【创新设计】2016-2017学年高中数学-第一章-导数及其应用习题-苏教版选修2-2

【创新设计】2016-2017学年高中数学 第一章 导数及其应用习题苏教版选修2-21 变化率与导数1．变化率函数の平均变化率为Δy Δx＝fx 1－f x 0x 1－x 0＝f x 0＋Δx －f x 0Δx，它是用来刻画函数值在区间[x 0，x 1]上变化快慢の量．式中Δx ，Δy の值可正、可负，当函数f (x )为常数函数时，Δy の值为0，但Δx 不能为0.当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点の瞬时变化率．2．导数の概念及其几何意义函数y ＝f (x )在x 0点の导数即为函数y ＝f (x )在x 0点の瞬时变化率，即当Δx 趋于0时，函数值y 关于x の平均变化率Δy Δx＝f x 0＋Δx －f x 0Δxの极限值；Δx 趋于0，是指函数自变量之间の间隔能有多小就有多小，但始终不能为零．函数y ＝f (x )在x 0点处の导数の几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处の切线の斜率，即f ′(x 0)＝k ＝tan α，因此在切线の斜率、切点の横坐标两个量中，只要已知其中一个量，就可以求出另一个量．例1 如图所示，函数f (x )の图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C の坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f [f (0)]＝________；f ′(1)＝________.(用数字作答)解析 由A (0,4)，B (2,0)可得线段AB の方程为f (x )＝－2x ＋4(0≤x ≤2)． 同理线段BC の方程为f (x )＝x －2(2<x ≤6)．所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，0≤x ≤2，x －2，2<x ≤6，所以f (0)＝4，f [f (0)]＝f (4)＝2，f ′(1)＝－2.答案 2 －2例2函数f (x )の图象如图所示，则下列不等关系中正确の是________． ①0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2) ②0<f ′(2)<f (3)－f (2)<f ′(3) ③0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2) ④0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3) 解析根据导数の几何意义，考查函数在点B (2，f (2))及A (3，f (3))处の切线の斜率． 由图可见，过点B の切线の斜率大于过点A の切线の斜率，则有0<f ′(3)<f ′(2)． 另一方面，这两点の平均变化率为f－f3－2＝f (3)－f (2)，其几何意义为割线AB の斜率．由图，可知0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)． 答案 ③点评 本题通过导数の定义反过来对变化率进行了考查．通过上述事例可以看出，变化率是一个十分重要の概念，它是连结初等数学与导数の一个桥梁，学好变化率为以后更好地学习导数知识作了铺垫.2 导数计算中の策略1．活用定义例1 已知函数f (x )＝3x 4－2x 3＋5，则当Δx 无限趋近于0时，f＋2Δx －fΔx无限趋近于________．分析 在导数定义中，增量Δx の形式是多种多样の，但不论Δx 选择哪种增量形式，相应のΔy 也应选择对应の形式，本题中Δy 中x の增量为2Δx ，则分母也应为2Δx . 解析 因为f ′(x )＝12x 3－6x 2， 所以原式＝f＋2Δx －f2Δx·2，则当Δx →0时，即求2f ′(1)＝12. 答案 12 2．整体构造例2 若函数f (x )＝(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2 013)，求f ′(2 013)の值． 分析 本题の待求值让人有点“无所适从”，造成这种情况の主要原因是没有找到解决问题の入手点．若仔细观察分析，把前面の(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2 012)看成一个整体，然后利用积の求导法则，则问题便可迎刃而解．解 令φ(x )＝(x －1)·(x －2)·(x －3)·…·(x －2 012)，则f (x )＝(x －2 013)φ(x )， 故f ′(x )＝φ(x )＋(x －2 013)φ′(x )，于是有f ′(2 013)＝φ(2 013)＝1×2×3×…×2 012.3．化繁为简例3 求f (x )＝(1－x )·⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x の导函数．分析 对此题，若直接求导，则需要按照乘积の求导运算法则来求导，计算量显然较大．如果求解此题时将求导の多项式展开，再利用公式求导，那么此题の求解就会非常简单． 解 因为f (x )＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1－x ＋1x －1＝－x ＋1x，所以f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1x ′＝－12x －12－12x －32. 点评 在导数の运算中，要仔细观察函数式の结构特点，适当地对函数式中の项进行“合”与“拆”，进行优化组合，有の放矢，使每部分易于求导，然后运用导数运算法则进行求解．在实施化简时，首先必须注意变换の等价性，避免运算失误.3 函数单调性の应用1．根据函数の单调性求解参数问题例1 已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32，求a ，b ，c の值．解 f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .由于f (x )在区间(0,1)上是增函数，在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上是减函数，所以f ′(0)＝f ′(1)＝0.又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，34a ＋b ＋c ＝32.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，c ＝0.点评 由于此题给出了函数定义域范围内の所有单调区间，在这种条件下一般都可以分析出函数の极值点，通常情况下单调区间の端点就是极值点，再根据已知函数极值求解参数问题の方法进行解答．例2 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在[2，＋∞)上是单调递增の，求a の取值范围．解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2.要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增の， 则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立， 即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增の， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x2≥0(x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0， ∴a の取值范围是a ≤16.点评 已知函数单调性求参数の取值范围，可转化为不等式恒成立问题．一般地，函数f (x )在区间I 上单调递增(递减)等价于不等式f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间I 上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数の取值范围，并验证f ′(x )＝0是否有有限个解． 2．利用函数の单调性证明不等式欲证明不等式f (x )>g (x )(或f (x )≥g (x ))成立，可以构造函数φ(x )＝f (x )－g (x )，利用导数进行证明．例3 已知x >0，求证：e x>1＋x . 证明 设函数f (x )＝e x－(1＋x )， 则f ′(x )＝e x－1.当x >0时，e x>e 0＝1，所以f ′(x )＝e x－1>0.所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 所以当x >0时，f (x )>f (0)． 又f (0)＝e 0－(1＋0)＝0， 所以f (x )>0，即e x－(1＋x )>0. 故e x>1＋x .点评 若要证の不等式两边是两类不同の基本函数，则往往需要构造函数，借助函数の单调性来证明．3．利用函数の单调性判断方程根の个数若f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]上有唯一实数根；若f (a )f (b )与零の大小无法确定，则f (x )＝0在[a ，b ]上至多有一个实数根．例4 试判断函数f (x )＝13x －ln x (x >0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和区间(1，e)内有无零点．分析 可通过导数确定函数极值点与极值の正负，再结合确定零点の方法确定零点の个数． 解 因为f ′(x )＝13－1x.所以当x ∈(3，＋∞)时，y ＝f (x )是增函数； 当x ∈(0,3)时，y ＝f (x )是减函数． 而0<1e<1<e<3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝e 3－1<0，所以函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点. 4 导数问题易错点剖析一、剖析导数运算中の常见错误 1．对f ′(x 0)与f ′(x )理解有误例1 已知函数f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)の值为________． 错解 由f (x )＝x 2＋2xf ′(1)得f (0)＝0. 所以f ′(0)＝0.错因分析 解题时没有弄清导函数和其在某点处の导数の关系，求函数在某点处の导数时，应先求导再求函数值，同时要注意f是常数.正解 由f (x )＝x 2＋2xf ′(1)得，f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)． 所以f ′(1)＝2×1＋2f ′(1)．所以f ′(1)＝－2. 从而f ′(x )＝2x －4.所以f ′(0)＝－4.2．切点位置の确定有误例2 求过点P (1,0)且与曲线f (x )＝x 3－x 相切の直线の方程． 错解 由题意知点P (1,0)在曲线上． 因为f ′(x )＝3x 2－1，所以f ′(1)＝2.所以切线方程为y －0＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. 错因分析 点P，虽然在曲线上，但不一定是切点，解题时把点P，当作切点显然是错误の.求曲线の切线方程时，应注意两种“说法”：曲线在点P 处の切线方程一定是以点P 为切点；曲线过点P の切线方程无论点P 是否在曲线上，点P 都不一定是切点正解 设切点为(x 0，x 30－x 0)，则过该点の切线方程为y －(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(x －x 0)． 由切线过点P (1,0)得：0－(x 30－x 0)＝(3x 20－1)(1－x 0)，整理得2x 30－3x 20＋1＝0. 即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.所以切线方程为2x －y －2＝0或x ＋4y －1＝0. 3．对切线定义の理解有误例3 已知曲线C ：y ＝f (x )＝13x 3＋43，曲线C 在点P (2,4)处の切线方程为y ＝4x －4，试分析该切线与曲线C 是否还有其他公共点？若有，求出公共点の坐标；若没有，说明理由． 错解 由于直线y ＝4x －4与曲线C 相切，因此除切点P (2,4)外没有其他の公共点． 错因分析 “切线与曲线有唯一公共点”，此说法对圆、椭圆这一类特殊曲线是成立の，但对一般曲线不一定成立．正解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x －4y ＝13x 3＋43消去y 整理得：x 3－12x ＋16＝0，即(x －2)(x 2＋2x －8)＝0.所以(x －2)2(x ＋4)＝0，解得x ＝2或x ＝－4. 所以交点の坐标为(2,4)，(－4，－20)，所以该切线与曲线の公共点除了切点(2,4)外还有点(－4，－20)． 二、剖析导数应用中の常见错误1．将函数单调性の充分条件误认为是充要条件例4 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，求实数a の取值范围． 错解 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1.因为f (x )在R 上是减函数， 所以f ′(x )＝3ax 2＋6x －1<0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，36＋12a <0.解得a <－3.故实数a の取值范围为(－∞，－3)． 错因分析 “fx x a ，b是“f x 在a ，b 内单调递减”の充分条件而不是充要条件，如f x ＝－x 3在R 上单调递减，但f x ＝－3x 2≤0.正解 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1. (1)当f ′(x )<0时，f (x )是减函数， 所以f ′(x )＝3ax 2＋6x －1<0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，36＋12a <0.解得a <－3.(2)当a ＝－3时，f ′(x )＝－9x 2＋6x －1 ＝－(3x －1)2≤0，当且仅当x ＝13时，f ′(x )＝0.易知此时函数f (x )在R 上也是减函数． 综上，知实数a の取值范围为(－∞，－3]．点评 解决此类问题既要注意其充分性，又要注意其必要性． 2．将函数取极值の必要条件误认为是充要条件 例5 求函数f (x )＝x 6－3x 4＋3x 2の极值．错解 f ′(x )＝6x 5－12x 3＋6x ＝6x (x 4－2x 2＋1)＝6x (x 2－1)2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1.当x ＝±1时，函数f (x )取极大值1；当x ＝0时，函数f (x )取极小值0. 错因分析 “fx 0＝0”是“可导函数y ＝f x 在x 0处有极值”の必要条件而不是充要条件，即导数为零の点不一定是极值点.防止出现这类错误の方法是验证可导函数f x 在x 0左右两侧の导数值の符号，若x 0两侧の导数值异号，则x 0是函数f x の极值点. 正解 f ′(x )＝6x (x 2－1)2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1.f ′(x )在方程f ′(x )＝0の根の左右两侧の符号如下表所示：点评 函数y ＝f (x )在x 0处可导，则“f ′(x 0)＝0”是“f (x )在x 0处取得极值”の必要条件，但不是充要条件．一般地，函数f (x )在x 0の附近可导且f ′(x 0)＝0，如果f ′(x )在x 0两侧の符号相反，则f (x )在x 0处取极值；如果f ′(x )在x 0两侧の符号相同，则f (x )在x 0处无极值.5 导数应用中の数学思想1．方程思想例 1 已知函数f (x )＝x 3＋3mx 2＋nx ＋m 2在x ＝－1时有极值0，则m ＝________，n ＝________.分析 根据题意利用f ′(－1)＝0与f (－1)＝0建立方程组求解． 解析 f ′(x )＝3x 2＋6mx ＋n .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f－＝3－6m ＋n ＝0，f －＝－1＋3m －n ＋m 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝9.但当m ＝1，n ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0恒成立，即x ＝－1不是f (x )の极值点，应舍去．故分别填2,9. 答案 2 9点评 本题の解答充分体现了方程思想の应用，通过已知の极值求得函数解析式中の参数，但要注意对所求值の验证． 2．函数思想例2 设函数f (x )＝1－e －x，证明：当x >－1时，f (x )≥xx ＋1.分析 由于f (x )＝1－e －x ＝1－1e x ，x x ＋1＝1－1x ＋1，因此要证f (x )≥x x ＋1，只需证明e x≥1＋x .所以我们构造新函数，利用函数の极值进行证明． 证明 令g (x )＝e x－x －1，则g ′(x )＝e x－1. 解方程e x－1＝0，得x ＝0.当x 变化时，g ′(x )，g (x )变化情况如下表：从表上看出，当x 因而当x ∈R 时，有g (x )≥g (0)＝0，即e x≥1＋x .所以当x >－1时，有f (x )＝1－e －x＝1－1e x ≥1－1x ＋1＝x x ＋1，即f (x )≥x x ＋1.点评 本题通过构造函数，使问题の解决变得简捷． 3．数形结合思想例3 已知曲线f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a 与x 轴只有一个交点，求实数a の取值范围． 分析 先用导数求出函数の单调区间和极值，再根据单调性画出大致图象，利用数形结合思想求解．解 f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3. 列表：画出大致图象，要使f (x )の图象与x 轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)．所以a ＋27<0或a －5>0.解得a <－27或a >5. 故实数a の取值范围为a <－27或a >5.点评 数形结合思想是中学数学の一种重要思想．画出图象可以加强直观性，便于对问题の理解．4．分类讨论思想例4 求函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1－3aの单调区间．分析 利用导数求函数の单调区间，一般先确定函数の定义域，再求导函数，最后根据导数大于0或小于0得单调增区间或单调减区间．如果函数中含有参数，则应分类讨论． 解 f ′(x )＝3ax 2－6x .由题意，得a ≠0. 当a >0时，由3ax 2－6x >0，解得x <0或x >2a；由3ax 2－6x <0，解得0<x <2a.所以f (x )の单调增区间为(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫2a，＋∞，单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，2a .当a <0时，由3ax 2－6x >0，解得2a<x <0；由3ax 2－6x <0，解得x <2a或x >0.所以f (x )の单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ，0，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a 和(0，＋∞)．点评 注意本题中隐含了a ≠0の条件．a 在导函数の二次项系数中，a の正负决定了不等式の解集，因此要对a 分大于0和小于0两种情况进行讨论.6 研析三次函数の单调性与极值我们知道，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)の根の情况可以用判别式Δ＝b 2－4ac 来判断，那么一元三次方程ax 3＋bx 2＋cx ＋d ＝0(a ≠0)の根の情况又是怎样の呢？要解决这个问题，只要能够画出函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d の大致图象，通过图象与x 轴の交点の情况便可得到方程の根の情况．而要画出函数y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d の大致图象，就要研究该函数の单调性和极值情况，因此可以利用导数来研究．三次函数求导后变为二次函数，所以三次函数の许多性质可以借助二次函数来解决． 对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，其导函数为f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，有以下结论：(1)①当a >0时，若x →＋∞，则f (x )→＋∞； 若x →－∞，则f (x )→－∞；②当a <0时，若x →＋∞，则f (x )→－∞； 若x →－∞，则f (x )→＋∞.(2)若x 1，x 2是f (x )の两个极值点，则x 1，x 2是方程f ′(x )＝0の两根，从而x 1＋x 2＝－2b 3a，x 1x 2＝c 3a.(3)方程f ′(x )＝0の判别式Δ＝4b 2－12ac ，则有①当Δ≤0时，若a >0，则f (x )在R 上是增函数；若a <0，则f (x )在R 上是减函数． ②当Δ>0时，设f ′(x )＝0の两根x 1<x 2，则当a >0时，f (x )の递增区间有两个，为(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)，递减区间有一个，为(x 1，x 2)，x ＝x 1是极大值点，x ＝x 2是极小值点；当a <0时，f (x )の递减区间有两个，为(－∞，x 1)和(x 2，＋∞)，递增区间有一个，为(x 1，x 2)，x ＝x 1是极小值点，x ＝x 2是极大值点．(4)函数f (x )の大致图象如下：7 帮你识记“原函数”微积分基本定理告诉我们要求积分值，找到被积函数の一个原函数是关键，为方便大家使用，下面探求了一些常见函数の原函数． (1)常数函数c の一个原函数为cx ；(2)x nの一个原函数为x n ＋1n ＋1(n ≠－1，n ∈Q *)；(3)cos x の一个原函数为sin x ； (4)sin x の一个原函数为－cos x ； (5)a xの一个原函数为a xln a (a >0且a ≠1)；(6)e xの一个原函数为e x； (7)1xの一个原函数为ln x (x >0)．温馨提示 一个被积函数の原函数不是唯一の，有无数多个，即在每一个原函数后面加上一个常数，求导后不变，但具体利用ʃba f (x )d x ＝F (b )－F (a )求值，只需找一个最简单の原函数即可．8 怎样求解定积分？用微积分基本定理求定积分ʃba f (x )d x 时，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )のF (x )，但在求解函数F (x )时经常会遇到计算上の复杂，或者找不到函数F (x )等情况，本文介绍几种简化求解定积分の方法． 1．几何法例1 求定积分ʃ10(1－x －2－x )d x の值．分析 本题用定积分の定义或微积分基本定理求解都比较麻烦．由ʃ10(1－x －2－x )d x联想到圆(x －1)2＋y 2＝1の一部分与直线y ＝x ，用定积分の几何意义进行求解则比较简捷．解 ʃ10(1－x －2－x )d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1の一部分与直线y ＝x 所围成の图形(如图所示の阴影部分)の面积，因此ʃ1(1－x －2－x )d x ＝π×124－12×1×1＝π4－12.点评 数形结合思想在这里得到了充分の体现．运用定积分の几何意义计算定积分，需要具备较强の观察能力、分析能力和逻辑推理能力． 2．函数性质法 例2 求⎰-2121 lg 1＋x 1－xd x の值． 解 记f (x )＝lg 1＋x1－x ，易知定义域为(－1,1)，因为f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg(1＋x 1－x )－1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，因此有⎰-2121lg 1＋x 1－xd x ＝0. 点评 从定积分の定义(或几何意义)可知：偶函数f (x )有ʃa－a f (x )d x ＝2ʃa0f (x )d x ；奇函数f (x )有ʃa－a f (x )d x ＝0. 3．转化法 例3 计算定积分⎰2π0sin 2x2d x の值．解⎰2π0sin 2x2d x ＝⎰2π01－cos x2d x ＝⎰2π012d x －12⎰2πcos x d x ＝12x 2π0|－12sin x 2π0| ＝π4－12·0－12sin π2＋12sin 0＝π4－12. 点评 较复杂函数の积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数の四则运算后，再求定积分． 4．分段法例4 求定积分⎠⎛2－1x |x |d x の值．解 因为f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，所以⎠⎛2－1x |x |d x ＝⎠⎛0－1(－x 2)d x ＋⎠⎛02x 2d x＝－x 33| 0－1＋x 33| 20＝－13＋83＝73. 点评 这类积分不能直接求解，需要变换被积函数从而去掉绝对值． 5．换元法例5 求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成の平面图形の面积．解 方法一 选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分の面积应该是两部分之和．解⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝8，y 2＝4.所以交点为A (2，－2)，B (8,4)． 选取x 为积分变量， 则0≤x ≤8.因此S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x＝2023|324x ＋⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋223x 32－x 2282＝18.方法二 选取纵坐标y 为积分变量，则－2≤y ≤4，所求图中阴影部分の面积为S ＝⎠⎛4－2⎝⎛⎭⎪⎫y ＋4－y 22d y ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＋4y －y 364－2＝18.点评 从上述两种解法中可以看出，对y 积分比对x 积分计算简捷．因此，应用定积分求解平面图形の面积时，积分变量の选取至关重要．但同时也要注意对y 积分时，积分函数应是x ＝φ(y )，本题需将条件中の曲线方程、直线方程化为x ＝y 22，x ＝y ＋4の形式，然后求面积．9 利用定积分求面积1．巧选积分变量求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便． 例1 求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2所围成の图形の面积．分析 解此类题の一般步骤是：①画草图；②解方程组求出交点；③确定积分の上、下限；④计算．解 画出图象如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2，得A (－1,1)，B (3,9)． 故所求图形の面积为 ⎠⎛3－1(2x ＋3－x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋3x －13x 33－1＝323. 点评 本题若选纵坐标y 为积分变量，则计算起来较为复杂，故要注意选择积分变量，以使计算简便．另外还要注意の是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变の，即定积分の值不会改变． 2．妙用对称在求平面图形の面积时，注意利用函数の奇偶性等所对应曲线の对称性解题，这也是简化计算过程の常用手段．例2 求由两条曲线y ＝x 2,4y ＝x 2和直线y ＝1所围成の图形の面积． 分析 先画图象，分析由哪几块组成，再转化为定积分求解．解 如图，因为y ＝x 2,4y ＝x 2是偶函数，根据对称性，只需算出y 轴右边の图形の面积再乘以2即可．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝1，和⎩⎪⎨⎪⎧4y ＝x 2，y ＝1.得交点坐标(－1,1)，(1,1)，(－2,1)，(2,1)．所以S ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎠⎛01⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 24d x ＋⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 310＋x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫112x 321＝43. 点评 巧用对称性能简化解题．3．恰到好处の分割例3 求两曲线y ＝sin x 与y ＝sin 2x 在[0，π]上围成の图形の面积．分析 先画图象，找出积分区间，发现可分割成两部分，再用微积分基本定理分别求面积．解 如图，令sin x ＝sin 2x ，得交点の横坐标为x ＝0，x ＝π3，x ＝π.由图形分割，得S ＝∫π30(sin 2x －sin x )d x ＋ ⎠⎛ππ3(sin x －sin 2x )d x ＝52. 点评 类似本题图形の面积の求法，适当の分割是关键，应注意掌握这种分割の处理方法． 4．进行适当转换例4 求正弦曲线y ＝sin x ，x ∈[0，3π2]和直线x ＝3π2及x 轴围成の平面图形の面积．解由图可知，当x ∈[0，π]时，曲线y ＝sin x 位于x 轴の上方，当x ∈[π，3π2]时，曲线y＝sin x 位于x 轴の下方．因此所求面积应为两部分面积の和，即S ＝∫3π20|sin x |d x ＝⎠⎛0πsin x d x －∫3π2πsin x d x ＝－cos x | π0＋ |cos x 3π2π＝2＋1＝3.点评 对于y ＝f (x )和x ＝a ，x ＝b (a <b )及y ＝0围成の平面图形の面积の计算： (1)若f (x )>0，则⎠⎛a b f (x )d x >0，S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)若f (x )<0，则⎪⎪⎪⎪⎪⎠⎛abf x x <0，S ＝⎠⎛abf xx ＝－⎠⎛ab f (x )d x ；(3)若a <c <b ，当a ≤x ≤c 时，f (x )<0，当c ≤x ≤b 时，f (x )>0，则⎠⎛a c f (x )d x <0，⎠⎛cbf (x )d x >0，所以S ＝－⎠⎛ac f (x )d x ＋∫bc f (x )d x .。