一道课本例题的探究开发
让学生思维的火花绽放——一道课本例题的探究式教学实践与思考
让学生思维的火花绽放——一道课本例题的探究式教学实践与思考引言传统的教学模式通常是老师讲，学生听，而探究式教学则是以学生为中心的教学模式，通过让学生探究问题，发现问题，解决问题，培养学生的思维能力和独立思考能力。
本文旨在通过一道课本例题的探究式教学实践，探索探究式教学的优势及如何落实到课堂教学中，从而让学生的思维火花绽放。
实践过程我们选取了《数学（七年级上册）》中的一道例题作为探究式教学的实践案例，该例题如下：计算 $(0.25 \\div 0.5) \\times 2$ 的值。
为了能够让学生更深入地理解该例题，我们采用了如下的教学方式：第一步：引导学生提出问题在学生还没有开始思考之前，我们先引导学生提出问题。
通过问学生“这道题目让你思考了什么问题？”来引导学生思考。
第二步：学生自主探究接下来，老师启发学生，让学生自主探究问题，让学生先自己试着去解决问题，教师只是起到引导作用。
这样能够增加学生思考题目、解决问题的兴趣，同时也增强了学生的自信心。
第三步：分组交流学生自探究过程中产生了大量的思维火花，而我们就是要激发这些思维火花，让学生对解决问题时的思考进行比较和交流，进一步加深学生的认识。
我们将全班分成小组，由小组成员交流归纳各自的探究思路，思考受到什么影响，有什么体会，进而分享自己的解题方法，最后让小组代表报告，形成大家共同思考的氛围。
第四步：整理答案学生自行思考、小组交流后，学生的答案有什么共同点？有什么不同的点？在老师的引导下，让同学们进行比较答案，找出自己的错误，进一步深入思考解题思路。
第五步：再次交流在学生自行整理完答案后，老师会再次约请同学之间交流。
通过这个环节带领学生成果评价和解题方法讲解，更直接地突出知识点、强化学生对问题的印象。
比如这题入手容易出错的原因是什么，些许不同的解法背后的共性，等等。
第六步：讲解通过整理答案，引领学生理解知识点，归纳方法和步骤，落实定理，强化学习效果。
总结通过以上实践，我们发现探究式教学以学生为中心，能更好地引导学生自主思考，激发学生的探究兴趣，增强学生的自信心，提升学生的思维能力和独立思考能力。
对一道数学课本例题的拓展探究
原题 的两类 结 论外 ， 还 可 以写 角相 等 、 全等 、 相 似 等结 论 ， 给 了学 生很 大 的思维 空间 ， 培 养 了学生 的思 维发 散 能力 和综合
分析 能力 。
拓展 ２ ： 如图， 在原 题条件 不变 的前 提下 ，（ １ ） 若Ｌ Ａ Ｐ Ｏ ＝
３ ０ ￣ ，点 Ｑ为 ０ｏ上 不 与点 Ａ、 Ｂ重 合 的点 ，求 Ｌ， ４ Ｑ Ｂ的度 数 。 （ ２ ） 若 ０Ｏ的半 径 为 ５， 在（ １ ） 的条 件 下 ， Ｐ求 、 船 及 劣 弧 所 围 成 的 图
Ｐ
点 作 Ｐ Ｏ的垂 线 Ｂ Ａ， 垂足 为 点 Ｄ， 交 ００于点 ， 延长 Ａ ０
与 ００交 于 点 ｃ， 连接 Ｂ Ｃ， Ａ （ １ ） 求证 ： 直线 为 ００的切
原题（ 苏教 版 九 年级 数 学 上 册 ）
ｐ
如图 １ ， Ｐ Ａ、 Ｐ Ｂ是 ００ 的两 条 切 线 ，
对一道数学课本例题的拓展探究
江苏省泰 兴市老叶初级 中学 叶乔平 初 中数 学课 本 中的例题 具有 示 范性 、典 型性 和探 究性 ， 是课 本 的精髓 。浏览 近几 年全 国各 地 的 中考 数学 试卷 ， 很 多 试题 来源 于课本 ， “ 题在 书外 ， 根在 书 内” 。因此 ， 在 中考 复 习 中若 能 充 分发 挥课 本 中例题 的 潜在 功 能 ，适 当加 以拓 展延 伸， 可 以达 到发展 智力 、 培养 能力 的 目的。 现 以苏教 版九 年级 上册 课 本上 的一道 例题 为 例 ， 谈 谈本 人 的一些 做 法 ， 以期达
ＡＰ ＡＢ的 内心 的结论 。
课本 例题 、 习题较 多 ， 我 们也要 抓住 重点 ， 从 各个 方 面精 心挖 掘其 潜力 。 只有这样 ， 我们 才能 真正从 题海 战术 中脱身 出来 ， 减轻 学生 负担 ， 提高复 习效 率 。
浅谈课本例题的开发与应用
浅谈课本例题的开发与应用
课本例题是学习课本知识的重要工具，他们可以帮助学生对重要知识点有更深入的了解，他们也可以帮助学生持续发展和提升学习能力。
本文的目的是讨论课本例题的开发和应用。
首先，讨论课本例题的开发。
要有效开发课本例题，教师需要根据学生的需求和知识点的难度，制定针对性的开发方案。
教师首先需要了解学生的学习进度，然后分析学科知识，以确定既定课程的重难点，最后根据知识点的开发难度，制定实用的课本例题。
其次，讨论课本例题的应用。
应用课本例题时，教师首先可以在课堂中分享一些例题，以例题讲解知识，帮助学生弄清学科的基本概念；其次，教师可以通过回顾课本例题来帮助学生记忆课文中的知识点；最后，教师可以用课本例题对学生的学习情况进行评估，检查学生的学习效果。
除了课堂教学，课本例题还可以应用于课外活动，比如组织比赛，或者发放作业，这样学生可以充分发挥他们个性化的学习能力，进而掌握知识，达到训练和锻炼的目的。
总之，课本例题的开发与应用是一个复杂的系统工作，要实现有效的课本例题的开发和应用，教师和学生应该有更多的积极性，不断探索更有效的使用方法，为达到最佳的学习效果而努力。
- 1 -。
例谈课本例题的开发与应用
可以理解为
线ｙｌ ＝ － 非常直 白， 准确 易画。
（ 当学生理 解 了这 种变形 后，画图只用 了 １分 学好课本上的例题或习题 ，并通过一些相关的练习 ，
的学生思考片刻后都提 出用 此方法解决 ）
■
学
科
法选择很 重要 。 么还有其 那 他更简单 的变形吗 ？
二 、 动 反 思 行
（ ） 学首先要备教 材 一 教 我们需要站在专业的角度研究教材， 站在编者 的
．
一
２ 一 卜 一 ｌ
一
＼ ．＿ ． 一 将 方 程 ／ ．
钟 时间）
【 动收获 三 】一题 多解很 好 ， 行 ‘ ． 我认 为第三种 题能力 。 而且 ， 这样还能减轻学生的负担 ， 防止学生陷 方法最简单 ， 类似直线 ｙ 平行 于坐标轴 的直线 画 入题海不能 自 。 ＝ｌ 拔
起来很轻松” “ ； 自己动笔最重要 ，我刚开始认 为这 （ ） 学要 突 出主体性 二 教
学 习兴趣 ， 提高 学生 的探 索能力 ， 培养学 生 的发散 学 生干脆放 弃 了）
【 动收获一 】 交流后得 到结论 ， 来画 图 行 学生 原 是有讲 究的 ， 只要适 当地取 ５ 整数点来 画出图像 个
就 可 以。 这里 的“ 当 ” 般指 使 函数 值有 正 负值 ， 适 一
妨将 方程 一＝ １ 变形 为 ＋１ ，理解 为 函数
１ 理解二次 函数与方程 的关 系。 ． ２ 进一步加强对 函数 图像 的准确把握 。 ． ３ 体会 方法的优化选择 。 ． （ ） 学过程 三 教
一道课本例题教学的探索
ＡＯ Ｃ Ｆ （ Ｅ ｍ ＡＯ Ｄ 证明此两个三角形全等与例题证明方法相
同）
得 Ｓ Ｅ ＝ ＡＯ Ｄ 而 Ｓ Ｄ ＝ ＡＯ Ｄ Ｓ Ｆ △Ｏ Ｃ Ｓ Ｆ △Ｏ Ｃ Ｓ Ｆ ＋ ＡＯ Ｃ
含 ４￣ ５ 角的三角板 ， Ｄ ＡＯ Ｅ是另一块含 ３ 。 ０ 的三角板 ， 且点 Ｏ是
Ｂ Ｃ的中点 ， △Ｏ Ｅ绕着点 Ｏ旋转 ， 把 Ｄ 上述结论 成立 吗？
Ｃ
一
Ｎ Ａ ／
图２
ＢＭ Ｄ
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图３
分析 ： 变形 １２的结论都成立 ， 、 其解题 思路和例题类 似 ， 证 明方法完全相同（ 请读 者 自己证 明） 通过改变 图形 ， 变形 ， 操作等 创造 出系列新题 ， 关键是抓住题 目的本质属性 ， 解决 实际问题 ，
２０ ０ ８年 １ ０月
（ 总第 ９ 期 ） ２
搴Ｈ 论 ’Ｉ 坛 Ｓ Ｕ 磁 Ｚ
Ｊ Ａ Ｏ Ｙ Ｕ ＬＵ Ｎ Ｉ ＴＡ Ｎ
一
ＮＯ．０， ０ １ ２ ０８
（ ｕ ｌｔ ｅｙ Ｏ９ ） Ｃ ｍｕａｉ ｔＮ ． ｖ ２
道课 本例题 教学 的探索
沈桂斌
江 苏省兴 化 市林 潭 学校 ， 苏 兴化 ２ ５４ 江 ２ ７５
点， 如果 点 Ｍ、 Ｎ分别在线段 Ａ 、 Ｃ上移动 中保 持 Ｍ Ｎ ９ 。 ＢＡ Ｏ ＝ ０，
请判断 Ａ ＝ Ｍ ， Ｍ＝ Ｎ， Ｎ Ｂ Ｏ Ｏ 并证 明你 的结论 。
Ｃ
硼
？ 邀 Ａ Ｃ ｉ ・ Ｂ Ｄ、～ ＣＤ 是 ＡＢ 一 Ｅ
对课本解析几何一道例题的研究与探索
再方组 Ｙ 十， ０ 满一式 线 ：ｋ－ｏ１０ 一ｏ 由程 １＝ １ ， 足 且 ，！ｘ ‘＜戮 ０十在 ｆ ＋ 一 ＝ 不 。 域上＾ ｏＹ １ｕＩＸｏｌ ７ ８ 上，Ｉ一 ＝ 若¨，不 足Ｘ ０ （ Ｉ ５上 解 等 ｆ满Ｕ０Ｙ ；Ｘ ） ’ｔ ｙ 点一 ｏ ＿ Ｔ ｌ ＋ 十 ｇ ｇ Ｙ上 ’１ ０Ｙ
一
（ 设线段ＡＢ ３ ） 上的任意一点（０珈） 于是 Ｘ， ， ７ １ ｌ≤ Ｘ ８（ ０≤ ４， ） 分离参数 ， Ｙ ： 一 ０ ＋ ｏ
＝ 一
以通过解不等式 ≤０ ２＝０ 或 ＝ 来确定 的取 ：
这 些 万 郡 比较答 易设接 受 ，
Ｘ 吾 ｂＩ 范 值经研发’ 方都较易接】 ０ ａ Ｘ再 的围≤ 辽究现 些法 比容被受 １ 求 ３ ｏ 觋 充 这
般地， 已知 Ｍ （ｌｙ） Ｘ ，１、Ｎ（２ｙ）直线 ： ｘ ，２，
０＋ ｃ ｏ 竺 ＋ ｚ ｂ ：， ＋ 设 ＿
：． 是 于 给
显然当 ＝ ０ 都有ａ ｌ ｙ ＋Ｃ ０ 即 时， ｘ ＋ｂ１ ＝ ， 点 Ｍ 在直线 Ｚ 上；
出以下结论 中哪些是正确的？请说 明理 由． （） １ 当 ＝０ 点 在直线 Ｚ 时， 上． （） ２ 不论 为何值， Ⅳ都不在直线 Ｚ 点 上． （） ３ 当 ＝ １ 过 Ｍ 、Ⅳ 的直线与直线 Ｚ 时， 平 行．
相等 夹 不 ， 夹 大的 三 也 ， 而 角 等 则 角 第 边 大
ＮＮ ｃ＞ ．
又 △ Ｂ 是钝角三角形， ｃｓ ＜ ０ 即 Ｎ ｏＣ ，
５ ＜０ 从而 ｃ ． 一ｃ ， ＞
又ｃ ＜ａ ， ＋ｂ 即ｃ＜３ ．
又 ｃ＜ ａ＋ ｂ Ｎ ３ 故 ｃ ， ｃ＜ ， 的取值 范 围为 ＜ｃ ． ＜３
由一道课本例题引发的探究、引申与应用
推广 公式 ，
展开 式中 的系数为
知识 网络 ， 把握 纵横 联系 ， 提炼 数学 思想 ， 在 数学 地 提 出问题 、 分 析 问题 、 解决 问题 中学 会数 学学 习 ， 有 益 于拓展思 路 ， 扩 展视 野 ， 发 展学 生 探 究 能力 和 数
学思 维能力．
ｃ ： ｍ ＝ｃ “＝
垒 ｉ ± ２ （ 垒±
１ ，
－ ｙ － 旦
ｑ ／
社． １ ９ ８ ０： １ ７ — １ ８ ．
１・ ２＋ ２・ ３＋… ＋凡 （ 凡＋１ ）＝￣ 。 － ｎ （ ｎ＋１ ） （ ｎ＋２ ） ．
［ ２ ］ 徐 会方 ， 董振平 ， 崔耀 文 ， 等． 怎样 寻 求 Ｐ （ ＋ １ ）的 证 明 ［ Ｍ］ ．郑 州 ：河 南 教 育 出 版 社 ，
积是 一 ， 求 点 Ｍ 的轨迹 方程
问题 １ 设 点 Ａ， Ｂ 的坐 标 分 别 为 （一ｏ ， ０ ） ，
（ ｎ ， ０ ） ， 直线 Ａ Ｍ， Ｂ Ｍ 相 交 于点 Ｍ， 且 它们 的斜率 之
积是 一 ， 求点 Ｍ 的轨迹方程．
解 设点 （ ， Ｙ ） ， 由Ａ （一ｎ ， ０ ） ， Ｂ（ ｎ ， ０ ） ， 得
・
４・
中 学教 研 （ 数学）
要 计算 Ｓ ＝１ ・ ２＋ ２・ ３＋ ３・ ４＋… ＋ 凡 （ １ ７ ， ＋ １ ） ，
只需求 出母 函数的项 ｆ “的系数 即可． 根据 二项 式 的
特 别地 ， 如果教 师从 高等数 学 的视角来 研究初
等数 学 ， 常 常能居 高临下 ， 深入 浅 出地处理 问题． 总 而言 之 ， 立足基 础知 识 、 基 本技 能 和基本方 法 ， 编 织
教学案例论文：“一道课本习题探究”教学案例
教学案例论文：“一道课本习题探究”教学案例设计意图：新时期的教育教学，要求学生学会探究、自主、合作学习，这就需要教师为学生搭建一个有利于学生探究、自主、合作学习的平台，充分挖掘教材的每一个知识点和习题。
虽然数学习题千差万别，多如牛毛，但初中阶段的数学知识毕竟是有限的，根据某一道题的解题依据，或解题方法进行归类整理，会有助于加深对习题的理解与掌握。
同时，对一道习题进行多方面的挖掘，也能培养观察、猜测、推理、验证等一系列数学能力。
七年级数学中，平行线的知识是一个考查的重点，其中以求解角度及其相关问题为主。
而这一类题的解法往往需添加辅助线，这是学生学习的难点。
同时，平行线的问题往往与三角形的角之间有千丝万缕的联系。
在学习完三角形的内角和定理和外角有关知识后，结合教材中出现的一个题目，特地安排了这一节课。
教学目的：（1）进一步巩固平行线的性质和应用平行线的性质解决与之有关的问题，应用三角形的内角和定理和外角的相关知识解题，加强新旧知识之间的纵向联系和章节之间的横向联系。
让学生了解任何一点数学知识都不是独立的，而是有相互联系的。
（2）通过对一道课本习题的深入探究和剖析，培养学生观察、猜测、推理、验证的数学能力。
题目来源：新人教版七年级（下）p23有这样一习题：利用平行线的性质，学生在解决这个问题是很简单的。
但我在讲解这个问题时，并没有直接要求学生解决这个问题，而是对这个问题进行了加工和处理，对引导学生进行探索分析、归纳验证，提高学生解决问题的能力有很大的帮助。
教学过程设计：引入：如图，当ab∥ef 时，根据平行线的性质，有∠bae ＋∠aef＝180º，把线段ae向左方向折弯，变成如图1所示的形状，这时出现了∠bac，∠ace和∠cef，猜想这三个角之间的关系，并说明理由。
引导学生按下列步骤进行探索：（1）先用度量的方法量出这三个角的度数；（2）自己再画一个符合题意的图形，重新量出这三个角的度数；（3）猜想∠bac，∠ace和∠cef的关系；（4）再与小组的同学进行交流和讨论，得出小组结论；（5）由每个小组的同学阐述小组得出的结论。
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一道课本例题的探究开发663312云南省广南县篆角乡中心学校 陆智勇课本的例题不仅仅是传授知识、巩固方法、培养能力、积淀素养的载体，如果我们对它们进行特殊联想、类比联想、可逆联想和推广引申，这些例题也可作为探究教学的重要材料。
笔者尝试着从课本例题入手，合理开发课本例题，引导学生反思、深化与推广，并结合数学探究教学作了初步的探讨.题目：如图(1)，AD 是△ABC 的高，点P,Q 在BC 上，点R 在AC 上，点S 在AB 上，边BC=60cm ，高AD=40cm,四边形PQRS 是正方形.(1)相似吗？与ABC ASR ∆∆ (2)求正方形PQRS 的边长.分析：由于四边形PQRS 为正方形，所以SR ∥BC ，故ASR ∆∽ABC ∆.利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解.解：（1）ASR ∆∽ABC ∆.理由： 是正方形，因为PQRS 所以SR ∥BC. 所以 .,ACB ARS ABC ASR ∠=∠∠=∠ 所以ASR ∆∽ABC ∆ .（2）由（1）可知ASR ∆∽ABC ∆.根据“相似三角形对应高的比等于相似比，可得设正方形PQRS 的边长 为 AE=(40- χ )cm, 所以 解得：所以正方形PQRS 的边长为24cm.此题是北师大版九年义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册第147页.BCSRAD AE =，cm χ.24=χ604040χχ=-的一道例题。
该题是典型的利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题的例题。
笔者在教学过程中没有停留在问题的解决上，而是以此题为切入口，精心设计了一组变式，恰当设置问题梯度，使难易程度尽量贴近学生的最近发展区，使设计的问题触及学生的兴奋点，把学生从某种抑制状态下激奋起来，使之产生一种一触即发的效果。
变式1：如图(2),△ABC 的内接矩形EFGH 的两邻边之比EF ：FG=9：5，长边在BC 上，高AD=16cm,BC=48cm,求矩形EFGH 的周长。
分析：因为EFGH 为矩形，则AN ⊥HG.这样△AHG 的高可写成AD-DN=AD-FG.再由△AHG ∽△ABC ，即可以找到ＨＧ、ＦＧ与已知条件的关系，求出矩形EFGH 的周长.解：因为EFGH 为矩形，所以HG ∥EF,HG=EF.所以△AHG ∽△ABC.所以 则解得：所以矩形EFGH 的周长为56cm.变式2：如图(3),已知边长为10cm 的等边三角形ABC ，内接正方形HEFG 。
求正方形HEFG 的面积。
分析：因为AD 是等边三角形ABC 的高，所以根据等腰三角形的三线合一性质可以求出AD 的长，由△AEH ∽△ABC,可得相似三角形对应高的比等于相似比，即可求出正方形的面积。
.AD ANBC HG =.5,9χχ==FG EF 设16516489χχ-=.2=χ解：因为AD 是等边三角形ABC 的高，所以因为 又因为HEFG 为正方形，所以EH ∥BC. 所以AEH ∆∽ABC ∆. 所以所以正方形HEFG 的面积为变式3：如图(4), △ABC 中，高AD=4cm ，PQMN 为正方形，边QM 在BC 上，P 、N 分别在AB 、AC 上，且BC=AD+MN.求这个正方形的面积。
分析：要求正方形的面积，需求出正方形的边PN 的长，由△APN ∽△ABC 及高AD=4cm,可联想用相似三角形对应高的比等于相似比去列比例式，即可以求出正方形的面积。
解：因为 PQMN 为正方形,所以PN ∥BC. 所以△APN ∽△ABC. 所以.521cm BC DC ==.355102222cm DC AC AD =-=-=.ADANBC EH =则设,cm EH ND χ==353510χχ-=.303202cm ）（-=χ.3120021002cm ）（-则设,cm MN PN χ==444χχχ-+=cm）（252-=χ.ADAE BCPN =所以这个正方形的面积为变式4：如图(5)，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm,AD=80mm,要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个点分别在AB 、AC 上，设该矩形的长QM=ymm,宽MN=χmm.(1)求证：y=120-χ23;(2)当χ与y 分别取什么值时，矩形PQ M N 的面积最大？最大面积是多少？分析：因为四边形PQMN 是矩形，所以PN ∥BC.由△ABC ∽△APN 得PN ：BC=AE ：AD ，即可证y=120-23χ；又因为S 矩形PQMN=χy=(120-23χ)χ=- 23χ2+120χ,而a=- 23＜0,所以时，ab2-=χS 矩形PQMN 有最大值.证明：(1)因为PN ∥BC ，AE ⊥PN ，PN=QM=ymm,DE=MN=χmm ，所△ABC ∽△APN ，所以PN ：BC=AE ：AD ， 即y:120=(80χ-):80, 所以y=120-23χ. (3）因为S 矩形PQMN=χy=(120-23χ)χ=- 23χ2+120χ,所以当χ=-)23(2120-⋅=40时， S max =)23(41202-⋅-=2400，这时y=402400=60. 变式5：已知一块直角三角形木板的一条直角边AB 的长为1.5m,面积为1.5m 2,要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请你设计两种合理的加工方法，并用所学过的知识说明哪一种方法符合要求。
（加工损耗忽略不计，计算结果可用分数表示）。
分析：有两种加工方法，要比较哪个加工方法符合要求，就是要比较两种种方法加工出来的正方形桌面的面积哪个大，利用“相似三角形对应高的比等于相似比”列方.58242cm ）（-=χ程求出正方形的边长就可以求解.解：如图(6),(7),由AB=1.5m ，S △ABC=1.5m 2，得BC=2m, (1)设图(6)中加工桌面的边长为x ，因 为DE ∥BA ，所以ABDECB CD =，即5.122χχ=-， 解得χ=76.(2)在图(7)中，过B 作BH ⊥AC 于H ，交DE 于P ， 由AB=1.5m,BC=2m, S △ABC=1.5m 2,得 AC=2.5m,BH=1.2m,设图(7)中加工桌面的边长为y.因为DE ∥AC ，所以,ACDEBC BE ,BC BE BH BP ==所以,AC DE BH BP =所以5.2y2.1y 2.1=-，解得y=3730.因为 76> 3730， 即x ＞y,所以图(6)的加工方法符合要求。
变式6：如图(8)， 正方形DPQR 内接于△ABC ，已知△AOR 、 △BOP 和△CRQ 的面积分别是1S =1，2S =3 和S 3=1，那么正方形DPQR 的边长是多少？分析一：如图(9),作AD ⊥BC ，则设法根据三角形的面积，用正方形的边长表示AE 、AD 、BC.设正方形的边长为χ，即列式为解得χ=2.解法一: 作AD ⊥BC 于D,AD 交OR 于E. 设正方形的边长为χ,BC ORAD AE=.2622χχχχχχχ++=+因为OR ∥BC,所以△AOR ～△ABC.因为 即 所以所以正方形DPQR 的边长是2.分析二:欲求正方形的边长,需求正方形的面积,因为已知三个三角形的面积,可设法构造相似三角形,利用面积比来求.解法二:如图(10),作OE ∥AC 交BC 于E.则△OPE ～△RQC,所以因为OE ∥AC,所以△AOR ～△OBE..262211χχχχ===⋅==∆CQ BP AE AE S AOR ，，同理，因为,BCOR AD AE =.2622χχχχχχχ++=+822222+=+χχχ164=χ.2=χ，可求，需求）（而OBAOAB AO AB AO S S ABC AOR ,2=∆∆.1==∆∆RQ C O PE S S .413=+=∆O BE S .211==∆BOES S BOAO所以.31=ABAO 所以S △ABC =(AOBA )2.S △AOR = 9 因为OR ∥BC,所以△AOR ～△ABC. 所以所以正形DPQR 的边长是2.变式7:如图（11），已知菱形AMNP 内接于 M 、N 、P 分别在AB 、BC 、AC 上，如果AB=21cm,CA=15cm,求菱形AMNP 的周长.分析：因为四边形AMNP 为菱形，所以 MN ∥AC ，PN ∥AB ，得△BMN ～△BAC ～△NPC ，利用相似三角形对应线段的比等于相似比列方程求解.解:因为四边形AMNP 为菱形，所以 MN ∥AC ，PN ∥AB ，得△BMN ～△BAC ～△NPC ， 设菱形边长为 解得所以菱形AMNP 的周长为35cm.变式8:如图（12）,,90 =∠=∠A BDG 四边形DEFG 为ABC Rt ∆的内接正方形，AC=3,AB=4.分析:关于（1），由于DEFG 为ABC Rt ∆的内接正方形，且边DE 重合在BC 上.知 BC ⊥DG, 得 而 ∠B= ∠B .可得△BDG ∽△BAC,.PCNPMN BM=所以，则χχχχχ--=1521,cm .435=χ.32)1(21DE S S GD BG）求；（）求；（求.41319321=---=---=S S S S S ABCOPQR 正方形，A BAD ∠==∠ 90;3522===+ACAB AC ACBC GDBG关于（2），从△BG D ∽△GFA 得关于(3)，由△BG D ∽△FCE 得而BD+DE+EC=5,可求解：(1) 因为正方形DEFG 内接于ABC Rt ∆，且边DE 重合在BC 上，又∠B=∠B ，可得 △BDG ∽△BAC, 所以（2）由 FG ∥BC ，有∠B =∠1，且∠BDG= ∠A ，所以 △BG D ∽△GFA ，有(3) 由△BG D ∽△FCE ∽△BCA 得所以由BD+DE+EC=BC=5,有上述八个变式源于课本而高于课本，变式过程层层深入，环环相扣，优美自然，将“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题变得一览无余，不仅能使学生强烈地感受到数学的美妙以及课本例题的指导功能，而且让它们充分享受学;925)()(2221===GD BG GF BG S S ,43,34.34DE EC DE BD EC EF GD BD ====于是.3760=DE ;3522===+ACAB AC ACBC GDBG .92535)()(22221====）（GD BG GF BG S S ,4343,3434.34DE EF EC DE DG BD EC EF GD BD ======于是.3760=DE 解得.522=+=AC AB BC 由勾古定理得,90 =∠A 因为,90A BDG ∠==∠ 所以.54334=++DE DE DE习数学的快乐。