一道课本例题引发的探究
一道课本例题的探究教学尝试
入静 的课 堂 ，一 定是平静 的表层 下裹着 的热
烈．学生在宁静中涵涵品味，他们 的思想是活跃的， 情感是奔放 的，心灵是 自由的 ，思维的列车在宁静
中驶 向远 方 ．
入静是一种高度 ，入静是一种境界 ．入静如 山 之静默 ，入静如水之潺溪 ，入静是 “ 春雨惊 出清谷 天” ，入静是 “ 于无声处 昕晾雷” ．入静的数学课 堂深深扎根于科学和艺术 的广袤 的大地 ，是最朴实 而 又 高效 的 ． 这 样 的数学 课 ，真好 ！
１ 问题 的提 出 苏 教版 数学 选修 ２ ． １第二 章 Ｐ ２ ９ “ 圆锥 曲线 和方 程” 中例 ２ ：将 圆 Ｘ ＋Ｙ ＝４上 的点 的横 坐 标保 持 不
变 ，纵坐标变为原来的一半 ，求所得曲线 的方程 ， 并说明它是什么 曲线 ． 本题 求 曲线 方程 所采 用 的方法 是“ 坐标 转移法 ” ， 即利 用中 间变 量 所在 的 已知 曲线 方程得 到动 点 的轨 迹 方程 ．除此之外 ，它还揭示 了椭 圆和圆之 间的内 在联系 ：椭 圆可用圆通过伸缩变换得到 ．教学中 ， 笔者就该题进行了一次教 学尝试 ，在学生理解这种
师 ：这 种 变 换 我们 称 之 为伸 缩 变 换 ，它把 圆变
以变换 前后 直线 和（ 椭） 四之 间 的位置 关系 不变 ． 性 质 ｌ伸缩 变换 后 ，点变 成点 ；直线 变成 直线 （ 斜率 改变 ）；曲线 变成 曲线 （ 弯 曲程度 改变 ） ．若 点 （ 不 ）在 线 上 ，变 换 后 的点 （ 不 ）在 线 上 ；若直 线 与 直线 平 行 或相 交 ，变换 后 仍 平行 或相 交 ；若直
２ ． １情境创设 ，引入课题 首先出示例题让学生求出动点的轨迹方程 ． 生 １ ：设 所求 曲线 上任一 点坐 标为 （ Ｘ ， ），与 圆
一道教材例题的解法探究
2020年第12期中学数学教学参考（下旬）•论荟萃www zhongshucon com一+，可得胃=一+，解得A=_7,此时直线/的方 程为:c+2j y— 5 =0;当直线，过线段A B的中点M(4,吾)时，将点从(4，音)代人直线/的方程中，可得—171) —3A—1=0,则A=_y，可得直线/的方程为:r—63/+11=0。
综上可知，直线/的方程为x+2y—5 =0或x_ 6；y+l l=0。
解决直线与方程问题的关键是正确掌握相关的概念、直线方程、直线的位置关系等知识点。
因一般求解时涉及内容较多，需要灵活运用数形结合、分类讨论和函数等思想。
因此，学生要注意常见错解类型的收集，有针对性地总结其原因，剖析症结，及时纠错。
一道教材例题的解法探究赵建慧（甘肃省武威第六中学）摘要：教材例题的讲解重在思路点拨，通过对教材中的典型例题进行一题多变、一题多解的探究，可拓展学生的思维•促使其不仅“学会”，而且“会学”。
关键词：例题；距离公式；弦长公式；数形结合文章编号：1002-2171(2020)12-0074-021例题呈现(人教A版《数学》（选修2-1)第69页例4)斜率 为1的直线/经过抛物线y=4r的焦点F，且与抛物 线相交于A,B两点，求线段的长。
2解法探究2.1利用两点间的距离公式求解解法 1:因为 y=4x，所以 2/) =4，/>=2,则 F(l，〇),所以直线/的方程为3»=1_1。
联立方程U得x2—6x+l=0,由求根公[y=4x,式得 xi= 3 + 2 jy] = 2 + 2 v^"，j：2= 3 —2 a/2 ,y2=2-2V2^'J A(3 + 2 72,2 + 2 V2),B(3-2V2,2-2 W)，所以由两点间的距离公式可得I A B丨=v/(j：2—x,)2+(^2—^1)z=8.,2.2利用弦长公式求解解法2:因为/=4jc，所以2P=4,P=2,则F(l,〇)，所以直线/的方程为3^=1 —1。
抛物线定值、定点问题探究——由课本例题引发的思考
结论 １ 中的条件 上Ｏ Ｂ 等价 于 叩 ＝ 一 １ ，若将此 条
Ｎ ｅ ｏ ｎ 中。 ？ 擞・ ？
教 教
案例 点评
２ ０ １ ３年 ４月
（ ３ ） 看 直 线ＭＡ， ＭＢ的倾 斜 角 分 别 为 ， 且
＝ （ ０ ＜
，
结论３ ： Ａ、 Ｂ 是抛物线／＝ ２ ｐ （ ｐ ＞ ０ ） 上异 于顶 点的两 动
点， Ｍ（ ｘ 。 ， ｙ ｏ ） 为抛物线 上一定 点 ， 过腓 两条弦Ｍ Ａ， ＭＢ ．
２
ｎ
过定点 （ ２ ｐ ， ０ ） ， 即证
（ １ ） 若 心 Ｉ ｊ ｝ 肋 ｍ（ 非零常数 ） ， 则直线４ 曰 过定 点 ；
０
，
因为Ｙ １ ≠０ ， ｙ ２ ＃Ｏ ， 所１ ￣ ） ｙ ｆ ２ 一 ｐ ２ ， 所 以 ２ ＝ ４ ／ ９ ２ ．
（ ２ ） 设 直线Ａ Ｂ 的方 程为ｘ ＝ ｍ ｙ ＋ ｎ ， Ａ（ Ｙ ） ， Ｂ （ ｘ ， Ｙ ） ， 易知ｎ ≠０ ， ￣ １ ］ ｘ － ｍ ｙ ．１ ．
／ ＝ ２ ｐ （ ｐ ＞ ０ ） 上异于顶点的两动点且０ Ａ上０ ， Ｏ Ｍ￣Ａ Ｂ 并
（ １ ） 若 ｆ （ 常 数 ） ， 则 直 线 ４ Ｂ 过 定 点 （ 一 ２ ＋ ｐ ＿ ， ０ ） ；
与Ａ Ｂ 相交于点 ， 求 点的轨迹方程．
事实上 ， 此例题不仅 可以求出 关 的定值定点问题． 二、 相 关 结 果
因为Ｏ Ａ上Ｏ Ｂ ， 所 以ｋ
一 １ ， 所 以Ｘ Ｉ Ｘ ２ １ ｙ ２ － － Ｏ ．
则 直 线 Ａ Ｂ 的 方 程 为 ｘ ＝ ｍ ｙ 一 ＝ （ ｙ 一 ） ， 故 直 线
源于课本的一道中考题的解法探究
源于课本的一道中考题的解法探究解法探究 -- 一道中考题目随着人类文明的发展，数学知识在日常的学习、工作、生活中起着极其重要的作用，加强数学知识的学习，可以极大地拓宽学生的视野，提升他们的分析能力和思维水平，以及理解力和处理能力。
作为检测学生对数学知识的掌握能力的考试，中考题目更加充分反映出学习过程中考生对于数学知识的掌握程度。
针对中考数学考题，下面就一道典型的中考题目进行解法探究:小明米其林去年买了一台电脑，今年半年以来，用去三分之一的费用去养护电脑，如果小明每次养护的费用相同，那么他在这半年以来，一共养护电脑多少次？探究解法：1.首先，我们来思考这道题的基本思路，其中涉及到以下内容：小明米其林去年买了一台电脑，半年以来用三分之一的费用养护电脑。
由此可知，养护电脑时所花费的费用为电脑购买费用的三分之一，即1/3；2.接下来，我们来解答这道题目。
首先，由题目可知，小明在半年的时间内共花费的费用为1/3，而且，每次养护费用相同；根据此情景，可以将其用数学公式简化，即1/3=XG，其中X为一次养护的费用，G为养护次数；3.将上述简化数学公式求解，得G=3/X，即养护次数等于1/3除以一次养护的费用；4.最后，根据题目中每次养护费用相同这一约束条件，因此可以得出最终答案，即小明在半年以来一共养护电脑多少次，为3次。
以上就是对一道典型的中考数学题的解法探究，可以看出，解决这道题，我们需要仔细分析题目所涉及的内容，进行简化，从而推导出相应的算式，最终利用数学知识求解出最终答案。
有效地把握这个方法，有助于学生在考试中有效地答题，做出正确结果。
此外，在这里还有一些指导性的建议，在学习数学知识时，最重要的是要注意思维的合理推导，因为这是做题的核心环节，只有经过正确的推理才能得出正确的结果；另外，在学习数学过程中，也要注意把握基本的计算原理，坚持每天练习；坚持数学思维的强化练习，注意增强各种技巧的熟练度，这样能够大大提升一个学生在数学考试中的发挥水平，有助于考生在中考中取得更好的成绩。
一道课本例题的探究与应用
ｙ
二 、 向 探 究 逆
由 上述 几种 解 法 不 难 知 道 ， △ Ｏ 面 积 最 小 时 ， Ｐ 线 当 Ｂ 点 是 段 Ａ 中点 ． 么 ， 之 成 立 吗 ？ 口 那 反 问题 ： 平 面 直 角 坐 标 系 ｘ ｙ 在 Ｏ
修五Ｐ ０ ９ 中的例 ３第 三章《 ， 不等式》 中的一道例题．
本 题 自然 质朴 ， 法 较 多 ， 合 了解 析 几 何 、 解 综 函数 、 等式 等 不 重 要 内容 ， 留给 考 生 后 继 的 探 究 空 间 很 大 ， 探 究 的 结论 具有 一 且
ｔｎ 一 ） 只是 刻 画直 线 倾 斜 度 的 不 同表 现 形 式 而 已． ａ（ ０ ，
４、
０则 Ｏ １ — ， Ｂ ２ ｔ ０ ， ＝ ＋ 兰 Ｏ ＝ ＋ａ ． ｎ
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图 １
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用 基 本 不 等 式 求 最值 ． 实 上 ． ＋２： 事 因为 １
．
￣ 的 积 Ｏｏ 一） ｊ ｒ Ｄ 面５ ＡＢ （ ） Ａ ‘＝ ２ 一
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本 质 上 也 只 是 一
Ⅱ
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个 变 量．
＝
２ ［ ）一１＋× ） ＋ （ ＋ ，２ ２ × ， ｛一 ｃ ≥｛ 、 ｃ ／ 一
思 路 ｌ 一 元 函数 模 型 ） ｆ
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对一道课本例题的多解探究及教学反思
对一道课本例题的多解探究及教学反思在教学过程中，常常会遇到一些例题，这些例题既能帮助学生巩固知识，又能训练他们的思维能力。
然而，经过一段时间的教学实践，我发现学生在解答例题时，通常只能掌握一种解题方法，缺乏灵活运用的能力。
为了提高学生的多解思维能力和解题技巧，我进行了一次关于一道课本例题的多解探究，并进行了相应的教学反思。
这道例题是关于求解二次方程根的问题：已知二次方程 x² - 5x + k = 0 有两个不相等的实根 m 和 n，且 m、n的和为 10，求 k 的值。
这道题目是一个典型的二次方程求解问题，解题思路及方法多种多样。
在进行多解探究时，我引导学生按照不同的思路和方法进行解答，并比较其优劣和适用性。
解法一：使用求和、求积关系根据题意可得：m + n = 10，mn = k。
由二次方程的求根公式可知：m + n = 5，mn = k。
通过联立这两组方程，可以求解出 m 和 n 的值，进而得到 k 的值。
解法二：使用平方差公式根据题意可得：m + n = 10，mn = k。
在代入二次方程的求根公式时，可以利用平方差公式将二次项进行拆分，进而求解出 m 和 n 的值，从而得到 k 的值。
解法三：使用因式分解思路根据题意可得：m + n = 10，mn = k。
我们可以将二次方程进行因式分解，将 x² - 5x + k = 0 变形为 (x - m)(x - n) = 0 的形式，通过比较系数可以求解出 m、n 的值，从而得到 k 的值。
通过对以上三种解法的探究，学生们发现了不同的思路和方法，并且比较了它们的优劣和适用性。
这种多解思维的培养有助于学生的创新思维能力和解题技巧的提高。
在教学中，我还可以引导学生探究更多的解题方法，培养他们的灵活性和思考能力。
在教学实施过程中，我结合多媒体教学手段，通过展示课本例题的多种解法，激发学生的学习兴趣和求知欲。
我注意引导学生思考每种解法的优缺点，并帮助他们总结出适用场景和适用对象。
一道课本习题的探究与思考
２ｆ ＿＼ ２
２ｓｎ ｉａ
１ｏ０ ＿ｓ ｃ２ ２
（ 笔者追问 ： 为什么？其 回答是三角公式多 ， 可能好处理一些． ）
学 生２ 因为 已知 了一 角 ， 求 面积 ， 想 用 这 个 角 的两 边 为 ： 要 我 变 量 ， 时 知 道 该 角 的对 边 ， 余 弦 定 理 把 一 边 用 另一 边 表 示 ， 同 由
时， 户 △Ａ Ｑ的面 积 最大 ？
２ ．探 求
教 师 ： 生 ４ 结 论 提 出 了可 能 的结 果 。 同学 们 选 择 某 一 学 对 请
方 向解 题 ． 验证 其 猜 想．
５ 钟内， 分 笔者 巡 视 中发 现 一 些解 法并 指 定 学 生 把其 解答 书
写 到 黑 板 上 ．（ 便 起 见 ， 中把 学 生 在 本 题 中所 设 未 知 量 统 一 方 文 改 为 ： Ａ ，Ｑ ａＡ ＝ ， ＝ ， ４ Ｑ ， Ｑ － ， 中 ， 设 Ｐ ＝ ， Ｐ ｘＡＱ ｙ 厶 尸 ＬＡ Ｐ 其 ￣ ａ 为定值 ）
一
ｃｓ ＋２ａ＝ ， 得 一 ｏａ ｙ－２Ｏ 解 ：
又擦 了 ）
（ 图 明显 ， 求 根 公 式 写 了 ， 意 用 但
学 生７ 如 图２ 作Ａ ： ， 日上— 户 Ｑ于日点 ， ＬＰ Ｈ ｌＬＱ Ｈ＝ Ｉ 设 Ａ ， Ａ Ｏ，
Ａ Ｈ＝ｈ
般要作图 ． 选用四个公式（ 弦、 正 余弦定理 ， 面积公式 ， 内角和
Ｚ
３ ．反 思
教 师点 评 ： 三位 学 生 的解 题 方 法 是你 们 主要 的解 法 ， 部 这 大 分 学生 用 了学 生５ 的解 法 ， 因为 开 始 时也 有 不少 的 同学用 了学 生６ 的思 路 ， 基 本 上 都 但 改 弦 易辙 了 ， 也是 “ 俊杰 ” 的一 种 表 现 ， 还有 少 部 分 同学 用 了学 生 ７ 的解法．不 论 怎么 说 ， 学生４ 猜想 成 立 了 ！ 的
一道课本习题的推广探究
一道课本习题的推广探究习题的作用是让学生熟悉教材，把所学的内容融会贯通，总结思路，进行系统拓展引发思考，提高学生的学习能力和独立思考能力。
推广性习题是在原习题基础上由学生自主编写，扩展题干深入探究，思考与解答把控深度。
它有利于提升学生的分析和解决问题的能力，熟悉并发现教学内容，利用自身所知深入探究，并结合实际实践及其他科目等，把所学概念运用起来。
首先，我们来看一个有关几何的习题。
该习题内容是：“如果一个空心正方形，正方形的边长为a，求出其内切圆的半径r”。
该习题可推广为：“已知正方形ABCD，设角A=α，求出内切圆的半径r”。
推广这一习题要求学生能够利用空间几何的知识，结合实际情况，具体分析解决问题的过程，如求出角α的具体值，再求出r的值。
这将激发学生的独立思考和合作能力，让学生根据教材要求学习知识，学以致用，会计算角的大小，熟悉角的变化，从而让学生掌握推广习题的解决方法。
此外，学生还可以结合实际实践进行推广性习题的探究，如：罗振宇在《小小大世界》中提出，“只要确定一个特性，便可解决所有复杂问题”，那么我们可以利用几何，逐步推广习题，只要确定正方形中角α的值，我们就可以求出内切圆的半径r。
推广习题的探究就是在概念学习的基础上，将学习的概念与实践联系起来，将学习的内容与实践联系起来，以及将抽象的概念与具体的问题联系起来，将课本的内容转化为学习的实践，形成一种学习方式，从而提高学习能力。
推广习题的探究，不仅可以激发学生自主性，而且能够培养学生的心理、思维、认知和表达能力，培养学生的解决问题的能力，以及考虑问题的方式和态度。
推广习题的解决方法，要求学生思考的内容有：1、了解和掌握概念背景；2、运用知识解决实际问题；3、分析和探究问题；4、举一反三，把所学概念运用起来。
总之，推广习题探究代表着科学教育的发展方向，旨在提高学生的思维能力和认知能力，让学生发现学习内容中的规律，从而把所学概念运用起来，进一步提升学习能力。
一道课本例题的引伸与探究
方形 Ｂ ｃＤ ． 接下来 ， 们可 以从 点 的对 称 角度对 此 我
国标苏科版教材九年级上册 ２ ４页例 ６ １ ： ［ ］ 已知 ： 如图 １ Ｅ、 Ｇ、 ， Ｆ、 Ｈ分 别是 正 方 形 Ａ Ｃ 各 边 的 中 ＢＤ
点 ，Ｆ、 Ｇ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ 、Ｈ、 Ｅ分别相交于
点 Ａ 、 、 Ｄ ． Ｂ Ｃ 、
问题进行 引伸 ， 到一 些有价值的结论． 得 引伸 １ 若点 Ｅ在线 段 Ａ Ｂ上运 动 ， Ｆ Ｇ 日作 相 点 、、 应 的变化 ， 使得 Ａ Ｂ Ｅ＝ Ｆ＝Ｃ Ｄ ． Ｇ＝ Ｈ 特殊地 ， 当点 Ｅ与点
Ａ重合 时 ， 正方形 ＡＢ ＣＤ 与原正方形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ重合 ； 当点 Ｅ与点 曰重合时 ， 正方形 ＡＢ ＣＤ 退化为 一个点 ， 即原正 方形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的中心． 不难发现 ： 当点 Ｅ从点 Ａ沿线 段Ａ Ｂ向 点 运动时 ，Ｅ逐 渐变大 ， 构造的正 方形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 逐 Ａ 所
求证 ： 四边形 Ａ Ｂ ＣＤ 是
正 方 形．
２ 方法探究
图１
渐变小．
课本 给出的证 法经历 了三 次全等 证 明 ： ＡＡ Ｆ ① Ｂ ￣
ＡＢ Ｇ， ＡＡ ＡＢ ③ △Ａ ＡＢ ． 下 Ｃ ② ＢＢ Ｃ Ｃ， ＡＥ ＢＦ 接 来 ， 思考 的是 能否减少 证 明全等 的次数 ， 要 使得证 明更
引伸 ２ 如 图 ２ 若 点 Ｅ在线 段 Ａ ， Ｂ的延 长线 上运 动 ， Ｆ、 、 作 相 应 的变 化 ， 保 持 Ａ 点 ＧＨ 仍 Ｅ＝Ｂ Ｆ：Ｃ Ｇ＝
Ｄ ． Ｈ 可发现 ： 当点 Ｅ从 点 沿 Ａ Ｂ方 向运动 时 ，Ｅ逐渐 Ａ 变大 ， 构造 的正方形 Ａ Ｂ ＣＤ 也 随之逐渐变大． 所 引伸 ３ 如 图 ３ 若点 Ｅ在线段 Ａ ， Ｂ的反 向延 长线上
一道课本例题的探究与应用
值为３，最小值为２，求ｍ的取值范围．图３题目一给出，学生立即画图，讨论，其中有几个同学很快能发现对称轴ｘ＝１一定要含于闭区间［０，ｍ］内，于是得到ｍɪ［１，２］．课后老师还布置了一道衔接作业：已知函数ｆ（ｘ）＝４ｘ２－４ａｘ＋ａ２－２ａ＋２在闭区间［０，２］上的最小值为３，求实数ａ的取值范围．从这里可以看出，尽管两个老师教学水平相当，但其中一个老师巧妙地将二次函数相关知识适当衔接延伸到课堂的讲解㊁练习，作业之中．教学效益明显提高．教师不仅归纳出函数图象平移规律，而且还介绍了寻找函数最值的图像解法．这为下节课最值的进一步研究提供一种重要的方法．从学生的状态来看，课堂气氛活跃，师生配合默契，同学的作业㊁问题的回答也要明显好于另一个班级！本文仅通过函数部分几个典型问题的衔接，谈谈高中衔接教学的一些做法．实际上，高初中教学的衔接，不仅在高一㊁高二，甚至高三的教学也要注意渗透．例如高三 平面几何选讲 的绝大部分内容就是初中平几的衔接与延伸，初中韦达定理在高二的解几教学中常常碰到，初中绝对值的概念是高中分类讨论的一个重要依据，不等式解法㊁因式分解等内容也是高中数学的重要工具．所以，衔接教学要贯穿于高中数学课堂的始终！但是，由于高一教学很紧，衔接教学又要分担不少的课时，如何处理衔接与进度的关系呢？这就要求老师钻研课本㊁熟悉衔接的内容，科学设计，将关联的知识化整为零，将衔接的内容渗透到每堂课．这样高一的学生才能跟上老师的节奏，促使师生课堂思维的同频，也只有这样，我们的教学才更有针对性，课堂教学效益才会不断提高．参考文献［１］㊀廖顺宏，数学课堂设计与学生创新思维的培养［Ｊ］．数学通报．２０００（９）．［２］㊀高洪武，追求数学课堂的自然高效［Ｊ］．中学数学杂志，２０１３（３）．作者简介㊀廖顺宏，男，中学数学高级教师．主持并参与‘中学数学困难生学习过程评价研究“等市级课题三个．近几年，本人获佛山市骨干教师，禅城区骨干教师，禅城区优秀教师等荣誉称号．主编或参与编写我国权威书籍‘中国高考年鉴“ 数学分册等教学参考书５部；发表论文近２０篇．一道课本例题的探究与应用山西省孝义中学㊀㊀０３２３００㊀㊀张立政㊀㊀课本是重要的教学资源，例题是数学教材的重要组成部分，是教材的精华，颇受高考命题专家的青睐．数学教师应充分对例题进行探究，挖掘其应用价值．著名数学家Ｇ㊃波利亚说： 一个专心的认真备课的教师能拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使其通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域． 下面通过一道课本例题的探究谈一谈如何 立足课本，对接高考 ．１㊀题目呈现题目㊀（人教Ａ版‘数学 选修２－１⓪第４１页的例３）设点Ａ，Ｂ的坐标分别为（－５，０），（５，０），直线ＡＭ，ＢＭ相交于点Ｍ，且它们的斜率之积为－４９，求点Ｍ的轨迹方程．２㊀题目探究探究１㊀设点Ａ，Ｂ的坐标分别为（－ａ，０），（ａ，０）．直线ＡＭ，ＢＭ相交于点Ｍ，且它们的斜率之积为－ｂ２ａ２，求点Ｍ的轨迹方程，点Ｍ的轨迹是什么？结论１㊀与两定点Ａ（－ａ，０），Ｂ（ａ，０）连线的斜率之积等于定值－ｂ２ａ２的点Ｍ的轨迹方程是ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ｘʂʃａ）．情形１：当ａ＞ｂ＞０时，点Ｍ的轨迹是以ＡＢ为长轴的椭圆，除去Ａ，Ｂ两点．情形２：当ｂ＞ａ＞０时，点Ｍ的轨迹是以ＡＢ为短轴的椭圆，除去Ａ，Ｂ两点．情形３：当ａ＝ｂ＞０时，点Ｍ的轨迹是以ＡＢ为直径的圆，除去Ａ，Ｂ两点．探究２㊀结论１的反面是什么？是否成立？２１㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀中学数学杂志㊀２０１４年第７期结论２㊀椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上两个顶点（－ａ，０），（ａ，０）与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为定值－ｂ２ａ２．探究３㊀类比 圆中任一条直径所对的圆周角是直角 ，将结论２中的两顶点换成经过椭圆中心的任意一条弦的两端点，结论是什么？结论是否成立？结论３㊀椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上任意经过中心的弦的两个端点与椭圆上任一点（除这两点外）连线斜率之积为定值－ｂ２ａ２．探究４㊀将 圆的垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 类比到椭圆中，结论是什么？结论是否成立？结论４㊀过椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１的中心平分该椭圆弦的直线与弦所在的直线的斜率之积为定值－ｂ２ａ２．探究５㊀将 圆的切线定理：过切点的直径垂直于过该切点的圆的切线 类比到椭圆中，结论是什么？结论是否成立？结论５㊀过椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１上一点与中心连线的直线的斜率与椭圆在该点处切线的斜率之积为定值－ｂ２ａ２．当然，可将以上椭圆中的结论类比到双曲线中，探究其是否成立．（限于篇幅，留给读者探究总结）３㊀对接高考例１㊀（２０１３年高考全国大纲卷（理科）第８题）椭圆Ｃ：ｘ２４＋ｙ２３＝１的左㊁右顶点分别为Ａ１㊁Ａ２，点Ｐ在Ｃ上，且直线ＰＡ２斜率的取值范围是［－２，－１］，那么直线ＰＡ１斜率的取值范围是（㊀㊀）．Ａ．１２éëêê，３４ùûúú㊀㊀㊀㊀Ｂ．３８éëêê，３４ùûúúＣ．１２，１éëêêùûúú㊀㊀㊀Ｄ．３４，１éëêêùûúú解析㊀由结论２得，ｋＰＡ１㊃ｋＰＡ２＝－３４，所以ｋＰＡ１＝－３４ｋＰＡ２（－２ɤｋＰＡ２ɤ－１）．因为ｋＰＡ１单调递增，所以３８ɤｋＰＡ１ɤ３４，故选Ｂ．例２㊀（２０１３年高考全国新课标Ⅰ卷（理科）第１０题）已知椭圆Ｅ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的右焦点为Ｆ（３，０），过点Ｆ的直线交椭圆于Ａ㊁Ｂ两点．若ＡＢ的中点坐标为（１，－１）则Ｅ的方程为（㊀㊀）．Ａ．ｘ２４５＋ｙ２３６＝１㊀㊀㊀Ｂ．ｘ２３６＋ｙ２２７＝１Ｃ．ｘ２２７＋ｙ２１８＝１㊀㊀㊀Ｄ．ｘ２１８＋ｙ２９＝１解析㊀由结论４得：－ｂ２ａ２＝－１２，所以ａ２＝２ｂ２．又ａ２＝ｂ２＋９，所以ｂ２＝９，ａ２＝１８，选Ｄ．例３㊀（２０１３年高考全国新课标卷Ⅱ（理科）第２０题第⑴问）平面直角坐标系ｘＯｙ中，过椭圆Ｍ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）右焦点的直线ｘ＋ｙ－３＝０交Ｍ于Ａ，Ｂ两点，Ｐ为ＡＢ的中点，且ＯＰ的斜率为１２．求Ｍ的方程．解析㊀由结论４得，－ｂ２ａ２＝１２ˑ（－１），所以ａ２＝２ｂ２．又直线ｘ＋ｙ－３＝０过焦点（ｃ，０），所以ｃ＝３，即ａ２－ｂ２＝３，所以ａ２＝６，ｂ２＝３，点Ｍ的轨迹方程为ｘ２６＋ｙ２３＝１．例４㊀（２０１３年高考北京卷（理科）第１９题第（２）问）已知Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ是椭圆Ｗ：ｘ２４＋ｙ２＝１上的三个点，Ｏ是坐标原点．当点Ｂ不是Ｗ的顶点时，判断四边形ＯＡＢＣ是否可能为菱形，并说明理由．解析㊀四边形ＯＡＢＣ不可能为菱形．理由如下：假设四边形ＯＡＢＣ为菱形，则对角线ＯＢ与ＡＣ互相垂直且平分于点Ｍ，于是ｋＯＢ㊃ｋＡＣ＝－１．又由结论４知，ｋＯＭ㊃ｋＡＣ＝－１４．因为ｋＯＭ＝ｋＯＢ，所以ｋＯＢ㊃ｋＡＣ＝－１４．因为－１４ʂ－１，所以假设不正确．所以当点Ｂ不是Ｗ的顶点时，四边形ＯＡＢＣ不可能为菱形．例５㊀（２０１３年山东卷（理科）压轴题）椭圆Ｃ：３１中学数学杂志㊀２０１４年第７期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左㊁右焦点分别是Ｆ１，Ｆ２，离心率为３２，过Ｆ１且垂直于ｘ轴的直线被椭圆Ｃ截得的线段长为１．（１）求椭圆Ｃ的方程；（２）点Ｐ是椭圆Ｃ上除长轴端点外的任一点，连结ＰＦ１，ＰＦ２，设øＦ１ＰＦ２的角平分线ＰＭ交Ｃ的长轴于点Ｍ（ｍ，０），求ｍ的取值范围；（３）在（２）的条件下，过点Ｐ作斜率为ｋ的直线ｌ，使得ｌ与椭圆Ｃ有且只有一个公共点，设直线ＰＦ１，ＰＦ２的斜率分别为ｋ１，ｋ２，若ｋʂ０，试证明１ｋｋ１＋１ｋｋ２为定值，并求出这个定值．解析㊀（１）ｘ２４＋ｙ２＝１（过程略）．（２）设Ｐ（ｘ０，ｙ０）（ｙ０ʂ０）．当ｘ０＝０时，ｍ＝０．当ｘ０ʂ０时，由结论５知ｋＯＰ㊃ｋ切＝－１４，所以ｋ切＝－ｘ０４ｙ０．由椭圆光学性质知ｋＰＭ㊃ｋ切＝－１，所以ｋＰＭ＝４ｙ０ｘ０，所以øＦ１ＰＦ２的角平分线ＰＭ的方程为ｙ－ｙ０＝４ｙ０ｘ０（ｘ－ｘ０），令ｙ＝０得ｍ＝３４ｘ０（－２＜ｘ０＜０或０＜ｘ０＜２）．综合上述得－３２＜ｍ＜３２．（３）由题意，设Ｐ（ｘ０，ｙ０）（ｘ０ʂ０，ｙ０ʂ０）．由结论５知，ｋＰＭ㊃ｋ切＝－１４，所以ｋ＝ｋ切＝－ｘ０４ｙ０，而ｋ１＝ｙ０ｘ０＋３，ｋ２＝ｙ０ｘ０－３，所以１ｋ１＋１ｋ２＝２ｘ０ｙ０，所以１ｋｋ１＋１ｋｋ２＝－４ｙ０ｘ０㊃２ｘ０ｙ０＝－８．例６㊀（２０１３年高考山东卷（理科）压轴题的一般化）椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的左㊁右焦点分别是Ｆ１，Ｆ２．（１）点Ｐ是椭圆Ｃ上除长轴端点外的任一点，连结ＰＦ１，ＰＦ２，设øＦ１ＰＦ２的角平分线ＰＭ交Ｃ的长轴于点Ｍ（ｍ，０），求ｍ的取值范围；（２）在（１）的条件下，过点Ｐ作斜率为ｋ的直线ｌ，使得ｌ与椭圆Ｃ有且只有一个公共点，设直线ＰＦ１，ＰＦ２的斜率分别为ｋ１，ｋ２，若ｋʂ０，试证明１ｋｋ１＋１ｋｋ２为定值，并求出这个定值．解析㊀（１）由题意，设Ｐ（ｘ０，ｙ０）（ｙ０ʂ０）．当ｘ０＝０时，ｍ＝０．当ｘ０ʂ０时，由结论５知ｋＯＰ㊃ｋ切＝－ｂ２ａ２，所以ｋ切＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０．由椭圆光学性质知，ｋＰＭ㊃ｋ切＝－１，所以ｋＰＭ＝ａ２ｙ０ｂ２ｘ０，所以øＦ１ＰＦ２的角平分线ＰＭ的方程为ｙ－ｙ０＝ａ２ｙ０ｂ２ｘ０（ｘ－ｘ０）．令ｙ＝０得ｍ＝ｘ０－ｂ２ａ２ｘ０＝ａ２－ｂ２ａ２ｘ０（－ａ＜ｘ０＜０或０＜ｘ０＜ａ），综合上述得－ａ２－ｂ２ａ２＜ｍ＜ａ２－ｂ２ａ２．（２）由题意，设Ｐ（ｘ０，ｙ０）（ｘ０ʂ０，ｙ０ʂ０）．由结论５知，ｋＯＰ㊃ｋ切＝－ｂ２ａ２，ｋ＝ｋ切＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０，而ｋ１＝ｙ０ｘ０＋ｃ，ｋ２＝ｙ０ｘ０－ｃ，所以１ｋ１＋１ｋ２＝ｘ０＋ｃｙ０＋ｘ０－ｃｙ０＝２ｘ０ｙ０，所以１ｋｋ１＋１ｋｋ２＝－ａ２ｙ０ｂ２ｘ０㊃２ｘ０ｙ０＝－２ａ２ｂ２．４㊀教学启示４．１㊀注重对课本例题教学价值的挖掘．课本例题具有示范性，通过例题教学，帮助学生深究教材例习题，挖掘其潜在功能，发挥其使用价值，对激发学生的探索兴趣，培养学生的解题能力，发展学生的创造性思维，都具有积极的作用．４ ２㊀立足教材，高效备考．新课程提倡教师在教学中对课程资源进行开发和利用，教材是教师进行教学的主要资源，是学生能力的生长点，是高考命题的主要依据．立足教材，开发教材，做透教材中的典型例题和习题，善于在高考题中寻找教材题目的原型，探索高考试题与教材题目的结合点，打通教材与高考的通道，对接高考，才能最终实现在高考复习中跳出题海，高效备考．作者简介㊀张立政，男，１９６４年生，山西孝义人，山西省中学数学特级教师，主要从事中学数学教育与教学研究．４１㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀中学数学杂志㊀２０１４年第７期。
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一道课本例题引发的探究
【摘 要】高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，引导学生乐于把现有的问题进行演变、引申，发展学生的创新思维，培养他们的探究能力。
【关键词】例习题 问题 探究 引申
高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，通过探究让学生大胆的提出问题、解决问题。
这样不仅能加深概念、法则、定理等基础知识的理解与掌握，更重要是开发了学生的智力，培养学生的探究能力。
现以人教版选修2—1第41页例3的教学为例，并谈谈自己的一些想法。
一、问题的提出
（选修2—1第41页例3）设点A 、B 的坐标（5,0）、（-5,0）。
直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-9
4
，求点M 的轨迹方程。
解答：（略）
本题由学生用直译法做，没有太大的问题。
二、问题的引申
1、逆向思维，大胆猜想：
牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。
”翻开数学史册，可以发现数学的历史就是一部充满猜想的历史。
可见猜想与数学发现是形影不离的。
我们可以通过例题，引导学生进行大胆猜想与合情推理，发展他们发现问题的能力。
针对例3的答案为椭圆方程，学生不禁会问一般的椭圆是不是都有这样的性质呢？
猜想1：椭圆0(122
22>>=+b a b
y a x 上长轴的两顶点A 、B 与任意一
点P （不同于A 、B ）连线PA PB 、的斜率之积为定值.
解答：（略）
有了例3的解答，这个问题让学生自主解决。
2、大胆假设，归纳引申：
先通过大胆假设，再从特殊问题入手，归纳出一般性的结论。
这样有利于学生形成良好的认知结构。
变式问题中弦AB 是长轴，能不能改成一般过原点的弦呢？
我们可以先与学生一起来探究一个特殊的问题，归纳出方法，再引申出一般性的命题。
问题：椭圆22
132x y +=上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线P A P B 、与对称轴不平行，求直线PA PB 、的斜率之积。
证明:设111(,),(,),P x y A x y 则111(,),B x y --2222
111,13232
x y x y ∴+
=+=,两式相减得:
22221132x x y y --∴=, 22122
12
3
y y x x -∴=-- 22111221112
3
PA PB
y y y y y y k k x x x x x x -+-∴⋅=⋅==-
-+- 让学生自主探究，再让学生归纳引申出一般的问题。
命题1: 椭圆0(122
22>>=+b a b y a x 上任意一点P 与过中心的弦AB 的两
端点A 、B 连线P A P B 、与对称轴不平行，则直线PA PB 、的斜率之积
为定值.
证明:设111(,),(,),P x y A x y 则111(,),B x y --1,122122122
22=+=+∴b y a x b y a x ,两式相减
得: 22122212b y y a x x --=- 22
2
12212a
b x x y y -=--∴ 22
1111a
b x x y y x x y y K K PB
PA -=++∙--=∙∴为定值. 3、极限思想，知识串联；
G ∙波利亚说：“类比是一个伟大的引路人”。
我们这时引导学生，然后提问：椭圆的极限位置是圆，此性质可以类比圆中什么性质呢？让学生分组探讨，进行类比与归纳。
探讨后部分学生提出了对性质的解释:是圆的性质“圆上一点对直径所张成的角为直角”在椭圆中的推广。
这个解释充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题。
再引导类比圆中的性质，可以引申出以下命题.
命题2：若M 是椭圆的弦AB 之中点，则直线OM 与直线AB 的斜率之积为定值。
证明：（如图）连接AO 并延长交椭圆 于点C ，连结OM ,BP ,则//OM BP OM B P k k ∴= 由性质知22
a
b K K PB PA -=∙∴
22
a
b K K AB
OM -=∙∴为定值
对性质的解释:是圆中的垂径定理“圆心与弦中点连线垂直于弦”在椭圆中的推广。
（学生思考、解释）
4、类比思想，知识拓展
通过以上的探究，椭圆与圆的知识建立完美的解释。
学生欣喜之余，进入深深沉思中。
学生提问双曲线中是否有类似的性质呢？ 猜想2: 将椭圆改为双曲线，命题是否成立？
让学生课后进行探讨。
三、性质的应用
上述结论的证明主要运用了点差法，在探究中运用类比、极限等思想。
这些思想方法在学习高中数学中是必不可少的。
而且椭圆中的许多经典结论，再近几年的高考中竞相登场，一年秀似一年。
特别是上述结论以及相关的性质是多次在各省市高考中出现。
我们要引导学生会应用，能主动利用课本的例习题探究其潜在的一般性质。
接下来我们探讨它的应用，特别以对称问题举例。
例：已知两椭圆222
1122:x y C a b λ+= ，2222222:x y C a b
λ+=12(0;0)a b λλ>>>>
若不平行于坐标轴的直线l 与12,C C 分别相交于,,A B C D 和，求证：
AC DB =
证明:分别取线段AB,CD 的中点,M M ', 由推论知
22l OM b k k a
⋅=- 2
2l OM b k k a '⋅=-
∴ OM OM k k '= 故M M '与重合
由于A M B M C M D M
==
及 知AC BD = 四、总结与升华
我们要学会探究中发现问题与解决问题。
那么怎么发现问题呢？我们要给自己多问几个“为什么”，对问题进行一般化、特殊化、逆向思维的处理，从命题角度与解法角度进行发散。
可以提出“概括型”、“猜想型”、“引申型”、“探究开放型”等问题。
现在社会真正需求是具备创新意识、创新能的创造性人才。
因此，教师在教学实践中，应尽量引导学生乐于把现有的问题进行演变、引申，发展学生的创新思维，培养他们的探究能力。
参考文献：
《普通高中课程标准实验教科书》数学2—1 人教版2007年2月第二版 《反思课本例习题，引导学生发现问题》张立兵中学数学教学参考2009.2
《简析椭圆中的22
b
a 》徐勇 高中数学教与学 2011.9。