“一次函数模型的应用”的难点剖析及教法改进

“一次函数模型的应用”的难点剖析及教法改进安徽省肥西县梁岗学校赵立春231201在沪科版八年级下学期的数学教材12.4节中，编排了以“一次函数模型的应用”为内容的“综合与实践”课题，该课题研究的是一类与生活经验密切联系、具有一定实践性和综合性、以学生自主探究、合作交流为主的学习活动。

《数学课程标准》指出：“‘综合与实践’内容设置的目的在于培养学生综合运用一次函数的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决实际问题的能力。

[1]”“一次函数模型的应用”使得同学们对一次函数的学习升华到了高潮，具有一定的难度。

1、难点剖析：1.1难以适应从理论向实践的过渡。

“一次函数模型应用”的综合与实践课题解决的是一类可以抽象为一次函数模型的实际生活问题。

对于这些实际问题，要求学生会主动地把实际问题抽象为一次函数模型，利用一次函数的知识、方法等理论来综合分析、自主探究。

在沪科版八年级数学第12章的一次函数前三节中，通过教学完成了一次函数的知识目标，如让同学们知道了什么叫变量、常量、函数、一次函数、正比例函数等，知道了函数的三种表示方法，会求函数值，会用描点法画函数的近似图像，会从函数图象中获取有价值的信息，会用待定系数法求一次函数的表达式，会用两点法画一次函数的图象，会用一次函数的图象求二元一次方程的解，掌握了一次函数的性质，这些理论知识的习得为学习12.4节“一次函数模型的应用”提供了重要的理论支撑。

大家知道，学习数学的最终目的是为了应用数学知识、方法解决实际问题，培养创新能力。

而应用数学知识方法解决实际问题是学生学习中普遍感到困难的环节，成为数学教学中的一个难点。

将实际问题抽象为一次函数问题对于八年级中学生来说则是难以适应的，这主要是由八年级中学生思维的特点决定的，他们年龄小、阅历少且知识匮乏，心理发育还不完善，由此决定了他们思维的不成熟性，遇到实际问题不知道怎么处理，碰到难度大，综合性强的题目时，学生便无从下手，学生的思维层次不高。

因此八年级中学生难以适应从一次函数的理论世界向可以抽象为一次函数模型的现实世界过渡。

1.2难以实现教学目标。

根据义务教育《数学课程标准》（2011年）对一次函数的教学要求及沪科版八年级数学“一次函数模型的应用”编排的内容，“一次函数模型应用”的教学目标确定为[2]：在知识上：了解通过实验获得数据，然后根据数据建立一次函数模型的一般过程；能根据图象求出函数的解析式并能应用函数解决实际问题。

在能力上：不断增强分析问题、解决问题的能力，加深领会数形结合的思想方法，发展学生形象思维能力。

在情感态度上：在解决问题的过程中，进一步体会函数来自实际又服务于实际，增强数学的应用意识。

知识目标是最基础的目标，要求通过学习使同学们掌握建立一次函数模型的方法，将一个实际问题或情境抽象成一次函数问题，建立一次函数模型。

建立数学模型是一个比较抽象的东西，抽象的过程难以捉摸，使得其绝不是用一节课就能实现，需要教师的耐心教导及学生的潜心钻研。

能力目标是数学教学中更高要求的目标，要求通过学习提高同学们分析实际问题、解决实际问题能力，这也是一个教学难点问题。

数学能力是需要不断地进行训练、实践才能培养而成，不是一蹴而就就能实现的。

许多老师有这样的感觉：课堂上同学们掌握得很好，考试时遇到同样的问题经常出错，说明了同学们在学习中貌似掌握了，其实他们还没有真正理解，所以建模方法需要经过适量的训练及一定时间的磨合才能真正地掌握。

情感目标是感性目标，是在学习过程中体验、领悟出来的，是在解决问题的过程中体会实现的，只有多训练、多实践、才会有更多的体会机会，才能体会得更深，实现情感教学目标，因此这节课的目标实现需要有个过程，不是一朝一夕就能实现的。

1.3难以进行合作探究。

教材中的问题①以奥运会上男子自由泳冠军成绩的数据为例，对于八年级中学生来说，他们大多在2000年左右出生，教材从1980年开始，每隔四年列举到2008年。

他们在2008年也才只有几岁，对奥运会该项冠军成绩根本没有任何关注，也没有这方面的意识。

这些数据对于他们来说，没有丝毫的感觉，这些数据具有时代性，学生难以感知。

在教材中给定的坐标系中描出问题①中的点，也不是一件简单的事，需要他们有一定的估计能力，因为纵坐标上的刻度是整数，所给的成绩精确到百分位，而且有些数据相差很小，如231.31与231.23、226.95与227.97、220.59与221.86等，在描点时思维具有不确定性，难以区分，也难以判断这些点是否近似在一条直线上，学生难以把他们放到一条直线上考虑，难以把他与“一次函数的图象是一条直线”相联系，使得同学们在学习时难以合作，难以探究。

1.4难以收集到准确的数据。

教材中的问题②是以球的下落高度与反弹高度之间的关系为例的实验问题，同学们在读题时可能会联想到体育课上的篮球运球，在拍打篮球的过程中，若施以篮球的力越大，球的反弹高度就越高，这种经验使得对该实验中“球的下落高度越高，反弹高度也就越高”的理解发生歧义。

实际上这题是指球从高处以初速度为0自由下落，否则不好控制每次具有同样的初速度，比较也就失去了可信度。

根据生活经验可以发现球下落高度越高，反弹高度也就越高。

这题要求学生动手实验，并收集实验中的数据，这个实验牵涉到两个数据：下落高度、反弹高度，下落高度容易测量，但反弹高度不容易测量，这是一个动态的过程，最高点不太好把握住，因此对于八年级中学生来说，测量反弹高度不太好办，难以通过实验操作收集到准确的数据。

在实际教学中，许多老师可能会要求同学们回家自己做实验。

但中学生，特别是农村的中学生，他们大多是留守孩子，这就成为更不可能的事了，大多数同学会选择放弃这一实验。

2、教法改进：2.1选择合适的实际问题作为教学素材。

问题是综合与实践的核心，合适的问题才能真正启发学生思考，培养学生综合、实践能力。

在学生的生活中，对温度的单位摄氏度颇为了解，但温度的另外一个单位华氏度一概不知，为了扩大知识面，加深对温度的两个单位的理解，了解二者之间的关系，笔者在教学中删除了教材中的第一个问题，设置了以温度单位为素材的5个问题作为第一个探究的内容：问题1：已知摄氏温度（℃）与华氏温度（℉）之间的转换关系是：摄氏温度＝5/9×(华氏温度－32).若华氏温度是68℉，则摄氏温度是℃。

问题2：当摄氏度为0度时，华氏温度为32度；摄氏温度为20度时，华氏温度为68度。

求他们之间的一次函数关系。

问题3：如图，温度计上表示了摄氏温度（℃）与华氏温度（℉）的刻度，能否用一个函数关系式来表示摄氏温度y（℃）和华氏温度x（℉）的关系；画出函数图像，利用图像求温度是摄氏32度，相当于华氏多少℉？问题4：在问题3中，我们用两点法画y与x之间的直线图象，反过来如果任选x与y的一些对应值（3个以上），在平面直角坐标系中，描出点（x，y），会发现他们近似在一条直线上，那么他们是一次函数吗？问题5：下图一根同时标有摄氏温度和华氏温度刻度的温度计，请你根据这些刻度上的数值，猜想出摄氏温度与华氏温度之间有着怎样的函数关系，并推断出华氏250度时所对应的摄氏温度是多少？5.1）这个问题中有两个变量？这两个变量是否是函数关系?5.2）找出温度计刻度上的一些对应值，分别以华氏温度和摄氏温度为横坐标和纵坐标，写出一些坐标（至少三组）。

5.3）以华氏温度x为横坐标，以摄氏温度y为纵坐标，建立平面直角坐标系。

描出刚才找出的点。

5.4）观察所描出的点的分布情况，根据已知条件来猜想y与x之间的函数关系（或近似的函数形式）。

并求出函数表达式。

5.5）根据你建立的模型，华氏温度为150度时所对应的摄氏温度是多少。

《数学课程标准》（2011年）[1]在教材编写建议中指出，“素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和活动经验。

这些素材应当反映数学本质的前提下尽可能地贴近学生的现实，以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程。

”这种现实包括其他学科现实，为此把问题2更换成了研究水的射程与管口高度之间的关系实验。

（具体实验内容见下文）2.2至少安排两个课时完成课程内容。

“一次函数模型的应用”沟通了生活中数学与课堂上数学的联系，有利于发展学生的综合应用的能力，对于培养学生的创新意识和实践能力具有较强的促进作用。

教材中安排了一个例题、一个实验（学生操作）、一个练习，内容很少，大多数老师在教学中仅用一个课时完成。

其实用一个课时是能够完成教学任务，但实现不了教学目标。

笔者认为教学时应该把教学任务分解，安排了两个课时来完成。

第一课时以研究温度的两种表示方法为素材，编排了一系列的问题串，层层递进，顺应学生思维的发展逻辑，实现知识与方法的顺利迁移。

通过问题设置，让学生明确如何建立函数模型来解决实际问题。

第一课时是方法的引领与渗透，第二课时是方法的应用与训练。

笔者在第二课中列举了日常生活中的具体问题如鞋码与长度之间的关系。

波利亚说：“学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现。

因为这种发现理解最深、也最容易掌握其中的规律、性质和联系。

”为此笔者在第二节课中安排了一个研究水的射程与高度之间的关系问题的实验，这个实验一定要放手让学生参与启发和引导学生进入角色，让学生们模仿第一课时介绍的建立函数模型的思路方法来组织好学生之间的合作交流。

2.3采用“先学后教、当堂训练”[3]的教学模式完成第一课时。

要使学生能充分自主地参与“综合实践”活动，选择合适的教学模式是关键，我在教学中采用了“先学后教当堂训练”的教学模式。

首先和同学们一起回忆了本章学习的一次函数知识，然后分三阶段完成。

第一阶段：先学；老师打开课件，展示自学提纲。

让同学们完成自学，老师巡视。

下面请同学们结合问题1-5完成自学（问题件2.1、规定时间20分钟）。

第二阶段：后教；由于问题1至问题3较简单，对于同学们都会的，老师不必讲解，教师先订正问题4并且告诉同学们，若一些点在一条直线或近似在一条直线上时，可以用一次函数知识加以研究，接着订正问题5最后总结建立函数模型的步骤：①将实验得到的数据在平面直角坐标系中描出；②观察这些点的特征，确定选用的函数形式，并根据已知的数据求出具体的函数表达式；③进行检验；④应用这个函数模型解决问题。

（用时5到8分钟）第三阶段：当堂训练[4] (用时15分钟左右)。

1、元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？2、用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2013个图共有多少枚棋子？写出第2013个图形中的棋子数。