《高三数学总复习》高考数学理新课标A版一轮总复习课件选4-5不等式选讲-1

合集下载

人教a版高考数学(理)一轮课件：选修4-5不等式选讲

考纲解读
通过近几年的高考题可以看出, 本部分内容的考查主要是在绝对值不等式的几何意义和解绝对值不等式两个方面,考查难度一般,试题题型较为单一 .对于绝对值不等式的证明一般会结合函数、导数等内容考查,难度较大,属中高档题.
1.绝对值三角不等式 (1)定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时,等号成立. 其中不等式|a+b|≤|a|+|b|又称为三角不等式. (2)在|a+b|≤|a|+|b|中用向量 a,b 分别替换实数 a,b,则|a+b|<|a|+|b|的几何意义是三角形的两边之和大于第三边(a,b 不共线). (3)定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等号成立.
(�� + 1)2 ≥ (x + 2)2 , ⇔ �� + 2 ≠ 0, (�� + 1 + �� + 2)(�� + 1-��-2) ≥ 0, 即 �� ≠ -2, 解得 x≤- 且 x≠-2.
3 2
3 .设 a=2- 5,b= 5-2,c=5-2 5,则 a ,b ,c 之间的大小关系是【答案】 c>b>a 【解析】分别由 a<0,b>0,c>0,再由 b 2-c2<0 得 b<c 判断.
5 .设 m 等于|a| ,|b| 和 1 中最大的一个,当|x|>m 时,求证: +
3 .|ax+b| ≤c,|ax+b| ≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax+b| ≤c(c>0)型不等式的解法是:先化为不等式-c≤ax+b ≤c,再利用不等式的性质求出原不等式的解集. (2)|ax+b| ≥c(c>0)的解法是:先化为 ax+b ≥c 或 ax+b ≤-c,再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集.

高考数学总复习第1讲不等式选讲课件理新人教A版选修45

第二十六页，共44页。
[变式探究] 设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)，若|a|≤1，求证：|f(x)|≤54.
证明：证法一：∵－1≤x≤1，∴|x|≤1. 又∵|a|≤1，∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x| ≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x| ＝－|x|－122＋54≤54.
第十三页，共44页。
如何(rúhé)求两个或两个以上绝对值和的函数最小值或两绝对值差的函数最大值？
第十四页，共44页。
(1)函数(hánshù)y＝|x－1|＋|x－2|的最小值为________． (2)函数(hánshù)y＝|x|－|x－3|的最大值为________.
第十五页，共44页。
第四页，共44页。
1个重要公式 |a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值. 绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过(tōngguò)适当的变形使其符合绝对值不等式的条件．
第五页，共44页。
2点必须注意 1. 含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点(línɡ diǎn) 分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|>m或|x－a|＋|x－b|<m(m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便． 2. 含绝对值不等式的证明，可考虑去掉绝对值符号，也可利用重要不等式|a＋b|≤|a|＋|b|及推广形式|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2| ＋…＋|an|进行放缩．
第三十页，共44页。
[解] (1)由|ax＋1|≤3，得－4≤ax≤2. 又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．当a>0时，－4a≤x≤2a，得a＝2. (2)记h(x)＝f(x)－2f2x＝|2x＋1|－2|x＋1|，

高考数学总复习选考4系列不等式选讲课件理新人教A版

3
号成立. 定理 4:若 a1,a2,…,an 为 n 个正数,则当且仅当 a1=a2=…=an 时,等号成立.
��1 +��2 +…+��
≥
��
��1 ��2 …�� ,
-5知识梳理考点自测
4.柯西不等式 (1)若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当 ad=bc时,等号成立. 2 2 2 (2)设 a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn 是实数,则(��1 + ��2 +…+�� )
≥2,要使对于一切非零实数 x, �� + �� >|a-2|+1 恒
1
成立, 则|a-2|+1<2,即 1<a<3.
关闭
C
解析答案
-9知识梳理考点自测
1 2 3 4 5
4.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则 ��2 + ��2 的最小值为 .
关闭
∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3,∴3≤a-1≤3,∴-2≤a≤4.
关闭
[-2,4]
解析答案
-11考点1 考点2 考点3 考点4
关闭
-3,�� < -1, 考向 (1)f (x)= 1 2��分离参数法求参数范围 -1,-1 ≤ �� ≤ 2,当 x<-1 时,f(x)≥1 无解; 例1(2017 3,��全国 > 2Ⅲ,理23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1) (( x ))≥1 ≥1得的解集 ; 解得 1≤x≤2; 当1≤求不等式 x≤2 时,由ff x ,2x-1≥1, f( x)≥ x2-x+m 的解集非空 ,求m的取值范围. 当 (2) x>若不等式 2 时,由 f(x )≥1 解得 x>2 . 所以 f(x)≥1 的解集为{x|x≥1}. (2)由 f(x)≥x2-x+m 得 m≤|x+1|-|x-2|-x2+x. 而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=且当 x= 时,|x+1|-|x-2|-x2+x= .

高考数学一轮复习不等式选讲课件理a选修45a高三选修45数学课件

解析答案
[解] (1)当 a＝1 时，f(x)＝|x－1|＋|x－3|≥|x－1－x＋3|＝2， ∴f(x)的最小值为 2，当且仅当 1≤x≤3 时取得最小值． (2)∵x∈R 时，恒有|x－a|＋|x－3|≥|(x－a)－(x－3)|＝|3－a|，又不等式 f(x)≤3 的解集非空， ∴|3－a|≤3，∴0≤a≤6.∴a 的取值范围为[0,6]．
12/13/2021
第二页，共四十九页。
01
栏目
(lán mù)
导航
课前·知识全通 (zhī shi)
关
02 课堂(kètáng)·题型全突破
03 真题·自主验效果
12/13/2021
第三页，共四十九页。
课前知识全通关
12/13/2021
第四页，共四十九页。
1．绝对值不等式的解集
(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解法：
第七页，共四十九页。
4．柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式：设 a，b，c，d 都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ _(a_c_＋__b_d_)_2 _(当且仅当 ad＝bc 时，等号成立)． (2)柯西不等式的向量形式：设 α，β 是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当 α 或 β 是零向量，或存在实数 k，使 α＝kβ(α，β 为非零向量)时，等号成立． (3)柯西不等式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则 x1－x22＋y1－y22＋ x2－x32＋y2－y32≥ x1－x32＋y1－y32. (4)柯西不等式的一般形式：设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当 bi＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．

高三数学(理)一轮复习讲义：选修4-5 第1讲不等式(人教A版)

第1讲不等式、含有绝对值的不等式[最新考纲]1．理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法.知识梳理1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；(2)性质：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；(3)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．诊断自测1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________．解析数轴上的点到－1的距离大于1且小于3的全体实数为所求解集．答案(－4，－2)∪(0,2)2．设ab＞0，下面四个不等式中，正确命题的序号是________．①|a ＋b |＞|a |；②|a ＋b |＜|b |；③|a ＋b |＜|a －b |；④|a ＋b |＞|a |－|b |. 解析 ∵ab ＞0，∴a ，b 同号，∴|a ＋b |＝|a |＋|b |，∴①和④正确．答案 ①④3．不等式|x －8|－|x －4|＞2的解集为________．解析令：f (x )＝|x －8|－|x －4|＝⎩⎨⎧4，x ≤4，－2x ＋12，4＜x ≤8，－4，x ＞8，当x ≤4时，f (x )＝4＞2；当4＜x ≤8时，f (x )＝－2x ＋12＞2，得x ＜5， ∴4＜x ＜5；当x ＞8时，f (x )＝－4＞2不成立．故原不等式的解集为：{x |x ＜5}．答案 {x |x ＜5}4．(2012·山东卷)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 解析 ∵|kx －2|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. 答案 25．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，则实数k 的取值范围是________．解析 ∵|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，∴当k ＜1时，不等式|x －1|＋|x |≤k 无解，故k ＜1.答案 (－∞，1)考点一含绝对值不等式的解法【例1】解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.解法一如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A ，B ，则不等式的解就是数轴上到A 、B 两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A 向左移动一个单位到点A 1，此时A 1A ＋A 1B ＝1＋4＝5.把点B 向右移动一个单位到点B 1，此时B 1A ＋B 1B ＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．法二原不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5⇔⎩⎨⎧x ≤－2，－(x －1)－(x ＋2)≥5或⎩⎨⎧－2＜x ＜1，－(x －1)＋x ＋2≥5 或⎩⎨⎧x ≥1，x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2或x ≤－3， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．法三将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0. 令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|－5，则f (x )＝⎩⎨⎧－2x －6，x ≤－2，－2，－2＜x ＜1，2x －4，x ≥1.作出函数的图象，如图所示．由图象可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y ≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．规律方法形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．(2)几何法：利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |. (3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解．【训练1】解不等式|x ＋3|－|2x －1|＜x2＋1.解 ①当x ＜－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )＜x2＋1，解得x ＜10，∴x ＜－3.②当－3≤x ＜12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )＜x 2＋1，解得x ＜－25，∴－3≤x ＜－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)＜x2＋1，解得x ＞2，∴x ＞2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－25，或x ＞2. 考点二含参数的绝对值不等式问题【例2】已知不等式|x ＋1|－|x －3|＞a .分别求出下列情形中a 的取值范围． (1)不等式有解； (2)不等式的解集为R ； (3)不等式的解集为∅.解法一因为|x ＋1|－|x －3|表示数轴上的点P (x )与两定点A (－1)，B (3)距离的差，即|x ＋1|－|x －3|＝P A －PB . 由绝对值的几何意义知， P A －PB 的最大值为AB ＝4，最小值为－AB ＝－4，即－4≤|x ＋1|－|x －3|≤4.(1)若不等式有解，a 只要比|x ＋1|－|x －3|的最大值小即可，故a ＜4. (2)若不等式的解集为R ，即不等式恒成立，只要a 比|x ＋1|－|x －3|的最小值还小，即a ＜－4.(3)若不等式的解集为∅，a 只要不小于|x ＋1|－|x －3|的最大值即可，即a ≥4.法二由|x ＋1|－|x －3|≤|x ＋1－(x －3)|＝4. |x －3|－|x ＋1|≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4. 可得－4≤|x ＋1|－|x －3|≤4. (1)若不等式有解，则a ＜4； (2)若不等式的解集为R ，则a ＜－4； (3)若不等式解集为∅，则a ≥4.规律方法本题中(1)是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面(如f (x )＞m 的解集是空集，则f (x )≤m 恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max ，f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . 【训练2】设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值．解 (1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x ≥3或x ≤－1.故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3，或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得|x －a |＋3x ≤0.此不等式化为不等式组⎩⎨⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎨⎧x <a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a2. 由题设可得－a2＝－1，故a ＝2.考点三含绝对值的不等式的应用【例3】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. (1)当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；(2)设a >－1，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x ，x ＜12，－x －2，12≤x ≤1，3x －6，x ＞1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0. 所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}． (2)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12时，f (x )＝1＋a ，不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3，所以x ≥a －2对x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－a 2，12都成立，应有－a 2≥a －2，则a ≤43，从而实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，43. 规律方法含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子为零，并求出相应的根．把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间．按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集．【训练3】 (2012·新课标全国卷)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得 2x －5≥3，解得x ≥4.所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1，或x ≥4}． (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围是[－3,0].绝对值三角不等式的应用【典例】 (2013·福建卷)设不等式|x －2|＜a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A . (1)求a 的值；(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值．[审题视点] (1)利用条件32∈A ，12∉A ，建立不等式，求a 的值； (2)利用绝对值三角不等式进行放缩求解．解 (1)∵32∈A ，12∉A .∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2＜a ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a ，因此12＜a ≤32，又a ∈N *，从而a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时等号成立．故f (x )的最小值为3.[反思感悟] 本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分的主要原因；对于需求最值的情况，可利用绝对值三角不等式性质定理：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b|，通过适当的添、拆项来放缩求解．【自主体验】1．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．解析当a＜0时，显然成立；当a＞0时，∵|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，∴a＋4a≤4.∴a＝2.综上可知a的取值范围是(－∞，0)∪{2}．答案(－∞，0)∪{2}2．(2012·陕西卷)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.答案[－2,4]一、填空题1．不等式|2x －1|＜3的解集为________．解析 |2x －1|＜3⇔－3＜2x －1＜3⇔－1＜x ＜2. 答案 (－1,2)2．不等式|2x －1|－|x －2|＜0的解集为________．解析法一原不等式即为|2x －1|＜|x －2|， ∴4x 2－4x ＋1＜x 2－4x ＋4，∴3x 2＜3，∴－1＜x ＜1. ∴原不等式解集为{x |－1<x <1|}．法二原不等式等价于不等式组①⎩⎨⎧x ≥2，2x －1－(x －2)＜0或②⎩⎪⎨⎪⎧12＜x ＜2，2x －1＋(x －2)＜0或③⎩⎪⎨⎪⎧x ≤12，－(2x －1)＋(x －2)＜0.不等式组①无解，由②得12＜x ＜1，由③得－1＜x ≤12. 综上得－1＜x ＜1，所以原不等式的解集为{x |－1＜x ＜1}．答案 {x |－1＜x ＜1}3．(2012·广东卷)不等式|x ＋2|－|x |≤1的解集为________．解析 ①当x ≤－2时，原不等式可化为－x －2＋x ≤1，该不等式恒成立． ②当－2＜x ＜0时，原不等式可化为x ＋2＋x ≤1， ∴2x ≤－1，∴x ≤－12，∴－2＜x ≤－12.③当x ≥0时，原不等式可化为x ＋2－x ≤1，不成立．综上，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12. 答案⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－12 4．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________．解析由|3x －b |＜4得－4＜3x －b ＜4，即－4＋b 3＜x ＜4＋b 3，∵不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤－4＋b 3＜13＜4＋b 3≤4⇒⎩⎨⎧4≤b ＜7，5＜b ≤8，∴5＜b ＜7. 答案 (5,7)5．(2013·江西卷)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1(x ∈R )的解集是________．解析由||x －2|－1|≤1，得－1≤|x －2|－1≤1，即0≤|x －2|≤2， ∴－2≤x －2≤2，∴0≤x ≤4. 答案 {x |0≤x ≤4}6．不等式|x ＋1|－|x －2|＞k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是________．解析法一根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P 、A 、B ，则原不等式等价于P A －PB ＞k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3. 故当k ＜－3时，原不等式恒成立．法二令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎨⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2，要使|x ＋1|－|x －2|＞k 恒成立，从图象中可以看出，只要k ＜－3即可．故k ＜－3满足题意．答案 (－∞，－3)7．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎨⎧ －2x ＋1(x ≤－1)，3 (－1＜x ＜2)，2x －1 (x ≥2)，∴f (x )≥3.要使|a |≥|x ＋1|＋|x －2|有解，∴|a |≥3，即a ≤－3或a ≥3.答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)8．若关于x 的不等式x ＋|x －1|≤a 有解，则实数a 的取值范围为________．解析法一当x ≥1时，不等式化为x ＋x －1≤a ，即x ≤1＋a 2.此时不等式有解当且仅当1≤1＋a 2，即a ≥1.当x ＜1时，不等式化为x ＋1－x ≤a ，即1≤a .此时不等式有解当且仅当a ≥1.综上所述，若关于x 的不等式x ＋|x －1|≤a 有解，则实数a 的取值范围是[1，＋∞)．法二设f (x )＝x ＋|x －1|，则f (x )＝⎩⎨⎧2x －1(x ≥1)，1(x ＜1).f (x )的最小值为1.因为x ＋|x －1|≤a 有解，即f (x )≤a 有解，所以a ≥1.答案 [1，＋∞)9．已知h ＞0，a ，b ∈R ，命题甲：|a －b |＜2h ；命题乙：|a －1|＜h 且|b －1|＜h ，则甲是乙的________条件．解析 |a －b |＝|a －1＋1－b |≤|a －1|＋|b －1|＜2h ，故由乙能推出甲成立，但甲成立不能推出乙成立，所以甲是乙的必要不充分条件．答案必要不充分二、解答题10．设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.(1)解不等式f (x )＞2；(2)求函数y ＝f (x )的最小值．解 (1)法一令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4.原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－12－x －5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧ －12≤x ＜43x －3＞2或⎩⎨⎧x ≥4，x ＋5＞2. ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－7，或x ＞53. 法二 f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －5⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜－123x －3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ＜4x ＋5 (x ≥4)画出f (x )的图象求y ＝2与f (x )图象的交点为(－7,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2. 由图象知f (x )＞2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－7，或x ＞53. (2)由(1)的法二知：f (x )min ＝－92.11．(2012·辽宁卷)已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解 (1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a ，得a ＝2.(2)记h (x )＝f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|2x ＋1|－|2x ＋2|，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≤－1，－4x －3，－1<x <－12，－1，x ≥－12，所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.故k 的取值范围是[1，＋∞)．12．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |.(1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3； (2)如果∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ，x ＜－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x ＞1.作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图象．由图象可知，不等式f (x )≥3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－32，或x ≥32. (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a ＜1，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a ＜x ＜1，2x －(a ＋1)，x ≥1，f (x )的最小值为1－a ；若a ＞1，f (x )＝⎩⎨⎧ －2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1＜x ＜a ，2x －(a ＋1)，x ≥a ，f (x )的最小值为a －1. ∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．。

[精品]新人教版A版高考数学理科一轮复习选修4-5不等式选讲优质课教案

选修4－5 不等式选讲1．不等式的性质和绝对值不等式(1)能利用三个正数的算术平均—几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最大(小)值的问题；了解基本不等式的推广形式(n个正数的形式)．(2)理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．(3)掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．2．不等式的证明(1)了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能利用它们证明一些简单不等式．(2)能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决最大(小)值问题．(3)理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．知识点一绝对值不等式1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解集(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集：(2)|ax①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解．②利用零点分段法求解．③构造函数，利用函数的图象求解．易误提醒1．对形如|f(x)|>a或|f(x)|<a型的不等式求其解集时，易忽视a的符号直接等价转化造成失误．2．绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|中易忽视等号成立条件．如|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时成立，其他类似推导．[自测练习]1．设a，b为满足ab<0的实数，那么( )A．|a＋b|>|a－b| B．|a＋b|<|a－b|C ．|a －b |<||a |－|b ||D ．|a －b |<|a |＋|b | 解析：∵ab <0，∴|a －b |＝|a |＋|b |>|a ＋b |. 答案：B2．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3， ∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 答案：[－2,4]3．不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________．解析：f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤－，2x －－1<x，x当－1<x <2时，由2x －1≥1，解得1≤x <2.又当x ≥2时，f (x )＝3>1.所以解集为{x |x ≥1}．答案：[1，＋∞) 知识点二不等式的证明 1．基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c 全为正实数，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．2．比较法(1)比差法的依据是：a－b>0⇔a>b.步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B>0，欲证A≥B，只需证AB≥1.3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．4．柯西不等式设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立．易误提醒(1)在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．[自测练习]4．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是( ) A．s≥t B．s>tC．s≤t D．s<t解析：∵s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t.答案：A5．已知x，y均为正数，且x＋y＝1，则3x＋4y的最大值为________．解析：由柯西不等式得3x＋4y＝3·x＋4·y ≤32＋42x＋y＝7.答案：7考点一绝对值不等式的解法|1．(2015·高考山东卷)不等式|x－1|－|x－5|<2的解集是( )A．(－∞，4) B．(－∞，1)C．(1,4) D．(1,5)解析：当x<1时，不等式可化为－(x－1)＋(x－5)<2，即－4<2，显然成立，所以此时不等式的解集为(－∞，1)；当1≤x≤5时，不等式可化为x－1＋(x－5)<2，即2x－6<2，解得x<4，又1≤x≤5，所以此时不等式的解集为[1,4)；当x>5时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.答案：A2．(2015·南宁二模)已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若f(x)≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a，m的值；(2)当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．解：(1)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a.∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，∴a＝2，m＝3.(2)f (x )＋t ≥f (x ＋2)可化为|x －2|＋t ≥|x |.当x ∈(－∞，0)时，2－x ＋t ≥－x,2＋t ≥0，∵0≤t ≤2，∴x ∈(－∞，0)；当x ∈[0,2)时，2－x ＋t ≥x ，x ≤1＋t 2，0≤x ≤1＋t2，∵1≤1＋t2≤2，∴0≤x ≤1＋t2；当x ∈[2，＋∞)时，x －2＋t ≥x ，t ≥2，当0≤t <2时，无解，当t ＝2时，x ∈[2，＋∞)．∴当0≤t <2时原不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，t 2＋1；当t ＝2时x ∈[2，＋∞)．求解该类问题的关键是去绝对值符号，常运用零点分段法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解．考点二不等式的证明|不等式的证明是考查热点、归纳起来常见的命题角度有： 1．比较法证明不等式． 2．综合法证明不等式． 3．分析法证明不等式． 4．放缩法证明绝对值不等式．探究一比较法证明不等式1．(2016·莆田模拟)设a ，b 是非负实数．求证：a 2＋b 2≥ab (a ＋b )．证明：因为(a 2＋b 2)－ab (a ＋b )＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab ) ＝a a (a －b )＋b b (b －a ) ＝(a －b )(a a －b b ) ＝(a 12－b 12)(a 32－b 32)因为a ≥0，b ≥0，所以不论a ≥b ≥0，还是0≤a ≤b ，都有a 12－b 12与a 32－b 32同号，所以(a 12－b 12)(a 32－b 32)≥0，所以a 2＋b 2≥ab (a ＋b )．探究二综合法证明不等式2．(2015·长春三模)(1)已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2；(2)已知a ，b ，c 都是正数，求证：a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .证明：(1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2. 因为a ，b 都是正数，所以a ＋b >0. 又因为a ≠b ，所以(a －b )2>0.于是(a ＋b )(a －b )2>0，即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)>0，所以a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.(2)因为b 2＋c 2≥2bc ，a 2>0，所以a 2(b 2＋c 2)≥2a 2bc .① 同理b 2(a 2＋c 2)≥2ab 2c .②c 2(a 2＋b 2)≥2abc 2.③①②③相加得2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)≥2a 2bc ＋2ab 2c ＋2abc 2，从而a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2≥abc (a ＋b ＋c )．由a ，b ，c 都是正数，得a ＋b ＋c >0，因此a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2a ＋b ＋c≥abc .探究三分析法证明不等式3．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2－ac <3a . 证明：要证b 2－ac <3a ，只需证b 2－ac <3a 2. ∵a ＋b ＋c ＝0，只需证b 2＋a (a ＋b )<3a 2. 只需证2a 2－ab －b 2>0，只需证(a －b )(2a ＋b )>0，只需证(a －b )(a －c )>0. ∵a >b >c ，∴a －b >0，a －c >0.∴(a －b )(a －c )>0显然成立，故原不等式成立．探究四放缩法证明绝对值不等式4．已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：∵|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. ∴由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1.即|x ＋5y |≤1.证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法．如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．考点三绝对值不等式的综合应用|(2015·郑州二检)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式f (x )<4－|x －1|；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n >0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a >0)恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)不等式f (x )<4－|x －1|，即|3x ＋2|＋|x －1|<4. 当x <－23时，即－3x －2－x ＋1<4，解得－54<x <－23；当－23≤x ≤1时，即3x ＋2－x ＋1<4，解得－23≤x <12；当x >1时，即3x ＋2＋x －1<4，无解．综上所述，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，12.(2)1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝1＋1＋n m ＋mn≥4，令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2＋a ，x <－23－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x >a∴x ＝－23时，g (x )max ＝23＋a ，要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4，即0<a ≤103.(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．(2)f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a .f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a .设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|. (1)求证：f (x )≥1；(2)若f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，求x 的取值范围．解：(1)证明：f (x )＝|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1.(2)∵a 2＋2a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1＝a 2＋1＋1a 2＋1≥2， ∴要使f (x )＝a 2＋2a 2＋1成立，需且只需|x －1|＋|x －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧x <1，1－x ＋2－x ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x <2，x －1＋2－x ≥2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x －1＋x －2≥2，解得x ≤12或x ≥52，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞.34.绝对值不等式中最值思想的应用【典例】 (1)求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．(2)若对任意实数x ，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围．[思考点拨] 利用绝对值不等式直接求最值．[解] (1)|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2，当且仅当(1－x )(x ＋1)≥0，即－1≤x ≤1时取等号．故当－1≤x ≤1时，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|取得最小值2.(2)因为a <|x ＋1|－|x －2|对任意实数恒成立所以a <(|x ＋1|－|x －2|)min .因为||x ＋1|－|x －2||≤|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以－3≤|x ＋1|－|x －2|≤3.所以(|x ＋1|－|x －2|)min ＝－3.所以a <－3，即a 的取值范围为(－∞，－3)．[方法点评] (1)要注意对原绝对值不等式进行转化，使之适合用绝对值三角不等式求最值；(2)求最值时要注意等号成立的条件．[跟踪练习] (2015·辽宁协作体一模)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x |－2.(1)解不等式f (x )≥0；(2)若存在实数x ，使得f (x )≤|x |＋a ，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )≥0等价于①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，－1－2x ＋x －2≥0，或②⎩⎪⎨⎪⎧ －12<x <0，2x ＋1＋x －2≥0，或③⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，2x ＋1－x －2≥0，解不等式组①得x ≤－3，不等式组②无解，解不等式组③得x ≥1，∴所求的不等式解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．(2)f (x )≤|x |＋a ，即为|2x ＋1|－2|x |≤2＋a ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |≤1＋a 2. 由绝对值的几何意义，知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12－|x |的最小值为－12，故要满足题意，只需－12≤1＋a 2⇒a ≥－3.A 组考点能力演练1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]．(1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.解：(1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1得1≤x ≤2， ∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1.即x <|a |＋1.2．(2016·唐山一模)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x ＋1|.(1)当a ＝1时，解不等式f (x )<3；(2)若f (x )的最小值为1，求a 的值．解：(1)因为f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－1，－x ＋2，－1<x <12，3x ，x ≥12，且f (1)＝f (－1)＝3，所以f (x )<3的解集为{x |－1<x <1}．(2)|2x －a |＋|x ＋1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x ＋1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋a 2＋0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋a 2，当且仅当(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2≤0且x －a 2＝0时，取等号．所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋a 2＝1，解得a ＝－4或0.3．已知a ，b ，c >0且互不相等，abc ＝1.试证明：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c. 证明：因为a ，b ，c >0，且互不相等，abc ＝1，所以a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ac ＋1ab <1b ＋1c 2＋1a ＋1c 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c，即a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c. 4．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求z ＝a ＋2b ＋3c 的最小值．解：(1)∵f (x ＋2)＝m －|x |，∴f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又∵f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，∴m ＝1.(2)由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，又∵a ，b ，c ∈R ，由柯西不等式得z ＝a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9， ∴z ＝a ＋2b ＋3c 的最小值为9.5．(2016·大庆模拟)设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋4|.(1)解不等式：f (x )>0；(2)若f (x )＋3|x ＋4|≥|a －1|对一切实数x 均成立，求a 的取值范围．解：(1)原不等式即为|2x －1|－|x ＋4|>0，当x ≤－4时，不等式化为1－2x ＋x ＋4>0，解得x <5，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－4|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |x ≤－4}．当－4<x <12时，不等式化为1－2x －x －4>0，解得x <－1，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ －4<x <12|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |－4<x <－1}．当x ≥12时，不等式化为2x －1－x －4>0，解得x >5，即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{x |x >5}．综上，原不等式的解集为{x |x <－1，或x >5}．(2)∵f (x )＋3|x ＋4|＝|2x －1|＋2|x ＋4|＝|1－2x |＋|2x ＋8|≥|(1－2x )＋(2x ＋8)|＝9.∴由题意可知|a －1|≤9，解得－8≤a ≤10，故所求a 的取值范围是{a |－8≤a ≤10}．B 组高考题型专练1．(2015·高考重庆卷改编)若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值．解：当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a <－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1＋2a ，x ≤a x －1－2a ，a <x ≤－13x ＋1－2a ，x >－1，f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；当a >－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1＋2a ，x ≤－1－x ＋1＋2a ，－1<x ≤a ，3x ＋1－2a ，x >af (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4.2．(2015·高考湖南卷)设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1b.证明： (1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．证明：由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab，a >0，b >0，得ab ＝1. (1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．(2)假设a 2＋a <2与b 2＋b <2同时成立，则由a 2＋a <2及a >0得0<a <1；同理，0<b <1，从而ab <1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a <2与b 2＋b <2不可能同时成立．3．(2015·高考陕西卷)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}．(1)求实数a ，b 的值；(2)求at ＋12＋bt 的最大值．解：(1)由|x ＋a |<b ，得－b －a <x <b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －b －a ＝2，b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤32＋124－t 2＋t 2]＝24－t ＋t ＝4，当且仅当4－t 3＝t 1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4.4．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0.当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解；当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2.所以f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1,0)，C (a ，a ＋1)，则△ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2. 所以a 的取值范围为(2，＋∞)．。

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习课件选修部分选修4-5 不等式选讲ppt版本

知识点一
知识点一知识点二
试题
解析
2．若存在实数 x 使|x－a|＋|x －1|≤3 成立，则实数 a 的取值范围是__[－__2_,_4_] _．
∵ |x－ a|＋ |x－ 1|≥|(x－ a) －(x－1)|＝|a－1|，要使 |x－ a|＋ |x－ 1|≤3 有解，可使|a－1|≤3，
知识点一
知识点一知识点二
[自测练习] 1．设 a，b 为满足 ab<0 的实数，那么( B ) A．|a＋b|>|a－b| B．|a＋b|<|a－b| C．|a－b|<||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|
试题
解析
∵ ab<0 ， ∴ |a － b| ＝ |a| ＋ |b|>|a＋b|.
考点二
试题
证明
探究一比较法证明不等式 1 ． (2016·莆田模拟 ) 设
因为(a2＋b2)－ ab(a＋b) ＝(a2－a ab)＋(b2－b ab) ＝a a( a－ b)＋b b( b－ a) ＝( a－ b)(a a－b b)
a，b 是非负实数．求证： 1 1 3 3
＝(a 2 －b 2 )(a 2 －b 2 )
知识点二
知识点一知识点二
4．柯西不等式设 a，b，c，d 均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当 ad＝bc 时成立．
易误提醒 (1)在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．
(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．
知识点一
知识点一知识点二
2．绝对值不等式的解集 (1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集：

高考数学(文)一轮复习课件：选修4-5-1

解 (1)当 a＝1 时，f(x)>1 化为|x＋1|－2|x－1|－1>0. 当 x≤－1 时，不等式化为 x－4>0，无解；当－1<x<1 时，不等式化为 3x－2>0，解得23<x<1；当 x≥1 时，不等式化为－x＋2>0，解得 1≤x<2. 所以 f(x)>1 的解集为x23<x<2 .
1.解决含参数的绝对值不等式问题的两种方法 (1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决． (2)借助于绝对值的几何意义，先求出相应式的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围．
2.不等式恒成立问题的常见类型及其解法 (1)分离参数法运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题． (2)更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法． (3)数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题．
(2)如果 a、b、c 是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当(a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式
①|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|. ②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
③|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
由题设得23(a＋1)2>6，故 a>2. 所以 a 的取值范围为(2，＋∞)．
绝对值不等式的常见题型及求解策略 1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c 型不等式的解法 (1)c>0，则|ax＋b|≤c 可转化为－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c 可转化为 ax＋b≥c 或 ax＋b≤ －c，然后根据 a，b 的取值求解即可． (2)c<0，则|ax＋b|≤c 根据几何意义可得解集为∅，|ax＋b|≥c 的解集为 R. (3)c＝0，则|ax＋b|≤0 可转化为 ax＋b＝0，然后根据 a，b 的取值求解即可；|ax＋b|≥0 的解集为 R.

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

方法二：零点分段原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔
x≤－2，－x－1－x＋2≥5 －2＜x＜1，或－x－1＋x＋2≥5
x≥1，或 x－1＋x＋2≥5，
解得x≥2或x≤－3，
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
方法三：构造函数将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.
答案：(－∞，－3)
课堂学案
考点通关
考点例析通关特训
考点一
含绝对值不等式的解法
【例1】解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.
解析：方法一：不等式几何意义如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5. 把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
(2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的点的集合． (3)图像法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图像，结合图像求解．
1．设ab＜0，a，b∈R，那么正确的是( A．|a＋b|＞|a－b| C．|a＋b|＜|a－b| B．|a－b|＜|a|＋|b| D．|a－b|＜||a|－|b||
课前学案
基础诊断
夯基固本基础自测
1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 1 __________时，等号成立． □ 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－b|≤|a－c|＋|c－b|， 2 ____________时，等号成立．当且仅当□
2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|＜a与|x|＞a的解集：不等式 |x|＜a |x|＞a a＞0 3 __________ □ 6 __________ □ a＝0 4 ________ □ 7 _________ □ a＜0 5 ________ □ 8 ________ □
)
解析：|2x－1|＜2－3x⇔3x－2＜2x－1＜2－3x⇔
3x－2＜2x－1 2x－1＜2－3x
x＜1 3 ⇔ 3 ⇔x＜5. x＜ 5
答案：C
4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为__________．
解析：由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4，－4＋b 4＋b 即 3 ＜x＜ 3 ， ∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则 0≤－4＋b＜1 3 4＋b 3＜ 3 ≤4
4≤b＜7 ⇒ 5＜b≤8
，∴5＜b＜7.
答案：(5,7)
5．已知关于x的不等式|x－2|－|x－5|－k＞0的解集为R，则实数k的范围是__________．
解析：∵||x－2|－|x－5||≤|(x－2)－(x－5)|＝3， ∴－3≤|x－2|－|x－5|≤3. ∴|x－2|－|x－5|＞k的解集是R时，k＜－3.
答案：C
2．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为( A．(0,2) C．(－4,0) B．(－2,0)∪(2,4))源自D．(－4，－2)∪(0,2)
解析：1＜|x＋1|＜3⇔1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1⇔0＜x＜2 或－4＜x＜－2.
答案：D
3．不等式|2x－1|＜2－3x的解集是( 1 A．{x|x＜2} 3 C．{x|x＜ } 5 1 3 B．{x|2≤x＜5} 3 D．{x|x＞ } 5
选修4－5
不等式选讲
第一节
绝对值不等式
课前学案基础诊断
课堂学案考点通关
自主园地备考套餐
开卷速查
1.理解绝对值不等式的几何意义，并能利用绝对值考纲导学不等式的几何意义证明以下不等式： (1)|a＋b|≤|a|＋|b|； (2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|. 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.
－2x－6，x≤－2，令f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则f(x)＝－2，－2＜x＜1， 2x－4，x≥1. 出函数的图像，如图所示．
作
由图像可知，当x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
►名师点拨解绝对值不等式的注意点解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1)，可选用几何法或图像法求解较为简洁．若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍．
(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法： ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
答案：
3种方法——求解绝对值不等式的方法形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有如下解法： (1)零点分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
x 通关特训1 解不等式|x＋3|－|2x－1|＜＋1. 2
x 解析：①当x＜－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜ 2 ＋ 1，解得x＜10，∴x＜－3. 1 x ②当－3≤x＜ 2 时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜ 2 ＋1，解 2 2 得x＜－，∴－3≤x＜－ . 5 5 1 x ③当x≥ 2 时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜ 2 ＋1，解得x＞ 2，∴x＞2. 2 综上可知，原不等式的解集为{x|x＜－5，或x＞2}．
)
解析：方法一：特殊值法．取a＝1，b＝－2，则满足ab＝－2＜0，这样有|a＋b|＝|1－2|＝1， |a－b|＝|1－(－2)|＝3， |a|＋|b|＝1＋2＝3， ||a|－|b||＝|1－2|＝1， ∴只有选项C成立，而A、B、D都不成立．
方法二：由ab＜0得a，b异号，易知|a＋b|＜|a－b|，|a－b|＝|a|＋|b|， |a－b|＞||a|－|b||， ∴选项C成立，A、B、D均不成立.