弹性力学及塑性力学基础(10A)
1弹塑性力学基础
σ σ σ １１
１２
１３
σ２１ σ２２ σ２３ 可表示为 σij （ i ＝１，２，３；j ＝１，２，３） 。 可见，一阶张量的下标应是 １ 个，３
的下标应是 ２ 个，依次类推，n 阶张量的下标应是 n 个。 n 阶张量可以表示为 a （ i i１i２…in １ ＝１，２，３；i２
ε ＝ε ｅ ＋εｐ
（１畅１）
若在 D 点卸载后重新加载，则在 σ＜σD 以前，材料呈弹性性质，当 σ＞σD 以后才 重新进入
塑性阶段，这就相当于提高了屈服应力。 材料的这种当应力超出了弹性极限以后，材料内部对变
形的抵抗能力随之增强的性质，叫做强化。
综上所述，弹性变形是可逆的，物体在变形过程中所储存起来的能量在卸载过程中将全部释
有些物理量用三个量都还不能表示出来，需要用
更多的量才能表达。 经过数学家和物理学家的努力 发现，这更多 的 量 不 是 随 随 便 便 几 个 都 可 以， 而 是 具 有一定的规律，这个规律是：物理量的个数刚好是 ３n
个（为什么是 ３ 的 n 次方个，而不是 ４ 的 n 次方个，或 者 ５ 的 n 次方个，或者其他什么数值的 n 次方个？）。 例如，在弹塑性力学中，有些物理量，如应力（ 将在 １畅２ 节中讨论） 、应变 （ 将在 １畅３ 节中讨论） 等 是由 ９ 个 独
时，应力与应变关 系 不 再 是 直 线 关 系， 但 仍 属
弹性阶段，在 B 点之前，即 σ＜σ０ ，如卸载，则 应力与应 变 关 系 按 原 路 径 恢 复 到 原 始 状 态，
图 １畅１ 低碳钢试件简单拉伸试验应力 －应变曲线
σ０ 称为屈服应力。 可见，应力在达到屈服应力以前经历了线弹性阶段（ OA 段） 和非线性弹性阶
三种典型力学模型的分析
弹性力学模型的应用
在工程领域中，弹性力学模型 广泛应用于各种结构分析，如 桥梁、建筑和机械零件等。
通过弹性力学模型，工程师可 以预测结构的变形和应力分布 ，从而优化设计。
在材料科学中，弹性力学模型 用于研究材料的性质和行为， 如材料的弹性模量、泊松比等 。
弹性力学模型的优缺点
优点
弹性力学模型简单易懂，适用于大多数工程问题。它能够很 好地预测结构的应力和变形，为工程设计提供可靠依据。
量子力学模型
03
优点是适用于微观、无质量的物体，缺点是描述物体运动状态
不确定，难以理解。
THANKS
感谢观看
缺点
对于一些复杂结构或特殊材料，弹性力学模型可能无法给出 准确的预测结果。此外，弹性力学模型忽略了材料的塑性和 疲劳等特性，因此在实际应用中可能存在局限性。
02
CATALOGUE
塑性力学模型
塑性力学基础
塑性力学是研究材料在塑性变形阶段行为规律的学科，主要关注材料在外力作用下 发生的不可逆变形。
塑性力学基于三大基本假设：应力应变关系、塑性势函数和流动法则。
04
CATALOGUE
三种模型的比较与选择
应用场景比较
牛顿力学模型
适用于低速、宏观、有质 量的物体，如汽车、建筑 等。
相对论力学模型
适用于高速、微观、有质 量的物体，如光子、电子 等。
量子力学模型
适用于微观、无质量的物 体，如光子、电子等。
适用条件比较
牛顿力学模型
适用于物体运动速度远低于光速，且物体质量较大。
03
CATALOGUE
流体力学模型
流体力学基础
牛顿流体定律
流体力学的基本定律，描述了流体运动的规律和 性质。
弹塑性力学讲义 第一章绪论
3
每个分量用一个标量（具有两个下标）与两个并在一起基矢量（并矢） ，称为二阶 张量。矢量可称为一阶张量，标量为零阶张量。 5.2 求和约定 在张量表示说明中，看到张量分量表示是一组符号之和，很长，特别是高阶张量， 为了书写简捷，采用求和约定。 求和约定：当在同一项中，有一个下标字母出现两次时，则表示该项在该指标的取 值范围内遍历求和，且称此种在同一项重复出现一次的下标为哑标。如：
e1 e2 a2 b2 e3
a b ai ei b j e j ai b j eijk ek ai b j ekij ek ， 则
c c k eijk ai b j ekij ai b j ， a b a1 b1
ij
自动消失。ij 也称为换标符号。
eijk ( i,j,k =1,2,3)
定义： eijk
共有 27 个元素。
1 若(i , j , k ) (1,2,3)或 ( 2,3,1)或 (3,1,2)时 正排列顺序 －1 若(i , j , k ) ( 2,1,3)或（1， 3， 2）或（3， 2， 1）时 逆排列顺序 0 若 i , j , k中任意两指标相同时
(i=1,2,3)，用 ri 表示矢径；
同样位移矢量 u，用 ui 表示位移，ij 表示应力
张量。
xi aij y j
i
x1 a11 y1 a12 y2 a13 y3 x2 a21 y1 a22 y2 a23 y3 x a y a y a y 31 1 32 2 33 3 3
矢量场的拉普拉斯算子定义为矢量场的梯度的散度：是一个向量
弹塑性力学基础理论与应用
弹塑性力学基础理论与应用弹塑性力学是力学中一个重要的分支，涵盖了弹性力学和塑性力学的基本原理和应用。
本文将简要介绍弹塑性力学的基础理论和一些应用领域。
一、弹塑性力学的基础理论1. 弹性力学理论弹性力学研究材料在外力作用下的弹性变形及其恢复过程。
根据胡克定律，应力与应变成正比。
弹性力学理论通过应力张量与应变张量之间的关系描述了弹性材料的力学行为。
弹性模量是弹性力学的重要参数，表征了材料的刚度。
2. 塑性力学理论塑性力学研究材料在超过弹性极限后的变形行为。
当外力超过材料的弹性极限时，材料会发生塑性变形，而不是立即恢复到原来的形状。
塑性力学理论包括弹塑性本构方程的建立和塑性流动规律的描述。
3. 弹塑性力学理论弹塑性力学是弹性力学和塑性力学的综合应用。
它考虑了材料在弹性和塑性行为之间的转换。
在某些情况下，材料可以同时表现出弹性和塑性特性。
弹塑性力学理论利用不同的本构关系来描述材料在变形过程中的不同阶段。
二、弹塑性力学的应用1. 材料工程弹塑性力学在材料工程领域中具有重要的应用价值。
通过研究材料的弹性行为和塑性行为，可以确定材料的强度、韧性和耐久性，从而指导材料的选用和设计。
在材料的加工过程中，弹塑性力学理论也可以用于模拟和预测材料的变形行为。
2. 结构工程在结构设计和分析中，弹塑性力学也发挥着重要作用。
结构的承载能力和变形行为与材料的弹性和塑性特性密切相关。
通过考虑弹塑性行为，可以更准确地评估结构的安全性和稳定性。
3. 土木工程土木工程中的地基和土壤材料往往存在复杂的弹塑性特性。
弹塑性力学可用于分析土壤的沉降和变形行为，以及地基的稳定性。
在岩土工程中，弹塑性力学理论也可以用于分析岩土体的稳定性和变形行为。
4. 金属加工金属的塑性变形是金属加工过程中的核心问题。
弹塑性力学理论可以用于研究金属的屈服和流动行为，从而指导金属的模具设计和加工工艺的优化。
总结：弹塑性力学是力学中的一个重要分支，它综合了弹性力学和塑性力学的基础理论与应用。
工程力学中的弹性力学和塑性力学研究
工程力学中的弹性力学和塑性力学研究工程力学是指研究物体在外力作用下的力学行为及其相互联系的一门学科。
其中，弹性力学和塑性力学是工程力学领域中两个重要的研究分支。
本文将对弹性力学和塑性力学进行详细的介绍和比较。
一、弹性力学弹性力学是研究物体在受到外力作用后能够恢复原来形状和大小的力学行为。
弹性力学的基本假设是物体受力后所产生的应变与外力呈线性关系，即满足胡克定律。
根据弹性力学的研究结果，可以得到应变与外力的关系，从而预测物体在受力下的变形和应力分布。
弹性力学常用的模型包括钢材的线弹性模型和混凝土的双弹性模型。
线弹性模型假设材料具有线性弹性行为，即应力和应变成正比。
双弹性模型则考虑了材料在加载和卸载过程中的不同力学性质，有利于对混凝土等复杂材料的力学行为进行准确描述。
弹性力学研究的主要内容包括力的平衡条件、物体的变形与应力、弯曲、挠度、自由振动等。
在工程实践中，弹性力学的理论可以应用于建筑结构的设计、机械零部件的选择和优化以及工程材料的改进等方面。
二、塑性力学塑性力学是研究物体在外力作用下会发生永久形变的力学行为。
与弹性力学相比，塑性力学关注的是物体的超弹性行为，即超出了弹性临界点后的力学行为。
塑性力学不仅涉及到材料的变形和应力分布，还包括材料在加载后产生的塑性应变和应力的分析。
塑性力学的研究对象通常是那些在外力作用下会发生塑性形变的金属材料，如钢材、铝合金等。
在塑性力学中，常用的本构模型有线性硬化模型和可塑性理论。
线性硬化模型假设材料的塑性变形与外力呈线性关系，可塑性理论则试图通过复杂的本构方程来描述材料的力学行为，在实际工程中得到了广泛应用。
塑性力学的研究内容包括塑性变形的机理、材料的本构关系、应变硬化、材料的屈服、断裂和破坏等。
在工程实践中，塑性力学的理论可以应用于金属结构的设计、铸造和焊接工艺的优化以及塑性加工工艺的控制等方面。
三、弹性力学与塑性力学的比较弹性力学和塑性力学作为工程力学的分支，各自具有不同的特点和应用范围。
塑性力学和弹性力学的区别和联系
塑性力学与弹性力学的区别与联系固体力学就是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰(荷载、温度变化等)下的力学响应的科学,按其研究对象区分为不同的科学分支。
塑性力学、弹性力学正就是固体力学中的两个重要分支。
弹性力学就是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为,包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)与位移的分布,以及与之相关的原理、理论与方法;塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。
大多数材料都同时具有弹性与塑性性质,当外载较小时,材料呈现为弹性的或基本上就是弹性的;当载荷渐增时,材料将进入塑性变形阶段,即材料的行为呈现为塑性的。
所谓弹性与塑性,只就是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型;同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。
因此,所谓弹性材料或弹性物体就是指在—定条件下主要呈现弹性性态的材料或物体。
塑性材料或塑性物体的含义与此相类。
如上所述。
大多数材料往往都同时具有弹性与塑性性质,特别就是在塑性变形阶段,变形中既有可恢复的弹性变形,又有不可恢复的塑性变形,因此有时又称为弹塑性材料。
本书主要介绍分析弹塑性材料与结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论与方法。
以及相应的“破坏”准则或失效难则。
塑性力学与弹性力学的区别在于,塑性力学考虑物体内产生的永久变形,而弹性力学不考虑;与流变学的区别在于,塑性力学考虑的永久变形只与应力与应变的历史有关,而不随时间变化,而流变学考虑的永久变形则与时间有关。
一、基本假定1、弹性力学:(1)假设物体就是连续的。
就就是说物体整个体积内,都被组成这种物体的物质填满,不留任何空隙。
这样,物体内的一些物理量,例如:应力、应变、位移等,才可以用坐标的连续函数表示。
(2)假设物体就是线弹性的。
就就是说当使物体产生变形的外力被除去以后,物体能够完全恢复原来形状,不留任何残余变形。
而且,材料服从虎克定律,应力与应变成正比。
《弹塑性力学》第十章弹性力学的能量原理
弹性力学能量原理在材料力学 中有着广泛的应用，它为材料 在受力状态下的行为提供了重 要的理论依据。
在结构力学中的应用
在结构力学中，弹性力学能量 原理被广泛应用于各种结构的 分析、设计和优化。
通过应用该原理，可以分析结 构的整体和局部稳定性、振动 特性、屈曲行为等，确保结构 在各种载荷下的安全性和稳定 性。
弹性力学能量原理在其他领域的应用
工程结构分析
利用弹性力学能量原理对桥梁 、建筑等工程结构进行静力和 动力分析，优化设计。
生物医学工程
将弹性力学能量原理应用于人 体组织和器官的力学行为研究 ，为医学诊断和治疗提供依据 。
地球科学
将弹性力学能量原理应用于地 质构造、地震工程等领域，研 究地球物理现象。
该原理基于能量守恒和最小势能原理，通过分析系统的能量分布 和转化，推导出弹性系统的平衡方程和本构关系。
弹性力学能量原理的重要性
弹性力学能量原理是解决弹性力学问 题的重要工具之一，它可以用于求解 各种弹性力学问题，如应力分析、应 变分析、弹性稳定性等。
该原理提供了一种系统的方法来研究 弹性系统的行为，有助于深入理解弹 性材料的性质和行为，为工程设计和 应用提供理论支持。
02
弹性力学能量原理的基本概念
势能原理
总结词
势能原理是弹性力学中一个重要的基本原理，它表明一个弹性系 统的总势能达到极值。
详细描述
势能原理指出，对于一个处于平衡状态的弹性系统，其总势能（ 包括应变能和外力势能）在平衡状态下达到极值，即在受到微小 扰动后，系统会恢复到原来的平衡状态。
最小势能原理
03
弹性力学能量原理的应用
在材料力学中的应用
01
02
03
04
第一篇第一章弹塑性力学基础
E
s
ssign s
E
s
E
s
sign
s s
A m sign
E1
（4）在弹性区完全线弹性假设
-- 假定物体是,
a.完全弹性—外力取消，变形恢复，无残余 变形。 b.线性弹性—应力与应变成正比。 因此，即应力与应变关系可用胡克定律表示。 符合（1）-（4）假定的称为理想弹性体。
变形状态假定： （5）小变形假定--假定位移和形变为很小。
a.位移＜＜物体尺寸,
例：梁的挠度v＜＜梁高h.
弹性体--当可变形固体由于受外因而发生的 变形限制在弹性范围内时，相应的物体称为 弹性体。 弹性力学的研究对象是完全弹性体。 完全弹性—对应于一定的温度T，受载物体 的应力和应变之间存在着一一对应的关系， 和时间t无关。
弹性力学的研究对象--研究各种形状的弹性 体，主要是板、壳、块体等非杆状结构，并 对杆状结构作进一步的分析。 1.1.3 塑性力学 塑形力学—研究物体在塑性状态的应力和应 变分布规律。 在塑性阶段，应力与应变不在具有一一对应 的全量关系，和加载路径有关，且呈现非线 性的关系。
第一节 弹性力学与塑性力学概述 第二节 弹塑性力学中的研究方法和任务 第三节 弹性力学与塑性力学中的基本假定 第四节 弹性与塑性力学的发展概况 第五节 基本概念 第六节 弹塑性力学的基础实验 第七节 变形体的本构模型
§1-1 弹性力学与塑性力学概述
1.1.1 弹性与塑性的概念 1、弹性--变形的可恢复性。 2、塑性--变形的不可恢复性。 1.1.2 弹性力学 弹性力学--研究弹性体由于受外力、边界约 束或温度改变等原因而发生的应力、形变和 位移。
然后在边界条件下求解上述方程，得 出应力、形变和位移。
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昆 明 理 工 大 学 试 卷（A ）
考试科目： 弹性力学及塑性力学基础 考试日期：2013/01/08 命题教师： 学院：建工学院 专业班级：工程力学101 学生姓名： 学号：
一、写出图示平面问题指定边界的应力边界条件。
（20分）
1. 水下墙体受水压作用，设水的比重为γ ，写出墙面AB 、AC 和BD 的应力边界条件；
2. 悬臂圆弧曲梁在自由端受水平集中力P 作用，写出外侧、内侧及自由端的应力边界条件。
二、说明下列方程或关系式的力学意义，哪分）
ij i j 1. ,,,,()0i j j i j ij k kj i G u u u f λδ+++= 23. 2d d x y M Φ=⎰⎰ 4. 2,1
01ij ij σΘμ
∇+=+
三、试检验函数
O
)43(2223
y h xy h
F
Φ-=
能否做为应力函数？若能，试求出应力分量（不计体力），并求出图示杆件左右两端面力的主矢和主矩，根据左右两端面力的主矢和主矩，判断该杆件是什么类型的梁结构？（本题20分）
四、半平面体表面受有均布水平力q ，试用应力函数2(sin 2)B C Φρϕϕ=+，求应力分量。
（20分）
五、已知某点的应力状态为10010010010002001002000ij σ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（MPa ）， 1. 求主应力和最大切应力
2. 若材料的屈服极限为s 430σ=（MPa ），试用Mises 屈服条件判断该点处于弹性状态还是塑性状态？
3. 因荷载变化致使该点的应力状态变为20010010010001001001000ij
σ⎡⎤
⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，其三个主应力为1300MPa σ=、20σ=、1100MPa σ=-，试用Mises 屈服函数判断该应力状态变化过程是加载？卸载？还是中性变载？
（每小题各10分，均需写出解题过程）。