初级第五章概率统计基础

第五章概率统计基础知识第一节概率的基础知识一、事件及其概率*（一）随机现象掷一枚硬币，国徽朝上（正面）或朝下是不定的；任取1件产品，在未决定哪1件产品之前，取得的是正品或次品是不定的；掷一粒骰子出现的点子数也是不定的，这些现象都是随机现象。

随机现象就是在一定条件下并不总是出现相同结果的现象。

随机现象有两个特点：（1）结果至少有两个；（2）至于那一个出现，事先并不知道。

随机现象的每一个可能结果叫样本点；所有样本点的全体叫样本空间。

概率论与数理统计是研究随机现象的科学。

（二）随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合。

在一定条件下，随机事件可能发生也可能不发生。

例如：掷一硬币，“国徽朝上（正面）”是随机事件；掷一粒骰子，“点子数<3”是随机事件；10件产品，其中有2件次品，任取4件，在未决定取哪4件产品之前“所取得的4件中恰有2件次品”也是随机事件。

随机事件用大写字母表示，上述3随机事件可分别记为A,B,C。

随机事件通常简称为事件。

例随机现象的样本空间中至少有（）个样本点。

A 0个B 1个C 2个D 3个答 C样本空间记为Ω，也称为必然事件。

不包含基本事件的集合称为不可能事件，记为φ。

例如“点子数=1.23”=φ。

注意：任一事件都是相应样本空间的一个子集；事件A发生当且仅当A中某一样本点发生。

例设要抽查3件产品：每件产品可能是正次品。

则样本空间Ω由8个样本点（在括号内顺序标明每件产品是正、次品）{（正，正，正），（正，正，次），（正，次，正），（次，正，正），（正，次，次），（次，正，次），（次，次，正），（次，次，次）}组成，A=“至少有一件合格品”={（正，正，正），（正，正，次），（正，次，正），（正，次，次），（次，正，正），（次，正，次），（次，次，正）}；B=“至少有二件不合格品”={（正，次，次），（次，正，次），（次，次，正），（次，次，次）}；C=“恰好有一件合格品”={（正，次，次），（次，正，次），（次，次，正）}；φ“至少有四件合格品”。

=随机事件的关系：包含：“A的样本点全是B的样本点”，或“A发生B必发生”，称为B包含A或A含于B，记为A⊂或。

A⊃BB例如掷一粒骰子，A表示“点子数<3”，有2个样本点A={1，2}；B 表示“点子数<5”，B={1，2，3，4}，则A B ⊃。

2.互不相容（互斥）：“A ， B 没有共同的的样本点”，或“A 、B ”不能同时发生，称为A 、B 互不相容（互斥），记为φ=⋂B A 。

例如掷一粒骰子，A 表示“点子数<3”，B 表示“点子数>4”，则φ=⋂B A 。

3.相等：“A 、B 有同样的样本点”，则A B ⊂且B A ⊂，记为B A =。

例如掷一粒骰子，A=“点子数<3”，B=“点子数2≤”则A=B 。

(三) 事件的运算：1、事件的交（积）：“A 、B 共同的样本点” 所成的事件称为B A 的交（积），记为AB B A 或⋂。

例如掷一粒骰子，A 表示“点数<5”,B 表示“点数>2”，则AB 表示点数=3或4。

又如A 表示“第1道工序加工出的是正品”，B 表示“第2道工序加工出的是正品”，则 AB B A 或⋂表示“经两道工序加工出的是正品”。

S AB B A2、事件的并（和）：“A 、B 的全部样本点” 所成的事件或“两个事件B A ,至少有一发生所成的事件”，称为B A 的并，记为B A ⋃，例如掷一粒骰子A 表示“点数<5”,B 表示“点数>2”，则B A ⋃表示“点数=1至6”，即必然事件。

由若干事件t A ，至少有一个发生所成的事件，称为这些事件的并。

3、对立事件（事件的逆）：“样本空间去掉A 的样本点” 所成的事件称为A 的对立事件，或A 的逆。

记为-A （A 逆）。

例如掷一粒骰子，A 表示 “点数>2”，则-A 表示“点数为1或2”。

又如A 表示第1道工序加工出的是次品，则A 表示第1道工序加工出的是正品；若A 表示密码被破译，则A 表示密码未被破译。

例 若A 与B 为互不相容事件，则有( )。

S A BABS A B S B A =AA AB=φB AUB=ΩC B A ⊃D A B ⊃ 选A 、C 、D例 若A 与B 为两个事件，A B A = 成立的条件是( B )。

A A B ⊃ B B A ⊃ C B A = D A B =Ω（四）事件的概率**概率：在一定条件下，随机事件A 发生的可能性大小称为随机事件A 的概率，记为P(A)。

**随机事件概率的性质1.1A P 0≤≤)(。

2.0P =)(φ，1P =Ω)(。

3.若)()(A P B P A B ≥⊃则。

4.**对于互不相容的事件,...,21A A 有 ...)()(...)(++=⋃⋃2121A P A P A A P 。

5.)()(A P 1A P -=因为1P A P A P =Ω=+-)()()(。

同理)()(--=A P 1A P6.若事件A 与B 相互独立（即一个事件发生不影响另一个事件的发生），则()()()P AB P A P B =例 加工某零件需经过三道工序，已知第一，第二，第三道工序的不合格品率分别是2％，4%， 7％，且各道工序互不影响，则经三道工序加工出来的批产品的不合格品率是（ ）A. 0.130B. 0.125C. 0.025D. 0.275答 设A 、B 、C 表示经第一，第二，第三道工序後合格，则经三道工序加工出来的产品的是否合格独立。

三道工序加工出来的产 品的不合格的概率是1-合格率=1-P(ABC)=1-0.98*0.96*0.83=0.125056,选B例 3个相同的元件，每个元件正常工作的概率为0.8。

1)将它们串联后，系统正常工作的概率为( )。

A 0.512，B 0.76C 0.764D 1答A 提示：本题暗指3件产品是否合格相互独立。

2)将它们并联后，系统正常工作的概率为( )。

A 0.512B 0.76C 0.992D 1答C不相容事件与独立事件的区别：设21A A ,不相容；21B B ,独立。

则21A A ,的交必是φ；21B B ,的交必不是φ。

)21A P(A =0；1212P(B B )=P(B )(B )。

例 从不合格品率为0.04的一批产品中随机抽出600个，在前300个产品中发现不合格品12个，后300个产品中发现不合格品18个，理论上每随机抽出的600个产品中的平均不合格品数为（A ）A 24B 25C 15D 30例设三个事件A、B、C相互独立，其发生概率相等，都是23，则A、B、C中至少发生一个的概率为（ D ）A 827 B 127C 1927D 2627例某产品可能出现A、B两种缺陷，如果出现缺陷A的概率为0.1，出现缺陷B的概率为0.2，缺陷A的发生与缺陷B的发生相互独立，则该产品无缺陷的概率是（ B ）A 0.70B 0.72C 0.30D 0.80二、二项分布与正态分布（一）**随机变量及其分布1.随机变量在一定条件下取值不定的量就是随机变量，通常用大写字母X,Y,…表示。

例如掷一粒骰子，其点数X取1，2，3，4，5，6不定，点数X是随机变量。

设100件产品中有5件次品，任取3件，取得次品件数Y就是随机变量。

测量人体温度T，测量误差D是不定的，人体温度T，测量误差D是随机变量。

随机变量取的值用小写字母x,y,…表示。

一般说，抽样时产品质量特性是随机变量。

若X是随机变量，则对任意常数c，)(cX≤是随机事件，例如点数)(3X≤就是随机事件，次品件数)(2X≤也是随机事件。

Ω=∞≤=-∞≤)(,)(XXφ。

若X,Y互不影响，称它们独立，这时)()(),(bYPaXPbYaXP≤≤=≤≤。

随机变量分为：离散随机变量和连续随机变量。

2. 随机变量的分布（1）离散随机变量及其分布离散随机变量：只能取有限个值，或取无限个值，但这无限个值能顺序排下去的随机变量称为离散（型）随机变量。

例如掷一粒骰子，其点数是离散随机变量。

设100件产品中有5件次品，任取3件，取得次品件数就是离散随机变量。

通常设一米布上的疵点数可能是0，1，2，…..；未选定哪一米布前，所选布疵点数是离散随机变量。

离散随机变量的分布：设离散随机变量X 仅能取,...,..,k 21x x x ；相应概率),...(),..(),(k21x X P x X P x X P ===称为X 的分布。

通常离散随机变量的分布用表格或数学式子表示。

例 掷二粒骰子，其点数之和Y 的分布列（概率函数）是 y2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 p 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 例 一米布上的疵点数X 的分布是,.....,,!)(210x e x 2x X P 2x===-二项分布例 设一批产品中，次品率p 为0.02，任取1件，检验是否是正品后放回去，再任取一件，检验是否是正品后放回去，…如此进行10次，所取10件产品中，次品件数X 分布有010-01010P(X =0)=0.02(1-0.02)=0.980⎛⎫ ⎪⎝⎭110-1910P(X =1)=0.02(1-0.02)=0.2*0.981⎛⎫ ⎪⎝⎭…1010-101010P(X =10)=0.02(1-0.02)=0.0210⎛⎫ ⎪⎝⎭X 的概率分布是：10210x 0201020x 10x X P x 10x ,.....,,).(.)(=-⎪⎭⎫ ⎝⎛==-。

一般的，设一批产品中，每件次品率p ，任取1件，检验是否是正品后放回去，再任取一件，检验是否是正品后放回去，…如此进行n 次，所取n 件产品中，次品总件数X 的概率分布是：n 210x p 1p x n x X P x n x ,.....,,)()(=-⎪⎭⎫ ⎝⎛==-这种抽样方法叫有放回抽样。

如果随机变量X 的概率函数为n 210x p 1p x n x X P x n x ,.....,,)()(=-⎪⎭⎫ ⎝⎛==-则称X 服从二项分布，记为),(~p n b X 。

例 某批产品批量1000件，不合格品率p=10％，从该批产品中抽取10件，其中不合格品数不超过l 件的概率为( )A ．0.910。

B. 1.9*0. 99 C 0.99 D. 1.9*0.910提示1000很大，可作为有放回情形考虑。

不合格品数不超过l 件的概率=不合格品数等于0件的概率加上不合格品数等于l 件的概率选B（2）连续随机变量及其分布能连续取值的随机变量称为连续（型）随机变量。

例如测量误差X ，电池的寿命Y ，所加工零件的长度Z 都是连续随机变量。