一道课本例题的探究与应用
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一道课本例题的探究与应用
作者：张立政
来源：《中学数学杂志(高中版)》2014年第04期
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课本是重要的教学资源，例题是数学教材的重要组成部分，是教材的精华，颇受高考命题专家的青睐.数学教师应充分对例题进行探究，挖掘其应用价值.著名数学家G·波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使其通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”下面通过一道课本例题的探究谈一谈如何“立足课本，对接高考”.
1 题目呈现 龙源期刊网
题目 （人教A版《数学〈选修2-1〉第41页的例3）设点A，B的坐标分别为（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-49，求点M的轨迹方程.
2 题目探究
探究1 设点A，B的坐标分别为（-a，0），（a，0）.直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为-b2a2，求点M的轨迹方程，点M的轨迹是什么？
结论1 与两定点A（-a，0），B（a，0）连线的斜率之积等于定值-b2a2
的点M的轨迹方程是x2a2+y2b2=1（x≠±a）.
情形1：当a>b>0时，点M的轨迹是以AB为长轴的椭圆，除去A，B两点.
情形2：当b>a>0时，点M的轨迹是以AB为短轴的椭圆，除去A，B两点.
情形3：当a=b>0时，点M的轨迹是以AB为直径的圆，除去A，B两点.
探究2 结论1的反面是什么？是否成立？
结论2 椭圆x2a2+y2b2=1上两个顶点（-a，0），（a，0）与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为定值-b2a2.
探究3 类比“圆中任一条直径所对的圆周角是直角”，将结论2中的两顶点换成经过椭圆中心的任意一条弦的两端点，结论是什么？结论是否成立？
结论3 椭圆x2a2+y2b2=1上任意经过中心的弦的两个端点与椭圆上任一点（除这两点外）连线斜率之积为定值-b2a2.
探究4 将“圆的垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”类比到椭圆中，结论是什么？结论是否成立？
结论4 过椭圆x2a2+y2b2=1的中心平分该椭圆弦的直线与弦所在的直线的斜率之积为定值-b2a2.
探究5 将“圆的切线定理：过切点的直径垂直于过该切点的圆的切线”类比到椭圆中，结论是什么？结论是否成立？
结论5 过椭圆x2a2+y2b2=1上一点与中心连线的直线的斜率与椭圆在该点处切线的斜率之积为定值-b2a2. 龙源期刊网
当然，可将以上椭圆中的结论类比到双曲线中，探究其是否成立.（限于篇幅，留给读者探究总结）
3 对接高考
例1 （2013年高考全国大纲卷（理科）第8题）
椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上，且直线PA2斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（ ）.
A.12，34 B.38，34
C.12，1 D.34，1
解析 由结论2得，kPA1·kPA2=-34，所以kPA1=-34kPA2（-2≤kPA2≤-1）.因为kPA1单调递增，所以38≤kPA1≤34，故选B.
例2 （2013年高考全国新课标Ⅰ卷（理科）第10题）已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A、B两点.若AB的中点坐标为（1，-1）则E的方程为（ ）.
A.x245+y236=1 B.x236+y227=1
C.x227+y218=1 D.x218+y29=1
解析 由结论4得：-b2a2=-12，所以a2=2b2.又a2=b2+9，所以b2=9，a2=18，选D.
例3 （2013年高考全国新课标卷Ⅱ（理科）第20题第⑴问）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2+y2b2=1（a>b>0）右焦点的直线x+y-3=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.求M的方程.
解析 由结论4得，-b2a2=12×（-1），所以a2=2b2.又直线x+y-3=0过焦点（c，0），所以c=3，即a2-b2=3，所以a2=6，b2=3，点M的轨迹方程为x26+y23=1.
例4 （2013年高考北京卷（理科）第19题第（2）问）已知A、B、C是椭圆W：x24+y2=1上的三个点，O是坐标原点.当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.
解析 四边形OABC不可能为菱形.理由如下： 龙源期刊网
假设四边形OABC为菱形，则对角线OB与AC互相垂直且平分于点M，于是kOB·kAC=-1.又由结论4知，kOM·kAC=-14.因为kOM=kOB，所以kOB·kAC=-14.因为-14≠-1，所以假设不正确.所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形.
例5 （2013年山东卷（理科）压轴题）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.
（1）求椭圆C的方程;
（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连结PF1，PF2，设∠F1PF2
的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围;
（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值.
解析 （1）x24+y2=1（过程略）.
（2）设P（x0，y0）（y0≠0）.
当x0=0时，m=0.
当x0≠0时，由结论5知kOP·k切=-14，所以k切=-x04y0.
由椭圆光学性质知kPM·k切=-1，所以kPM=4y0x0，所以∠F1PF2的角平分线PM的方程为y-y0=4y0x0（x-x0），令y=0得m=34x0（-2 （3）由题意，设P（x0，y0）（x0≠0，y0≠0）. 由结论5知，kPM·k切=-14，所以k=k切=-x04y0，而k1=y0x0+3，k2=y0x0-3，所以1k1+1k2=2x0y0，所以1kk1+1kk2=-4y0x0·2x0y0=-8. 例6 （2013年高考山东卷（理科）压轴题的一般化）椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2. （1）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连结PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围; 龙源期刊网 （2）在（1）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值. 解析 （1）由题意，设P（x0，y0）（y0≠0）. 当x0=0时，m=0. 当x0≠0时，由结论5知kOP·k切=-b2a2，所以k切=-b2x0a2y0. 由椭圆光学性质知，kPM·k切=-1，所以kPM=a2y0b2x0，所以∠F1PF2的角平分线PM的方程为y-y0=a2y0b2x0（x-x0）. 令y=0得m=x0-b2a2x0=a2-b2a2x0（-a 综合上述得-a2-b2a2 （2）由题意，设P（x0，y0）（x0≠0，y0≠0）. 由结论5知，kOP·k切=-b2a2，k=k切=-b2x0a2y0，而k1=y0x0+c，k2=y0x0-c，所以1k1+1k2=x0+cy0+x0-cy0=2x0y0，所以1kk1+1kk2=-a2y0b2x0·2x0y0=-2a2b2. 4 教学启示 4.1 注重对课本例题教学价值的挖掘. 课本例题具有示范性，通过例题教学，帮助学生深究教材例习题，挖掘其潜在功能，发挥其使用价值，对激发学生的探索兴趣，培养学生的解题能力，发展学生的创造性思维，都具有积极的作用. 42 立足教材，高效备考. 新课程提倡教师在教学中对课程资源进行开发和利用，教材是教师进行教学的主要资源，是学生能力的生长点，是高考命题的主要依据.立足教材，开发教材，做透教材中的典型例题和习题，善于在高考题中寻找教材题目的原型，探索高考试题与教材题目的结合点，打通教材与高考的通道，对接高考，才能最终实现在高考复习中跳出题海，高效备考. 作者简介 张立政，男，1964年生，山西孝义人，山西省中学数学特级教师，主要从事中学数学教育与教学研究. 龙源期刊网
一道课本例题探究和思考
投稿邮箱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ．１６３．ｃｏｒｎ 数学教学通讯（教师版） 试题研究＞知识延伸
教材是教师教学的线索，是众多专
家和教育工作者的研究成果和智慧的结
晶．但受篇幅的限制，教材中的内容不可
能罗列很多的示范供教学参考，更不能
过多地呈现教学的探究过程．在教学中， 教师首先要充分领会教材意图，准确地 把握教材的知识点、生长点、重难点．在
此基础上合理地对教材实施“开发加
工”．充分挖掘蕴涵的数学思想方法，对
一些例题可以进行适当变形转化，引申
拓展成符合学生实际的，能够促进学生 进行思考的多种探究活动。让学生体验
数学发展和创造的历程，发展他们的创
新意识．这也体现了教师“用教材教”，而
不是“教教材”的新课程理念．下面笔者
以苏教版数学选修２—１第２９页的一道例
题的教学引发的探究为例，谈谈对课本 例题进行“再加工”的点滴体会．
出示问囊
倒将圆 上的点的横坐标保持
不变。纵坐标变为原来的一半，求所得曲
线的方程，并说明它是什么曲线．
分析设所求曲线上任一点坐标为
，Ｙ），与圆上时应点的坐标为（ ’，Ｙ’），则 李俊 江苏启东中学２２６２Ｏ０
有 ，Ｙ ＝２ｙ，再由 ＋ ：４，得到 ＋ ２－＿４，
．．２ 即 竹 １．故所求曲线为椭圆． ４ 由上面的解答过程容易看出．椭圆可 以看成是对圆上的点向同一条直径施行
伸缩变换而得到的．这样在椭圆和圆这 两个图形之间就架起了一座“桥梁”一一
伸缩变换．利用这座“桥梁”，我们可以把
椭圆里的一些问题先放到圆里面去研究。
然后再将得到的结论沿着“桥梁”还原到
椭圆中去．根据这一思路，教学中及时引 导学生继续探究，创新解题思路、方法．
探究拓展架构椭圆和圆之
问的“桥梁”
１．探究伸缩变换的性质 我们只探讨沿砖由方向的伸缩变换：
＝ｍ∞，ｙｔ＝ｙ． 在变换作用下点Ｐ（ｘｏ，ｙｏ）变为ｔｒ（，： 。，
０）；直线２：）， ＋６变换后仍为直线Ｚ ：： ＝
旦 ＋６；若点Ｐ在直线ｌ上，即有ｙ０ ０＋ｂ， ｍ 则ｙ＇ｏ＝ｙｏ＝ｋｘｏ＋ｂ：＿坌Ｉ．眦ｏ＋ｂ： Ｘ＇ｏ＋ｂ．所以 ｍ ｍ 变换后 在直线Ｚ 上． 设直线ｌ ∥２：，若斜率存在，即有ｋ ｍ＝ ｋ ，变换后得到的两条直线Ｚ 。，Ｚ 的斜率
一道课本习题的探究与拓展
＜数学之友＞ ２０１０年第２０期 解题探索 一道课本习题的探究与拓展 孟农生 （江苏省东台中学，２２４２００） ２０１０年江苏高考数学卷第１７题的原型题，是 的最大值． 苏教版高中数学必修５第９２页第ｌ１题，题目如下： ２．５ ０．５ 如图ｌ，有一壁画， 最高点Ａ离地面４ｍ，最 低点 处离地面２ｍ．若 从离地面高１．５ｍ的ｃ 处观察它，则离墙多高 时，视角０最大？ ／ ｒ， 一一 ｌ 图１ 这是一道传统的实际问题，实际生活中有不少 问题与它相似．本文首先探究这道题的解法，然后举 一反三进行拓展． １课本问题的探究 １．１建立数学模型 由题目条件易知ＡＢ： ２ｍ，ＡＤ＝２．５ｍ（如图２），若设ｃ ＣＤ＝ｘｃｍ，则问题转化为在 ＡＡＣＤ中，当 为何值时，０角最大的数学问题．从 而转化为函数中的最值问题． １．２建立适当的目标函数 法一：利用余弦定理直接求解．在ＡＡＣＢ中，仅 知ＡＢ＝２ｍ，直接求０的最值，较为困难． 运用勾股定理可知 ＢＣ： ，Ａｃ： 再在ＡＡＣＢ中运用余弦定理，可知 ＡＣ ＋Ｂｃ２一ＡＢ ｃｏｓＯ — ■ ＋２．５ ＋ ２＋０．５ 一２２ ２ ． ２ ＋２．５ ２￣／ｉ 法二：利用正切，求解最值．设 ＡＣＤ＝ ， ／ＢＣＤ＝ ，则０＝ａ—ＪＢ，改求 一／３的最大值．另一 ，） 方面，在ＲｔＡＡＣＤ中，ｔａｎａ＝ ，在ＲｔＡＢＣＤ中， ｔａｌ ： ，启发我们“取正切”，即改求ｔａ （ 一 ） ・６０・ ｔａｎ（ 一／３）＝ １＋ｔａｎｔ￣ｔａｎｆｌ — … ２ ２ 一１。１．２５一 十１．２５。 ■Ｔ 比较上述两种方法，虽然法二中建立的目标函 数比较简单．关键是转化 一 的最值，同时联系已 知条件，选择正切函数最值如果在法二中，选择正 弦或余弦函数，同样较繁，因此建立目标函数，必须 “适当”——便于求出最值． １．３ 求出函数的最值 对于分式函数ｔａｎ０ 可用导数求最 值，但仔细观察，此函数可变形为ｔａｎ０＝— ， 用基本不等式 ＋ 三≥２ ，可以很容易求出： 等号成立时，当且仅当 ： 芋，即 ： 时，ｔａｎ 最 大．显然，本题运用基本不等式求最值比较简便 由此可见，探究问题的一般步骤是： 建立数学模型——首先仔细审题，将实际问题 转化为数学问题；建立目标函数——注意根据条件， 建立的函数必须“适当”，便于求解；求出函数最 值——注意选择基本方法；检验所得结果——是否 符合实际意义． ２课本问题的拓展 问题１教室的黑板“上沿”距地面ｎ米，“下 沿”距地面ｂ米，学生坐在何处位置最佳？ 分析：如图３，学生坐在教室何处位置最佳，即 求当ＣＤ为多少米时，０角最大的问题，从而也就转 化为上述的课本问题．本题只是在形式上稍作变换．
一道教材习题的应用与拓展
浙江省初中数学学科教学建议中指 出：对例题、习题做适当的变式，让学生 练习，尝试举一反三．数学教学中离不开 例题、习题，而教材中的许多例题、习题 都具有典型性、示范性和探索性，所蕴含 的内容也相当丰富，对它们不能简单地就 题论题，而应进行适当的变化、引申与挖 掘，揭示有价值的新结论，这样做不仅能 产生触类旁通、举一反三的学习效果，而 且能开阔学生的思想，培养学生的创造能 力．下面以浙教版八年级上册第４７页习 题第２题为例，从“利用结论，直接应 用…‘弱化条件，变化引申…‘图形组合， 综合运用”等方面予以分析说明． 原题 如图１，ＡＢ上ＢＤ于点口， ＣＤ上ＢＤ于点Ｄ，Ｐ是ＢＤ上一点，且 ＡＰ＝ＰＣ，ＡＰ上ＰＣ，则ａＡＢＰ Ａ肋Ｃ 试说明理由． Ｂ Ｐ Ｄ 图１ ・＋－＋＊＋一＋一＋－＋－＋－＋一＋一＋－—－ －十一＋ 成合理的知识结构． “三基”的提升并不是一蹴而就的， 需要一个循序渐进的过程．在日常教学 中，学生对数学知识的初次认知尤为重 要，因此一定要留给学生充分探究、发 现、归纳、概括的时间，扎扎实实地掌握 好每一个数学概念．任何匆忙追求教学进 度、依靠机械性的强化训练的做法，都不 可能取得良好的效果． ３．思想方法，平时渗透 数学在形成人类理性思维方面起着核 心作用，数学的思想方法是数学学科的灵 魂，它有时并非刻意指向解题所运用的数 学知识，而更多的体现在对解题策略的思 考和选择上．科学的数学思想方法是培养 学生数学素养的重要途径，而这正是目前 【说明】这是教材中的一道习题，根 据已知条件，学生容易证得结论．这道习 题蕴藏着丰富的内容和背景，对它做进一 步的挖掘、引中和探索，对提高学生的数 学素养，发展学生的学习能力都能起到事 半功倍的作用． 一、利用结论。直接应用 例１ （２００８年浙江・台州卷）如图２， 四边形ＡＢＣＤ、ＥＦＧＨ、ＮＨＭＣ都是正方 形，边长分别为ｎ、ｂ、Ｃ．Ａ、Ｂ、Ｎ、Ｅ、 Ｆ五点在同一直线上，则Ｃ＝ （用含 有ａ、ｂ的代数式表示）． Ｍ Ａ Ｂ Ｅ ｝ 图２ 分析：此题利用了正方形四边相等、 四个角都是直角的性质，构造出原题中的 一个数学模型．这样直接可应用原题中的 结论，得出ＢＮ＝ＥＨ＝ｂ．由勾股定理， 得ｃ＝、／ －Ｉ－ｂ ． ＋ 教学中较为薄弱的环节之一． 值得注意的是，对数学方法和数学思 想的教学不能孤立进行，它应以具体的数 学知识为载体，在知识的发生、发展过程 中，适时渗透数学思想方法，在问题探索 及解决过程中揭示数学思想方法，在小结 和复习中提炼概括数学思想方法，只要我 们平时注重在日常教学中对数学方法和数 学思想的渗透，数学思想方法就会自然地 “内化”到学生的思维方式之中． ４．过程教学，训练思维 近几年的中考不仅关注对学生学习结 果的评价，还关注对数学活动过程的评 价，尤其注重对学生探索能力和创新能力 的考查，关注对学生的数学思维潜力的开 发与提高，形成了近几年中考的一道亮丽 例２（２００７年江苏・南通卷）如图３， 在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＃ｏｃ，ＡＢ＿ＬＢＣ， ＡＢ＝２ ｃｍ，ＣＤ＝４ ｃｍ．以ＢＣ上一点０为 圆心的圆经过 、Ｄ两点，且厶４ＯＤ：９０。， 则圆心０到弦ＡＤ的距离是（ ）． Ａ Ｄ Ｃ 图３ （Ａ）、／ ｃｍ（Ｂ） ｃｍ （ｃ）２、／， ｃｍ（Ｄ）２、／ ｃｍ 分析：此题的关键是要挖掘同圆半径 的隐含条件，得出原题中的数学模型．则 由原题中的结论，可得ＯＢ＝ＣＤ：４ ｃｍ． 所以Ａ０＝２、／５ ｃｍ．则圆心Ｏ到弦ＡＤ 的距离是、／１０ ｃｍ． 例３（２００５年安徽卷）如图４，直 线ｚ过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ｂ，点Ａ、ｃ 到直线ｚ的距离分别是１和２，则正方形 的边长是 一 的风景线． “重结论、轻过程”仍是当前教学中 的主要误区之一．这种忽视知识形成过程 的教学，会导致学生只重视结论本身，甚 至死记硬背结论，“只知其然而不知其所 以然”，也就更谈不上在考场上灵活运用 与迁移转化了． 在教学过程中，要从重视知识结论转 向重视知识的形成过程，真正改变不合理 的教学方式，加强对教材例题、习题和中 考数学试题的研究，立足基础，力求变 化，形成问题链，以达到“做一题，通一 类。会一片”的教学效果．同时还应关注 学生的学习方式的改变，使教学过程变成 促进学生思维方式不断发展的过程． 中国薮学教育［２０１
一道课本例习题教学引发的思考
一道课本例习题教学引发的思考
摘要：课本中例习题是从数不清的数学题中海选出来，就赋予所选出来的都是典型性和启示性，因此在“活”用课本例习题应当注意特别是变式教学时要注重如何更好的形变，如何更好的在“度”、“宽”上的掌控，让学生从不同角度、不同层面去看问题，从学会更好地解决问题。
关键词：数学；课本例习题；反思
课本中例习题是从数不清的数学题中海选出来，就赋予所选出来的都是典型性和启示性，因此在教学过程中对教材中的例题，习题可以从多个角度来挖掘其深层次的数学本质，并结合利用变式教学通过改变数学表征问题，来达到更好地揭示数学本征问题的目的。下面以八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形习题13.3综合运用(P83)12题为例谈谈针对一道课本例习题教学引发的一些思考：
一、注重引导，寻思关键
在课本例习题教学中，教师要先指引学生从题设出发，通过观察图形，自主学习与探讨交流，然后写出证明过程。本题对于学生来说，没有障碍，由已知条件等边三角形自然联想到其性质：三条边相等，三个角相等，学生由图形自主探究构建全等三角，再进行合作交流，找出间边与角之间对应关系，且角的相等是证明全等的关键。
课本这道例习题的教学价值在于学生通过学习后能够完成文字语言与符号语言之间的转换，检验学生对基本概念知识、方法的掌握情况，目的在于让学生学会观察、分析、概括、归纳，提升语言表达能力。
二、深入挖掘，一题多解
数学教学中，为了激发学生的思维和建构知识间的链接，往往是在解决问题时从多角度促使知识间的联系。因此十分有必要对课本中例习题进一步进行挖掘，比如八年级上册第十三章轴对称13.3.2等边三角形习题13.3综合运用(P83)12题，这是一道基础题，如若在教学过程中教师讲过就将之抛在一旁，那乃是捡了芝麻丢了西瓜之举。
一道课本习题的探究与思考
投稿鄹籀：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ １６３ Ｃｏｒｎ 数学教学通讯（教师版） 教学研究＞备课参考 一道课本习题的探究与思考 黄海波 江苏如皋搬经中学２２６５００ 问题（苏教版数学５第一章复习题第７题）如图１，已知厶４为 定角，Ｐ，Ｑ分别在ＬＡ的两边上，ＪｐＱ为定长．当Ｐ，Ｑ处于什么位置 时，△Ａ户Ｑ的面积最大？ 图１ Ｑ １．解读 教师：请同学们思考本题已知什么？要求什么？怎么求？ 学生１：该题条件清晰，问题明确．已知三角形中一角及其对 边，其余两边及角不确定，要求面积的最大值．需要建立目标函 数，再求解．我想设角为未知数，选用正弦定理和面积公式求解． （笔者追问：为什么？其回答是三角公式多，可能好处理一些．） 学生２：因为已知了一角，要求面积，我想用这个角的两边为 变量，同时知道该角的对边，由余弦定理把一边用另一边表示， 再求解． 学生３：这是三角形中的最值问题，我想用几何方法求解，就 是求高的最大值． 学生４：我猜是等腰三角形时，面积最大．（笔者追问：为什 么？其回答是角定了，点Ａ也定，角的两边也定，动点Ｐ，Ｑ地位相 同，我猜对称时面积最大．） 其他同学的想法基本上类似．虽然学生们的回答有不严谨 的地方．但我都肯定了他们的想法．同时指出解三角形时，我们 一般要作图．选用四个公式（正弦、余弦定理，面积公式，内角和 公式），化简变形时还得用前面学过的三角公式．求最值时，我们 一般用代数方法或几何方法求解．用代数方法时．我们是侧重于 三角运算，还是非 角运算，需根据题目而定． ２．探求 教师：学生４对结论提出了可能的结果。请同学们选择某一 方向解题．验证其猜想． ５分钟内，笔者巡视中发现一些解法并指定学生把其解答书 写到黑板上．（方便起见，文中把学生在本题中所设未知量统一 改为：设 Ａ ，ＰＱ＝ａ，ＡＰ＝ｘ，ＡＱ＝ｙ，厶４尸Ｑ ，ＬＡＱＰ－￣，其中 ，ａ 为定值） 学生５：由土：上： 得 ： ，ｙ：＿ａｓｉ，￣，所以ｓ ｓｉｎＯ ｓｉｎＢ ｓｉｎａ ｓｉｎａ ｓｌ‘ｎｏ￣ 一 １ ．ｄｓｉｎ０ｓｉｎｆｌ ｓｉｎ ｉｎ（竹— — ） ａ２ｓｉｎＯｓｉｎ（ｏｔ＋Ｏ） 一 Ｓｌｎ ＝一＝一＝一＝ ２ｓｉｎ２＿ａ ｆ２ ＼ １＿ｃｏｓ２０ ２ ÷［ｃｏｓａ－ｃｏｓ（２０＋￣）］，因为Ｏ＜Ｏ＜ｗ－ａ，所１２￣ａ＜２０＋ｏｔ＜２＂ｒｒ－ａ．又 ４ｓｌｎＣ￣ ｏ＜ ＜叮Ｔ，ＮＩ）￣Ｎ２０＋ａ＝ａｒ，即 ＝ 时，＃Ｉ￣ＡＰ＝ＡＱ，△Ａ尸Ｑ的面积 最大，且（．ｓ 用）ＩｌＨ＝’—ａ２＿（１＋＿ｃ—ｏｓ￣）． ４￥１ｎ０ｆ 学生６：ＮＮｓ ＝ ｓｉｎａ，由 ＝ｘ２ 一２ｘｙｃ。 得ｘ２－２ｘｙ・ ｃｏｓａ＋ｙ２－ａ２＝Ｏ，解得 ：一（意图明显，用求根公式写了，但 又擦了） 学生７：如图２，作Ａ日上—户Ｑ于日点，设ＬＰＡＨ ｌ，ＬＱＡＨ＝ＯＩ， Ａ Ｈ＝ｈ 图２ Ｑ ０１３ 一
一道课本习题的拓展与应用
一道课本习题的拓展与应用
刘魁益
（睢宁县城西中学，江苏睢宁２２１２００）
苏科版义务教育教材九年级（上）第２６页有这样一道习
题：
在正方形ＡＢＣＤ中： （１）已知：如图①，点Ｅ、Ｆ分别在ＢＣ、ＣＤ上，且ＡＥ上ＢＦ，垂
足为Ｍ．求证：ＡＥ＝ＢＦ。
（２）如图②，如果点Ｅ、Ｆ、Ｇ分别在ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ上，且ＧＥ Ｊ－
ＢＦ，垂足为Ｍ，那么ＧＥ、ＢＦ相等吗？证明你的结论。
（３）如图③，如果点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别在ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ、ＡＢ上，且
ＧＥ上ＨＦ垂足为Ｍ．那么ＧＥ、ＢＦ相等吗？证明你的结论。
Ｄ Ｇ Ｄ ａ
Ｆ囡Ｆ Ｈ因
Ｂ Ｅ Ｃ ８ Ｅ ｃ
图① 图② 图③
一、思路与解法 Ｄ
Ｆ 我们可以间接得出还有一组相等的锐角。二是上述的两条线
段的端点分别在两组对边上运动，这些条件应是我们可以推 出结论的根本条件
思考３：若图①中的Ｅ与Ｃ重合、Ｆ与Ｄ重合，结论是否成立？
由此可知。正方形的对角线所具有的数量和位置关系是以上
条件下的特例。
思考４：如果其它条件不变。但是上述的两条线段分别在
正方形两组对边所在的直线上运动，结论是否成立呢？如下图
⑨一⑨中，用同样的思路和方法可以论证结论仍然成立。
Ｄ
思路一：就第一问而言，显然用三角形全等来证明。第二、
三两问如果用同样的思路，只需分别作出辅助线构造全等的
直角三角形即可完成。图形如图⑥，解法不再赘述。
图④ 图⑥ 图⑥ 思路二：既然是同一道题目中的三个小题，应考虑到它们
之间的联系。那么第二个图形与第一个图形相比较发生了怎
样的变化？又有何联系？通过思考可知：正方形的大前提未变、 两线段垂直的条件未变，似乎只是线段ＡＥ向右平移到了ＧＥ的
位置，在此思路的指引下只需证明过Ａ点ＡＰ／／ＧＥ。然后证明
ＡＰ＝ＧＥ即可。以同样的思路解第三问，只需作出两条平行线段
作为辅助线即可完成。图形如图⑦，解答过程略。
Ｄ 参 Ｄ
Ｂ Ｐ Ｅ Ｃ Ｂ ｃ
图ｒ７） 图（１８）
一道课本例题的探究开发
1 一道课本例题的探究开发
663312云南省广南县篆角乡中心学校 陆智勇
课本的例题不仅仅是传授知识、巩固方法、培养能力、积淀素养的载体，如果我们对它们进行特殊联想、类比联想、可逆联想和推广引申，这些例题也可作为探究教学的重要材料。笔者尝试着从课本例题入手，合理开发课本例题，引导学生反思、深化与推广，并结合数学探究教学作了初步的探讨.
题目：如图(1)，AD是△ABC的高，点P,Q在BC上，点R在AC上，点S在AB上，边BC=60cm，高AD=40cm,四边形PQRS是正方形.
(1)相似吗？与ABCASR
(2)求正方形PQRS的边长.
分析：由于四边形PQRS为正方形，所以SR∥BC，故ASR∽ABC.利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解.
解：（1）ASR∽ABC.理由：
是正方形，因为PQRS所以SR∥BC.
所以 .,ACBARSABCASR
所以ASR∽ABC .
（2）由（1）可知ASR∽ABC.根据“相似三角形对应高的比等于相似比，可得
设正方形PQRS的边长 为 AE=(40- )cm, 所以
解得：
所以正方形PQRS的边长为24cm.
此题是北师大版九年义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册第147页.BCSRADAE，cm.24604040
2 的一道例题。该题是典型的利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题的例题。笔者在教学过程中没有停留在问题的解决上，而是以此题为切入口，精心设计了一组变式，恰当设置问题梯度，使难易程度尽量贴近学生的最近发展区，使设计的问题触及学生的兴奋点，把学生从某种抑制状态下激奋起来，使之产生一种一触即发的效果。
变式1：如图(2),△ABC的内接矩形EFGH的两邻边之比EF：FG=9：5，长边在BC上，高AD=16cm,BC=48cm,求矩形EFGH的周长。
一道课本例题的探究教学尝试
一道课本例题的探究教学尝试
1问题的提出
苏教版数学选修2-1第二章P29“圆锥曲线和方程”中例2：将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方程，并说明它是什么曲线.
本题求曲线方程所采用的方法是“坐标转移法”，即利用中间变量所在的已知曲线方程得到动点的轨迹方程.除此之外，它还揭示了椭圆和圆之间的内在联系：椭圆可用圆通过伸缩变换得到.教学中，笔者就该题进行了一次教学尝试，在学生理解这种变换后，根据学生的实际情况，引导学生进行更深层次的探究活动：借助伸缩变换，能否将椭圆的问题转化为圆的问题来解决呢？如果可以的话，能否用来简化椭圆中一些复杂的计算问题？通过学生亲身经历数学发展和创造的历程，发展他们的创新意识，体会数学发现之愉悦.
由一道课本例题引发的探究
教 教 课程解读 ２０１２年６月
的数学能力．在课堂上，对于学 ＼／了． Ｓｌｎａ．
分析：这是一个比较丽单的建模』司 网１
题，问题的关键是如何把矩形 （ 的面积用恰当的量表示出
来．经过比较．发现用 去表示矩形４ ｃＤ的边长比较方便．
解：设ｏＡ ， ∈（０． １），ＤＡ：ＣＢ：、／ ，ＲＩ￣ＯＢＣｅｅ，ＯＢ：
＼／ ｊ ．ｓ Ｂ・ＢＣ－－ｇ－； ・（＼／ｌ ｘｚ ）＝、／ （、 ＿３ ．．Ｏｇ２）． ∈
（＝０’ ＼／ｒｓ ｃ踊 勺 ）：、／ （ ）＿
Ｉ １－６Ｘ２ 一２ 导 １－萄６ｘ２－－－２，￣（ｔ 闽（ ３ ，整
理得４８ｘ４－１６ｘ ２＋Ｉ＝０，即（１ ２ｘ￣１）（４ １）＝０，解得 ＝±｛或 一．可
以得出一 ６ 是唯 一的极值点，也是最大短 ，所以当．仁 时，
内接矩形面积最大，代人 算口ｒ得矩形４日（ 的最大值为 三～．
师牛共同回顾这个过程，运用ｒ导数这个丁具，感觉计算量
显得有点复杂，这个 题的关键是确定点ｃ的位置，能不能采用
另外的方法确定＾（ 的付罟． 而表示 矩形Ａ聍ＣＤ的而积呢
因为在二￡角函数问题中用角度去研究问
题的方法比较常见，这时就有一些同学
提ｍ可以用 ｃｏＰ＠定点ｃ的位置，这样
就得到了解法■：
解：如图２，设 ＣＯＰ＝￣．
在Ｒｔ△ＯＢＣ中，ＯＢ：ｃｏｓＯｇ，ＢＣ＝ｓｉｎ ，
中。 耋乏・？高中版 ０ Ａ Ｂ Ｐ 图２ ｓ：，４口．ＢＣ：ｆｃ。ｓ 一 ｓｉｎｏｔ１ｓｉｎａ＝ｓｉｎａｃｏｓａ－一ｘ／Ｙ ｓｉ 、 ３ ／ ３
： ｉ ２ 一 （１－ｃｏｓ２ ）： ． ｉ ２ ＋ 。 ２ 一 ＿３ ２ ６ ２ ６ ６
。。 ｓｉｎ 一・
ＮＮｏ＜ ＜ ， ＜２ ＋ ＜ ，所以当２ ＋～＂ＩＴ： ，即 ＂一ＩＴ ３ ６ ６ ６ ６ ２ ６
一 去一 一，因此 詈时，矩形Ａ ｃＤ的面
积最大，最大面积为 ．
这时学生Ｓ１提出：老师，这样裁剪出的矩形是不是一定是最
一道课本例题的探究
◇浙江李新平
高中数学教材绝大多数例题都是很经典的，教师 应该鼓励学生对其进行积极的探究，通过探究让学生
大胆的提出问题、解决问题．这样不仅能加深概念、法 则、定理等基础知识的理解与掌握，更重要的是开发
了学生的智力，培养学生的探究能力．现以人教版选 修２－１第４１页的一道例题教学为例，并谈谈自己的一
些想法．
１ 问题的提出
例１ 设点Ａ、Ｂ的坐标（５，ｏ）、（一５，ｏ）．直线 ＡＭ、ＢＭ相交于点Ｍ，且它们的斜率之积是一４／９，求
点Ｍ的轨迹方程．
２ 问题的引申
１）逆向思维，大胆猜想 牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发 现．”翻开数学史册，可以发现数学的历史就是一部充
满猜想的历史．可见猜想与数学发现是形影不离的． 我们可以通过例题，引导学生进行大胆猜想与合情推
理，发展他们发现问题的能力．针对以上例题的答案 为椭圆方程，学生不禁会问一般的椭圆是不是都有这
样的性质？
～２ ＾．２ 猜想１椭圆 ＋鲁一１（口＞６＞０）上长轴的两 Ⅱ 顶点Ａ、Ｂ与任意一点Ｐ（不同于Ａ、Ｂ）连线ＰＡ、ＰＢ 的斜率之积为定值． ２）大胆假设，归纳引申 先通过大胆假设，再从特殊问题人手，归纳出一
般性的结论．这样有利于学生形成良好的认知结构． 变式问题中弦ＡＢ是长轴，能不能改成一般过原点
的弦？ 我们可以先与学生一起来探究一个特殊的问题，
归纳出方法，再引申出一般性的命题．
例２ 椭圆Ｘ ２＿广ｙ百２—１上任意一点Ｐ与过中心
的弦ＡＢ的两端点Ａ、Ｂ连线ＰＡ、ＰＢ与对称轴不平
行，求直线ＰＡ、ＰＢ的斜率之积．
证明 设Ｐ（ｘ， ），Ａｌ（ｚｌ，ｙ１），则Ｂ１（一 ，一 １），所
以了ｘｚ １－ ｙＺ一１，要＋ 一１，两式相减得 ｚ －－Ｘ Ｙ －－ｙ｛Ｙ ～Ｙ 一 ２ ３ ２ ’ｚ２一 ３’
是 一 ・誊一 一号．
让学生自主探究，再让学生归纳引申出一般的
问题．
命题１椭圆 ＋ 一１（ｎ＞６＞０）上任意一点 ａ Ｄ Ｐ与过中心的弦ＡＢ的两端点Ａ、Ｂ连线ＰＡ、ＰＢ与