ＝cos （π2−x ），x ∈[﹣π，π2]的单调性是（ ）A ．在[﹣π，−π2]上是减函数，在[−π2，π2]上是增函数B ．在[﹣π，0]上是减函数，在[0，π2]上是增函数C ．在[﹣π，−π2]上是增函数，在[−π2，π2]上是减函数D ．在[﹣π，0]上是增函数，在[0，π2]上是减函数【解答】解：y ＝cos （π2−x ）＝sin x ，x ∈[﹣π，π2]，则在[﹣π，−π2]上是减函数，在[−π2，π2]上是增函数，故选：A ．9．（5分）利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的有（ ）个（1）y ＝x +4x ≥2√x ⋅4x=4 （2）y ＝sin x +3sinx ≥2√sinx ⋅3sinx =2√3（x ∈（0，π2） （3）y ＝lgx +4log x 10＞2√lgx ⋅4log x 10=4 （4）y ＝3x +43x ≥2√3x ⋅43x =4． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】解：根据基本不等式成立的条件，对各命题考察如下： （1）y ＝x +4x ≥2√x ⋅4x =4，这个运算是错误的，因为只有“正数”才能用基本不等式，即该式中“x ＞0”这个条件缺失； （2）y ＝sin x +3sinx ≥√sinx ⋅3sinx =2√3（x ∈（0，π2），这个运算是错误的，因为取最小值2√3时，sin x =√3，不等成立，即“＝”无法取得； （3）y ＝lgx +4log x 10＞2√lgx ⋅4log x 10=4，这个运算是错误的， 因为只有“正数”才能用基本不等式，即该式中应限制“x ＞1”； （4）y ＝3x +43x ≥2√3x ⋅43x =4，这个运算是正确的， 符合条件“一正，二定，三相等”． 所以，只有（4）是正确的， 故选：B ．10．（5分）本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种【解答】解：先排语文、英语、化学、生物，且化学排在生物前面，此时形成了4个空（不包含最后的一个空），再将数学与物理插入到其中两个空中， 故有A 442•A 42＝144种，故选：B ．11．（5分）过抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，若MF →=4FN →，则直线l 的斜率为（ ）A ．±32B ．±23C ．±34D ．±43【解答】解：如图，作MB 垂直准线于B ，作NC 垂直准线于C ， 根据抛物线定义，可得MB ＝MF ，NC ＝NF作NA 垂直MB 于A ，设FN ＝m ，则MN ＝5m ，NA ＝MF ﹣NF ＝3m 在直角三角形AMN 中tan ∠NMA =ANAM =43， ∴直线l 的斜率为±43，故选：D ．12．（5分）已知f （x ）是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f （x ）＝2x 3﹣x ，则函数y ＝f （x ）在[0，6]上的图象与x 轴交点个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【解答】解：当0≤x ＜2时，由f （x ）＝2x 3﹣x ＝0得x （2x 2﹣1）＝0，得x ＝0或x =√22或x =−√22（舍），∵函数的最小正周期是2，∴当2≤x ＜4时，函数的零点为2，2+√22，当4≤x ＜6时，函数的零点为4，4+√22， 当x ＝6时，函数的零点为6，故函数f （x ）在区间[0，6]有7个零点，则函数y ＝f （x ）的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为7个， 故选：B ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知平面向量a →，b →满足|a →|=√3，|b →|＝2，a →⋅b →=−3，则|a →+2b →|＝ √7 ．【解答】解：（a →+2b →）2=a →2+4a →⋅b →+4b →2=3﹣12+16＝7， ∴|a →+2b →|=√7． 故答案为：√7．14．（5分）已知实数x ，y 满足{2x −y ≤0x −3y +5≥0x ≥0y ≥0，则z =(14)x ⋅(12)y 的最小值为 116 ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z =(14)x ⋅(12)y=（12）2x +y ，设m ＝2x +y ，由m ＝2x +y ，得y ＝﹣2x +m ，平移直线y ＝﹣2x +m ，由图象可知当直线y ＝﹣2x +m 经过点A 时，直线y ＝﹣2x +m 的截距最大，此时z 最小．由{2x −y =0x −3y +5=0，解得{x =1y =2，即A （1，2），此时m ＝2×1+2＝4，z ═（12）4=116故答案为：116．15．（5分）设a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边．已知a sin A ＝2b cos A cos C +2c cos A cos B ，则tan A ＝ 2 ．【解答】解：因为a sin A ＝2b cos A cos C +2c cos A cos B ，所以sin 2A ＝2cos A （sin B cos C +sin C cos B ）＝2cos A sin （B +C ）＝2sin A cos A ，又sin A ＞0，所以sin A ＝2cos A ，即tan A ＝2． 故答案为：2．16．（5分）已知三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝AC ＝3，BD ＝CD =√2，且BD ⊥CD ，若点A 在平面BCD 内的投影恰好为点D ，则此三棱锥外接球的表面积为 11π ． 【解答】解：∵点A 在平面BCD 内的投影恰好为点D ，∴AD ⊥平面BCD ， 故AD =√AB 2−BD 2=√7，且知AD ，BD ，CD 两两垂直，故可将此三棱锥放入一个长、宽、高分别为√2，√2，√7的长方体内，三棱锥的四个顶点亦为长方体的顶点，其外接球为长方体外接球． 易得外接球半径为√112，故外接球表面积为11π． 故答案为：11π三．解答题（共5小题）17．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝2a n S n ﹣2S n 2． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在正数k ，使（1+S 1）（1+S 2）…（1+S n ）≥k √2n +1对一切正整数n 都成立？若存在，求k 的取值范围，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵当n ≥2时，a n ＝2a n S n ﹣2S n 2，∴a n =2S n 22S n −1，n ≥2，∴（S n ﹣S n ﹣1）（2S n ﹣1）＝2S n 2， ∴S n ﹣S n ﹣1＝2S n S n ﹣1， ∴1S n−1S n−1=2，n ≥2，∴数列{1S n}是以1S 1=1为首项，以2为公差的等差数列，∴1S n=1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，∴S n =12n−1，∴n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1=12n−1−12n−3=−2(2n−1)(2n−3)， ∵a 1＝S 1＝1，∴a n ={1．n =1−2(2n−1)(2n−3)，n ≥2， （2）设f （n ）=12n 2n+1，则f(n+1)f(n)=√2n+1⋅√2n+3=√4n 2+8n+4√4n 2＞1，∴f （n ）在n ∈N *上递增，要使f （n ）≥k 恒成立，只需要f （n ）min ≥k ， ∵f （n ）min ＝f （1）=2√33， ∴0＜k ≤2√3318．已知C 是以AB 为直径的圆周上一点，∠ABC =π3，P A ⊥平面ABC ． （1）求证：平面P AC ⊥平面PBC ；（2）若异面直线PB 与AC 所成的为π3，求二面角C ﹣PB ﹣A 的余弦值．【解答】（1）证明：因为AB 为圆的直径，所以AC ⊥BC ， 又P A ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BC ， 又AC ∩P A ＝A ，所以BC ⊥平面P AC ， 而BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面P AC ．（2）解法1：建系如图所示，令AB ＝2t ，而∠ABC =π3，则∠BAC =π6，AC =√3t ，则A （0，0，0），B （0，2t ，0），C(√3t2，3t2，0)，令P （0，0，h ）（h ＞0）所以BP →=(0，−2t ，ℎ)，AC →=(√3t2，3t2，0)， 因为异面直线PB 与AC 所成的角为π3，故cos π3=|BP →⋅AC →||BP →|⋅|AC →|=2√4t +ℎ√3t=12，解得ℎ=2√2t令平面PBC 的一个法向量为n →=(1，y ，z)，而BC →=(√3t 2，−t2，0)，BP →=(0，−2t ，2√2t)由n →⋅BC →=0，√3t 2−t2y =0，所以y =√3 由n →⋅BP →=0，−2√3t +2√2tz =0所以z =√62，即n →=(1，√3，√62)而平面P AB 的一个法向量为m →=(1，0，0) 所以cosθ=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=√1+3+32=√211=√2211． 解法2：过B 作AC 的平行线BM 交圆于M ，连接PM ，AM ，所以直线PB 与AC 所成的角即为PB 与BM 所成的角，因为AB 为圆的直径，所以AM ⊥BM ，又P A ⊥平面ABC ，而BM ⊂平面ABC ，所以P A ⊥BM 又AM ∩P A ＝A ，所以BM ⊥平面P AM而PM ⊂平面P AM ，所以BM ⊥PM ，则∠PBM =π3令AB ＝2t ，且∠ABC =π3所以AC =BM =√3t ，AM ＝BC ＝t PM =√3t ⋅tanπ3=3t ，PA =√(3t)2−t 2=2√2t ，PB =√(2√2t)2+(2t)2=2√3t ，PC =√(2√2t)2+(√3t)2=√11t 过A 作AN ⊥PC 交PC 于N ，过A 作AQ ⊥PB 交PB 于Q ，连接QN ，由三垂线定理知QN ⊥PB ，所以∠AQN 即为二面角C ﹣PB ﹣A 的平面角， AQ =PA⋅AB PB =√2t⋅2t 23t =2√63，AN =PA⋅AC PC =√2t⋅√3t 11t =2√6611sin ∠AQN =AN AQ =2√6611⋅326=3√1111，cos ∠AQN =√2211，即为二面角C ﹣PB ﹣A 的余弦值为√2211．19．编号为1，2，3的三位学生随意入坐编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是ξ． （1）求随机变量ξ的概率分布； （2）求随机变量ξ的数学期望和方差．【解答】解：（1）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3； 计算P(ξ=0)=2A 33=13， P(ξ=1)=C 31A 33=12，P （ξ＝2）＝0， P(ξ=3)=1A 33=16； 所以随机变量ξ的概率分布列为：ξ 012 3P131216（2）ξ的数学期望为Eξ=1×12+3×16=1，方差为D(ξ)=(1−0)2⋅13+(1−1)2⋅12+(1−2)2⋅0+(3−1)2⋅16=1． 20．已知椭圆x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，右准线为l ，l 与x 轴相交于点T ，且F 是AT 的中点． （1）求椭圆的离心率；（2）过点T 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，M ，N 都在x 轴上方，并且M 在N ，T 之间，且NF ＝2MF ．①记△NFM ，△NF A 的面积分别为S 1，S 2，求S 1S 2；②若原点O 到直线TMN 的距离为20√4141，求椭圆方程．【解答】解：（1）由F 是AT 的中点，可得−a +a 2c=2c ，即（a ﹣2c ）（a +c ）＝0，又a 、c ＞0， 则a ＝2c ，可得e =ca =12；（2）①解法一：过M ，N 作直线l 的垂线， 垂足分别为M 1，N 1， 依题意，NF NN 1=MF MM 1=e ，又NF ＝2MF ，故NN 1＝2MM 1，故M 是NT 的中点，可得S △MNF S △TNF=12，又F 是AT 中点，即有S △ANF ＝S △TNF ，故S 1S 2=12；解法二：有a ＝2c ，即为b =√3c ， 椭圆方程为x 24c +y 23c =1，F （c ，0），T （4c ，0），设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），点M 在椭圆x 24c +y 23c =1上，即有y 12=3c 2−34x 12，MF =√(x 1−c)2+y 12=√(x 1−c)2+3c 2−34x 12=√14x 12−2cx 1+4c 2=|12x 1−2c|=2c −12x 1，同理NF =2c −12x 2，又NF ＝2MF ，故2x 1﹣x 2＝4c ，得M 是N ，T 的中点，可得S △MNF S △TNF=12，又F 是AT 中点，可得S △ANF ＝S △TNF ，则S 1S 2=12；②解法一：设F （c ，0），则椭圆方程为x 24c +y 23c =1，由①知M 是N ，T 的中点，不妨设M （x 0，y 0），则N （2x 0﹣4c ，2y 0），又M ，N 都在椭圆上，即有{ x 024c 2+y 023c 2=1(2x 0−4c)24c 2+4y 023c 2=1即{ x 024c 2+y 023c 2=1(x 0−2c)24c 2+y 023c2=14， 两式相减得：x 024c −(x 0−2c)24c =34，解得x 0=74c ，可得y 0=3√58c ，故直线MN 的斜率为k =3√58c 74c−4c=−√56，直线MN 的方程为y =−√56(x −4c)，即√5x +6y −4√5c =0，原点O 到直线TMN 的距离为d =4√5c √5+36=4√5√41，依题意√5√41=20√4141，解得c =√5，故椭圆方程为x 220+y 215=1．解法二：设F （c ，0），则椭圆方程为x 24c 2+y 23c 2=1，由①知M 是N ，T 的中点，故2x 1﹣x 2＝4c ，直线MN 的斜率显然存在，不妨设为k ，故其方程为y ＝k （x ﹣4c ），与椭圆联立， 并消去y 得：x 24c 2+k 2(x−4c)23c 2=1，整理得：（4k 2+3）x 2﹣32ck 2x +64k 2c 2﹣12c 2＝0，（*） 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 即有{x 1+x 2=32ck 23+4k 2x 1x 2=64k 2c 2−12c23+4k 2， 由{x 1+x 2=32ck 23+4k 22x 1−x 2=4c 解得{x 1=16ck 2+4c 3+4k 2x 2=16ck 2−4c 3+4k 2， 即有16ck 2+4c 4k 2+3×16ck 2−4c 4k 2+3=64k 2c 2−12c 24k 2+3，解之得k 2=536，即k =−√56．直线MN 的方程为y =−√56(x −4c)，即√5x +6y −4√5c =0， 原点O 到直线TMN 的距离为d =√5c 5+36=√5c41，依题意√5c √41=20√4141，解得c =√5，故椭圆方程为x 220+y 215=1．21．设a ，b ∈R ，函数f （x ）＝lnx ﹣ax ，g(x)=b x．（Ⅰ）若f （x ）＝lnx ﹣ax 与g(x)=bx有公共点P （1，m ），且在P 点处切线相同，求该切线方程；（Ⅱ）若函数f （x ）有极值但无零点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当a ＞0，b ＝1时，求F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在区间[1，2]的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意，得{f ′(1)=g ′(1)f(1)=g(1)，即{1−a =−b −a =b ，解得{a =12b =−12． ∴g ′（1）=12，g （1）=−12，在点P(1，−12)的切线方程为y +12=12（x ﹣1），即x ﹣2y ﹣2＝0；（Ⅱ）当a ≤0时，由f ′(x)=1x −a ＞0恒成立，可知函数f （x ）在定义域（0，+∞）单调递增，此时无极值；当a ＞0时，由f ′(x)=1x −a =0，得x =1a ＞0． 由f ′(x)=1x −a ＞0，得x ∈(0，1a )；f ′(x)=1x −a ＜0，得x ∈(1a，+∞)． 于是，x =1a为极大值点，且f max (x)=f(1a)=−lna ﹣1．由于函数f （x ）无零点，因此f max (x)=f(1a )=−lna ﹣1＜0，解得a ＞1e ； （Ⅲ）不妨设F(x)=lnx −ax −1x ，得F ′(x)=1x −a +1x 2=−(ax 2−x−1)x 2． 设h （x ）＝ax 2﹣x ﹣1， ∵a ＞0，∴△＝1+4a ＞0，设h （x ）＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2，由x 1⋅x 2=−1a ＜0，得x 1＜0，x 2＞0，且x 2=1+√1+4a2a． ∴F ′(x)=−a(x−x 1)(x−x 2)x 2．由F '（x ）＝0，得x ＝x 2．∴当F '（x ）＞0时，x 2＞x ＞0；当F '（x ）＜0时，x ＞x 2． ∴F （x ）在（0，x 2]单调递增，在[x 2，+∞）上单调递减．①当0＜x 2≤1，即{12a＜1ℎ(1)≥0，即a ≥2时，[1，2]⊆[x 2，+∞），F （x ）在[1，2]递减，∴F （x ）min ＝F （2）=ln2−12−2a ；②当x 2≥2，即h （2）≤0，即0＜a ≤34时，[1，2]⊆（0，x 2]，F （x ）在[1，2]递增， ∴F （x ）min ＝F （1）＝﹣a ﹣1；③当1＜x 2＜2，即34＜a ＜2时，F （x ）在[1，x 2]递增，[x 2，2]递减，∴F （2）﹣F （1）=ln2−12−2a +a +1=ln2+12−a ．（i ）当ln2+12≤a ＜2时，F （2）≤F （1），∴F （x ）min ＝F （2）=ln2−12−2a ； （ii ）当34＜a ＜ln2+12时，F （2）＞F （1），∴F （x ）min ＝F （1）＝﹣a ﹣1．综合①、②、③得，F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）在区间[1，2]的最小值为：F （x ）min ={−a −1，(0＜a ＜ln2+12)ln2−12−2a ，(a ≥ln2+12)． 四．解答题（共1小题）22．在直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M 的极坐标为(3√2，π4)，圆C 的参数方程为{x =1+2cosαy =2sinα（α为参数）．（1）直线l 过M 且与圆C 相切，求直线l 的极坐标方程；（2）过点P （0，m ）且斜率为√3的直线l '与圆C 交于A ，B 两点，若|P A |•|PB |＝6，求实数m 的值．【解答】解：（1）M 的直角坐标为（3，3）， 圆C 的直角坐标方程为（x ﹣1）2+y 2＝4，设直线l ：y ﹣3＝k （x ﹣3），即l ：kx ﹣y ﹣3k +3＝0，因为直线l 与圆C 相切，所以√k 2+1=2，解得k =512， 此时直线l 的方程为5x ﹣12y +21＝0，若直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，所以直线l 的极坐标方程为5ρcos θ﹣12ρsin θ+21＝0或ρcos θ＝3． （2）将直线l '的参数方程{x =12ty =m +√32t（t 为参数）， 代入圆C 的方程（x ﹣1）2+y 2＝4， 得：t 2+（√3m ﹣1）t +m 2﹣3＝0，△=(√3m −1)2−4(m 2−3)=−m 2−2√3m +13＞0， 设P A ＝t 1，PB ＝t 2，则t 1⋅t 2=m 2−3， 因为|P A |•|PB |＝6，所以|t 1⋅t 2|=|m 2−3|=6， 所以m 2﹣3＝±6，解得m ＝±3， 由△＞0知，所求m 的值为﹣3． 五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝|x +m |+|2x ﹣1|．（1）当m ＝﹣1时，求不等式f （x ）≤2的解集；（2）若f （x ）≤|2x +1|的解集包含[34，2]，求m 的取值范围． 【解答】解：（1）当m ＝﹣1时，f （x ）＝|x ﹣1|+|2x ﹣1|， ①x ≥1时，f （x ）＝3x ﹣2≤2，解得1≤x ≤43； ②当12＜x ＜1时，f （x ）＝x ≤2，解得12＜x ＜1；③当x ≤12时，f （x ）＝2﹣3x ≤2，解得0≤x ≤12； 综合①②③可知，原不等式的解集为{x|0≤x ≤43}． （2）由题意可知f （x ）≤|2x +1|在[34，2]上恒成立，当x ∈[34，2]时，f （x ）＝|x +m |+|2x ﹣1|＝|x +m |+2x ﹣1≤|2x +1|＝2x +1， 从而可得|x +m |≤2，即﹣2≤x +m ≤2⇔﹣2﹣x ≤m ≤2﹣x ， 且(−2−x)max =−114，（2﹣x ）min ＝0，因此m ∈[−114，0]．。
2020届全国2卷高考仿真数学试题(理科)
12020年普通高校招生全国(II 卷)统一考试高考仿真数学试题（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数(3)Z i i =+对应的点的坐标为（ ）..A (1,3) .B (3,1) .C (1,3)- .D ()3,1 -2. 设集合{}{},2,0,3|,5A x x a B =>=-,若集合A B I 有且仅有2个元素,则实数a 的取值范围为（ ）..A [)0,3 .B ()3, +∞ .C [)0,+∞ .D [)2,3 -3.在等差数列{}n a 中，若2103,9a a ==，则6a =（ ）..A 8 .B 6 .C 12 .D 104.已知向量(,1),(2,3)a x b ==r r，若()a b b -⊥r r r ，则x 的值为（ ）..A 2 .B 32 .C 5 .D 65. 已知命题11:2p a >，命题:q x R ∀∈，210ax ax -+>，则p 成立是q 成立的（ ）..A 必要不充分条件 .B 充分不必要条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件6．“仁义礼智信”为儒家“五常”美德，这“五常”贯穿于中华伦理的发展中。
由孔子提出“仁、义、礼”,又由孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.现将“仁义礼智信”排成一排,“礼”排在第1位,且“智信”不相邻的概率为（ ）..A 110 .B 15.C 910 .D 2527．已知F 是抛物线2:4x C y =的焦点，点P 在曲线C 上，O 为坐标原点，若23OP OF =，则POF ∆的面积为（ ）..A 27 .B 7 .C 22 .D 28.已如定义在R 上的函数f (x )的周期为5，且()[]()()1,2,03,0,2xx f x f x x ⎧⎛⎫∈-⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-∈⎩，则()()84f f +-=（ ）..A 12 .B 134.C 7 .D 1149.函数()34sin x f x x =+的图像大致是（ ）..A .B .C .D10.把函数2()sin f x x =的图象向右平移12π个单位，得到函数()g x 的图象．给出下列四个命题①()g x 的值域为(0,1]，②()g x 的一个对称轴是12x π=，③()g x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭， ④()g x 存在两条互相垂直的切线，其中正确的是（ ）..A ①② .B ①③.C ③④.D ②④11.已知椭圆222:15x y C b +=的焦点在x 轴上，离心率为25，且,M N 是椭圆C 上相异的两点，若点()0,1P 满足PM PN ⊥，则PM NM uuu r uuurg 的取值范围（ ）.3.A 250,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .B 250,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ .C 25,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭.D 25,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 12.已知正三棱柱111ABC ABC -中，16AB AA ==,用一个平面截此棱柱，与侧棱111,,AA BB CC 分别交于三点E F G 、、，若EFG ∆为直角三角形，则EFG ∆的面积的最小值为（ ）.A .B .C 9 .D 18二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为________．14.已知实数x ，y 满足不等式组20,250,20,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩且32z x y =-的最小值为________．15.已知数列{}n a 中，且满足11a =，当2n ≥时，1n n a a n -=+，若18n a n λλ-=-，对n N *∈恒成立，则实数λ的取值范围________．16.点A 在曲线:()ln 2C f x x =上，过A 作x 轴垂线l ，设l 与曲线2:()3D g x x x =-交于点B .点P 在x 轴上，且2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r,我们称点A 为曲线C 上的“平衡点”，则曲线C 上的“平衡点”的个数为________．三、解答题：共70分。
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2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（9）一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]2．（3分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i3．（3分）已知向量a →=(1，3)，b →=(4，m)，且(a →−b →)⊥a →，则向量a →与b →夹角为（ ） A ．π3B ．π6C ．π4D ．π24．（3分）已知a ＝log 52，b ＝log 72，c ＝0.5a ﹣2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b5．（3分）直角坐标系xOy 中，点P （cos α，sin α）在直线y ＝﹣2x 上，则cos(2α+π2)=（ ） A ．45B ．−45C ．35D ．−356．（3分）如果数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为82，则5x 1+2，5x 2+2，…，5x n +2的平均数和方差分别为（ ） A ．x ，82B ．5x +2，82C ．5x +2，25×82D ．x ，25×827．（3分）函数f （x ）=3x−3−xx 2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（3分）在三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，B ＝120°，c ＝3，则b ＝（ ）A ．√7B ．4C ．√19D ．59．（3分）已知函数f （x ）的图象如图所示，则函数f （x ）的解析式可能是（ ）A ．y ＝x （1﹣|x |）B ．y =x 4cos(π2x) C ．y =x4sin(πx)D ．y ＝|x |（1﹣x ）（x +1）10．（3分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过体重指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过体重指标的概率为（ ） A ．23B ．35C ．25D ．31011．（3分）在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12πB ．21π2C ．41π4D ．10π12．（3分）以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，称它们互为共轭双曲线．设双曲线C 1：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）与双曲线C 2互为共轭双曲线，它们的离心率分别为e 1、e 2．以下说法错误的是（ ） A ．C 1、C 2的渐近线方程都是y ＝±ba xB ．e 1•e 2的最小值是2C ．e 12+e 22＝1D ．1e 12+1e 22=1二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．（3分）过抛物线y ＝ax 2（a ≠0）的焦点做平行于x 轴的直线与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，△OAB 面积为12，则a ＝ ．14．（3分）已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1y ≥2(x −2)，若z ＝x +ty （t ＞0）的最大值为11，则实数t ＝ ．15．（3分）圆锥的底面直径为2，侧面积为2π，则它的体积为 ． 16．（3分）f （x ）=−12x 2+lnx +1在[1e，e ]上的最大值是 ．三．解答题（共5小题）17．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=12，a n +a n+1=2a n+2． （Ⅰ）求证：{a n +1﹣a n }为等比数列； （Ⅱ）求{a n }的通项公式．18．某学校开设了射击选修课，规定向A 、B 两个靶进行射击：先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B 靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向A 靶射击，命中的概率为45，向B 靶射击，命中的概率为34，假设小明同学每次射击的结果相互独立．现对小明同学进行以上三次射击的考核． （Ⅰ）求小明同学恰好命中一次的概率；（Ⅱ）求小明同学获得总分X 的分布列及数学期望E （X ）．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ，E 为线段PB 的中点，若F 为线段BC 上的动点（不含B ）．（1）平面AEF 与平面PBC 是否互相垂直？如果是，请证明：如果不是，请说明理由； （2）求二面角B ﹣AF ﹣E 的余弦值的取值范围．20．已知函数f （x ）＝alnx ﹣x +2（a 为不小于1的整数）， （1）当a ＝2时，求f （x ）在x ＝1处的切线方程；（2）当a ＝1时，若关于x 的方程f （x ）+2x 2﹣4x ＝2m +1在区间[12，e]上有两个实数解，求实数m 的取值范围． 21．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1（a ＞1）的离心率是√22． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过F 2作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A ，B 两点，直线F 1A ，F 1B 分别交y 轴于不同的两点M ，N ．如果∠MF 1N 为锐角，求k 的取值范围．四．解答题（共1小题）22．在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k （m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 五．解答题（共1小题）23．设函数f （x ）＝|x ﹣1|+|x +1|，设f （x ）＜4的解集为S ． （Ⅰ）求S ；（Ⅱ）证明：当a ，b ∈S 时，2|a +b |＜ab +4．2020高考数学（理科）全国二卷高考模拟试卷（9）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1．（3分）已知A ＝{x ∈N *|x ≤3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2，3}B ．{1，2}C ．（0，3]D ．（3，4]【解答】解：由题意得：A ＝{x ∈N *|x ≤3}＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2﹣4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}， ∴所以A ∩B ＝{1，2，3}， 故选：A ．2．（3分）设i 为虚数单位，复数z =2+3ii，则z 的共轭复数是（ ） A ．3﹣2iB ．3+2iC ．﹣3﹣2iD ．﹣3+2i【解答】解：∵z =2+3i i =(2+3i)(−i)−i2=3−2i ， ∴z =3+2i ． 故选：B ．3．（3分）已知向量a →=(1，3)，b →=(4，m)，且(a →−b →)⊥a →，则向量a →与b →夹角为（ ） A ．π3B ．π6C ．π4D ．π2【解答】解：∵向量a →=(1，3)，b →=(4，m)，且(a →−b →)⊥a →，∴（a →−b →）•a →=a →2−a →⋅b →=0， 即 a →2=a →•b →，即 10＝4+3m ，∴m ＝2，∴b →=（4，2）． 设向量a →与b →夹角为θ，θ∈[0，π]，则 10＝|a →|•|b →|•cos θ=√10•√16+4•cos θ=√10•2√5•cos θ cos θ=√22，∴θ=π4， 故选：C ．4．（3分）已知a ＝log 52，b ＝log 72，c ＝0.5a ﹣2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b【解答】解：∵1＜log 25＜log 27， ∴1＞log 52＞log 72， 又0.5a ﹣2＞0.5﹣1＝2，则c ＞a ＞b ， 故选：A ．5．（3分）直角坐标系xOy 中，点P （cos α，sin α）在直线y ＝﹣2x 上，则cos(2α+π2)=（ ） A ．45B ．−45C ．35D ．−35【解答】解：∵点P （cos α，sin α）在直线y ＝﹣2x 上， ∴sinαcosα=tan α＝﹣2，则cos(2α+π2)=−sin2α=−2sinαcosαsin 2α+cos 2α=−2tanαtan 2α+1=−−44+1=45， 故选：A ．6．（3分）如果数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为82，则5x 1+2，5x 2+2，…，5x n +2的平均数和方差分别为（ ） A ．x ，82B ．5x +2，82C ．5x +2，25×82D ．x ，25×82【解答】解：∵数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为82， ∴5x 1+2，5x 2+2，…，5x n +2的平均数为：5x +2， 5x 1+2，5x 2+2，…，5x n +2的方差分别S ＝25×82． 故选：C ．7．（3分）函数f （x ）=3x−3−x2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：f （﹣x ）=3−x−3x2=−f （x ），则函数f （x ）是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，当x →+∞，f （x ）→+∞，排除A ，D ， 故选：C ．8．（3分）在三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，B ＝120°，c ＝3，则b ＝（ ） A ．√7B ．4C ．√19D ．5【解答】解：已知a ＝2，B ＝120°，c ＝3，则b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B =4+9−2×2×3×(−12)=19， 解得b =√19． 故选：C ．9．（3分）已知函数f （x ）的图象如图所示，则函数f （x ）的解析式可能是（ ）A ．y ＝x （1﹣|x |）B ．y =x4cos(π2x) C ．y =x4sin(πx)D ．y ＝|x |（1﹣x ）（x +1）【解答】解：对于A ，因为﹣x （1﹣|﹣x |）＝﹣x （1﹣|x |），该函数是奇函数，故A 错； 对于B ，−x 4cos(−πx 2)=−x 4cos(πx 2)，该函数为奇函数，故B 错；对于D ，x ＞0时，f ′（x ）＝﹣3x 2+1，当x ＞1时，f ′（x ）＜0，该函数为减函数，故D 错； 对于C ，−x 4sin(−πx)=x 4sinπx ，故函数为偶函数，y ′=14(sinπx +πxcosπx)，显然，y ′的符号可正可负，所以当x ＞0时，函数有增有减．故C 准确． 故选：C ．10．（3分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过体重指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过体重指标的概率为（ ） A ．23B ．35C ．25D ．310【解答】解：设其中做过测试的3只兔子为a ，b ，c ，剩余的2只为A ，B ， 则从这5只兔子中任取3只的所有取法有：{a ，b ，c }，{a ，b ，A }，{a ，b ，B }，{a ，c ，A }，{a ，c ，B }，{a ，A ，B }，{b ，C ，A }，{b ，c ，B }，{b ，A ，B }，{c ，A ，B }，共10种， 其中恰有2只做过测试的取法有：{a ，b ，A }，{a ，b ，B }，{a ，c ，A }，{a ，c ，B }，{b ，c ，A }，{b ，c ，B }，共6种， 所以恰有2只做过测试的概率为p =610=35， 故选：B ．11．（3分）在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为A 1D 1的中点，若三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ．12πB ．21π2C ．41π4D ．10π【解答】解：取AC 的中点E ，做EF ⊥AF 与F ，连接PF 可得PF ⊥AF ，过E 做垂直于面ABC 的直线，由题意可得外接球的球心直线直线EO 上，设球心为O ，过O 做OM ⊥面P AF 交于M ，由正方体性质可得，M 在PF 上，四边形OEFM 为矩形，MF ＝OE ，OM ＝EF ，PF ＝AB ＝2，连接PO ，OC 可得都是外接球的半径， 由题意可得：CE =√22AB =√2，EF =AB2=1，在三角形OEC 中，OC 2＝OE 2+EC 2＝OE 2+（√2）2＝2+OE 2， 在三角形POM 中，OP 2＝OM 2+（PF ﹣FM ）2＝12+（2﹣OE ）2， 两式联立可得：2+OE 2＝1+（2﹣OE ）2，解得：OE =34， 所以OC 2＝2+（34）2=4116，所以外接球的表面积S ＝4πOC 2=41π4， 故选：C ．12．（3分）以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，称它们互为共轭双曲线．设双曲线C 1：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）与双曲线C 2互为共轭双曲线，它们的离心率分别为e 1、e 2．以下说法错误的是（ ） A ．C 1、C 2的渐近线方程都是y ＝±ba xB ．e 1•e 2的最小值是2C ．e 12+e 22＝1D ．1e 1+1e 2=1【解答】解：根据定义可得C 1：x 2a −y 2b =1，C 2：y 2b −x 2a =1（a ＞0，b ＞0），故他们的渐近线方程均为y ＝±b ax ，故A 正确； 则e 12=a 2+b 2a 2，e 22=a 2+b 2b 2， 所以1e 1+1e 2=a 2a +b +b 2a +b =1，故D 正确；上式整理得e 12+e 22=e 12e 22，根据e 1、e 2都是大于1的正数，得e 12e 22＝e 12+e 22≥2e 1e 2， 两边约去e 1e 2，得e 1e 2≥2，故B 正确； 故选：C ．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．（3分）过抛物线y ＝ax 2（a ≠0）的焦点做平行于x 轴的直线与抛物线相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，△OAB 面积为12，则a ＝ ±12 ．【解答】解：抛物线的标准方程为：x 2=1ay ，所以焦点坐标为：（0，14a），由题意可得直线AB 的方程为：y =14a ， 代入抛物线的方程可得：x 2=14a 2，所以x =±12a ，所以S △OAB=12|AB|⋅14a =12⋅1a ⋅14a =12， 解得a =±12， 故答案为：±12．14．（3分）已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1y ≥2(x −2)，若z ＝x +ty （t ＞0）的最大值为11，则实数t ＝ 4 ．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z ＝x +ty 得y =−1t x +zt ， 平移直线y =−1tx +z t ，由图象知当直线y =−1t x +zt 经过点A 时，直线的截距最大此时z 最大为11， 由{y =2y =2(x −2)得A （3，2）， 则3+2t ＝11，得2t ＝8，t ＝4， 故答案为：4．15．（3分）圆锥的底面直径为2，侧面积为2π，则它的体积为 √33π ． 【解答】解：设圆锥的母线长为1，则由πrl ＝2π，得l ＝2， ∴圆锥的高ℎ=√l 2−r 2=√3， ∴V =13πr 2ℎ=13×π×1×√3=√33π． 故答案为：√33π． 16．（3分）f （x ）=−12x 2+lnx +1在[1e，e ]上的最大值是12．【解答】解：f （x ）=−12x 2+lnx +1的导数f ′（x ）＝﹣x +1x=−x 2−1x =−(x−1)(x+1)x（x ＞0），当x ∈[1e ，1]有f '（x ）＞0；当x ∈（1，e ]，有f ′（x ）＜0，可得f （x ）在区间[1e，1]上是增函数，在 （1，e ]上为减函数，又f （x ）max ＝f （1）=12；故答案为：12．三．解答题（共5小题）17．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=12，a n +a n+1=2a n+2． （Ⅰ）求证：{a n +1﹣a n }为等比数列； （Ⅱ）求{a n }的通项公式．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n +a n +1＝2a n +2，∴a n ﹣a n +1＝2a n +2﹣2a n +1，即2（a n +2﹣a n +1）＝﹣（a n +1﹣a n ）， ∴a n+2−a n+1a n+1−a n=−12，又∵a 2−a 1=−12，∴数列{a n +1﹣a n }为首项为−12，公比为−12的等比数列； （Ⅱ）解：由（1）可知：a n +1﹣a n =(−12)n ， ∴a 2−a 1=(−12)1， a 3−a 2=(−12)2， a 4−a 3=(−12)3， ……a n +1﹣a n =(−12)n ，累加得：a n+1−a 1=(−12)1+(−12)2+(−12)3+⋯⋯+(−12)n =−13×[1−(−12)n ]， 又∵a 1＝1，∴a n +1=−13×[1−(−12)n ]+1=23+13×(−12)n ， ∴a n =23+13×(−12)n−1． 18．某学校开设了射击选修课，规定向A 、B 两个靶进行射击：先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分，向B 靶连续射击两次，每命中一次得2分，没命中得0分；小明同学经训练可知：向A 靶射击，命中的概率为45，向B 靶射击，命中的概率为34，假设小明同学每次射击的结果相互独立．现对小明同学进行以上三次射击的考核． （Ⅰ）求小明同学恰好命中一次的概率；（Ⅱ）求小明同学获得总分X的分布列及数学期望E（X）．【解答】解：（Ⅰ）记：“小明恰好命中一次”为事件C，“小明射击A靶命中”为事件D，“该射手第一次射击B靶命中”为事件E，“该射手第二次射击B靶命中”为事件F，由题意可知P(D)=45，P(E)=P(F)=34，由于C=DEF+DEF+DEF，P(C)=P(DEF+DEF+DEF)=1 8，（Ⅱ）X＝0，1，2，3，4，5P(X=0)=15×(14)2=180，P(X=1)=45×(14)2=120，P(X=2)=15×C21×14×34=340，P(X=3)=45×C21×14×34=310，P(X=4)=15×(34)2=980，P(X=5)=45×(34)2=920，X012345P180120340310980920E(X)=0×180+1×120+2×340+3×310+4×980+5×920=195．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB，E为线段PB的中点，若F为线段BC上的动点（不含B）．（1）平面AEF与平面PBC是否互相垂直？如果是，请证明：如果不是，请说明理由；（2）求二面角B﹣AF﹣E的余弦值的取值范围．【解答】解：（1）因为P A＝AB，E为线段PB的中点，所以AE⊥PB，因为P A⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以P A⊥BC，又因为底面ABCD为正方形，所以BC⊥AB，又P A∩AB＝A，所以BC⊥平面P AB，∵AE⊂平面P AB，∴BC ⊥AE ， 因为PB ∩BC ＝B ， 所以AE ⊥平面PBC ， 因为AE ⊂平面AEF ， 所以平面AEF ⊥平面PBC ；（2）由题意，以AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，令P A ＝2，则A （0，0，0），B （2，0，0），E （1，0，1），F （2，t ，0）（其中0＜t ≤2）， 易知平面BAF 的一个法向量为m →=(0，0，1)，设平面AEF 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AF →=2x +ty =0n →⋅AE →=x +z =0， 令z ＝1，则n →=(−1，2t，1)，cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=1√2+4t2，∵0＜t ≤2，∴√2+4t 2∈[√3，+∞)√2+4t2∈(0，√33]，故若F 为线段BC 上的动点（不含B ），二面角B ﹣AF ﹣E 的余弦值的取值范围是(0，√33]．20．已知函数f （x ）＝alnx ﹣x +2（a 为不小于1的整数）， （1）当a ＝2时，求f （x ）在x ＝1处的切线方程；（2）当a ＝1时，若关于x 的方程f （x ）+2x 2﹣4x ＝2m +1在区间[12，e]上有两个实数解，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝2lnx ﹣x +2的导数为f ′（x ）=2x −1， 可得函数f （x ）在x ＝1处的切线斜率为2﹣1＝1，切点为（1，1）， 则f （x ）在x ＝1处的切线方程为y ﹣1＝x ﹣1，即y ＝x ；（2）当a ＝1时，f （x ）＝lnx ﹣x +2，关于x 的方程f （x ）+2x 2﹣4x ＝2m +1，即为lnx ﹣5x +2x 2＝2m ﹣1， 设g （x ）＝lnx ﹣5x +2x 2，x ∈[12，e]， g ′（x ）=1x −5+4x =(4x−1)(x−1)x ，可得g （x ）在[12，1）递减，在（1，e ）递增， 且g （x ）的最小值为g （1）＝﹣3，g （e ）＝1﹣5e +2e 2，g （12）＝﹣ln 2﹣2， 作出g （x ）在[12，e ]的图象，可得﹣3＜2m ﹣1≤﹣2﹣ln 2，即﹣1＜m ≤−1−ln22， 关于x 的方程f （x ）+2x 2﹣4x ＝2m +1在区间[12，e]上有两个实数解．21．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2=1（a ＞1）的离心率是√22． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，过F 2作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于A ，B 两点，直线F 1A ，F 1B 分别交y 轴于不同的两点M ，N ．如果∠MF 1N 为锐角，求k 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，{c a =√22b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a 2＝2．∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（Ⅱ）由已知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣1）， 直线l 与椭圆C 的交点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{y =k(x −1)x 22+y 2=1，得（2k 2+1）x 2﹣4k 2x +2k 2﹣2＝0．由已知，△＞0恒成立，且x 1+x 2=4k22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，①直线F 1A 的方程为y =y1x 1+1(x +1)，令x ＝0，得M （0，y 1x 1+1），同理可得N （0，y 2x 2+1）．∴F 1M →⋅F 1N →=1+y 1y 2(x 1+1)(x 2+1)=1+k 2(x 1−1)(x 2−1)(x 1+1)(x 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+(1−k 2)(x 1+x 2)+1+k2x 1x 2+x 1+x 2+1， 将①代入并化简得：F 1M →⋅F 1N →=7k 2−18k 2−1，依题意，∠MF 1N 为锐角，则F 1M →⋅F 1N →=7k 2−18k 2−1＞0，解得：k 2＞17或k 2＜18．综上，直线l 的斜率的取值范围为（﹣∞，−√77）∪（−√24，0）∪（0，√24）∪（√77，+∞）．四．解答题（共1小题）22．在平面直角坐标系x 0y 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m3k （m 为参数）．设直线l 1与l 2的交点为P ．当k 变化时点P 的轨迹为曲线C 1．（Ⅰ）求出曲线C 1的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，点Q 为曲线C 1上的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），转换为直角坐标方程为y =k(x +√3)①． 直线l 2的参数方程为{x =√3−m y =m3k（m 为参数）．转换为直角坐标方程为y =13k (√3−x)②． 所以①×②得到x 23+y 2=1（y ≠0）．（Ⅱ）直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√2，转换为直角坐标方程为x +y ﹣6＝0．设曲线C 1的上的点Q （√3cosθ，sinθ）到直线x +y ﹣8＝0的距离d =√3cosθ+sinθ−6|2=|2sin(θ+π3)−6|√2，当sin(θ+π3)=−1时，d max =2=4√2． 五．解答题（共1小题）23．设函数f （x ）＝|x ﹣1|+|x +1|，设f （x ）＜4的解集为S ． （Ⅰ）求S ；（Ⅱ）证明：当a ，b ∈S 时，2|a +b |＜ab +4．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）＝|x ﹣1|+|x +1|={2x ，x ＞12，−1≤x ≤1−2x ，x ＜−1．∵f （x ）＜4，∴{2x ＜4x ＞1或﹣1≤x ≤1或{−2x ＜4x ＜−1，∴1＜x ＜2或﹣1≤x ≤1或﹣2＜x ＜﹣1，∴﹣2＜x ＜2， ∴f （x ）＜4的解集S ＝（﹣2，2）；（Ⅱ）证明：∵a ，b ∈S ，∴a 2﹣4＜0，b 2﹣4＜0， ∴（a 2﹣4）（b 2﹣4）＞0，∴a 2b 2﹣4（a 2+b 2）+16＝（ab +4）2﹣4（a +b ）2＞0， ∴2|a +b |＜ab +4．。