一道课本例题的探究与拓展
1 在运动中探索 在变化中思考
江苏省东台市五烈镇中学 杨荫林
（获2013江苏省教育科学研究院中学数学组二等奖）
摘要 在我们自主学习，合作交流中，要认真观察、实验、归纳，大胆提出猜想。为了证实或推翻提出的猜想，我们要通过分析，概括、抽象出数学概念，通过探究、推理，建立数学理论。我们要积极地运用这些理论去解决问题。在探究与应用过程中，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会得到发展。在数学学习过程中，我们将快乐成长。
在我们的教科书中设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接，以及习题中的“思考〃应用”、“探究〃拓展”等，以激发我们探索数学的兴趣。在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，我们会更加喜欢数学。
关键词 命题 运动 变化 两圆内切、外切、外离、内含。
普通高中新课程标准实验教科书中有一部分例题和习题，它本身提出的的问题是非常明确具体的，但如果我们在自主学习的过程中不是以得到例习题所提问题的解答为满足，而是进一步加强合作、探索实践创新，交流我们的学习成果，我们发现新课程标准实验教科书中的例习题的背后还有好多资源有待去研究与拓展。本文以(苏教版)普通高中课程标准实验教科书选修4-1《几何证明选讲》1.2圆的进一步认识，1.2.2圆的切线，2.弦切角例4为例P32，作初步的探究与拓展。
一. 原题中两圆内切
命题1 如图1，两圆内切于点P，大圆的弦AD与小圆相离，PA、PD交小圆于点E、F，直线EF交大圆于点B、C，求证：(1)EF∥AD;(2)∠APB=∠CPD.
O2O1NMFECBDAP NMPFEBCA
如图1 如图2
变化1 如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相切,那么有
命题2 如图2,两圆内切于点P,大圆的弦AB切小圆于点C.求证:∠APC=∠BPC.
设PA,PB交小圆于E,F,则请你探究下列各等式是否成立?
(1)CE=CF;(2)⊿ACE∽⊿CPF;(3)PC2=PA·PF;(4)PE·BC=PF·AC;(5)PA·PB-PC2=AC·BC;
(6)S⊿ACE:S⊿BCF=PE:PF．
变化2如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相交,那么有
命题3如图3,两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于点B,C.求证:∠APB=∠CPD 2 MPDCBA QPDCBA
如图3 如图4(甲)
Q
PBCDA QPCBA
如图4(乙) 如图5(甲)
变化3 如果大圆静止，小圆向外运动，则得：
二.变化为两圆相交
命题4如图4，两圆相交于点P，Q，大圆的弦AD交小圆于点B，C.试探求∠APB与∠CQD的关系.
变化4如果大圆的弦AD再与小圆相切,那么有
命题5如图5,两圆相交于点P,Q,大圆的弦AB切小圆于点C.试探求∠APC与∠BQC的关系.
PQCBA PQBA
如图5(乙) 如图6
变化5接图5(乙)如果AC变化为两圆的外公切线,那么有
命题6如图6,两圆相交于点P,Q,AB为外公切线,A,B为切点,试探求∠APB与∠AQB的关系.
变化6如果大圆静止,小圆继续向外运动,则得下列情形.
三.变化为两圆外切
命题7如图7,两圆外切于点P,大圆的割线AD交小圆于点B,C.试探求∠APB与∠CPD的关系.
变化7如果把上题的“外切”改为“相切”，那么试探求∠APB与∠CPD的关系. 3 PCDBA PCBA
如图7 如图8
变化8如果大圆的割线切小圆于点C,那么有
命题8如图8,两圆外切于点P,大圆的割线AB切小圆于点C.试探求∠APC与∠BPC的关系.
变化9接上题的“外切”改为“相切”，那么试探求∠APC与∠BPC的关系.
变化10接图8,如果AC变化为两的外公切线,那么有
命题9如图9,两圆外切于点P,AB为公切线,A,B为切点,试求∠APB的度数.
在大家的合作交流，探索研究中发现，上述命题中常要添置的辅助线是公切线或公共弦；需要运用弦切角定理、圆内接四边形的性质、切线长定理、三角形内角和的有关性质来探求两角相等或互补。
四．变化为两圆外离
命题10如图10(甲)(乙),两圆外离,大圆的割线AD交小圆于B,C.连心线O1O2交大圆于E,交小圆于F,直线AE,BF交于点P,直线DE,CF交于点Q.试问:∠APB与∠CQD相等或互补吗?为什么?
O2O1NMQPFEBCDANMO2O1QPEFBCDA
如图10(甲) 如图10(乙)
提示:如图10(甲)∠CQD=1800-∠DCQ-∠CDQ=1800-∠N-∠M=1800-(900-∠EFP)-(900-
∠FEP)=1800-∠APB,即∠APB与∠CQD互补.
命题11如图11(甲)(乙),两圆外离,大圆的割线AB切小圆于C.连心线O1O2交大圆于E,交小圆于F,直线AE,BE交直线CF于点P,Q.试问:∠APC与∠BQC相等或互补吗?为什么?
4 NMO2O1QPFECBA GNMO2O1QPEFCBA
如图11(甲) 如图11(乙)
命题12如图12,两圆外离,AB是公切线,A,B为切点, 连心线O1O2交大圆于E,交小圆于F,直线AE,BF交于点P.(1)试问:∠APB=900吗?为什么?(2)求证:BD∥AE,(3)求证:BD⊥AC,(4)求证:∠AEB=∠AFB
QO2O1DCFEPBA O2O1MNFEPQBCAD
如图12 如图13(甲)
五.变化为两圆内含
命题13如图13(甲)(乙), 大圆的弦AD交小圆于B,C.连心线O1O2交大圆于E,交小圆于F,直线AE,BF交于点P,直线DE,CF交于点Q.试问:∠APB与∠CQD相等或互补吗?为什么?
O2O1NMCDQPFEBA QPO2O1MNFECBA
如图13(乙) 如图14(甲)
命题14如图14(甲)(乙),两圆内含,大圆的弦AB切小圆于C.连心线O1O2交大圆于E,交小圆于F,直线AE,BE交直线CF于点P,Q.试问:∠APC与∠BQC相等或互补吗?为什么? 5 O2O1EFNMCPQBA
如图14(乙)
通过上述图形的运动变化,我们发现“变中有不变”的道理,因此,学会用运动变化的观点去观察研究几何图形的性质,从中探索和发现某些规律性的东西,这样有助于培养学生利用迁移规律,促进知识、技能的广泛而积极的迁移.在教学中,鼓励他们自主学习,独立思考,合作交流,探索实践创新,在发展他们求同思维的同时,注重发展学生的求异思维,积极培养他们良好的思维品质,努力提高他们的学习质量.
当变化为同心圆时,仍可得到命题13，14的结论,所以,此情形这里不再赘言.
从上述命题的图形可以看出,它们添置的辅助线是弦AM,CN和DM,证明思想相仿.证明的依据仍然是三角形内角和,圆周角定理,圆内接四边形,弦切角定理,直角三角形等相关性质.在图14(乙)中,∠BQC=1800-∠B-
∠BCQ=1800-∠M-∠ACF=1800-(900-
∠PEF)-(900-∠PFE)=∠PEF+∠PFE=∠APC
即∠APC与∠BQC互补.
教材例题与习题的拓展初探
臻 爱蔓－． 解题技巧与方法 嵇媾 援槠 题岛 题 撅展 攘 ◎吴绪坤 （福建省清流县第一中学３６５３００） 近几年来的高考数学试题，总能在试题中找到课本例 题或习题的影子：２０１１年陕西高考文理第１８题叙述并证明 余弦定理，２０１２年福建高考理科第１７题源自人教Ａ版必修 四第ｉ章习题３．１的Ｂ组第３题；如２０１３年福建高考理科 第９题源自人教Ａ版必修五第二章的复习参考Ａ组第１０ 题，第１８题源自人教Ａ版选修２—１第二章习题２．２的口组 第４题；２０１４年高考湖北卷文理科数学均有约９０分试题 源自课本……．它们中有些高考试题直接来源于习题或例 题，有些高考试题来源于例题、习题的改编，而有些高考试 题的结论、方法来源于课本． 目前不少教师在平时的教学和高考复习中常出现一个 误区：偏爱各类参考资料，四方搜集各种课外习题，而将课 本抛在一边，结果导致学生对课本中的概念、基本思想方法 模糊不清，基本公式的来龙去脉不甚知晓，对通性通法不熟 练，而一味去搞“题型分析”，去寻找“解题妙法”，在答卷时 就可能去钻牛角尖，死套“题型”硬要去用“巧妙方法”，从 而导致不必要的失分．因此在基于数学本质的原则下，用好 用活教材中的例题与习题，能够较好的让学生掌握中学数 学基础知识、基本技能、基本思想和基本方法，提高学生的 思维能力、运算能力、空问想象力及分析运用知识解决实际 问题的能力．以下谈谈本人在教材例题与习题的拓展研究 中的几点做法和感受． １．例习题的拓展是在基于数学本质的原则下，为的是 让学生更好更快地掌握数学知识，因此问题的拓展不一定 要多么的深入，综合程度也无需过高．学生易错之处最易进 行例习题的拓展． 例１ “已知过点Ｍ（一３，一３）的直线Ｚ被圆 Ｙ。＋ ４ｙ一２１＝０所截的弦长为４√５，求直线ｆ的方程．”（源自人 教版《必修２》Ｐ１２７页例２） 拓展：“已知过点 （一３，一３）的直线ｆ被圆 ＋Ｙ ＋ ４ｙ一２１＝０所截的弦长为８，求直线ｆ的方程．” 拓展的意义：教材例题中，先南勾股定理，求出圆心到 直线ｆ的距离为√５，然后假设直线２方程的点斜式方程，利 用圆心到直线距离公式，得到一个关于斜率 的方程，求 有两个值，进而求出直线ｆ的方程，有两个答案．如果拓展 后仍然沿用此法，则求出的 只有一个值，却忽略了斜率不 存在的直线 ＝一３也是答案之一．经过拓展，让学生掌握 在求直线的斜率之前，必须考虑斜率是否存在，培养学生思 维的慎密性． ２．改变例习题中的某些条件亦是例习题拓展常见 方式． 例２ “过抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（Ｐ＞０）的焦点Ｆ作直线与抛 物线交于Ａ，Ｂ两点，以ＡＢ为直径的画圆，借助信息技术工 具，观察它与抛物线准线ｚ的关系，你能得出什么结论？” （源自人教版《选修２—１》Ｐ８１页复习参考题曰组第７题） 拓展：其中条件“过抛物线Ｙ ：２ｐｘ（Ｐ＞０）的焦点Ｆ”拓 展为“不过抛物线Ｙ ：２ｐｘ（Ｐ＞０）的焦点，”． 拓展的意义：利于拓展学生的发散思维． ３．研究逆命题是否成立让例习题拓展成为一种常态教 学行为． 例３ “过抛物线焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ，Ｂ两点， 通过点Ａ和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点Ｄ，求 证：直线ＤＢ平行于抛物线的对称轴．”（源自人教版《选修２ —１》Ｐ７０页例５） 拓展１：“过抛物线焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ，Ｂ两 点，通过点曰作直线ＤＢ平行于抛物线的对称轴，交抛物线 的准线于点，】，求证：Ａ，０，Ｄ ｉ点共线．” 拓展２：“过抛物线焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ，Ｂ两 点，通过点Ｂ作直线ＤＢ平行于抛物线的对称轴，交直线ＡＯ 于点Ｄ，求证：点 在抛物线的准线上．” 拓展３：已知Ａ为抛物线Ｙ ＝２ｐｘ（Ｐ＞０）上任意～点，通 过点Ａ和抛物线顶点０的直线交抛物线的准线于点Ｄ，过 点４作 轴的平行线，交抛物线的准线于点Ｃ，则ＣＦ上ＤＦ． （文［１］中对此已做详细说明论证） 拓展的意义：通过拓展，让学生们理解“Ａ，０，Ｄ 点共 线”、“点Ｄ在抛物线的准线上”、“直线ＤＢ平行于抛物线的 对称轴”三个条件中，由其中任意两个可以导出剩余一个． 另外还可引导学生类比研究椭圆、双曲线也有类似的性质． 从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探索精神． ４．将例习题归纳总结，导出一般性规律． 例４ （１）“点Ｍ（ ，Ｙ）与定点Ｆ（４，０）的距离和这到直 １＜ Ａ 线ｆ： ＝ 的距离的比是常数÷，求点Ｍ的轨迹．答案是椭 叶 ） ２ ｎ，２ 圆素＋ ＝１．”（源自人教版《选修２—１》Ｐ４７页例６） （２）“点Ｍ（ ，Ｙ）与定点Ｆ（５，０）的距离和这到直线ｆ： １‘ ＜ ＝— 的距离的比是常数÷，求点Ｍ的轨迹．答案是双曲线 Ｊ ｑ－ ２ ＾，２ 一 ＝１．”（源自人教版《选修２～１》Ｐ５９页例５） ＪＵ ７ 拓展：研究定点和常数比、焦点、离心率，联系抛物线定 义，探索它们与椭圆、双曲线、抛物线的关系． 拓展的意义：引导学生归纳出圆锥曲线的统一定义． 对教材例习题的拓展探究，还可通过改变问题背景、将 不同章节问题交汇综合等．不仅能激发学生学习数学的兴 趣，培养学生的探索精神，同时对提高教师自身的专业素养 起着积极的促进作用． 【参考文献】 ［１］吴绪坤．一道课本例题的拓展与利用，数学学习与 研究，２０１３（１５）：９８—９９． 数学学习与研究２０＂１５ １
对课本习题的探究与拓展
／ 写卟。 ２０１４．８ 授业＞＞高效课堂
对课本习题的探究与拓展
邱霞玲
（湖北省云梦县曲阳高中 湖北云梦４３２５００）
【摘要】高考也好，平时测试也罢，都是以课本只是为原型，变式所得，但是万变不离其宗，本文主要探讨课本习题的拓展。
【关键词】课本习题探究拓展高中数学
【中图分类号】Ｇ６３３．６ 【文献标识码】Ａ 【文章编号】１６７４—０６７Ｘ（２０１４）０８—０６０—０１
原题：普通高中课程标准实验教科书＜
数学＞必修Ⅳ第１４６页复习参考题Ｂ组第７
题。如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为１，Ｐ，Ｑ分别
为边ＡＢ，ＤＡ上的点。当ＡＡＰＱ的周长为２时，
求ＬＰＣＱ的大小。
一
、探究原题
原题是对运动过程中的不变量的研究。当点Ｐ在线段ＡＢ上
运动时，满足条件的点Ｑ随之在线段ＡＤ上运动。当点Ｐ确定
后，点Ｑ是以点Ａ、Ｐ为焦点，以２一ＡＰ的长为长轴的椭圆与线段
ＡＤ的交点。因此当点Ｐ确定后，点Ｑ的位置不能用尺规作出。
△ＣＰＱ随点Ｐ的运动而变化，但ＬＰＣＱ不变，是一个定值。原题
考查了两角和的正切公式，代入消元，整体求值以及构造方程的
思想方法。是一道难题。
二、改编意图
１．由对原题的探研知ＡＣＰＱ随点Ｐ的运动而变化，因此
ＡＣＰＱ的面积也在变化，那么ＡＣＰＱ的面积是否有最大值或最
小值？由此得改编后的命题ｌ。命题１考查了三角恒等变换，三角
函数的值域，不等式的性质等知识。
２．利用原题的图形以及原题的命题意图，将“ＡＡＰＱ的周
长为２”改为：ＰＱ－ｔ（１（ｔ＜、／ ，ｔ为常数），当点Ｐ在线段ＡＢ上运动
时， ＡＰＣ也在变化。ＡＣＰＱ的面积与ＬＡＰＣ有什么关系？能不
能由此求出ＡＣＰＱ的面积的最大值或最小值？由此得改编后的
命题２。命题２考查了三角函数的值域，三角恒等变换，变量代
换，二次函数的值域等知识。
三、改编后的命题及其参考答案
命题１：如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为ｌ，Ｐ，Ｑ分别为边ＡＢ，
ＤＡ上的点。当ＡＡＰＱ的周长为２时，①求ＬＰＣＱ的大小；②求
推理类比 探究拓展——对一道课本例题的推广
２０１１年第２期 福建中学数学 ３７ 令ｆ＝２一ｃｏｓ０，ｔ∈【１，３】・ 原不等式等价于ｍ＞４一（ｔ十２／ｔ）恒成立． ‘． 当ｆ∈ｌＩ，３Ｉ时，ｔ＋２／ｔ≥２４２， ．・．原不等式恒成立时，ｍ＜４—２√２． ３．更换主元法 不少含参不等式的恒成立问题，若直接从主元 入手有困难或不可能时，我们可转换思维角度，将 主元与参数互换，常可得到简洁的解法． 例４设不等式ｍｘ 一２ｘ—ｍ＋１＜０对满足ｊｍ ２ 的一切实数ｍ的值都成立，求实数Ｘ的取值范围． 分析多元不等式问题求解的关键在于确定主 元．此类问题常由于思维定势，易把它看成关于ｘ的 不等式来讨论，就显得很繁琐，然而若将 确定为 主元，则其求解立显快捷． 解不等式转化为（ 一１）ｍ＋１—２ｘ＞０，设 ｆ（ｍ）＝（Ｘ 一１）ｍ＋１—２ ，当ｌ ｌ＜２时，ｆ（ｍ）的图象 是一条线段．要使（Ｘ 一１）ｍ＋１—２ｘ＞０恒成立，只需 ￣ｌｊＩｆ（２）＝２（ｘ２＿＾１）一（２Ｘ－ ） ， 【， 一２）＝－２（ｘ 一１）一（２ｘ—１）＜０ 解得 的取值范围为ｆ ， １． 小结在一个含有多个变量的不等式恒成立中， 首先要确定合适的主元和参数，一般地，结论中求 谁的范围，那个字母视为参数，这时另一个字母即 为主元，然后将不等式按主元进行整理，通过图像 法加以解决． ４．数形结合法 若所给的不等式涉及到两个不同名函数，参数 又无法分离出来，这时应综合考虑研究两个图象的 相对位置来确定参数的取值范围． 例５若Ｘ∈（１，２）时，不等式 一１） ＜ｌｏｇ。Ｘ恒成 立，求实数口的取值范围． Ａ．（０，１） Ｂ．（１，２） Ｃ．（１，２］Ｄ．［１，１ ２】 分析这种类型的不等式直接求解是很困难的， 所以一般来说采用数形结合的方法，先构造函数， 作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函 数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件， 求出参数的取值范围． 解设 （ ）＝ 一１） ， （ ）＝ｌｏｇ Ｘ在同一坐标 系中，画出这两个函数图象． 要使对一切Ｘ∈（１，２），不等式 一１） ｌｏｇ Ｘ恒 成立，只需做到ａ＞１且 （２） ｆ（２），求得ｌ＜ａ≤２． 总之，对含参不等式的恒成立问题，要根据具 体的题设条件，认真观察题目的结构特征，从不同 的角度，不同的方向，加以分析探讨，从而选择适 当的方法快速而准确地解出． 推理类比 探究拓展 ——对一道课本例题的推广 苏连枝 福建省安溪梧桐中学（３６２４０２） 高中课标教材（人教Ａ版选修２—１）Ｐ６９例４是一道 耐人寻味的题目，给人以角度多，思维入口宽的探 索空间，具有着推理、探究、拓展的问题价值． 斜率为ｌ的直线，经过抛物线Ｙ ＝４ｘ的焦点Ｆ， 且与抛物线相交于Ａ、Ｂ两点，求线段ＡＢ的长． １．问题的求解思路 思路１将直线方程与抛物线方程联立，可以求 出 、 两点坐标，利用两点问的距离公式求出 ｌａｇ １． 思路２利用圆锥曲线的弦长公式 设Ａ（ｘ ，Ｙ ），Ｂ（ｘｅ，ＹＢ）， 则 ＋ ＝６，Ｘ ・Ｘ８＝１， Ｉ ＡＢ Ｉ＝√２ Ｉ 一 Ｉ＝４５￣／（ｘＡ－ｘｎ）。 ＝√２√（ ＋ ） 一４ｘ ＝８． 思路３利用抛物线定义及根与系数关系 ｌ ＡＢ Ｉ＝ｌ ＡＦＩ＋Ｉ ＢＦ Ｉ＝ＸＡ＋１＋ ＋１＝ ＋ ＋２＝８． 教师可作适当点评：方法３思路比较简捷，可 作通法使用． ２．问题的拓展 ２．１
一道课本例题的延伸与拓展
＼教学园地＼ １０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１—４８９Ｘ．２０１０．０４．１１８ 一道课本例题的延伸与拓展 赵九洲 人教版数学教材在“三垂线定理”一节中的例题３从题目的选配、前后知识的连贯性、方法的体现等方面看，是 一道难得的好题。 求证：如果一 个角所在平面外一 点到角两边距离相 等，那么这一点在 平面内的射影在这 个角的平分线所在 直线上。如图１所 示，已知ＺＢＡＣ在平 图１ 面口内，Ｐ ａ， 上 ，ＰＦ＿ＬＡＣ，ＰＯ＿Ｌ口，垂足分别是 ，Ｆ，０，ＰＥ＝ＰＦ。求证：ＺＢＡＯ＝￣ＣＡＯ。 １结论性知识 如果把图ｌ中俐连起，根据题目条件不难得出 ＝ ＰＡＢ，反之也必有雎＝ ，这恰恰是该版教材课后 习题３４页第ｌ１题的证明方法。而本题也是一个非常重要 的结论。原题：从一个角的顶点到这个角所在平面的斜 线，使斜线和这个角两边的夹角相等，求证斜线在平面 内的射影是这个角的平分线所在的直线。 本习题结论可以用来寻找线面成角并计算求解。 如图２所示：正方体 ＡＢＣＤ－Ａ Ｃ１ ｌ中， 、Ｆ分另０ 是船， 中点，试求 Ｂ 与Ａ ＥＣＦ平面成角的正切 ４ 值。 １）不难证明四边形 Ａ ＥＣＦ是菱形。２）ＺＢ Ａ Ｆ ＝ＺＢ１Ａ】Ｅ。于是由习题结 ． 论知 Ｂ 在平面 ＥＣＦ上的 射影为 Ｆ Ａ Ｅ的角平分 Ｄ Ｆ
图２ ２个互相垂直的 平面内，找到它 们与交线所成的 角，然后利用上 述公式计算（适 合客观题目）。 如图３所 图３ Ｄ
示，正方￣ＡＢＣＤ沿对角线肋折成直二面角，，Ｙｐ￣Ｂ与∞成 角的大小。 显然平Ｉ￣ＡＢＤ上平面 ，交线为ＢＤ，ＡＢ与肋成４５。 角， 与ＢＤ成４５。角，．’．异面直线ＡＢ与ＣＯ成角目满足 ＣＯＳ ０＝ｃｏｓ４５。・ｃｏｓ４５。。．。．０＝６０。。 再￣ｎ２ｏｏ５年高考全国卷（Ｉ）１８题第（ＩＩ）题，虽 不可直接用此法来求解，但亦可用做结果的检验。 如图４所示，已知四棱 ＢＣＤ的底面为直角梯形， ＡＢ∥ＰＣ， ＤＡＢ：９０。，ＰＡｊ－底￣ＡＢＣＤ， ＝ＡＤ＝ＢＣ ＝１／２ＡＢ：ｌ， 是朋 中点。１）证明：面 Ｄ上面Ｊｐ 。２）求 ＡＣ与ＰＢ成角。３）求 Ｉ￣ＡＭＣ与面ＢＭＣ所成二 面角的大小。 由已知可知平 面ＰＡＢ上平面 ∞， 交线为ＡＢ，ＡＣ与ＡＢ成 ４５。角，ＰＢ与ＡＢ成角 ’ 余弦为÷，于是 线 Ｃ，则ＺＢ，Ａ 即为所求线面成角。在ＲｔＡＢＩＡ 中， ｔａｎＬＢｆｌ √２。对本题而言，结论性知识的应用 关键在于条件的把握、应用。 ２知识的拓展 在原例题图中，ｚｐＡｏ，￣是线面成角，并且可以得出如下 关系式…ｓ￣ＰＡＯ＝ ，ｃｏｓ ＺＰＡＦ＝箐，ｃｏｓ／ＯＡＦ＝ 。 于是ＣＯＳ ＬＰＡＦ＝ＣＯＳ Ｄ・ＣＯＳ ＺＯＡＦ，这个关系式不仅 仅很好地诠释了线面成角中的最小角问题，而且可以用 来计算异面直线成角问题。观察图中平面 ０与平面ａ显 然垂直，而ＬＰＡＯ和￣ＦＡＯ分别是 与 与交鳓Ｄ成角， Ａ 于是可得二异面直线成角求法：分别把二异面直线放在 ２０１０年２月上第４期（总第１９Ｏ期） ■ｒ下 一 －－１１８—— Ｄ Ｃ 图４
一道教材习题的应用与拓展
浙江省初中数学学科教学建议中指 出：对例题、习题做适当的变式，让学生 练习，尝试举一反三．数学教学中离不开 例题、习题，而教材中的许多例题、习题 都具有典型性、示范性和探索性，所蕴含 的内容也相当丰富，对它们不能简单地就 题论题，而应进行适当的变化、引申与挖 掘，揭示有价值的新结论，这样做不仅能 产生触类旁通、举一反三的学习效果，而 且能开阔学生的思想，培养学生的创造能 力．下面以浙教版八年级上册第４７页习 题第２题为例，从“利用结论，直接应 用…‘弱化条件，变化引申…‘图形组合， 综合运用”等方面予以分析说明． 原题 如图１，ＡＢ上ＢＤ于点口， ＣＤ上ＢＤ于点Ｄ，Ｐ是ＢＤ上一点，且 ＡＰ＝ＰＣ，ＡＰ上ＰＣ，则ａＡＢＰ Ａ肋Ｃ 试说明理由． Ｂ Ｐ Ｄ 图１ ・＋－＋＊＋一＋一＋－＋－＋－＋一＋一＋－—－ －十一＋ 成合理的知识结构． “三基”的提升并不是一蹴而就的， 需要一个循序渐进的过程．在日常教学 中，学生对数学知识的初次认知尤为重 要，因此一定要留给学生充分探究、发 现、归纳、概括的时间，扎扎实实地掌握 好每一个数学概念．任何匆忙追求教学进 度、依靠机械性的强化训练的做法，都不 可能取得良好的效果． ３．思想方法，平时渗透 数学在形成人类理性思维方面起着核 心作用，数学的思想方法是数学学科的灵 魂，它有时并非刻意指向解题所运用的数 学知识，而更多的体现在对解题策略的思 考和选择上．科学的数学思想方法是培养 学生数学素养的重要途径，而这正是目前 【说明】这是教材中的一道习题，根 据已知条件，学生容易证得结论．这道习 题蕴藏着丰富的内容和背景，对它做进一 步的挖掘、引中和探索，对提高学生的数 学素养，发展学生的学习能力都能起到事 半功倍的作用． 一、利用结论。直接应用 例１ （２００８年浙江・台州卷）如图２， 四边形ＡＢＣＤ、ＥＦＧＨ、ＮＨＭＣ都是正方 形，边长分别为ｎ、ｂ、Ｃ．Ａ、Ｂ、Ｎ、Ｅ、 Ｆ五点在同一直线上，则Ｃ＝ （用含 有ａ、ｂ的代数式表示）． Ｍ Ａ Ｂ Ｅ ｝ 图２ 分析：此题利用了正方形四边相等、 四个角都是直角的性质，构造出原题中的 一个数学模型．这样直接可应用原题中的 结论，得出ＢＮ＝ＥＨ＝ｂ．由勾股定理， 得ｃ＝、／ －Ｉ－ｂ ． ＋ 教学中较为薄弱的环节之一． 值得注意的是，对数学方法和数学思 想的教学不能孤立进行，它应以具体的数 学知识为载体，在知识的发生、发展过程 中，适时渗透数学思想方法，在问题探索 及解决过程中揭示数学思想方法，在小结 和复习中提炼概括数学思想方法，只要我 们平时注重在日常教学中对数学方法和数 学思想的渗透，数学思想方法就会自然地 “内化”到学生的思维方式之中． ４．过程教学，训练思维 近几年的中考不仅关注对学生学习结 果的评价，还关注对数学活动过程的评 价，尤其注重对学生探索能力和创新能力 的考查，关注对学生的数学思维潜力的开 发与提高，形成了近几年中考的一道亮丽 例２（２００７年江苏・南通卷）如图３， 在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＃ｏｃ，ＡＢ＿ＬＢＣ， ＡＢ＝２ ｃｍ，ＣＤ＝４ ｃｍ．以ＢＣ上一点０为 圆心的圆经过 、Ｄ两点，且厶４ＯＤ：９０。， 则圆心０到弦ＡＤ的距离是（ ）． Ａ Ｄ Ｃ 图３ （Ａ）、／ ｃｍ（Ｂ） ｃｍ （ｃ）２、／， ｃｍ（Ｄ）２、／ ｃｍ 分析：此题的关键是要挖掘同圆半径 的隐含条件，得出原题中的数学模型．则 由原题中的结论，可得ＯＢ＝ＣＤ：４ ｃｍ． 所以Ａ０＝２、／５ ｃｍ．则圆心Ｏ到弦ＡＤ 的距离是、／１０ ｃｍ． 例３（２００５年安徽卷）如图４，直 线ｚ过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ｂ，点Ａ、ｃ 到直线ｚ的距离分别是１和２，则正方形 的边长是 一 的风景线． “重结论、轻过程”仍是当前教学中 的主要误区之一．这种忽视知识形成过程 的教学，会导致学生只重视结论本身，甚 至死记硬背结论，“只知其然而不知其所 以然”，也就更谈不上在考场上灵活运用 与迁移转化了． 在教学过程中，要从重视知识结论转 向重视知识的形成过程，真正改变不合理 的教学方式，加强对教材例题、习题和中 考数学试题的研究，立足基础，力求变 化，形成问题链，以达到“做一题，通一 类。会一片”的教学效果．同时还应关注 学生的学习方式的改变，使教学过程变成 促进学生思维方式不断发展的过程． 中国薮学教育［２０１
一道课本习题的联想与拓展
２０１１年第４期 数学教育研究 ・ １７ ・
一道课本习题的联想与拓展
廖多智 靳礼翠 （湖北省竹溪县实验中学４４２３００）
“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”它揭示了在
解决数学问题时，要从不同的角度看问题，也就是要建
立发散思维．对课本中的一些经典习题，从不同的角度
去分析，由此及彼的去联想，从特殊到一般的加以探
究，能拓宽学生的视野，提高学生的解题能力，增强学
生的创新意识．
１题目
七年级数学（新人教版）
下册第９１页第９题，如图１，
１一 ２， ３一 ４， Ａ一
１００。，求ｚ的值．
解：‘．‘ ＡＢＣ＋ ＡＣＢ ＋／Ａ一１８Ｏ。 图１ Ｃ
．‘． ＡＢＣ＋ ＡＣＢ一１８０。一 Ａ
。．。 １一 ２， ３一 ４，
．・． ２＋ ４一÷（ ＡＢｃ＋ ＡｃＢ）一÷（１８ｏ。一
Ａ）
’．‘ ２＋ ４＋ｚ。一１８０。
．‘．ｚ。一１８０。一（ ２＋ ４）一１８０。一÷（１８０。一
Ａ）
又。． Ａ一１００。 ．－ｚ一１４０。
２联想
联想１：三角形两内角
平分线所成的角与第三个角
的大小关系．如图２，在ＡＢＣ
中， ＡＢＣ和 ＡＣＢ的平分
线交于点Ｏ，试探求 ＢＯｃ
与 Ａ的大小关系．
从上题解答知： ＢＯＣ 图２ Ｃ
１８０。 １（１８ｏ。ＺＡ）
．・． Ｂ０ｃ一９０。＋ Ａ
联想２：三角形两外角平分线所成的角与其不相
邻的一个内角的大小关系．如图３，ＡＢＣ的外角 ＣＢＤ 和 ＢＣＥ的平分线交于点
ｏ，试探求 ＢＯＣ与 Ａ的
大小关系．
解：。．。 ＣＢＤ： Ａ＋
ＡＣＢ
ＢＣＥ一 Ａ＋ ＡＢＣ
． ＣＢＤ＋ ＢＣＥ一
Ａ＋ ＡＣＢ＋ Ａ＋
／ＡＢＣ：１８Ｏ。＋／Ａ
‘．’ＢＯ平分 ＣＢＤ，Ｃ０ ０
图３ 半分 ＢＣＥ
．・． ｃＢＯ＋ Ｂｃ。一Ｉ（ＡＣＢＤ＋￣ＢＣＥ）一９０。
＋ Ａ
‘．‘ ＢＯＣ＋ ＣＢＯ＋ ＢＣＯ＝１８０。
． ． ＢＯＣ一１８０。一（ ＣＢＯ＋ ＢＣＯ）一１８０。一
一道课本习题的拓展与应用
一道课本习题的拓展与应用
刘魁益
（睢宁县城西中学，江苏睢宁２２１２００）
苏科版义务教育教材九年级（上）第２６页有这样一道习
题：
在正方形ＡＢＣＤ中： （１）已知：如图①，点Ｅ、Ｆ分别在ＢＣ、ＣＤ上，且ＡＥ上ＢＦ，垂
足为Ｍ．求证：ＡＥ＝ＢＦ。
（２）如图②，如果点Ｅ、Ｆ、Ｇ分别在ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ上，且ＧＥ Ｊ－
ＢＦ，垂足为Ｍ，那么ＧＥ、ＢＦ相等吗？证明你的结论。
（３）如图③，如果点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别在ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ、ＡＢ上，且
ＧＥ上ＨＦ垂足为Ｍ．那么ＧＥ、ＢＦ相等吗？证明你的结论。
Ｄ Ｇ Ｄ ａ
Ｆ囡Ｆ Ｈ因
Ｂ Ｅ Ｃ ８ Ｅ ｃ
图① 图② 图③
一、思路与解法 Ｄ
Ｆ 我们可以间接得出还有一组相等的锐角。二是上述的两条线
段的端点分别在两组对边上运动，这些条件应是我们可以推 出结论的根本条件
思考３：若图①中的Ｅ与Ｃ重合、Ｆ与Ｄ重合，结论是否成立？
由此可知。正方形的对角线所具有的数量和位置关系是以上
条件下的特例。
思考４：如果其它条件不变。但是上述的两条线段分别在
正方形两组对边所在的直线上运动，结论是否成立呢？如下图
⑨一⑨中，用同样的思路和方法可以论证结论仍然成立。
Ｄ
思路一：就第一问而言，显然用三角形全等来证明。第二、
三两问如果用同样的思路，只需分别作出辅助线构造全等的
直角三角形即可完成。图形如图⑥，解法不再赘述。
图④ 图⑥ 图⑥ 思路二：既然是同一道题目中的三个小题，应考虑到它们
之间的联系。那么第二个图形与第一个图形相比较发生了怎
样的变化？又有何联系？通过思考可知：正方形的大前提未变、 两线段垂直的条件未变，似乎只是线段ＡＥ向右平移到了ＧＥ的
位置，在此思路的指引下只需证明过Ａ点ＡＰ／／ＧＥ。然后证明
ＡＰ＝ＧＥ即可。以同样的思路解第三问，只需作出两条平行线段
作为辅助线即可完成。图形如图⑦，解答过程略。
Ｄ 参 Ｄ
Ｂ Ｐ Ｅ Ｃ Ｂ ｃ
图ｒ７） 图（１８）
一道课本习题的反思与拓展
中’７擞・７（２ｏｌｏ年第２期・高中版） ・解题研究・ 一道课本习题的反思与拓展 ４３００４０ 湖北省武汉市吴家山中学 黄立俊 由于升学压力，不少教师在起始年级教学时就远离 教材，大搞题海战术，这种本末倒置的做法不利于学生 数学能力的培养．笔者认为在新课学习过程中，教师要 充分发挥教材功能，使学生学会探究、学会反思，引导学 生对教材问题的探究和反思，使学生对教材知识融会贯 通，达到举一反三，触类旁通之目的． 原例（《高中数学》第一册（必修）下Ｐ 例５） 如图１， ， 不共线， ＡＰ＝￡ 曰（ｔＥＲ），用 ， 表示 解・．・Ａ—Ｐ：￡ 。０ ———｝———’——十 ．’．ＯＰ＝ＯＡ＋ＡＰ ： ＋ｆ 图１ ： ＋ｔ（ 一 ）：（１一 ）一ＯＡ＋ｚ ， ．・． ：（１一ｚ） ＋ｔ ① 反思感悟①式表达的内容为：以向量 ， 为一 组基底表示向量 反思指向此例一般看来既普通又简单，在教学之 后，如果能适时引导学生开展探究和反思，可以发现在 这道例题的背后有着丰富的研究内容和拓展空问．下面 是笔者与学生共同探究反思的过程和收获． 反思１举一反三——用 ， 能否表示 ？用 ， 能否表示 ？ 问题一抛出，同学们迅速可以从①式中得到答案： ＝ ｏ－ｆ＋（１一 ） ， ② ： ＋（１一÷） ， ③ 反思感悟从②，③可知 ， 也可以作为 的一 组基底， ， 也可以作为 的一组基底． 反思２揭示规律——①，②，③式告诉我们存在什 么样的内在规律 通过探究和反思我们发现： （Ｉ）三向量 ， ， 的终点Ａ，曰，Ｐ共线． （Ⅱ）分别表示三向量 ， ， 的三组基底的系 数之和均为Ｉ．于是得出如下定理： 定理１从０点出发的三个向量 ， ， 的终点 Ａ， ，Ｐ共线的充要条件是存在一对实数 ，卢，使得ａ＋ ＝１，且 ＝ ＋卢 ． 证明（１）必要性：若Ａ，Ｂ，Ｐ三点共线，则存在实 数Ａ，使得Ａｐ：Ａ ＡＢ．即 一 ：Ａ（ 一 ）ｊ ：（１一Ａ） ＋Ａ蔬 令 ＝１一Ａ， ＝Ａ， ．・．得 ＋卢＝１，且 声： ＋卢 直 （２）充分性：若 ： ＋卢 ，且 ＋ ＝１． 由 ＝１一卢得 ＝（１一卢） ＋ ———－｝———＋—— ——— ——— ——— ｊＯＰ—ＯＡ＝ （ＯＢ—ＯＡ）＝ Ｐ＝ ＡＢ． ．‘．Ａ，Ｂ，Ｐ三点共线．由（１），（２）定理１获证． 由定理１，还可以得出一个定理． 定理２从０点出发的三个向量 ， ， 的终点 Ａ，Ｂ，Ｐ共线的充要条件是有存在不全为０的实数ｅ，ｍ， ｎ，使得ｅ ＋ｍ ＋ｎ ：０，且ｅ＋ｍ＋ｎ＝０．（证明 略） 反思３知识交融——在平面向量基本定理中，口＝ Ａ。 ＋Ａ 一ｅ２，Ａ。，Ａ：∈Ｒ设 ＝口，一ＯＡ＝ 。， ＝ ：，则Ａ， Ｂ，Ｐ三点共线的条件是 ． 由定理１可知，则Ａ，Ｂ，Ｐ三点共线的条件是 。＋Ａ ：１． 反思４ 寻求关联—— 有向线段的定比分点公式的 向量形式与定理１有何关系？ 如图２，设Ａ是点Ｐ分有
一道课本例题的创新性拓展——以课本例题为载体开展探究性学习教学案例
一道课本例题的创新性拓展——以课本例题为载体开展探究性学习教学案例
林燎
【期刊名称】《福建中学数学》
【年(卷),期】2006(000)001
【摘 要】高中数学第二册(上)第117页例2“:点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.”这道题,看上去很简单,如果孤立静止地解答它,那么再好也不过是解决了一个问题.但是如果对其细心探究,可以发现这道题蕴涵着丰富的探究性学习的内容.1探究一题多解,串点成线解法一直接法求轨.由已知,点M属于集合P={M MF=x+5?1}.设点M的坐标为(x,y),则有(x?4)2+y2=x+5?1.若M在l左边,则M到F的距离必大于M到l的距离,即MF>x+5>x+5?1,不合题意.所以M只能在l右边,∴x>?5,故有(x?4)2+y2=(x+5)?1.化简得所求方程为:y2=16x.解法二定义法求轨.如上图,设点M的坐标为(x,y),由已知条件可知点M到F的距离等于它到直线x+4=0的距离.根据抛物线的定义,点M的轨迹是以F(4,0)为焦点,以x+4=0为准线的抛物线,且p/2=4,所以点M的轨迹方程为:y2=16x.2探究一题多变,并线成面实施条件变换:“把直线l向右平移n个x y
M O x+5=0F(4,0)单位,让点M到l的距离相应缩短n,点M与点F(4,0)的距离比它到l的距离相应增...
【总页数】2页(P9-10)
【作 者】林燎
【作者单位】福建泉州第五中学 【正文语种】中 文
【中图分类】G633
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1.一道课本例题探究性学习 [J], 黄道清
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一道课本例题引发的探究
一道课本例题引发的探究
【摘 要】高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，引导学生乐于把现有的问题进行演变、引申，发展学生的创新思维，培养他们的探究能力。
【关键词】例习题 问题 探究 引申
高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，通过探究让学生大胆的提出问题、解决问题。这样不仅能加深概念、法则、定理等基础知识的理解与掌握，更重要是开发了学生的智力，培养学生的探究能力。现以人教版选修2—1第41页例3的教学为例，并谈谈自己的一些想法。
一、问题的提出
（选修2—1第41页例3）设点A、B的坐标（5,0）、（-5,0）。直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积是-94，求点M的轨迹方程。
解答：（略）
本题由学生用直译法做，没有太大的问题。
二、问题的引申
1、逆向思维，大胆猜想：
牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”翻开数学史册，可以发现数学的历史就是一部充满猜想的历史。可见猜想与数学发现是形影不离的。我们可以通过例题，引导学生进行大胆猜想与合情推理，发展他们发现问题的能力。针对例3的答案为椭圆方程，学生不禁会问一般的椭圆是不是都有这样的性质呢？
猜想1：椭圆0(12222babyax上长轴的两顶点A、B与任意一点P（不同于A、B）连线PAPB、的斜率之积为定值.
解答：（略）
有了例3的解答，这个问题让学生自主解决。
2、大胆假设，归纳引申： 先通过大胆假设，再从特殊问题入手，归纳出一般性的结论。这样有利于学生形成良好的认知结构。变式问题中弦AB是长轴，能不能改成一般过原点的弦呢？
我们可以先与学生一起来探究一个特殊的问题，归纳出方法，再引申出一般性的命题。
问题：椭圆22132xy上任意一点P与过中心的弦AB的两端点A、B连线PAPB、与对称轴不平行，求直线PAPB、的斜率之积。
证明:设111(,),(,),PxyAxy则111(,),Bxy2222111,13232xyxy,两式相减得: