河南省豫东、豫北十所名校2014届高三上学期第四次联考试题 数学(理)

本试题卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效，考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
第I 卷选择题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的(A) (B) (C) (D)
(1)设全集U 是实数集R ，{}
{}2
|4,|ln(2)0M x x N x x =≥=+≥，
则
(A){}|12x x -≤< (B){}|2x x < (C){}|12x x -<< (D) {}|2x x ≤ (2)
设复数121,cos sin 221212
i ππωω=-
+=+，若12z ωω=⋅,则复数z 的虚部为 (A)12-
(B)12
(C)2-
(D) 2
(3)下列命题中，真命题是
(A)00,0x R x ∃∈≤ (B),x e x R e x ∀∈> (C)0a b -=的充要条件是
1a
b
= (D) 若p q ∧为假，则p q ∨为假 (4)已知点Q(5，4)，若动点P(x ，y)满足2202010x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-≥⎩
，则PQ 的最小值为
(A)
2
(C)5 (D)以上都不正确 (5)已知函数201021(),()'(),()'(),,f x xe f x f x f x f x ===⋅⋅⋅1()()()n n f x f x n N *-=∈ 则2014'(0)f =
2013- 2014学年度上期高三名校第四次联考
数学（理科）
(A)2013 (B)2014 (C)2 015 (D)2 016 (6)某程序框图如图所示，则输出的结果是 (A)
20122013 (B) 20132014 (C)20142015 (D) 2015
2016
（7)已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 (A) 33π+ (B)542π+
(C)43π+ (D) 742
π
+ (8)在平面直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以x 轴的正半轴为始边，若终边经过点P 00(,)x y 且(0)OP r r =>，定义：00
cos y x si r
θ-=，称“c o s si θ”为“正余弦函数”对于正余弦函数y=sicosx ，
有同学得到以下性质：
①该函数的值域为⎡⎣；②该函数图象关于原点对称；③该函数图象关于直线34
x π
=
对称；④该函数的单调递增区间为32,2,4
4k k k Z π
π⎡⎤
-
+
∈⎢⎥⎣
⎦
,则这些性质中正确的个数有 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
(9)在38
(1)(1)x x -+的展开式中，含2
x 项的系数是n ，若0122(8)n n n nx a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则
012n
a a a a +++⋅⋅⋅+=
(A)0 (B)1 (C) -1 (D) 715
(10)如图，将半径为l 的圆分成相等的四段弧，再将四段弧围成星形放在圆内（阴影部 分）．现在往圆内任投一点，此点落在星形区域内的概率为
(A)
4
1π
- (B)
1
π
(C)1
1π
-
(D)
(11)如图，过抛物线22(0)x px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于
点C ，若B C F =，且4AF =+AB 与抛物线22(0)x px p =>所围成的封闭
图形的面积为
(A)
3 (B)3 (C) 3 (D) 3
(12)如图，互不相同的点121212,,,,,,,,,,,,n n n A A A B B B C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅分别在以O 为顶点的三棱锥的三条侧棱上，所有平面n n n A B C 相互平行，且所有三棱台
111n n n n n n A B C A B C +++-的体积均相等，设n n OA a =，若122a a ==．则86a =
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10
第Ⅱ卷非选择题
二、填空题：本文题共4小题，每小题5分
(13)若向量a ，b 是单位向量，则向量a-b 在向量a+b 方向上的投影是_________。

(14)设A ，B 分别是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且4
CBA π
∠=，若AB=8，则E 的实轴长为___________。

（15）已知函数1()ln
2x f x x -=-，则1161373()()()()()1051052f f f f f +++++8
()5
f + 17919
()()()10510
f f f ++=___________。

(16)已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，线段EF ，GH 分别在AB ，1CC 上移动，且
1
2
EF GH +=
，则三棱锥EFCH 的体积最大值为___________。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17)（本小题满分10分）
在△ABC 中，内角A ，B,C 的对边分别为a ，b ，c ，且
b a c
a b c a b
+=+-+
(I)求角A ；
(Ⅱ)若a= 15，b=10，求cos B 的值 (18)（本小题荫分i2分）
某次网球比赛分四个阶段．只有上一阶段的胜者，才能继续参加下一阶段的比赛．甭则就被淘汰，选手每闯过一个阶段，个人积10分，否则积0分．甲、乙两个网球选手参加了此次比赛，已知甲每个阶段取胜的概率为
12，乙每个阶段取胜的概率为23
(I)求甲、乙两人最后积分之和为20分的概率。

(Ⅱ)设甲的最后积分为X ，求X 的分布列和数学期望． (19)（本小题满分12分） n 。

已知数列{}n a 的前n 项和为12,16n S a a +=且124(2,)n n S S n n n N *-=++≥∈。

(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；
(Ⅱ)令n n b na =，求{}n b 的前n 项和n T . (20)（本小题满分12；分）
如图所示，由正三棱柱111ABC A B C -与正四面体D- ABC 组成的几何体中，11
,AA = 12,AB O =是正三角形111A B C 的中心
(I)求证：1DO ⊥平面111A B C ；
(Ⅱ)求平面ACD 与平面11AA B B 所成的二面角（锐角）的余弦值
(21)（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>与直线:()l x m m R =∈,四点
(3,1),(3,1),(---中有三个点在椭圆C 上，剩 余一个点在直线l 上．
(I)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)若动点P 在直线l 上，过P 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，使得PM PN =， 再过P 作直线'l MN ⊥.证明直线'l 恒过定点，并求出该定点的坐标．
（22）（本小题满分12分）
设121122,(,),(,)x x A x y B x y <是曲线2
()ln (0)f x m x ax bx c ma =+++<上两点，直 线AB 的斜率为k . (Ⅰ)试比较k 与12
'(
)2
x x f +的大小； ( II)若存在实数012(,)x x x ∈，使得0'()k f x =,求证：12
02
x x x +<。