一道课本例题的有效变式

一道课本例题的有效变式430080武汉市青山区钢城十二中覃玉梅在中考数学复习中，要避免让学生去做大量繁而难的练习，重在解题方法指导和学生数学思维能力的提高．变式教学能起到这样的功效，是培养学生思维能力，提高应变能力的一种有效的教与学的手段．从历年的中考试题来看，绝大多数的题目源于教材，高于教材．因此，复习中老师应立足于课本，精选课本中的典型例题、习题，充分运用各种变式进行教学与训练，才能有效地引导学生探究并理解知识点的实质，并能将所学知识进行延伸拓展．本文呈现一道例题的有效变式，供教学参考．课本原题：人教版九年级数学第86页图1例1如图1，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，求BC ，AD ，BD 的长．解ȵAB 是直径，ʑ∠ACB =∠ADB =90ʎ，在Rt △ABC 中，BC =AB 2－AC 槡2=102－6槡2=8（cm ）櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧．这就意味着“动手操作”和“自主探索”问题在以后的中考命题中还会频繁出现，应引起足够重视．3新定义型例3（益阳卷）我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．一条直线l 与方形环的边线有四个交点M ，M'，N'，N．小明在探究线段MM'与N'N 的数量关系时，从点M'，N'向对边作垂线段ME'，N'F ，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：图4图5（1）当直线l 与方形环的对边相交时（如图4），直线l 分别交AD ，A'D'，B'C'，BC 于M ，M'，N'，N．小明发现MM'与N'N 相等，请你帮他说明理由；（2）当直线l 与方形环的邻边相交时（如图5），l 分别交AD ，A'D'，D'C'，DC 于M ，M'，N'，N ，l 与DC 的夹角为α，你认为MM'与N'N 还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出MM'N'N的值（用含α的三角函数表示）．解析（1）在方形环中，由M'E ⊥AD ，N'F ⊥BC ，AD ∥BC ，得M'E =N'F ，∠M'EM =∠N'FN =90ʎ，∠EMM'=∠N'NF ，ʑ△MM'E ≌△NN'F ，ʑMM'=N'N．（2）ȵ∠NFN'=∠MEM'=90ʎ，∠FNN'=∠EM'M =α，ʑ△NFN'∽△M'EM ，ʑMM'N'N =M'ENF，又ȵM'E =N'F ，ʑMM'N'N =N'F NF =tan α（或sin αcos α）．当α=45ʎ时，tan α=1，则MM'=N'N ；当α≠45ʎ时，tan α≠1，则MM'≠N'N．点评所谓“新定义”问题，就是在试题中给出一个从未接触过的新概念，要求考生通过阅读后现学现用．这类试题能比较有效地评价学生的数学思维水平及数学学习的应变和创新能力，值得关注．（收稿日期：20101224）44ȵCD 平分∠ACB ，ʑ)AD =)DB ，ʑAD =BD ，在Rt △ABD 中，AD 2+BD 2=AB 2，ʑAD =BD =槡22AB =槡22槡ˑ10=52（cm ）．点评本题主要运用了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理及推论和勾股定理．变式1计算题变为证明题，结论变为开放性图2例2如图2，AB 是⊙O 的直径，C 点为半圆上的一点（AC ＞BC ），∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，连接AD ，BD ，过D 点作DE ⊥AC ，垂足为E ，提问：（1）AC +BCCE是否为定值，请证明你的结论；（2）AC －BCAE是否为定值，请证明你的结论．解法1分析由于题中有∠ACB 的角平分线CD ，且过点D作了∠ACB 一边CA 的垂线，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以添加辅助线，过D 点作∠ACB 一边CB 的垂线．图3如图3，过点D 作DF ⊥CB ，垂足为点F．ȵCD 平分∠ACB ，ʑ)AD =)BD ，ʑAD =BD．ȵDE ⊥AC ，DF ⊥CB ，ʑDE =DF ，ʑRt △AED ≌Rt △BFD ，ʑAE =BF．ȵAB 是直径，ʑ∠ACB =90ʎ．ȵ∠DEC =∠DFC =90ʎ，DE =DF ，ʑ四边形CEDF 是正方形，ʑCE =CF ，ʑAC +BC CE =AE +CE +CF －BF CE =2CECE=2．AC －BC AE =AE +CE －（CF －BF ）AE =AE +CE －CF +BF AE =2AEAE =2．解法2截长法分析因为题中有AC +BC ，AC －BC 即两条线段之和、差的形式，一般采用截长补短的方法．图4如图4，在线段AC 上截取线段CG =CB ，连接DG．ȵCD 平分∠ACB ，ʑ∠ACD =∠BCD．在△CGD 和△CBD 中，ȵCG =CB ，∠ACD =∠BCD ，CD =CD ，ʑ△CGD ≌△CBD ，ʑGD =BD．ȵAD =BD ，ʑGD =AD ，ȵDE ⊥AC ，ʑAE =EG （等腰三角形三线合一），ʑAC +BC CE =AE +CE +CE －EG CE =2CECE=2，AC －BC AE =AE +CE －（CE －EG ）AE =AE +CE －CE +EG AE =2AEAE=2．解法3补短法图5如图5，延长CB 至点H ，使CH =CA ，过D 点作DF ⊥CB ，垂足为点F ，连接DH．在△CAD 和△CHD 中ȵCA =CH ，∠ACD =∠BCD ，CD =CD ，ʑ△CAD ≌△CHD ，ʑAD =HD．ȵAD =BD ，ʑHD =BD ，ȵDF ⊥CB．ʑBF =FH （等腰三角形三线合一），同方法1可证CE =CF ，AE =BF ，ʑAC +BC CE =CF +FH +CF －BF CE =2CF CE =2CECE=2，AC －BC AE =CF +FH －（CF －BF ）AE=CF +FH －CF +BF AE =2AEAE=2．点评本题中将计算题变为证明题，结论变为开放性，变重复性学习为创造性学习；用三种方法解此题，体现了一题多解的数学方法，利用解题过程的变式训练；培养学生思维的灵活性；其中第三种方法相对前两种方法而言略显复杂，可以优化学生的思维，解题过程中有效地训练了学生作辅助线的方法（过角平分线上的点作角两边的垂线、截长补短法）．变式2由特殊变一般，变化了条件呈现方式图6例3如图6，AB 是⊙O 的一条弦，C 点为圆上的一点（AC ＞BC ），过O 点作OD ⊥AB 于H ，交⊙O 于D 点，连CD ，过D 点作DE ⊥AC ，垂足为E ，探究（1）上题的两个结论是否仍然成立；（2）求AC 2－BC 2CE ·AE 的值．解（1）如图6，过D 点作DF ⊥CB ，垂足为点F．ȵOD ⊥AB ，ʑ)AD =)BD．ʑ∠ACD =∠BCD ，AD =BD．ȵDE ⊥AC ，DF ⊥CB ，ʑDE =DF ，ʑRt △AED ≌Rt △BFD ，ʑAE =BF ，在Rt △CED 和Rt △CFD 中，DC =DC ，DE =DF ，ʑRt △CED ≌Rt △CFD ，ʑCE =CF ，ʑAC +BC CE =AE +CE +CF －BF CE =2CECE=2，AC －BC AE =AE +CE －（CF －BF ）AE =AE +CE －CF +BF AE =2AEAE=2．（2）AC 2－BC 2CE ·AE =（AC +BC ）（AC －BC ）CE ·AE =AC +BC CE ．AC －BCAE=2ˑ2=4．注：也可以类似变式1中的截长补短法解题，在此不叙述了．点评此题呈现了四种变式或变化（1）条件的变式：题中AB 是⊙O 的直径变为AB 是⊙O 的一条弦，体现了从特殊到一般的变式；CD 是∠ACB 的角平分线，变为OD ⊥AB ，因为OD ⊥AB ，可以由垂径定理、弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理，得出CD 是∠ACB 的角平分线这一结论，体现了条件由直接变为间接的呈现方式；（2）结论的变式：代数式AC 2－BC 2CE ·AE 比AC +BC CE ，AC －BCAE这两个式子形式上更复杂，学生必须求出上题中的两个结论，才能得出AC 2－BC 2CE ·AE的值等于4；（3）知识点的变化：加入了垂径定理的运用、平方差公式的运用（4）解法的变化：上题可证四边形CEDF 是正方形，由于AB 不再是⊙O 的直径，此题四边形CEDF 只是一般的四边形，要证CE =CF ，只能证明这两条线段所在的三角形全等．变式3内角平分线变外角平分线，且加入平面直图7角坐标系例4如图7，⊙O 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于D ，P 两点，圆心O 在y 轴上，过点D 作DE ⊥弦AC ，垂足为E 点，Q 点在BC 的延长线上．（1）求证：∠QCD =∠ACD ；64（2）问AC +BCAE 是否为定值，请证明你的结论．证明（1）如图8，连接DA ，DB．ȵx 轴⊥y 轴，点O 在y 轴上ʑ)AD =)BD ，ʑ∠BAD =∠ACD ，ȵ四边形ABCD 内接于⊙O ，ʑ∠BAD +∠BCD =180ʎ．ȵ∠QCD +∠BCD =180ʎ，ʑ∠QCD =∠BAD ，ʑ∠QCD =∠ACD．（2）如图8，过D 点作DF ⊥CB ，垂足为F．图8先证DE =DF ，CE =CF ，再证Rt △AED ≌Rt △BFD ，ʑAE =BF ，后面步骤类似变式2的过程．点评此题呈现三种变式（1）条件“OD ⊥AB ”由直接变间接；（2）点C ，D 从在弦AB 的异侧变为同侧；（3）内角平分线变外角平分线；变式4图形变复杂，一圆变两圆例5如图9，A （0，4），D （－2，0）．点O 1在x 轴上，图9⊙O 1经过A ，E 两点，与x 轴正半轴交于B 点，交y 轴负半轴交于C 点，过A ，O ，B 三点作⊙O 2．（1）求⊙O 2的半径；（2）点E 在⊙O 1上，连AE ，交⊙O 2于P 点，连CE ，求AP －CEPE的值．解（1）如图9，连接O 1A ，AB 在Rt △O 1AO 中，设O 1A 的长为x 个单位长度，由勾股定理列方程得x 2－（x －2）2=42，解得x =5，OB =OO 1+O 1B =3+5=8．ȵx 轴⊥y 轴，即∠AOB =90ʎ，ʑAB 是⊙O 2的直径，AB =OA 2+OB 槡2=42+8槡2槡=45，ʑ⊙O 2的半径为槡25．图10（2）如图10，在线段AE 上取一点F ，使AF =CE ，连接BC ，BE ，BP ，BF （如图10），ȵx 轴⊥y 轴，点O 1在x 轴上，ʑ)AB =)BC ，ʑAB =CB．又ȵ∠BAE =∠BCE ，在△BAF 和△BCE 中，ȵAB =CB ，∠BAE =∠BCE ，AF =CE ，ʑ△BAF ≌△BCE ，ʑBF =BE ，ȵAB 是⊙O 2的直径，ʑ∠BPA =90ʎ，ʑFP =EP （等腰三角形三线合一），ʑAP －CE PE =AF +FP －CE PE =FP PE =PEPE=1．点评此题中由一个圆变为相交两圆，使图形更复杂，在解题过程中运用了90ʎ的圆周角所对的弦是直径；结论中的代数式AP －CEPE的值为1，克服学生思维定式．以上这种有层次、有坡度的变式，让学生熟练地运用垂径定理、弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理及推论和勾股定理等基础知识，掌握相关的作辅助线方法，提高学生的解题能力．培养学生思维的敏捷性、灵活性和深刻性，让学生学会“以变来识不变”，达到“以不变应万变”的目的．总之，在平时的教学与中考复习中，教师应加强对课本典型习题和中考数学试题的研究，立足基础、力求变化、锻炼思维、培养能力，让学生在学会解题的同时，在“异中求同，同中求异”中培养聚合思维和发散思维能力，真正做到“做一题，通一类，会一片，得一法”，让学生从“题海”中解放出来，做到课堂效益最大化，复习方法最优化．（收稿日期：20110121）。