组合数学
组合数学12种状态公式
组合数学12种状态公式组合数学是一门研究集合的组合方式和性质的数学学科。
在组合数学中，有许多重要的状态公式被广泛应用于不同的领域。
本文将介绍其中的12种状态公式，并探讨它们的应用。
1. 排列公式（Permutation Formula）排列是从一组元素中选取若干个元素进行排列组合的方式。
排列公式可以表示为P(n, k) = n! / (n-k)!，其中n表示元素的总数，k表示选取的元素个数。
排列公式在密码学、密码破解、组合优化等领域有广泛的应用。
2. 组合公式（Combination Formula）组合是从一组元素中选择若干个元素形成一个子集的方式。
组合公式可以表示为C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中n表示元素的总数，k表示选择的元素个数。
组合公式在概率论、统计学、图论等领域有重要的应用。
3. 多项式系数公式（Binomial Coefficient Formula）多项式系数是组合数学中的一种重要概念，表示在多项式展开中各项的系数。
多项式系数公式可以表示为C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，其中n表示元素的总数，k表示选择的元素个数。
多项式系数公式在概率论、统计学、组合优化等领域有广泛的应用。
4. 二项式定理（Binomial Theorem）二项式定理是组合数学中的重要定理，用于展开(x + y)^n的多项式表达式。
根据二项式定理，(x + y)^n可以展开为n+1个项的和，每一项的系数由多项式系数公式给出。
二项式定理在代数学、概率论等领域有广泛的应用。
5. 斯特林公式（Stirling Formula）斯特林公式是用于近似计算阶乘的公式，可以表示为n! ≈ sqrt(2πn) * (n/e)^n，其中n为正整数，e为自然对数的底。
斯特林公式在概率论、统计学、数论等领域有重要的应用。
6. 贝尔数（Bell Numbers）贝尔数是组合数学中的一种数列，表示将n个元素划分为不同的非空子集的方式的总数。
组合数学目录
组合数学目录组合数学是数学中一个重要的分支学科，它研究组合和组合学问题，是数学、统计学和计算机科学等多领域的基础知识。
它涉及到组合、排列、组合优化、计数、概率、可能性等几个方面的数学问题，既涉及基础理论，又涉及实际应用。
本文以《组合数学目录》为题，简要介绍组合数学的内容。
组合数学主要涉及以下内容：一、组合算法组合算法是数学中最重要的概念之一。
它包括排列组合、组合优化、计数法、差分组合和组合密码学等。
它们是用来解决一些具有复杂性的数学问题的一般性的工具。
二、统计概率统计概率是描述一系列实验结果的形式，通常是以概率的方式给出，即每个结果发生的可能性。
它的主要内容有：概率论、样本空间、事件、联合概率、独立性、贝叶斯定理、随机变量、期望值、方差和协方差等。
三、概率统计概率统计是一门研究统计数据的科学，它研究如何收集、整理、分析、综合和使用统计数据，用来预测某事物的行为结果。
其主要内容包括：抽样分布、数据描述、统计推断、过程能力分析、非参数检验、回归分析、时间序列分析、因子分析、聚类分析等。
四、可能性理论可能性理论是由计算机科学家香农提出的一种数学理论，它用于描述复杂系统中不同实体之间的相互联系。
它包括：可能性函数、可能性图、可能性规则、可能性函数的演算、可能性空间和可能性算法等。
五、计算机统计学计算机统计学是一门多学科的科学，它研究和提供一种全面的、系统的和科学的方法，来实现计算机中数据的可视化、分析、探索和推理，来改善计算机的决策能力。
它的主要内容有：可视化分析、统计模型、统计技术、数据挖掘和机器学习等。
总之，组合数学是一门多学科交叉的重要学科，其内容涵盖组合算法、统计概率、概率统计、可能性理论和计算机统计学等。
它是一个非常庞大的学科，以上只是其中的一些关键点，以便更好地了解组合数学。
组合数学具有很强的实际应用价值，对于科学研究和实际应用都有着重要的作用。
组合数学卢开澄课后习题答案
组合数学卢开澄课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和组合对象的数学学科，它广泛应用于计算机科学、统计学、密码学等领域。
卢开澄是中国著名的组合数学家，他的教材《组合数学》是该领域的经典之作。
在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面我将为大家提供一些卢开澄课后习题的答案。
第一章：集合与命题逻辑1.1 集合及其运算习题1：设集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B和A∩B的结果。
答案：A∪B={1,2,3,4}，A∩B={2,3}。
习题2：证明若A∩B=A∩C，且A∪B=A∪C，则B=C。
答案：首先，由A∩B=A∩C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
然后，由A∪B=A∪C可得B⊆C，同理可得C⊆B，因此B=C。
综上所述，B=C。
1.2 命题逻辑习题1：将下列命题用命题变元表示：（1）如果今天下雨，那么我就带伞。
（2）要么他很聪明，要么他很勤奋。
答案：（1）命题变元P表示今天下雨，命题变元Q表示我带伞，命题可表示为P→Q。
（2）命题变元P表示他很聪明，命题变元Q表示他很勤奋，命题可表示为P∨Q。
习题2：判断下列命题是否为永真式、矛盾式或可满足式：（1）(P∨Q)→(P∧Q)（2）(P→Q)∧(Q→P)答案：（1）该命题为可满足式，因为当P为真，Q为假时，命题为真。
（2）该命题为永真式，因为无论P和Q取何值，命题都为真。
第二章：排列与组合2.1 排列习题1：从10个人中选取3个人，按照顺序排成一队，有多少种不同的结果？答案：根据排列的计算公式，共有10×9×8=720种不同的结果。
习题2：从10个人中选取3个人，不考虑顺序，有多少种不同的结果？答案：根据组合的计算公式，共有C(10,3)=120种不同的结果。
2.2 组合习题1：证明组合恒等式C(n,k)=C(n,n-k)。
答案：根据组合的计算公式可得C(n,k)=C(n,n-k)，因此组合恒等式成立。
组合数学pdf
组合数学
组合数学是数学中的一个分支，研究如何选出一些元素组成某种集合的数学问题。
组合数学是运用较为广泛的数学分支之一，它涉及面不仅局限于数学领域，还涉及计算机科学，物理学，统计学，生物学等领域。
在日常生活中，组合数学也有很多应用，例如密码学、图论、排列组合等方面。
组合数学主要涉及组合、排列、集合这些数学概念，下面将对这些概念逐一进行介绍。
组合数：组合数是指从n个不同元素中取r个元素（r≤n）不重不漏的所有情况的个数。
组合数可以简单地表示成C(n,r)，其计算公式为：C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)。
排列数：排列数是指从n个不同元素中取出r个元素进行排列，不放回地选取，可以表示为A(n,r)，排列数的计算公式为
A(n,r)=n!/(n-r)!。
排列数也可以分为有放回排列和无放回排列。
集合：集合是由若干个元素组成的一个整体，集合内的元素没有重复且无序。
例如，{1,2,3}和{3,2,1}都代表同一个集合。
在实际应用中，组合数学的应用十分广泛。
例如在密码学中，组合数学可以用来生成密码，用来保护数据的安全性。
在图论中，组合数学可以用来研究图的结构，处理图的中间点，连通性等问题。
在排列组合中，组合问题是许多具有不同性质的排列问题的基础。
生物学中，组合数学也可以通过研究遗传物质的组合和排列等问题，来推断人类或动物的遗传基因情况。
总之，组合数学是一门综合性极强的数学学科，在实际中的应用和研究都有非常重要的地位。
组合数公式大全
组合数公式大全组合数公式是组合数学中重要的概念，它们在概率论、统计学、离散数学等领域都有广泛的应用。
组合数公式可以用来计算从n个不同元素中取出r个元素的组合数，它们的计算方法多种多样，其中包括排列组合公式、二项式定理、组合数的递推关系等。
接下来，我们将详细介绍组合数公式的各种计算方法，让我们一起来深入探讨。
一、排列组合公式排列组合公式是组合数学中最基本的概念之一，它用于计算从n个不同元素中取出r个元素的组合数。
排列组合公式的计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)C(n, r)表示从n个不同元素中取出r个元素的组合数，n!代表n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1，r!代表r的阶乘，(n-r)!代表n-r的阶乘。
二、二项式定理二项式定理是组合数学中的一个重要定理，它用于计算二项式展开式中各项的系数。
二项式定理的公式如下：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + ... + C(n,r)*a^(n-r)*b^r + ... + C(n,n)*a^0*b^n(a+b)^n表示(a+b)的n次幂展开式，C(n,r)表示从n个不同元素中取出r个元素的组合数。
从上述公式可以看出，二项式定理可以用来计算二项式展开式中各项的系数，因此它在代数学和离散数学中有着广泛的应用。
三、组合数的递推关系组合数的递推关系是一种用来计算组合数的方法，它可以在一定程度上简化计算过程。
组合数的递推关系公式如下：C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)C(n, r)表示从n个不同元素中取出r个元素的组合数，根据递推关系可以得到不同组合数之间的关系，从而简化计算过程。
以上介绍了排列组合公式、二项式定理和组合数的递推关系，它们是组合数学中常用的计算方法，对于理解和应用组合数具有重要的意义。
通过深入学习这些公式和定理，我们可以更好地理解组合数的概念，并且在实际问题中灵活运用。
第一章 什么是组合数学
当n为偶数时：
f(n)=
当n为奇数时：
f(n)=
证明：因为f(n)为2行n列的多米诺牌覆盖的棋盘。
所以当n为偶数时：
当所有多米诺牌都竖放时，有 种方法。
当只有1个（并列2个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
(1)当切除的方格位于奇数与奇数的位置时，因为m为奇数则m-1为偶数，因此除去方格所在的行，分成的剩余棋盘的行必然为偶数。所以该部分一定能完美覆盖；而方格所在的行数为1，列数为n-1为偶数，所以该部分也能被完美覆盖。因此，当切除的方格位于奇数行奇数列交叉处时剩下的棋盘可被完美覆盖。
（2）当切除的方格位于偶数行与偶数列交叉处时，以被切除的方格为中心分割出其周围紧邻的方格作为一部分，则该部分一定能被完美覆盖，而剩余部分经过分割必然会分成行与列至少有一个偶数的各部分棋盘。因此该各部分也能被完美覆盖。因此，当切除的白色方格位于偶数行与偶数交叉处时，剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
综合（1）（2），则如果切除棋盘上的任意一个白色方格，那么剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
3.解：犯人不能得到自由。
假设囚室为一张8行8列且由黑白方格构成的棋盘，设左上角方格为白色，则对角位置方格也为白色。如果从左上角白色方格能够依次通过每个方格到达右下角的白色方格，则需要跨越63次，然而左上角白格到白格需要跨越偶数次。因此假设于事实矛盾。所以，犯人不能得到自由。
当只有2个（并列4个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
当只有3个（并列6个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
……
当最多只有n/2个（并列即：f(n)=
同理:当n为奇数时：
组合数学引论课后习题答案
组合数学引论课后习题答案组合数学引论课后习题答案组合数学是一门研究离散结构和计数问题的数学学科，它在计算机科学、密码学、统计学等领域中有着广泛的应用。
在学习组合数学的过程中，课后习题是巩固知识、提高技能的重要环节。
本文将为大家提供一些组合数学引论课后习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 问题：有6个不同的球，要将其放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，一共有多少种放法？解答：这是一个将球放入盒子的问题，可以使用组合数学中的排列组合方法求解。
首先，我们可以确定每个盒子中至少放一个球，所以可以将问题转化为将剩下的3个球放入3个盒子中的问题。
对于每个球来说，都有3个选择，即放入第一个盒子、放入第二个盒子或放入第三个盒子。
因此，总的放法数为3^3=27种。
2. 问题：有8个人，其中4个人是男性，4个人是女性，要从中选出一个小组，要求男性人数和女性人数相等，一共有多少种选法？解答：这是一个选择问题，可以使用组合数学中的组合方法求解。
首先，我们需要确定男性和女性的人数必须相等，所以可以将问题转化为从4个男性和4个女性中各选取相同数量的人的问题。
对于男性来说，可以从4个人中选择0个、1个、2个、3个或4个。
对于每种选择，女性也需要选择相同数量的人。
因此，总的选法数为C(4,0) * C(4,0) +C(4,1) * C(4,1) + C(4,2) * C(4,2) + C(4,3) * C(4,3) + C(4,4) * C(4,4) = 1 + 16 + 36 + 16 + 1 = 70种。
3. 问题：有10个人，要从中选出一个小组，要求这个小组中至少有3个人，一共有多少种选法？解答：这是一个选择问题，可以使用组合数学中的组合方法求解。
首先，我们需要确定小组中至少有3个人，所以可以将问题转化为从10个人中选取3个、4个、5个...直到10个人的问题。
对于选取3个人的情况，可以从10个人中选择3个，即C(10,3)。
组合数学：排列、组合与概率
组合数学是数学中一门重要的学科，它研究的是“选择”的问题，这种选择可以是排列、组合或者概率中的各种情况。
在组合数学中，排列、组合与概率是三个关键的概念。
首先，我们来看排列。
排列是指从一组元素中，按照一定的顺序选择几个元素进行排列。
例如，有A、B、C三个字母，我们要从中选择两个字母进行排列，那么可能的排列方式就是AB、AC、BA、BC、CA、CB。
排列的数量可以通过阶乘来计算，即 n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1，其中n表示元素的数量。
接着，我们来看组合。
组合是指从一组元素中，不考虑顺序选择几个元素进行组合。
例如，有A、B、C三个字母，我们要从中选择两个字母进行组合，那么可能的组合方式就是AB、AC、BC。
组合的数量可以通过公式 C(n,r) = n! /(r! * (n-r)!) 进行计算，其中n表示元素的数量，r表示选择的元素个数。
最后，我们来看概率。
概率是指某个事件发生的可能性的大小，它是一个介于0和1之间的实数。
概率可以通过排列和组合的方法来计算。
例如，有一副扑克牌，从中随机抽取一张牌，如果我们想计算摸到黑桃牌的概率，那么可以用排列的方法计算。
黑桃牌的数量为13张，总牌数为52张，所以摸到黑桃牌的概率为 P = 13/52 = 1/4。
又如，有4个红色球和6个蓝色球，从中抽取两个球，如果我们想计算摸到一个红色球和一个蓝色球的概率，那么可以用组合的方法计算。
红色球的数量为4个，蓝色球的数量为6个，总球数为10个，所以摸到一个红色球和一个蓝色球的概率为 P = C(4,1) * C(6,1) / C(10,2) =24/45。
综上所述，组合数学是一门研究“选择”的数学学科，其中排列、组合与概率是三个重要的概念。
通过排列和组合的方法，可以计算出各种“选择”的可能性。
而概率则用来计算某个事件发生的可能性大小。
组合数学在实际应用中有着广泛的应用，例如在概率统计、密码学、图论等领域。
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实例
1)求小于10000的含1的正整数的个数 2)求小于10000的含0的正整数的个数 解答: 1)小于10000的不含1的正整数可看做4位数, 但0000除外. 故有9×9×9×9－1＝6560个. 含1的有：9999－6560=3439个 另: 全部4位数有104 个,不含1的四位数有9 4 个, 含1的4位数为两个的差: 104 －9 4 = 3439个
A 人 B C D
钥 匙 １２３４５６ √√√ √√√ √ √√ √ √ √
某保密装置须同时使用若干把不同的钥匙才能打开。现有７人，每人持 若干钥匙。须４人到场，所备钥匙才能开锁。问①至少有多少把不同的 钥匙？②每人至少持几把钥匙？ 解 ①每３人至少缺１把钥匙，且每３人所缺钥匙不同。故至少共有 C(7,3)=35把不同的钥匙。 ② 任一人对于其他６人中的每３人，都至少有１把钥匙与之相配才能 开锁。故每人至少持C(6,3)＝20把不同的钥匙。 举例，４人中３人到场，共有C(4,2)=6把不同的钥匙。每人有C(3,2)=3 把钥匙。
可重复的组合
设Ｓ是一个具有k种类型元素的多重集，每种元素均具有无 限的重复数．则S的r-组合数为Ｃ(r+k-1,r). 令Ｓ＝｛a,b,c,d｝,S的使得４种元素的每一种都至少出现一 次的10－组合的数目是多少？ 其实这是方程x1+x2+x3+x4=10的方程的整数解的个数． 答案Ｃ(6+4-1,6)=84 讨论x1+x2+x3+x4=20的方程的整数解的个数, 其中,x1≥ 3, x2≥ 1, x3≥ 0, x4≥ 5
实例
如果每个单词包含３、4或5个元音，那么字母表中的26个字 母可以构造多少个8字母词？可以理解为，在一个词中字母 的使用次数没有限制。 我们按所含的元音个数来对单词进行计数，然后运用加法原 理。 3元音词: C(8,3)53215 4元音词: C(8,4)5414 5元音词: C(8,5)53213 因此词的总数为 C(8,3)53215 ＋ C(8,4)5414＋ C(8,5)53213
2)“含0”和“含1”不可直接套用。0019
含1但不含0。 在组合的习题中有许多类似的隐含的 规定，要特别留神。 不含0的1位数有9个，2位数有92个， 3位数有93个，4位数有94个 不含0小于10000的正整数有 9+92+93+94 =(95-1)/(9-1)=7380个 含0小于10000的正整数有 9999－7380=2619个
y (m,n) . . .
0
. . .
x
在上例的基础上若设m<n，求(0,1)点到(m,n)点不接触对角线x=y的格路 的数目 (“接触”包括“穿过”),从(0,1)点到(m,n)点的格路，有的接 触x=y，有的不接触。对每一条接触x=y的格路，做(0,1)点到第一个接触 点部分关于x=y的对称格路，这样得到一条从(1,0)到(m,n)的格路。 容易看出从(0,1)到(m,n)接触x=y的格路与 (1,0)到(m,n)的格路(必穿过 x=y)一一对应 故所求格路数为C(n+m-1,m) - (n+m-1,m-1) 若条件改为可接触但不可穿过，则限制线要向下或向右移一格，得x y=1，(0,0)关于x－y=1的对称点为(1,-1). 故所求格路数为C(n+m,m) - (n+m,m-1)
考虑一张平面图或在一个球面上的地图，地图上的国家都是 连通区域，为了能够很快分出国家，需要对这些国家着色， 以使得具有共同边界的国家被涂成不同颜色(角点处不算着 共同的边界)，能够保证如此着色每一张地图所需的最少的 颜色是多少？ 答案：4种颜色即可 证明？
36来自6各军团共有6种不同军衔的36名军官，他们能 否排成6*6(6行6列的编队使得每行每列都有各种军衔的军官 1名)，并且每行每列上的不同军衔的6名军官分别来自不同 的军团？ 问题是，使36个序偶(i,j)，能否排成6*6的阵列，使得每行每 列，这6个整数都能以某种顺序出现在序偶第一个元素的位 置上。 看n=3的情况 123 1 2 3 (1,1) (2,2) (3,3) 312 2 3 1 (3,2) (1,3) (2,1) 231 3 1 2 (2,3) (3,1) (1,2) 是否存在6阶正交拉丁方？如何构造？
最短路经问题
考虑一个由道路和路口组成的子系统。一人想从一个路口A 行进到另一路口B。现在问题是要确定一条通路，沿此通路 从A到B的距离最小——一条最短路径。 这是一个关于图的问题，图是组合数学中已经研究而且还将 广泛研究的离散结构的一个例子。 怎样求最短路径？
Nim取子游戏
Nim取子游戏是由两个面对若干堆硬币（或石子,豆粒,…） 进行的游戏。设有k>=1堆硬币，各堆含有n1,n2,…,nk枚硬 币。游戏的目的就是选择最后剩下的硬币。 规则如下： 1. 游戏人交替进行游戏 2. 当轮到每个游戏人取子时，选择这些硬币堆中的一堆， 并从所选堆中取走至少1枚硬币。 3. 所有的堆都变为空时，游戏结束，最后取子的人赢得所 有的硬币。 如何取子？有何依据？
幻方
一个n阶幻方是由整数 1,2,…,n2,组成，其每行、每 列和两条对角线的和都等于 同一个数s。 这个整数s叫幻方的幻和。 一个n阶幻方的所有整数和 s=1+2+…+n2= n2(n2+1)/2 怎样构造幻方？ 幻方在3为情况下的情况呢？
4 3
9 5
2 7
8
1
6
四色问题
切割立方体
考虑一个边长3英尺的立方体木块。我们希望把它切割成27 个边长1英尺的小立方体。完成这项工作所需最小切割次数 是多少？ 一种方法是依序切割6次，每个方向上切割2次并在切割时保 持该立方体不变 如果在每次切割后重新排放所切得的各块，则是否能用更少 的切割次数完成这项工作呢？ 考察一个4*4棋盘，它有一个8张多米诺牌的完美覆盖。 证明总能把棋盘横向或者纵向切成两块且不使这些多米 诺牌被切断。 切割的水平或竖直的直线叫做完美覆盖断层线。
排列
定义 从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序 排列，称为从n个中取r个的无重排列。排列的全体组成的集 合用 P(n,r)表示。当r=n时称为全排列。一般不说可重即无 重。可重排列的相应记号为 P(n,r)。 实例 n个不同的球中,取出r个,放入r个不同的盒子里，每盒1个 第1个盒子有n种选择，第2个有n-1种选择，··· ··· ，第r个有nr+1种选择。 P(n,r)=n*(n-1)*…*(n-r+1) 有时也用[n]r表示
B牌完美覆盖
对于m*n棋盘被多米诺覆盖的问题，还存在另外一种一般化 的方法。设b是一个1*1的方格并排连接成1*b的方格条来代 替多米诺牌。我们称这些方格条为b-牌。因此，一张b牌可 以盖住一行上或者一列上的b个连续的方格。 那么，何时m*n的棋盘具有一个b牌的完美覆盖？ 结论： 一张m行n列棋盘有一个b牌的完美覆盖，当且仅当b是m 的一个因子或b是n的一个因子。 怎样证明？
组合的物理意义
“一一对应”概念是一个在计数中极为 基本的概念。一一对应既是单射又是满 射。如我们说A集合有n个元素 |A|=n， 无非是建立了将A中元与[1,n]元一一对 应的关系。在组合计数时往往借助于一 一对应实现模型转换。比如要对A集合 计数，但直接计数有困难，于是可设法 构造一易于计数的B，使得A与B一一对 应。 简单格路问题 : |(0,0)→(m,n)|=Ｃ (n+m,m),从 (0,0)点出发沿x轴或y轴的 正方向每步走一个单位，最终走到(m,n) 点，有多少条路径？
组合数学
长沙市雅礼中学 朱全民
什么是组合数学
生活中常见的组合问题 计算赛制下的总的比赛次数 幻方 笔画网络图 扑克牌游戏 组合数学问题常呈现的形式 能否排列…… 存在一个……..吗 能用多少种方法 计算……的数目 研究一个已知的排列 构造一个最优的排列 组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门科学
组合
定义 n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集， 而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。组 合的全体组成的集合用C(n,r)表示，对应于可重组合C(n,r) 实例 n个不同的球中,取出r个,放入r个相同的盒子里，每盒1个 若放入盒子后再将盒子标号区别，则又回到排列模型。每一 个组合可有r!个标号方案。 C(n,r)=P(n,r)/r! 显然有 C(n,0)=0, C(n,n)=1, C(n,1)=n, C(n,r)=0 当 r>n,
y
y
y=x
(m,n) (0,1) . . 0 (1,0) (m,n) .
x-y=1
x
.. (0,0) . .
(1,1)
x
组合基本公式
对于0≤r≤n,有C(n,r)=C(n,n-r) C(n,r)=C(n-1,r)+C(n-1,r-1) C(n,n)+ C(n+1,n)+ C(n+2,n)+ …+ C(n+r,n)= C(n+r+1,n) C(n,l)*C(l,r)=C(n,r)*C(n-r,l-r) C(n,0)+ C(n,1)+…+ C(n,n-1)+ C(n,n)=2n C(n,0)-C(n,1)+C(n,2)-…±C(n,n)=0 C(m+n,r)=C(m,0)*C(n,r)+C(m,1)*C(n,r-1) +…+C(m,r)*C(n,0) C(m+n,m)=C(m,0)*C(n,0)+C(m,1)*C(n,1)+…+C(m,m)*C(n,m) ∑j≥0C(k,j)* C(l,j)* C(n+k+l-j,k+1)= C(n+k,k) C(n+l,l) --- 李善兰 恒等式