第一章 一些典型方程和定解条件的推导

第一章一些典型方程和定解条件的推导§1.1 基本方程的建立例1弦的振动1、问题的提法给定一根两端固定（平衡时沿直线）均匀柔软的细弦，其长为l，在外力作用下在平衡位置附近作微笑的横振动，研究弦上各点的运动规律。

2、方程的推导基本假设：（1）弦是均匀的。

弦的横截面直径与弦的长度相比可以忽略（细），因此，弦可以视为一条直线，它的线密度ρ是常数。

（2）弦在某一平面内作微小横振动，即弦的位置始终在一直线附近，而弦上各点均在同一平面内垂直于该直线的方向上作微小的振动。

所谓“微小”是指振动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小。

（3）弦是柔软的。

它在形变时不抵抗弯曲，弦上各质点间的张力方向与弦的切线方向一致，而弦的伸长形变与张力的关系服从胡克（Hook）定律。

由上述假定推导振动方程。

先讨论不受外力作用时弦的振动。

由Newton第二定律，知作用在物体上的力=该物体的质量×该物体的加速度于是，在每一个时间段内作用在物体上的冲量=该物体的动量的变化由于弦上各点的运动规律不同，必须对弦的各个片段分别进行考察。

为此，如图1.1，选择坐标系，将弦的两端固定在x轴的O、L两点上（OL=l）。

图1.1弦乐器所用的弦往往是很轻的，它的重量只有张力的几万分之一。

跟张力相比，弦的重量完全可以略去。

这样，真实的弦就抽象为“没有重量的”弦。

把没有重量的弦绷紧，它在不振动时是一根直线，就取这直线作为x轴(图1.1)，把弦上各点的横向位移记作u，位移u在弦上各点是不一样的，即u有赖干x；另一方面，既然研究的是振动，位移u 必随时间t而变，即u有赖于t。

这样，横向位移u是x和t的函数。

用u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x方向的位移。

当t固定时，u(x,t)表示弦在时刻t所处的状态。

把弦细分为许多极小的小段。

拿区间（x，x+dx）上的小段B为代表加以研究。

B既然没有重量而且是柔软的，它就只受到邻段A和C 的拉力T 1和T 2。

弦的每小段都没有纵向（即x 方向)的运动，所以作用于B 的纵向合力应为零，2211cos cos 0T T αα-=（1.1）按照弦作微小振动的假设，可知振动过程总弦上x 点与x +dx 处切线的倾角都很小，即α1≈0，α2≈0，从而由24cos 12!4!ααα=-+-可知，当我们略去α1与α2所有高于一次方的各项时，就有12cos 1,cos 1αα≈≈带入（1.1）式，便可近似得到12T T =。

在u 方向弧段B 受力的总和为T 2sin α2- T 1sin α1-ρgds ，其中-ρgds 是弧段B 的重力。

又因当α1≈0，α2≈0时1122(,)sin tan (,)sin tan u x t x u x dx t xds dxαααα∂=≈=∂∂+=≈=∂=≈且小弧段B 在时刻t 沿u 方向运动的加速度近似为22(,)u x t t ∂∂，小弧段的质量为ρgds ，所以根据F ＝ma 写出B 的横向运动方程2212(,)sin sin u x t T T gds dst ααρρ∂--≈∂或22(,)(,)(,)[]u x dx t u x t u x t T gdx dx xxt ρρ∂+∂∂--≈∂∂∂（1.2）上式左边括号内的部分是由于x 产生dx 的变化而引起的(,)u x t x∂∂的改变量，可用微分近似代替，即22(,)(,)(,)(,)[]u x dx t u x t u x t u x t dx dx xxx x x ∂+∂∂∂∂-≈=∂∂∂∂∂ 于是2222(,)(,)[]u x t u x t T g dx dx xtρρ∂∂-≈∂∂或2222(,)(,)T u x t u x t g xtρρ∂∂≈+∂∂一般说来，张力较大时振动速度变化很快，即22(,)u x t t ∂∂要比g 大很多，所以又可以把g 略去（或跟张力相比，弦的重量完全可以略去。

这样，真实的弦就抽象为“没有重量的”弦）。

略去次要的量，抓住主要的量，在u (x,t )关于x ，t 都是二次连续可微的前提下，最后得出u (x,t )应近似满足方程22222(,)(,)u x t u x t atx∂∂=∂∂ （1.3）其中2Ta ρ=。

（1.3）式称为一维波动方程。

如果在振动过程中，弦上另外还受到一个与弦的振动方向平行的外力，且假定在时刻t 弦上x 点处的外力密度为F (x,t )，显然，在这时（1.1）及（1.2）分别为2211cos cos 0T T αα-=2212(,)sin sin u x t Fds T T gds dst ααρρ∂+--≈∂利用上面的方法并略去弦本身的重量，可得弦的强迫振动方程为22222(,)(,)1(,)(,)(,)u x t u x t af x t f x t F x t t x ρ∂∂=+=∂∂ （1.3）′其中1(,)(,)f x t F x t ρ=，表示时刻t 单位质量得弦在x 点处所受的外力密度。

方程（1.3）与（1.3）′得差别在于（1.3）′的右端多了一个与未知函数u 无关的项f (x ,t )，这个项称为自由项。

包括非零自由项得方程称为非齐次方程，自由项恒等于零的方程称为齐次方程。

（1.3）称为齐次一维波动方程，（1.3）′称为非其次一维波动方程。

例 2 传输线方程 1、问题的提法对于直流电或低频的交流电，电路的基尔霍夫（Kirchhoff ）定律指出同一支路中电流相等。

但对于较高频率的电流（指频率还没有高到能量显著地辐射电磁波的情况），电路中导线的自感和电容的效应不可忽略，因而同一支路中电流未必相等。

2、方程的推导今来考虑一来一往高频传输线，它被当作具有分布参数的导体（图1.2）我们来研究这种导体内电流流动的规律。

在具有分布参数的导体中，电流通过的情况，可以用电流强度i 与电压v 来描述，此处i 与v 都是x ，t 的函数，记作i （x ，t ）与v （x ，t ）。

以R ，L ，C ，G 分别表示下列参数：R ——每一回路单位的串联电阻； L ——每一回路单位的串联电感； C ——每单位长度的分路电容； G ——每单位长度的分路电导。

根据基尔霍夫第二定律，在长度为△x 的传输线中，电压降应等于电动势之和，即()iv v v R x i L x t∂-+∆=∆+∆∂由此得v i Ri Lxt∂∂=--∂∂ （1.4）另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点的电流应等于流出该节点的电流，即()vi i i C x G x v t∂=+∆+∆+∆∂或i v CGv x t ∂∂=--∂∂（1.5）将方程（1.4）与（1.5）合并，即得i ，v 应满足如下方程组00i v C Gv x tv i L Ri xt ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪++=⎪∂∂⎩ 从这个方程组消去v （或i ），即可得到i （或v ）所满足得方程。

例如，为了消去v ，我们将方程（1.5）对x 微分（假定v 与i 对x ，t 都是二次连续可微得），同时在方程（1.4）两端乘以C 后再对t 微分，并把两个结果相减，即得22220i v i i GLCRCx xt t∂∂∂∂+--=∂∂∂∂将（1.4）中的v x∂∂代入上式，得2222()i i i LCRC GL GRi xtt∂∂∂=+++∂∂∂ （1.6）这就是电流i 满足得微分方程。

采用类似得方法从（1.4）与（1.5）中消去i 可得电压v 满足得方程2222()v v v LCRC GL GRv xtt∂∂∂=+++∂∂∂ （1.7）方程（1.6）或（1.7）称为传输线方程（电报方程）。

根据不同的具体情况，对参数R ，L ，C ，G 作不同得假定，就可以得到传输线方程的各种特殊形式。

例如，在高频传输的情况下，电导与电阻所产生的效应可以忽略不计。

也就是说可令G=R=0,此时方程（1.6）与（1.7）可简化为22221i i tLC x∂∂=∂∂ 22221v v t LC x ∂∂=∂∂这两个方程称为高频传输线方程。

若令21a LC=，这两个方程与（1.3）完全相同。

由此可见，同一个方程可以用来描述不同的物理现象。

一维波动方程只是波动方程中最简单的情况，在流体力学、声学及电磁场理论中，还要研究高维的波动方程。

例 3 电磁场方程从物理学我们知道，电磁场的特性可以用电场强度E 与磁场强度H 以及电感应强度D 与磁感应强度B 来描述。

联系这些量的Maxwell方程为t∂=+∂D rotH J （1.8）t∂=-∂BrotE （1.9）0div =B （1.10） div ρ=D（1.11）其中J 为传导电流的面密度，ρ为电荷的体密度。

这组方程还必须与下述场的物质方程ε=D E （1.12） μ=B H（1.13） σ=J E（1.14）相联立。

其中ε是介质的介电常数，μ是导磁率，σ为导电率，我们假定介质是均匀而且各向同性的，此时ε、μ、σ均为常数。

方程（1.8）与（1.9）都同时包含有E 与H ，从中消去一个变量，就可以得到关于另一个变量的微分方程。

例如先消去H ，在（1.8）式两端求旋度（假定E 、H 都是二次连续可微的）并利用（1.12）与（1.14）得tεσ∂=+∂rotrotH rotE rotE将（1.9）与（1.13）代入上式得22t tεμσμ∂∂=--∂∂H H rotrotH而2div =-∇rotrotH grad H H ，且10div div μ==H B ，所以最后得到H 所满足得方程为222t tεμσμ∂∂∇=+∂∂H H H同理，若消去H 即得E 所满足得方程222t tεμσμ∂∂∇=+∂∂E E E如果介质不导电（σ＝0），则上面两个方程简化为2221tεμ∂=∇∂H H （1.15） 2221tεμ∂=∇∂E E（1.16）（1.15）与（1.16）称为三维波动方程。

若将三维波动方程以标量得形式表示出来，则可写成22222222222()u u u u a u a txyz∂∂∂∂=∇=++∂∂∂∂ （1.17）其中21a εμ=，u 是E （或H ）得任意一个分量。

从方程（1.11）与（1.12）还可以推导处静电场得电位所满足得微分方程。

事实上，以（1.12）代入（1.11）得div div div εερ===D E E ，而电场强度E 与电位u 之间存在关系u =-E grad ，所以可得div u ρε=-grad 或2u ρε∇=-（1.18） 这个非齐次方程称为泊松（Poisson ）方程。

如果静电场是无源得，即ρ＝0，则（1.18）变成20u ∇=（1.19）这个方程称为拉普拉斯（Laplace ）方程。

例4 热传导方程一块热的物体，如果体内每一点的温度不全一样，则在温度较高的点处的热量就要向温度较低的点处流动，这种现象就是热传导。